6.3. Нахождение числа по его процентам

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава VI: Проценты. Страницы 125–129.

Чему научишься

• Находить всё число ($100%$), если известно, сколько составляют несколько его процентов.
• Пользоваться формулой $a = b : \frac{P}{100}$ и не путать её с прошлым уроком.
• Решать задачи «после скидки стало…», «перевыполнили план на…».
• Решать задачи «с конца», когда проценты брали несколько раз.

Разминка

Продали 560 кг овощей. Это $70%$ всех овощей магазина. Сколько овощей было сначала?

• Сколько килограммов приходится на $1%$? $560 : 70 = 8$ кг.
• Сколько было всех овощей ($100%$)? $8 \cdot 100 = 800$ кг.

💡 Ответ 800 кг больше, чем 560 кг. Так и должно быть: продали ведь только часть.

Разбираемся

Две задачи-близнеца

В прошлом уроке мы знали всё число и искали его часть. Теперь наоборот: знаем часть и сколько процентов она составляет. Найти нужно всё число.

Через один процент

В начальных классах 480 учеников — это $60%$ всех учеников школы. Сколько учеников в школе?

Представь школу полоской из 10 частей. Каждая часть — $10%$. Шесть частей — 480 учеников, значит, одна часть — $480 : 6 = 80$ учеников, а все 10 частей — 800.

Через один процент: $1%$ — это $480 : 60 = 8$ учеников, $100%$ — $8 \cdot 100 = 800$. Одной строчкой: $480 : \frac{60}{100} = 480 : 0,6 = 800$.

Правило

📌 Чтобы найти число по его процентам: 1) запиши проценты дробью; 2) раздели известное число на эту дробь.

Формула: $a = b : \frac{P}{100}$. Здесь $b$ — известная часть, $P$ — сколько это процентов, $a$ — всё число ($100%$).

Пример. В свёкле $18%$ сахара. Сколько свёклы нужно, чтобы получить 162 кг сахара? $18% = 0,18$; $162 : 0,18 = 900$ кг.

⚠️ Частая ошибка. Умножить вместо деления: $162 \cdot 0,18 = 29,16$. Проверь здравым смыслом: сахара в свёкле меньше, чем самой свёклы. Значит, ответ должен быть больше 162. Если $P < 100$, всё число больше известной части.

Скидки и перевыполнение

«После скидки $10%$ холодильник стоит 72 900 тг». Новая цена — это $90%$ старой. Старая цена: $72,900 : 0,9 = 81,000$ тг.

«Мастер перевыполнил план на $18%$ и сделал 295 деталей». 295 — это $118%$ плана. План: $295 : 1,18 = 250$ деталей.

👨‍👩‍👧 Родителю. Перед решением пусть ребёнок скажет вслух: «Известное число — это сколько процентов?» В задачах со скидкой и перевыполнением это не то число, что написано в условии: $90%$, а не $10%$; $118%$, а не $18%$.

Калькулятор

Ищем число, $25%$ которого равны 175: 1 7 5 ÷ 2 5 % → 700. Если калькулятор устроен иначе, дели на дробь: $175 : 0,25 = 700$.

Решаем с конца

Если проценты брали несколько раз, а в конце известен остаток, иди от конца к началу. На каждом шаге спрашивай: «Это сколько процентов от предыдущего?» — и дели. Так решаются № 1162, 1163, 1169.

⚠️ Частая ошибка. Цена выросла на $5%$, потом упала на $20%$ и стала 8400 тг. Нельзя считать «упала на $15%$». Новая цена — $1,05 \cdot 0,8 = 0,84$ старой, поэтому старая цена $8400 : 0,84 = 10,000$ тг.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как найти число по его процентам? Записать проценты дробью и разделить на неё известное число. Если $30%$ числа равны 75, число равно $75 : 0,3 = 250$.
• Какие клавиши нажать на калькуляторе, чтобы найти число, $P%$ которого равны $b$? Набрать $b$, нажать «÷», набрать $P$, нажать «%».

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 1142

Найди число устно, если: 1) $1%$ его равен 8; 2,6; 2) $2%$ равны 6; 3,4; 3) $10%$ равны 0,8; 2,2; 4) $20%$ равны 12; 30; 5) $25%$ равны 8; 12; 6) $50%$ равны 90; 0,3.

