6.2. Нахождение процентов от данного числа

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава VI: Проценты. Страницы 118–123.

Чему научишься

• Находить проценты от числа: $20%$ от 60 — это $60 \cdot 0,2 = 12$.
• Пользоваться главной формулой процентов $b = a \cdot \frac{P}{100}$.
• Находить число, которое на несколько процентов больше или меньше исходного.
• Считать проценты на калькуляторе и решать задачи, где проценты берут несколько раз подряд.

Разминка

В парке 800 деревьев. Ели — $25%$, сосны — $45%$. Сколько елей и сколько сосен?

• Что здесь $100%$? Все деревья парка — 800.
• Сколько деревьев приходится на $1%$? $800 : 100 = 8$.
• Сколько елей? $8 \cdot 25 = 200$.
• Сколько сосен? $8 \cdot 45 = 360$.

💡 Вывод: чтобы найти проценты от числа, найди $1%$ (раздели на 100), а потом умножь на нужное число процентов.

Разбираемся

Через один процент

Вода составляет $85%$ яблока. Сколько воды в 4 кг яблок?

1. Все 4 кг — это $100%$.
2. $1%$: $4 : 100 = 0,04$ кг.
3. $85%$: $0,04 \cdot 85 = 3,4$ кг.

Яблоко почти целиком из воды! Всё решение помещается в одну строчку: $(4 : 100) \cdot 85 = 4 \cdot \frac{85}{100} = 4 \cdot 0,85 = 3,4$.

Короткий путь: умножить на дробь

Заметил? Найти $85%$ числа — то же самое, что умножить его на $0,85$.

📌 Чтобы найти проценты от числа: 1) запиши проценты дробью; 2) умножь число на эту дробь.

На выставке 60 кошек, из них $20%$ — сиамские. $20% = \frac{1}{5} = 0,2$, значит, сиамских $60 \cdot 0,2 = 12$. Посмотри на картинку: полоска — все 60 кошек. Каждая из 10 частей — $10%$, то есть 6 кошек. Две части — 12 кошек.

Главная формула процентов

$b = a \cdot \frac{P}{100}$

Здесь $a$ — исходное число (оно $100%$), $P$ — число процентов, $b$ — сколько составляют эти $P%$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Потренируйтесь устно: $10%$ — делим на 10, $50%$ — пополам, $25%$ — на 4. Например: $10%$ от 350? $25%$ от 80? Такой счёт сильно ускоряет задачи всей главы.

На сколько процентов больше или меньше

Цена 90 тг выросла на $30%$. Новая цена — $100% + 30% = 130%$ старой: $90 \cdot 1,3 = 117$ тг.

Цена 56 тг упала на $15%$. Новая цена — $100% - 15% = 85%$ старой: $56 \cdot 0,85 = 47,6$ тг.

⚠️ Частая ошибка. Нашли $30%$ от 90 (это 27) и записали 27 в ответ, хотя спрашивали новую цену. Перечитай вопрос: «на сколько изменилась» или «какой стала»? Если «какой стала» — прибавь (вычти) найденное или сразу умножай на $1,3$ (на $0,85$).

Проценты на калькуляторе

На простом калькуляторе с клавишей $%$:

• $20%$ от 45: 4 5 × 2 0 % → 9;
• 90 увеличить на $30%$: 9 0 + 3 0 % → 117;
• 56 уменьшить на $15%$: 5 6 − 1 5 % → 47,6.

В телефоне порядок бывает другим. Самый надёжный способ — умножать на десятичную дробь: $45 \cdot 0,2$.

Деньги в банке растут

Банк платит проценты за то, что ты хранишь у него деньги. Если проценты каждый раз считают от первоначальной суммы, это простой процентный рост. За $n$ лет (месяцев) сумма станет

$S_n = S \cdot \left(1 + \frac{P \cdot n}{100}\right),$

где $S$ — первый вклад, $P$ — процент за год (месяц). Например, 1 000 000 тг под $5%$ в год через 3 года: $1,000,000 \cdot (1 + 0,15) = 1,150,000$ тг.

⚠️ Частая ошибка. «Сначала на $20%$ больше, потом ещё на $15%$ — всего на $35%$». Так нельзя: второй раз $15%$ берут от новой величины. Считай по шагам (№ 1137, № 1132).

