Упражнения для повторения главы VI. Задачи на проценты

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава VI: Проценты. Страницы 130–132.

Что повторяем

• Что такое процент, как перевести проценты в дробь и обратно, что принято за $100%$ — п. 6.1 (№ 1173, 1174, 1175).
• Проценты от числа $b = a \cdot \frac{P}{100}$, увеличение и уменьшение на несколько процентов, изменения подряд — п. 6.2 (№ 1171, 1176, 1178, 1180–1184).
• Число по его процентам $a = b : \frac{P}{100}$ — п. 6.3 (№ 1172, 1177, 1179).

📌 Перед каждой задачей спроси себя: что здесь $100%$? Известно всё число — умножаем. Известна его часть — делим.

Разомнись: умножать или делить?

Решаем упражнения

Уровень A

№ 1171

В классе 28 учеников, $75%$ из них занимаются спортом. Сколько это учеников?

Как думать. Известно всё число (весь класс), ищем часть — умножаем. $75%$ — это три четверти.

Решение. $28 \cdot 0,75 = 21$.

Ответ: 21 ученик.

№ 1172

Спортом занимаются 18 учеников — это $60%$ класса. Сколько учеников в классе?

Как думать. Теперь известна часть, а ищем всё число — делим.

Решение. $18 : 0,6 = 30$.

Ответ: 30 учеников.

№ 1173

При сушке груши теряют $80%$ массы. Сколько сушёных груш получится из 30 кг свежих?

Как думать. Спрашивают не про потерю, а про то, что осталось.

Решение.

1. Остаётся $100% - 80% = 20%$ массы.
2. $30 \cdot 0,2 = 6$ кг.

Ответ: 6 кг.

№ 1174

В бронзе $10%$ олова, остальное — медь. Сколько меди нужно на 28 кг бронзы?

Решение.

1. Медь — $100% - 10% = 90%$.
2. $28 \cdot 0,9 = 25,2$ кг.

Ответ: 25,2 кг.

№ 1175

Первый множитель увеличили на $30%$, а второй уменьшили на $30%$. Как изменится произведение?

Как думать. Кажется, что ничего не изменится? Проверим! Новые множители — $1,3$ и $0,7$ от старых. Значит, произведение умножится на $1,3 \cdot 0,7$.

Решение.

1. $1,3 \cdot 0,7 = 0,91 = 91%$.
2. $100% - 91% = 9%$.

Проверка на числах: $10 \cdot 10 = 100$; $13 \cdot 7 = 91$.

Ответ: уменьшится на $9%$.

Уровень B

№ 1176

Товар стоит 760 тг. 1) Цена выросла на $15%$. Какой она стала? 2) Цена снизилась на $30%$. Какой она стала?

Решение.

1. $760 \cdot 1,15 = 874$ тг.
2. $760 \cdot 0,7 = 532$ тг.

Ответ: 1) 874 тг; 2) 532 тг.

№ 1177

Собственная скорость катера 15,3 км/ч, скорость течения 2,4 км/ч. За 2 ч по течению катер прошёл $30%$ пути от $A$ до $B$. Найди расстояние. A. 120 км; B. 118 км; C. 125 км; D. 110 км.

Как думать. Сначала задача на движение, потом — число по его процентам.

Решение.

1. Скорость по течению: $15,3 + 2,4 = 17,7$ км/ч.
2. За 2 ч: $17,7 \cdot 2 = 35,4$ км. Это $30%$ расстояния.
3. Расстояние: $35,4 : 0,3 = 118$ км.

Ответ: 118 км (вариант B).

№ 1178

Метр ткани стоил 600 тг. Цену снизили на $10%$, потом новую цену — ещё на $20%$. Сколько стоят 3 м по последней цене?

Решение.

1. После первого снижения: $600 \cdot 0,9 = 540$ тг.
2. После второго: $540 \cdot 0,8 = 432$ тг.
3. За 3 м: $432 \cdot 3 = 1296$ тг.