Как думать. $1%$ — умножаем на 100; $2%$ — на 50; $10%$ — на 10; $20%$ — на 5; $25%$ — на 4; $50%$ — на 2.

Решение.

1. 800; 260.
2. 300; 170.
3. 8; 22.
4. 60; 150.
5. 32; 48.
6. 180; 0,6.

Ответ: см. решение.

Уровень A

№ 1143

Найди число: 1) $3%$ которого равны 12; 15; 21; 24; 36; 2) $10%$ которого равны 0,4; 8,5; 9,25; 12,7; 28; 3) $60%$ которого равны 42; 72; 84; 102; 114.

Решение.

1. Делим на 0,03 (или делим на 3 и умножаем на 100): 400; 500; 700; 800; 1200.
2. Умножаем на 10: 4; 85; 92,5; 127; 280.
3. Делим на 0,6: $42 : 0,6 = 70$; 120; 140; 170; 190.

Ответ: см. решение.

№ 1144

1) Яблони занимают 72 га — это $40%$ земли хозяйства. Какова площадь хозяйства? 2) 2890 учебников — $85%$ книг библиотеки. Сколько всего книг? 3) 12 девочек — $40%$ класса. Сколько в классе учеников?

Решение.

1. $72 : 0,4 = 180$ га.
2. $2890 : 0,85 = 3400$ книг.
3. $12 : 0,4 = 30$ учеников.

Ответ: 1) 180 га; 2) 3400 книг; 3) 30 учеников.

№ 1145

Мастер сделал 295 деталей и перевыполнил план на $18%$. Каким был план?

Решение. 295 деталей — это $100% + 18% = 118%$ плана. $295 : 1,18 = 250$ деталей.

Ответ: 250 деталей.

№ 1146

После уценки на $10%$ холодильник стоит 72 900 тг. Сколько он стоил до уценки?

Решение. 72 900 тг — это $90%$ старой цены. $72,900 : 0,9 = 81,000$ тг.

Ответ: 81 000 тг.

№ 1147

Турист проехал $74%$ пути от $A$ до $B$, и ему осталось 65 км. Найди расстояние от $A$ до $B$.

Решение.

1. Осталось $100% - 74% = 26%$ пути.
2. $65 : 0,26 = 250$ км.

Ответ: 250 км.

№ 1148

Продавец продал овощи за 14 758 тг и потерял на этом $6%$. За сколько он их купил?

Как думать. Убыток $6%$ — значит, выручка на $6%$ меньше, чем он потратил. За $100%$ берём сумму покупки.

Решение. 14 758 тг — это $94%$ суммы покупки. $14,758 : 0,94 = 15,700$ тг.

Проверка: $15,700 \cdot 0,94 = 14,758$.

Ответ: 15 700 тг.

№ 1149

С калькулятором найди число, если: 1) $12%$ его равны 10,8; 2) $15%$ — 8,4; 3) $40%$ — 22,4; 4) $60%$ — 45; 5) $110%$ — 93,5; 6) $180%$ — 64,8.

Как думать. Обрати внимание на 5) и 6): процентов больше 100, поэтому ответ получится меньше известного числа.

Решение.

1. $10,8 : 0,12 = 90$;
2. $8,4 : 0,15 = 56$;
3. $22,4 : 0,4 = 56$;
4. $45 : 0,6 = 75$;
5. $93,5 : 1,1 = 85$;
6. $64,8 : 1,8 = 36$.

Ответ: 90; 56; 56; 75; 85; 36.

№ 1150

Три года назад брату и сестре вместе было 15 лет. Сколько им будет вместе через 9 лет?

Как думать. За год каждый становится старше на 1, а сумма двух возрастов — на 2.

Решение.

1. Сейчас: $15 + 3 \cdot 2 = 21$ год.
2. Через 9 лет: $21 + 9 \cdot 2 = 39$ лет.

Ответ: 39 лет.

Уровень B

№ 1151

Найди величину: 1) $12%$ которой равны 18 м; 75 м; 2) $8%$ — 56 кг; 4 кг; 3) $15%$ — 12 см; 2,7 см; 4) $24%$ — 9,6 т; 42 т; 5) $35%$ — 21 км; 11,2 км; 6) $75%$ — 15 ц; 90 ц.

Решение.