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как найти проценты от числа? Записать проценты дробью и умножить на неё число. $30%$ от 70: $70 \cdot 0,3 = 21$.
• Как выглядит главная формула процентов? $b = a \cdot \frac{P}{100}$: $a$ — исходное число ($100%$), $P$ — число процентов, $b$ — число, которое соответствует $P%$.
• Какие клавиши нажать на калькуляторе, чтобы найти $P%$ от $a$? Набрать $a$, нажать «×», набрать $P$, нажать «%».

Решаем упражнения

Уровень A

№ 1114

Найди: 1) $10%$ от 30, 57, 125, 200, 250, 310; 2) $50%$ от 16, 24, 72, 96, 114, 400; 3) $25%$ от 28, 36, 68, 100, 232, 360.

Как думать. $10%$ — делим на 10; $50%$ — пополам; $25%$ — делим на 4 (два раза пополам).

Решение.

1. 3; 5,7; 12,5; 20; 25; 31.
2. 8; 12; 36; 48; 57; 200.
3. 7; 9; 17; 25; 58; 90.

Ответ: см. решение.

№ 1115

1) В клубнике $6%$ сахара. Сколько сахара в 35 кг клубники? 2) В картофеле $18%$ крахмала. Сколько крахмала в 25 кг картофеля?

Как думать. Вся масса — $100%$. Умножаем её на процент, записанный дробью.

Решение.

1. $35 \cdot 0,06 = 2,1$ кг.
2. $25 \cdot 0,18 = 4,5$ кг.

Ответ: 1) 2,1 кг; 2) 4,5 кг.

№ 1116

1) Вишнёвое варенье — это $40%$ вишни, остальное сахар. Сколько сахара в 8 кг варенья? 2) Морская вода — $95%$ воды, остальное соль. Сколько соли в 6 т морской воды?

Как думать. Спрашивают про «остальное». Значит, сначала находим, сколько процентов оно занимает.

Решение.

1. Сахар: $100% - 40% = 60%$; $8 \cdot 0,6 = 4,8$ кг.
2. Соль: $100% - 95% = 5%$; $6 \cdot 0,05 = 0,3$ т.

Ответ: 1) 4,8 кг; 2) 0,3 т.

№ 1117

В классе 30 учеников. $20%$ написали контрольную на «5», $50%$ — на «4». Сколько учеников написали на «5» и на «4»?

Решение.

1. На «5»: $30 \cdot 0,2 = 6$ учеников.
2. На «4»: $30 \cdot 0,5 = 15$ учеников.
3. Вместе: $6 + 15 = 21$ ученик.

Ответ: на «5» — 6 учеников, на «4» — 15, всего 21.

№ 1118

Найди $b$ — $P%$ от числа $a$ — для пар: 15 и $8%$; 80 и $40%$; 120 и $75%$; 7,5 и $20%$; 9,6 и $50%$; $\frac{8}{15}$ и $75%$.

Как думать. Подставляем в формулу $b = a \cdot \frac{P}{100}$. Где удобно — берём обыкновенную дробь: $75% = \frac{3}{4}$, $50% = \frac{1}{2}$.

Решение.

Ответ: 1,2; 32; 90; 1,5; 4,8; $\frac{2}{5}$.

№ 1119

Цена выросла на $12%$. Какой стала цена, если была 1) 2000 тг; 2) 5000 тг; 3) 8000 тг?

Как думать. Новая цена — это $112% = 1,12$ старой.

Решение.

1. $2000 \cdot 1,12 = 2240$ тг.
2. $5000 \cdot 1,12 = 5600$ тг.
3. $8000 \cdot 1,12 = 8960$ тг.

Ответ: 1) 2240 тг; 2) 5600 тг; 3) 8960 тг.

№ 1120

Холодильник подешевел на $15%$. Какой стала цена, если была 1) 58 000 тг; 2) 62 000 тг; 3) 70 000 тг?

Как думать. Новая цена — это $85% = 0,85$ старой.

Решение.

1. $58,000 \cdot 0,85 = 49,300$ тг.
2. $62,000 \cdot 0,85 = 52,700$ тг.
3. $70,000 \cdot 0,85 = 59,500$ тг.

Ответ: 1) 49 300 тг; 2) 52 700 тг; 3) 59 500 тг.

№ 1121

Найди: 1) $35%$ от 3,2 м; 8,6 дм; 6,4 см; 2) $62%$ от 9 т; 710 кг; 180 г.

Решение.

1. $3,2 \cdot 0,35 = 1,12$ м; $8,6 \cdot 0,35 = 3,01$ дм; $6,4 \cdot 0,35 = 2,24$ см.
2. $9 \cdot 0,62 = 5,58$ т; $710 \cdot 0,62 = 440,2$ кг; $180 \cdot 0,62 = 111,6$ г.

