Упражнения для повторения главы V

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава V: Множества. Страницы 109–110.

Что повторяем

• Множество, элементы, знаки $\in$ и $\notin$, натуральные числа $N$ — п. 5.1 (№ 1078).
• Подмножество, знаки $\subset$ и $\not\subset$, все подмножества — п. 5.2 (№ 1078, 1080, 1081, 1084).
• Пересечение и объединение, пустое множество — п. 5.3 (№ 1078, 1079, 1082, 1084).
• Задачи на множества с кругами Эйлера–Венна — п. 5.4 (№ 1083).

Сначала освежи значки — переверни карточки:

👨‍👩‍👧 Родителю. Перед упражнениями попросите ребёнка своими словами объяснить разницу между $\in$ и $\subset$, $\cap$ и $\cup$. Если путается — вернитесь к шпаргалкам уроков 5.2 и 5.3.

Решаем упражнения

№ 1078

Прочитай записи: 1) $572 \in N$; 2) $0,14 \notin N$; 3) $0 \notin N$; 4) $E \subset F$; 5) $D \not\subset F$; 6) $S \cup T$; 7) $K \cap L$; 8) $A \cap B = \varnothing$.

Решение.

1. «Число 572 принадлежит множеству натуральных чисел» (572 — натуральное число).
2. «0,14 не принадлежит множеству натуральных чисел».
3. «Нуль не принадлежит множеству натуральных чисел».
4. «$E$ — подмножество $F$».
5. «$D$ — не подмножество $F$».
6. «Объединение множеств $S$ и $T$».
7. «Пересечение множеств $K$ и $L$».
8. «Пересечение множеств $A$ и $B$ — пустое множество» (у $A$ и $B$ нет общих элементов).

Ответ: см. чтение каждой записи выше.

№ 1079

Квадрат $ABCD$ (рис. 5.21: $B$ — левая верхняя вершина, $C$ — правая верхняя, $D$ — правая нижняя, $A$ — левая нижняя), проведена диагональ $BD$. Какая фигура — пересечение треугольников $ABD$ и $BCD$? А их объединение?

Как думать. Диагональ $BD$ делит квадрат на два треугольника. Они лежат по разные стороны от диагонали и соприкасаются только по ней.

Решение.

1. Общие точки у треугольников $ABD$ и $BCD$ есть только на их общей стороне. Пересечение — отрезок $BD$.
2. Вместе два треугольника закрывают весь квадрат. Объединение — квадрат $ABCD$.

Ответ: 1) отрезок $BD$ (диагональ квадрата); 2) квадрат $ABCD$.

№ 1080

Покажи кругами Эйлера–Венна, как связаны $A = {$□, ○, ▶, ◉$}$ и $B = {$○, ◉$}$.

Как думать. Оба элемента $B$ есть в $A$. Значит, $B \subset A$.

Решение. Рисуем большой круг $A$, внутри него маленький круг $B$. В $B$ ставим ○ и ◉. В $A$ вне $B$ ставим □ и ▶.

Ответ: $B \subset A$, круг $B$ внутри круга $A$.

№ 1081

Выпиши все подмножества множества $A = {m, n, s}$.

Как думать. Иди «этажами»: ни одного элемента, по одному, по два, все три.

Решение.

• без элементов: $\varnothing$;
• по одному: ${m}$, ${n}$, ${s}$;
• по два: ${m, n}$, ${m, s}$, ${n, s}$;
• все три: ${m, n, s}$.

Проверка: у множества из 3 элементов $2^3 = 8$ подмножеств.

Ответ: 8 подмножеств: $\varnothing$, ${m}$, ${n}$, ${s}$, ${m, n}$, ${m, s}$, ${n, s}$, ${m, n, s}$.

№ 1082

$A$ — цифры числа 52 274, $B$ — цифры числа 23 571. Найди $A \cap B$ и $A \cup B$.

Решение.

1. $A = {2, 4, 5, 7}$ (цифру 2 пишем один раз).
2. $B = {1, 2, 3, 5, 7}$.
3. Общие цифры: 2, 5, 7. $A \cap B = {2, 5, 7}$.
4. Все цифры вместе: $A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5, 7}$. Проверка: $4 + 5 - 3 = 6$ элементов.

Ответ: 1) ${2, 5, 7}$; 2) ${1, 2, 3, 4, 5, 7}$.

№ 1083

Приехали 12 туристов: 8 хотят посмотреть архитектурные сооружения, 7 — мемориальные. Сколько хотят посмотреть и те и другие?

Как думать. Считаем, что каждый турист хочет посмотреть хотя бы что-то одно. Тогда 12 — это объединение, а ищем середину.

Решение.

1. $n(A \cap M) = 8 + 7 - 12 = 3$.
2. Проверка на кругах: только архитектура — $8 - 3 = 5$, оба — 3, только мемориалы — $7 - 3 = 4$; $5 + 3 + 4 = 12$.

Ответ: 3 туриста.

№ 1084

На рисунке 5.22 пересекаются круги $A$ и $B$; внутри $A$, вне $B$, — маленький круг $C$. Только в $A$ (вне $C$) — буквы и, м; в $C$ — е, т; в общей части $A$ и $B$ — р, д, а; только в $B$ — и, у, с. Запиши $A$, $B$, $C$ и соотношения между $A$ и $C$, $A$ и $B$.

Как думать. В $A$ входят все буквы большого круга $A$: и вне $C$, и внутри $C$, и в общей части с $B$. Сложи буквы — получатся слова «диаметр» ($A$) и «радиус» ($B$). Вот это подсказка!

Решение.

1. $A = {д, и, а, м, е, т, р}$ — буквы слова «диаметр».
2. $B = {р, а, д, и, у, с}$ — буквы слова «радиус».
3. $C = {е, т}$.
4. $A$ и $C$: все элементы $C$ лежат в $A$, значит $C \subset A$.
5. $A$ и $B$: у них есть общие элементы, но ни одно множество не часть другого. Общие буквы: $A \cap B = {р, д, а, и}$. Буква «и» есть в обоих словах, поэтому она тоже входит в пересечение. Объединение: $A \cup B = {д, и, а, м, е, т, р, у, с}$.

Ответ: 1) $A = {д, и, а, м, е, т, р}$, $B = {р, а, д, и, у, с}$, $C = {е, т}$; 2) $C \subset A$; $A \cap B = {р, д, а, и}$, $A \not\subset B$, $B \not\subset A$.