1. $18 : 0,12 = 150$ м; $75 : 0,12 = 625$ м.
2. $56 : 0,08 = 700$ кг; $4 : 0,08 = 50$ кг.
3. $12 : 0,15 = 80$ см; $2,7 : 0,15 = 18$ см.
4. $9,6 : 0,24 = 40$ т; $42 : 0,24 = 175$ т.
5. $21 : 0,35 = 60$ км; $11,2 : 0,35 = 32$ км.
6. $15 : 0,75 = 20$ ц; $90 : 0,75 = 120$ ц.

Ответ: см. решение.

№ 1152

Какое натуральное число при увеличении на $40%$ увеличится на 3,2?

Как думать. Прибавка — это и есть те самые $40%$ числа.

Решение. 3,2 — это $40%$ числа. $3,2 : 0,4 = 8$.

Проверка: $8 \cdot 1,4 = 11,2 = 8 + 3,2$.

Ответ: 8.

№ 1153

Ширина прямоугольника 6 см — это $75%$ его длины. Найди площадь.

Решение.

1. Длина: $6 : 0,75 = 8$ см.
2. Площадь: $8 \cdot 6 = 48$ см².

Ответ: 48 см².

№ 1154

Шофёр перевёз 133,4 т пшеницы за 5 дней и перевыполнил план на $15%$. На сколько тонн в день больше плана он возил?

Решение.

1. 133,4 т — это $115%$ плана. План: $133,4 : 1,15 = 116$ т за 5 дней.
2. Сверх плана: $133,4 - 116 = 17,4$ т за 5 дней.
3. В день: $17,4 : 5 = 3,48$ т.

Ответ: на 3,48 т.

№ 1155

Перебором пар делителей найди натуральный корень: $x \cdot (x + 5) = 36$; $x \cdot (x - 11) = 42$; $x \cdot (x + 1) = 56$.

Как думать. Ищем два делителя числа, которые отличаются на 5 (на 11, на 1). В первом и третьем уравнении $x$ — меньший из них, во втором — больший.

Решение.

1. $36 = 4 \cdot 9$, разница 5: $x = 4$.
2. $42 = 14 \cdot 3$, разница 11: $x = 14$ ($14 - 11 = 3$).
3. $56 = 7 \cdot 8$, разница 1: $x = 7$.

Ответ: 4; 14; 7.

№ 1156

Автотуристы проехали в первый день $36%$ пути, во второй — $39%$, в третий — оставшиеся 180 км. Какой длины весь путь?

Решение.

1. В третий день: $100% - 36% - 39% = 25%$.
2. $180 : 0,25 = 720$ км.

Ответ: 720 км.

№ 1157

На первой полке $\frac{1}{4}$ всех книг, на второй — $40%$, на третьей — 28 книг. Сколько всего книг?

Как думать. Переведём $\frac{1}{4}$ в проценты, чтобы всё было в одних единицах.

Решение.

1. $\frac{1}{4} = 25%$. На первых двух полках $25% + 40% = 65%$.
2. На третьей: $35%$ — это 28 книг.
3. $28 : 0,35 = 80$ книг.

Ответ: 80 книг.

№ 1158

В сплаве $80%$ алюминия, остальное — медь. Алюминия на 300 г больше, чем меди. Какова масса сплава?

Решение.

1. Медь — $20%$. Разница $80% - 20% = 60%$ — это 300 г.
2. $300 : 0,6 = 500$ г.

Ответ: 500 г.

№ 1159

Сократи: 1) $\frac{12 \cdot 35 \cdot 72}{25 \cdot 54 \cdot 28}$; 2) $\frac{62 \cdot 5 + 62 \cdot 15}{31 \cdot 35 - 31 \cdot 15}$; 3) $\frac{5a + 6a + 7a}{24a - 15a}$.

Как думать. Произведения не перемножаем, а сокращаем по кусочкам. В суммах сначала выносим общий множитель за скобки.

Решение.

1. Сократим 35 и 28 на 7: $\frac{12 \cdot 5 \cdot 72}{25 \cdot 54 \cdot 4}$. Сократим 5 и 25 на 5, 12 и 4 на 4: $\frac{3 \cdot 72}{5 \cdot 54}$. Сократим 72 и 54 на 18: $\frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 3} = \frac{4}{5}$.
2. Вынесем общие множители: $\frac{62 \cdot (5 + 15)}{31 \cdot (35 - 15)} = \frac{62 \cdot 20}{31 \cdot 20} = 2$.
3. $\frac{18a}{9a} = 2$.