Ответ: 1) 1,12 м; 3,01 дм; 2,24 см. 2) 5,58 т; 440,2 кг; 111,6 г.

№ 1122

С калькулятором: 1) $25%$ от 970; $16%$ от 310; $18%$ от 220; 2) число, которое больше 36 на $15%$, на $20%$, на $30%$; 3) число, которое меньше 120 на $10%$, на $25%$, на $30%$.

Как думать. «Больше на $15%$» — умножаем на $1,15$. «Меньше на $10%$» — умножаем на $0,9$.

Решение.

1. $970 \cdot 0,25 = 242,5$; $310 \cdot 0,16 = 49,6$; $220 \cdot 0,18 = 39,6$.
2. $36 \cdot 1,15 = 41,4$; $36 \cdot 1,2 = 43,2$; $36 \cdot 1,3 = 46,8$.
3. $120 \cdot 0,9 = 108$; $120 \cdot 0,75 = 90$; $120 \cdot 0,7 = 84$.

Ответ: 1) 242,5; 49,6; 39,6. 2) 41,4; 43,2; 46,8. 3) 108; 90; 84.

№ 1123

Вычисли выражения, помеченные буквами Г, А, Ц, И, Й, К, М, Н, и расставь буквы под ответами 1,9; 643; 0,15; 2,21; 1,29; 5; 15; 1,29; 8. Получится фамилия автора первой русской «Арифметики».

Как думать. Это шифровка! Считаем каждое выражение и ставим букву под её числом.

Решение.

• Г: $(5,23 + 6,47) : 78 = 11,7 : 78 = 0,15$;
• А: $(6,25 + 0,18) \cdot 100 = 6,43 \cdot 100 = 643$;
• Ц: $(6,51 - 4,16) : 0,47 = 2,35 : 0,47 = 5$;
• И: $(9,07 - 3,91) \cdot 0,25 = 5,16 \cdot 0,25 = 1,29$;
• Й: $7,28 : (4,65 - 3,74) = 7,28 : 0,91 = 8$;
• К: $7,74 : 5,16 \cdot 10 = 1,5 \cdot 10 = 15$;
• М: $9,5 : (3,54 + 1,46) = 9,5 : 5 = 1,9$;
• Н: $0,34 \cdot (27,17 : 4,18) = 0,34 \cdot 6,5 = 2,21$.

Ответ: МАГНИЦКИЙ (Леонтий Магницкий, «Арифметика», 1703 год).

🌟 По «Арифметике» Магницкого учился великий учёный Михаил Ломоносов. Он называл эту книгу «вратами своей учёности».

Уровень B

№ 1124

Машинка стоила 420 тг, её уценили на $15%$. Купили 7 машинок по новой цене. Сколько денег сэкономили?

Как думать. Экономия — это скидка. Находим скидку на одну машинку и умножаем на 7.

Решение.

1. Скидка на одну машинку: $420 \cdot 0,15 = 63$ тг.
2. На семь: $63 \cdot 7 = 441$ тг.

Ответ: 441 тг.

№ 1125

Ширина прямоугольника 6 см, длина на $75%$ больше ширины. Найди площадь.

Решение.

1. Длина: $6 \cdot 1,75 = 10,5$ см.
2. Площадь: $10,5 \cdot 6 = 63$ см².

Ответ: 63 см².

№ 1126

В бронзе $85%$ меди, остальное — олово. На сколько килограммов меди больше, чем олова, в 5 кг бронзы?

Решение.

1. Медь: $5 \cdot 0,85 = 4,25$ кг.
2. Олово: $5 - 4,25 = 0,75$ кг.
3. Разница: $4,25 - 0,75 = 3,5$ кг.

Короче: разница $85% - 15% = 70%$, $5 \cdot 0,7 = 3,5$ кг.

Ответ: на 3,5 кг.

№ 1127

Периметр треугольника $ABC$ — 24 см. $AB$ — это $35%$ периметра, $BC$ — $25%$. Найди $AC$.

Решение.

1. $AC$ — это $100% - 35% - 25% = 40%$ периметра.
2. $AC = 24 \cdot 0,4 = 9,6$ см.

Ответ: 9,6 см.

№ 1128

В селе 620 домов. В $80%$ есть собака, в $50%$ — кошка. В скольких домах есть и собака, и кошка?

