7.1. Угол. Градусная мера угла

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава VII: Углы. Многоугольники. Страницы 133–137.

Чему научишься

• Узнавать угол: два луча из одной точки.
• Правильно называть угол — так, чтобы вершина стояла посередине: $\angle AOB$.
• Понимать, что такое градус и почему развёрнутый угол — это $180^\circ$.
• Делить угол пополам биссектрисой.
• Находить угол, складывая и вычитая другие углы.

Разминка

• Сколько углов у классной доски? А у прямоугольного стола? По 4.
• Поставь точку $O$ и проведи из неё два луча. Что получилось? Угол! У него две стороны (это лучи) и одна вершина (точка $O$).
• Можно ли сравнить два угла? Можно: один угол бывает «шире», другой «уже». Как именно сравнивать и измерять — узнаешь в этом и следующих уроках.

Разбираемся

Угол — это два луча из одной точки

Раскрой ножницы. Два лезвия выходят из винтика — вот тебе и угол. В математике вместо лезвий — лучи, а винтик — это вершина.

Поставь точку $O$ и проведи лучи $OA$ и $OB$. Лучи $OA$ и $OB$ — стороны угла, точка $O$ — его вершина.

💡 Стороны угла — лучи, а не отрезки. На рисунке мы рисуем их короткими, но мысленно они уходят бесконечно далеко.

Как назвать угол и не запутаться

Вместо слова «угол» пишут значок $\angle$. Есть два способа:

1. Тремя буквами: $\angle AOB$. Первая буква — точка на одной стороне, средняя — вершина, последняя — точка на другой стороне. $\angle BOA$ — это тот же угол.
2. Одной буквой у вершины: $\angle O$. Так можно, если из вершины выходят только два луча.

⚠️ Частая ошибка. Пишут $\angle OAB$, ставя вершину первой. Но это уже совсем другой угол — с вершиной в точке $A$! Правило простое: вершина всегда в серединке.

Чем измерить «раскрытость»

Покрути угол сам: тяни за кружок на подвижном луче. Смотри, как меняется число.

Заметил? Длина лучей не меняется, а угол растёт. Значит, угол измеряют не длиной, а тем, насколько широко раскрыты стороны.

Развёрнутый угол и градус

Поставь на прямой точку $O$. Она делит прямую на два луча, которые смотрят в разные стороны. Такие лучи называют дополнительными, а угол между ними — развёрнутым. Он похож на книгу, раскрытую и положенную на стол плашмя.

Теперь главный секрет. Разрежем развёрнутый угол мысленно на 180 одинаковых кусочков. Один такой кусочек — это один градус, пишут $1^\circ$.

📌 Развёрнутый угол равен $180^\circ$. Величину угла в градусах называют градусной мерой: например, $\angle AOB = 60^\circ$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Раскройте книгу и положите на стол плашмя — это $180^\circ$. Прикройте наполовину — примерно $90^\circ$. Так ребёнок почувствует, что угол — это «раствор» между сторонами, а не их длина.

Биссектриса режет угол пополам

Представь кусок торта, который надо честно поделить с другом. Разрез из самой вершины, который делит угол на две равные части, называется биссектрисой. Слово латинское: «рассекающая надвое».

Например, $\angle EOK = 52^\circ$, а $OF$ — биссектриса. Тогда $\angle EOF = \angle FOK = 52^\circ : 2 = 26^\circ$.

А можно и наоборот: если половинка $30^\circ$, то весь угол $30^\circ \cdot 2 = 60^\circ$.

Углы складываются, как кусочки пиццы

Из точки $B$ выходят три луча: $BA$, $BD$ и $BC$, причём $BD$ — посередине. Тогда большой угол состоит из двух маленьких:

$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$.

Если $\angle ABD = 55^\circ$ и $\angle DBC = 30^\circ$, то $\angle ABC = 55^\circ + 30^\circ = 85^\circ$. А неизвестный кусочек находят вычитанием: $\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC$.

⚠️ Частая ошибка. Видят на рисунке прямую с точкой и забывают, что там «спрятан» развёрнутый угол в $180^\circ$. Все углы вдоль прямой с одной стороны вместе дают $180^\circ$.