Ответ: 1) $\frac{4}{5}$; 2) 2; 3) 2.

Уровень C

№ 1160

Сравни: 1) число, $15%$ которого равны 60, и число, $60%$ которого равны 15; 2) $20%$ — 16 и $16%$ — 20; 3) $4%$ — 20 и $8%$ — 40; 4) $35%$ — 56 и $56%$ — 35.

Решение.

1. $60 : 0,15 = 400$; $15 : 0,6 = 25$. $400 > 25$.
2. $16 : 0,2 = 80$; $20 : 0,16 = 125$. $80 < 125$.
3. $20 : 0,04 = 500$; $40 : 0,08 = 500$. Числа равны.
4. $56 : 0,35 = 160$; $35 : 0,56 = 62,5$. $160 > 62,5$.

Ответ: 1) $400 > 25$; 2) $80 < 125$; 3) $500 = 500$; 4) $160 > 62,5$.

№ 1161

Найди число, если: 1) $5%$ его равны $40%$ от 12; 2) $75%$ — $30%$ от 80; 3) $20%$ — $25%$ от 72; 4) $90%$ — $15%$ от 240; 5) $40%$ — $20%$ от 320; 6) $150%$ — $30%$ от 25.

Как думать. Два шага: сначала проценты от известного числа (умножаем), потом число по его процентам (делим).

Решение.

1. $12 \cdot 0,4 = 4,8$; $4,8 : 0,05 = 96$.
2. $80 \cdot 0,3 = 24$; $24 : 0,75 = 32$.
3. $72 \cdot 0,25 = 18$; $18 : 0,2 = 90$.
4. $240 \cdot 0,15 = 36$; $36 : 0,9 = 40$.
5. $320 \cdot 0,2 = 64$; $64 : 0,4 = 160$.
6. $25 \cdot 0,3 = 7,5$; $7,5 : 1,5 = 5$.

Ответ: 1) 96; 2) 32; 3) 90; 4) 40; 5) 160; 6) 5.

№ 1162

В октябре помидоры подорожали на $25%$ по сравнению с августом, в ноябре — ещё на $40%$, и цена стала 140 тг. Сколько они стоили в августе? A. 80 тг; B. 75 тг; C. 90 тг; D. 60 тг.

Как думать. Идём с конца: от ноября к октябрю, от октября к августу.

Решение.

1. 140 тг — это $140%$ октябрьской цены: $140 : 1,4 = 100$ тг в октябре.
2. 100 тг — это $125%$ августовской: $100 : 1,25 = 80$ тг.

Ответ: 80 тг (вариант A).

№ 1163

Костюм подорожал на $5%$, потом подешевел на $20%$ и стал стоить 8400 тг. Какой была первоначальная цена?

Решение.

1. С конца: 8400 тг — это $80%$ повышенной цены: $8400 : 0,8 = 10,500$ тг.
2. 10 500 тг — это $105%$ первоначальной: $10,500 : 1,05 = 10,000$ тг.

Ответ: 10 000 тг.

№ 1164

На первую комнату ушло $40%$ краски, на вторую — $60%$ остатка, на третью — оставшиеся 1,8 кг. Сколько всего было краски?

Как думать. «$60%$ остатка» — это проценты не от всей краски. Переведём их в проценты от всей.

Решение.

1. После первой комнаты осталось $60%$ всей краски.
2. На вторую ушло $60%$ от этих $60%$: $0,6 \cdot 60% = 36%$.
3. На третью осталось $100% - 40% - 36% = 24%$ — это 1,8 кг.
4. Всего: $1,8 : 0,24 = 7,5$ кг.

Ответ: 7,5 кг.

№ 1165

В рисе $75%$ крахмала, в овсе — $60%$. Сколько нужно овса, чтобы в нём было столько же крахмала, сколько в 9 кг риса?

Решение.

1. Крахмала в рисе: $9 \cdot 0,75 = 6,75$ кг.
2. Это $60%$ массы овса: $6,75 : 0,6 = 11,25$ кг.

Ответ: 11,25 кг.

№ 1166

Мирасу 9 лет — это $25%$ возраста отца. А возраст отца — $60%$ возраста дедушки. Сколько лет дедушке?

Решение.

1. Отец: $9 : 0,25 = 36$ лет.
2. Дедушка: $36 : 0,6 = 60$ лет.