Как думать. $80% + 50% = 130%$ — больше, чем все дома. Значит, часть домов посчитана дважды: там живут и собака, и кошка. Считаем, что в каждом доме есть хотя бы одно животное.

Решение.

1. С собакой: $620 \cdot 0,8 = 496$ домов.
2. С кошкой: $620 \cdot 0,5 = 310$ домов.
3. $496 + 310 - 620 = 186$ домов посчитаны дважды.

Ответ: в 186 домах.

№ 1129

Банк начисляет $5%$ в год. Вклад — 3 750 000 тг. Сколько денег будет через год?

Решение. $3,750,000 \cdot 1,05 = 3,937,500$ тг. (Сами проценты: $3,750,000 \cdot 0,05 = 187,500$ тг.)

Ответ: 3 937 500 тг.

№ 1130

Длину прямоугольника уменьшили на $20%$. На сколько процентов надо увеличить ширину, чтобы площадь не изменилась?

Как думать. Буквы тут не нужны — возьмём удобные числа: длина 10, ширина 10, площадь 100.

Решение.

1. Новая длина: $10 \cdot 0,8 = 8$.
2. Чтобы площадь осталась 100, ширина должна стать $100 : 8 = 12,5$.
3. Ширина выросла с 10 до 12,5, на 2,5. Это $\frac{2,5}{10} = 25%$.

Ответ: на $25%$.

№ 1131

Райхан увеличила 145 на $60%$, а потом нашла $25%$ результата. Что получилось? A. 58; B. 42; C. 52; D. 49.

Решение.

1. $145 \cdot 1,6 = 232$.
2. $232 \cdot 0,25 = 58$.

Ответ: 58 (вариант A).

Уровень C

№ 1132

Нарциссов на $20%$ меньше, чем роз, а жасмина на $25%$ меньше, чем нарциссов. На сколько процентов жасмина меньше, чем роз?

Как думать. Складывать $20%$ и $25%$ нельзя: они от разных чисел. Пусть роз 100 — так считать проще всего.

Решение.

1. Нарциссов: $100 \cdot 0,8 = 80$.
2. Жасмина: $80 \cdot 0,75 = 60$.
3. $100 - 60 = 40$, то есть на $40%$ меньше, чем роз.

Ответ: на $40%$.

№ 1133

Площади квадрата и треугольника вместе — 15 см². Площадь квадрата на $50%$ больше площади треугольника. Найди сторону квадрата.

Решение.

1. Если треугольник — $100%$, то квадрат — $150%$, вместе $250% = 2,5$ площади треугольника.
2. Треугольник: $15 : 2,5 = 6$ см².
3. Квадрат: $15 - 6 = 9$ см².
4. $3 \cdot 3 = 9$, значит, сторона 3 см.

Ответ: 3 см.

№ 1134

Назерке расставила 5 ваз так, что у каждой стены комнаты стоят по 2 вазы. Как она это сделала?

Как думать. Задача на смекалку. Ваза в углу стоит сразу у двух стен!

Решение. Четыре вазы ставим в четыре угла. Тогда у каждой стены по 2 вазы — по одной в каждом её углу. Пятую ставим в центр комнаты (или на стол посередине): она не стоит ни у одной стены.

Ответ: 4 вазы в углах, пятая — в середине комнаты.

№ 1135

По формуле простого процентного роста найди сумму через $n$ месяцев: 1) $P = 3$, $S = 2,000,000$ тг, $n = 4$; 2) $P = 8$, $S = 3,000,000$ тг, $n = 3$.

Решение. $S_n = S \cdot \left(1 + \frac{P n}{100}\right)$.

1. $2,000,000 \cdot \left(1 + \frac{3 \cdot 4}{100}\right) = 2,000,000 \cdot 1,12 = 2,240,000$ тг.
2. $3,000,000 \cdot \left(1 + \frac{8 \cdot 3}{100}\right) = 3,000,000 \cdot 1,24 = 3,720,000$ тг.

Ответ: 1) 2 240 000 тг; 2) 3 720 000 тг.

№ 1136

Вклад 4 800 000 тг, годовой прирост $7%$. Сколько будет через 2 года?

Как думать. Простой процентный рост: каждый год добавляют $7%$ от первоначальной суммы. За 2 года — $14%$.

Решение. $4,800,000 \cdot \left(1 + \frac{7 \cdot 2}{100}\right) = 4,800,000 \cdot 1,14 = 5,472,000$ тг.

Ответ: 5 472 000 тг.