Ответ: 1296 тг.

№ 1179

За первый час автобус прошёл $40%$ пути, и ему осталось 90 км. Какова длина пути?

Решение.

1. Осталось $60%$ пути — это 90 км.
2. $90 : 0,6 = 150$ км.

Ответ: 150 км.

№ 1180

Товар за 3750 тг подешевел на $14%$, а потом новая цена выросла на $8%$. Какой стала цена?

Решение.

1. $3750 \cdot 0,86 = 3225$ тг.
2. $3225 \cdot 1,08 = 3483$ тг.

Ответ: 3483 тг.

⚠️ Частая ошибка. Посчитать «$-14% + 8% = -6%$» и ответить $3750 \cdot 0,94 = 3525$ тг. Второе изменение считается от новой цены 3225 тг, поэтому ответ другой.

Уровень C

№ 1181

Санки в январе стоили 6400 тг. В феврале они подешевели на $15%$, в марте — ещё на $20%$. Сколько они стоят в марте? Сколько сэкономит покупатель, если купит санки в марте, а не в январе?

Решение.

1. Февраль: $6400 \cdot 0,85 = 5440$ тг.
2. Март: $5440 \cdot 0,8 = 4352$ тг.
3. Экономия: $6400 - 4352 = 2048$ тг.

Ответ: в марте 4352 тг; экономия 2048 тг.

№ 1182

Привезли 30 цистерн нефти, по $16\frac{1}{2}$ т в каждой. В первый день отправили $30%$ нефти, во второй — $80%$ остатка. Сколько нефти осталось?

Как думать. Во второй день $100%$ — уже не вся нефть, а остаток.

Решение.

1. Всего нефти: $30 \cdot 16,5 = 495$ т.
2. После первого дня осталось $70%$: $495 \cdot 0,7 = 346,5$ т.
3. После второго дня осталось $20%$ от этого: $346,5 \cdot 0,2 = 69,3$ т.

Ответ: 69,3 т.

№ 1183

Участок — 850 га. Берёза занимает $60%$ площади, тополь — $70%$ остатка, сосна — $\frac{2}{3}$ нового остатка, на остальном — фруктовые деревья. Какова их площадь? A. 38 га; B. 34 га; C. 32 га; D. 35 га.

Решение.

1. Берёза: $850 \cdot 0,6 = 510$ га. Остаток $850 - 510 = 340$ га.
2. Тополь: $340 \cdot 0,7 = 238$ га. Остаток $340 - 238 = 102$ га.
3. Сосна: $102 \cdot \frac{2}{3} = 68$ га. Остаток $102 - 68 = 34$ га.

Ответ: 34 га (вариант B).

№ 1184

3 000 000 тг положили на два вклада: под $5%$ и под $4%$ годовых. Через год стало 3 138 000 тг. Сколько денег положили под $5%$?

Как думать. Представим, что все деньги положили под $4%$, и посмотрим, сколько дохода «не хватает».

Решение.

1. Доход за год: $3,138,000 - 3,000,000 = 138,000$ тг.
2. Если бы всё лежало под $4%$: $3,000,000 \cdot 0,04 = 120,000$ тг.
3. Лишние $138,000 - 120,000 = 18,000$ тг дал вклад под $5%$: на нём каждый год на $1%$ больше.
4. $1%$ этого вклада — 18 000 тг, весь вклад: $18,000 \cdot 100 = 1,800,000$ тг.

Проверка: $1,800,000 \cdot 0,05 + 1,200,000 \cdot 0,04 = 90,000 + 48,000 = 138,000$ тг.

Ответ: 1 800 000 тг.

👨‍👩‍👧 Родителю. Приём «представим, что всё одинаковое, и найдём разницу» встречается и в № 1167. Если ребёнку трудно, разберите простой пример: 10 монет по 5 и 10 тг, всего 70 тг. Если бы все были по 5 — 50 тг. Лишние 20 тг дают монеты по 10, каждая на 5 больше, значит, их 4.