Ответ: 60 лет.

№ 1167

Привезли 425 ц свёклы. Из одной части получили $19%$ сахара, из остальной — $16%$. Всего вышло 74 ц сахара. Сколько было свёклы, давшей $19%$? A. 280 ц; B. 250 ц; C. 200 ц; D. 210 ц.

Как думать. Представим, что вся свёкла дала по $16%$, а потом добавим «лишние» $3%$ от первой части.

Решение.

1. Если бы вся свёкла давала $16%$: $425 \cdot 0,16 = 68$ ц сахара.
2. Получили на $74 - 68 = 6$ ц больше. Это лишние $19% - 16% = 3%$ от первой части.
3. Первая часть: $6 : 0,03 = 200$ ц.

Проверка: $200 \cdot 0,19 + 225 \cdot 0,16 = 38 + 36 = 74$ ц.

Ответ: 200 ц (вариант C).

№ 1168

За первый час катер прошёл $30%$ пути, за второй — $60%$ остатка, за третий — остальное. За второй час он прошёл на 7,7 км больше, чем за третий. Какой длины весь путь?

Решение.

1. Остаток после первого часа: $70%$.
2. Второй час: $0,6 \cdot 70% = 42%$. Третий: $70% - 42% = 28%$.
3. Разница $42% - 28% = 14%$ — это 7,7 км.
4. Весь путь: $7,7 : 0,14 = 55$ км.

Ответ: 55 км.

№ 1169

В первый день ученик прочитал $20%$ страниц книги и ещё 8 страниц, во второй — $40%$ остатка и ещё 8 страниц, в третий — $20%$ нового остатка. Осталось 32 страницы. Сколько страниц в книге и сколько он прочитал в первый день?

Как думать. Самый удобный способ — решать с конца.

Решение.

1. В третий день прочитал $20%$ остатка, осталось $80%$ — это 32 страницы. Остаток перед третьим днём: $32 : 0,8 = 40$ страниц.
2. Во второй день после «$40%$ остатка» осталось $60%$, а потом ещё минус 8 страниц. Значит, $60%$ остатка перед вторым днём $= 40 + 8 = 48$. Остаток: $48 : 0,6 = 80$ страниц.
3. В первый день так же: $80%$ книги $= 80 + 8 = 88$. Книга: $88 : 0,8 = 110$ страниц.
4. В первый день: $110 \cdot 0,2 + 8 = 22 + 8 = 30$ страниц.

Проверка: $110 - 30 = 80$; во второй день $32 + 8 = 40$, осталось 40; в третий день 8, осталось 32.

Ответ: в книге 110 страниц; в первый день прочитано 30 страниц.

№ 1170

Вычисли: 1) $\dfrac{\left(7\frac{3}{20} - 5\frac{1}{12}\right) \cdot 1,5}{6\frac{3}{7} \cdot 1,4 : 1,8}$; 2) $\dfrac{\left(5,7 : 0,3 - 8\frac{1}{3}\right) \cdot 0,75}{\left(2\frac{1}{8} + 1,75\right) : 15,5}$.

Как думать. Считаем отдельно числитель и знаменатель, потом делим одно на другое.

Решение.

1. Числитель: $7\frac{9}{60} - 5\frac{5}{60} = 2\frac{4}{60} = 2\frac{1}{15} = \frac{31}{15}$; $\frac{31}{15} \cdot \frac{3}{2} = \frac{31}{10} = 3,1$. Знаменатель: $\frac{45}{7} \cdot \frac{7}{5} = 9$; $9 : 1,8 = 5$. Значение: $3,1 : 5 = 0,62$.
2. Числитель: $5,7 : 0,3 = 19$; $19 - 8\frac{1}{3} = 10\frac{2}{3} = \frac{32}{3}$; $\frac{32}{3} \cdot \frac{3}{4} = 8$. Знаменатель: $2,125 + 1,75 = 3,875$; $3,875 : 15,5 = 0,25$. Значение: $8 : 0,25 = 32$.

Ответ: 1) 0,62; 2) 32.

Шпаргалка

• Известна часть $b$ и её процент $P$ — всё число: $a = b : \frac{P}{100}$.
• $140%$ числа равны 182 — число $182 : 1,4 = 130$.
• Прошлый урок — умножаем, этот урок — делим.
• Несколько изменений подряд — идём с конца, на каждом шаге делим.

Мини-тест