№ 1137

В первый год собрали 75 ц картофеля с гектара, во второй — на $20%$ больше, в третий — на $15%$ больше, чем во второй. Сколько собрали в третий год?

Как думать. Идём по шагам: каждый раз проценты считаем от урожая прошлого года.

Решение.

1. Второй год: $75 \cdot 1,2 = 90$ ц.
2. Третий год: $90 \cdot 1,15 = 103,5$ ц.

Ответ: 103,5 ц (с каждого гектара).

№ 1138

Путь — 180 км. $40%$ пути проехали на машине, $95%$ оставшегося — на мотоцикле, остальное прошли пешком. Сколько километров пешком?

Как думать. Второй процент — от остатка, а не от всего пути. Значит, $100%$ меняется по ходу задачи.

Решение.

1. На машине: $180 \cdot 0,4 = 72$ км. Осталось $180 - 72 = 108$ км.
2. Пешком прошли $100% - 95% = 5%$ остатка: $108 \cdot 0,05 = 5,4$ км.

Ответ: 5,4 км.

№ 1139

Глаголы — $35%$ слов текста, существительные — $80%$ от числа глаголов, прилагательные — $75%$ от числа существительных, остальное — числительные и предлоги. Сколько процентов составляют они?

Решение.

1. Существительные: $35% \cdot 0,8 = 28%$ текста.
2. Прилагательные: $28% \cdot 0,75 = 21%$ текста.
3. Вместе: $35% + 28% + 21% = 84%$.
4. Остальное: $100% - 84% = 16%$.

Ответ: $16%$.

№ 1140

Вычисли: 1) $\left(3,65 - 2\frac{3}{4}\right) : 3 + \frac{17}{40} \cdot 12$; 2) $\left(9,4 + 1\frac{17}{20}\right) : 1\frac{7}{8} + 24 \cdot \frac{3}{8}$; 3) $\left(15\frac{1}{3} - 8\frac{5}{18}\right) \cdot 2\frac{4}{7} : 6\frac{1}{21} - 2\frac{5}{8}$; 4) $8,25 : 1,1 - \left(3 - 2,8 \cdot \frac{3}{7}\right) : 0,6$.

Как думать. Сначала скобки, потом умножение и деление, в конце сложение и вычитание. Дроби вроде $2\frac{3}{4}$ удобно сразу переписать десятичными.

Решение.

1. $3,65 - 2,75 = 0,9$; $0,9 : 3 = 0,3$; $\frac{17}{40} \cdot 12 = \frac{204}{40} = 5,1$; $0,3 + 5,1 = 5,4$.
2. $9,4 + 1,85 = 11,25$; $11,25 : 1,875 = 6$; $24 \cdot \frac{3}{8} = 9$; $6 + 9 = 15$.
3. $15\frac{6}{18} - 8\frac{5}{18} = 7\frac{1}{18} = \frac{127}{18}$; $\frac{127}{18} \cdot \frac{18}{7} = \frac{127}{7}$; $\frac{127}{7} : \frac{127}{21} = \frac{127}{7} \cdot \frac{21}{127} = 3$; $3 - 2\frac{5}{8} = \frac{3}{8}$.
4. $8,25 : 1,1 = 7,5$; $2,8 \cdot \frac{3}{7} = 1,2$; $3 - 1,2 = 1,8$; $1,8 : 0,6 = 3$; $7,5 - 3 = 4,5$.

Ответ: 1) 5,4; 2) 15; 3) $\frac{3}{8}$; 4) 4,5.

№ 1141

Найди в источниках площадь поверхности Земли (в млн км²). Вода занимает $71%$. Вычисли площадь суши.

Как думать. Суша — всё, что не вода. Справочно (проверь по источнику): площадь поверхности Земли около 510 млн км².

Решение.

1. Суша — $100% - 71% = 29%$.
2. $510 \cdot 0,29 = 147,9$ млн км².

Ответ: около 148 млн км² (при площади поверхности 510 млн км²).

Шпаргалка

• $P%$ от $a$: $b = a \cdot \frac{P}{100}$. Например, $20%$ от 75 — это $75 \cdot 0,2 = 15$.
• Увеличить на $P%$ — умножить на $\left(1 + \frac{P}{100}\right)$.
• Уменьшить на $P%$ — умножить на $\left(1 - \frac{P}{100}\right)$.
• Простой процентный рост: $S_n = S \cdot \left(1 + \frac{P n}{100}\right)$.

Мини-тест