Секрет циферблата

Циферблат — это целый круг, $360^\circ$. Между соседними числами (скажем, 12 и 1) — $360^\circ : 12 = 30^\circ$. Минутная стрелка за минуту проходит $360^\circ : 60 = 6^\circ$. А часовая за час проходит $30^\circ$, то есть за минуту — всего $30^\circ : 60 = 0{,}5^\circ$.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какую фигуру называют углом? Как его обозначают? Два луча с общим началом. Пишут тремя буквами с вершиной посередине ($\angle AOB$) или одной буквой у вершины ($\angle O$).
• Что такое стороны и вершина угла? Стороны — лучи, из которых состоит угол. Вершина — их общее начало.
• Как называется единица измерения углов? Градус ($1^\circ$).
• Что называют биссектрисой угла? Луч из вершины, который делит угол на два равных угла.
• Какой угол называют развёрнутым? Угол, стороны которого — дополнительные лучи: они лежат на одной прямой и смотрят в разные стороны. Он равен $180^\circ$.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 1185

Дан угол $NOP$, внутри он закрашен. Какие точки принадлежат углу, а какие нет?

Как думать. Смотрим на рисунок: точки $A$ и $B$ сидят внутри закрашенной части, точка $C$ — прямо на стороне $OP$, а $D$ и $E$ — снаружи.

Решение. Точка принадлежит углу, если она внутри или на стороне. Подходят $A$, $B$ и $C$. Точки $D$ и $E$ — мимо.

Ответ: принадлежат углу (лежат внутри или на стороне) точки $A$, $B$, $C$; не принадлежат — точки $D$ и $E$.

Уровень A

№ 1186

На рисунке три угла. Назови их и запиши обозначения.

Как думать. Найди вершину каждого угла и поставь её букву в середину записи.

Решение.

1. Вершина $O$, стороны $OA$ и $OB$: $\angle AOB$ (или $\angle O$). Похож на прямой.
2. Вершина $O$, стороны $OD$ и $OE$: $\angle DOE$ (или $\angle O$). Острый.
3. Вершина $L$, стороны $LK$ и $LN$: $\angle KLN$ (или $\angle L$). Тупой.

Ответ: $\angle AOB$, $\angle DOE$, $\angle KLN$.

№ 1187

Начерти дополнительные лучи, обозначь развёрнутый угол, назови его стороны и вершину.

Как думать. Дополнительные лучи выходят из одной точки и лежат на одной прямой в разные стороны. Пусть общее начало — точка $S$, а лучи — $SP$ и $ST$.

Решение.

1. Проведи прямую и отметь на ней точку $S$.
2. Слева от $S$ поставь точку $P$, справа — точку $T$.
3. Лучи $SP$ и $ST$ — дополнительные. Вместе они дают развёрнутый угол $PST$.

Ответ: развёрнутый угол $\angle PST = 180^\circ$; вершина — точка $S$; стороны — лучи $SP$ и $ST$.

№ 1188

Начерти лучи $AB$, $AC$, $AD$ и назови три угла, сторонами которых они служат.

Как думать. Все три луча выходят из $A$, значит, $A$ — вершина каждого угла. Осталось перебрать пары лучей.

Решение. Пары: $AB$ и $AC$; $AC$ и $AD$; $AB$ и $AD$.

Ответ: $\angle BAC$, $\angle CAD$, $\angle BAD$.

№ 1189

Найди $\angle DOF$: а) точка $O$ на прямой $EF$, $\angle DOE = 40^\circ$; б) из $O$ выходят лучи $OD$, $ON$, $OK$, $OF$, причём $\angle DON = 40^\circ$, $\angle NOK = 50^\circ$, $\angle KOF = 20^\circ$.

Как думать. В а) спрятан развёрнутый угол — прямая $EF$. В б) большой угол собран из трёх кусочков.

Решение.

• а) $\angle EOF = 180^\circ$. Луч $OD$ режет его на две части: $\angle DOF = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.
• б) Складываем кусочки: $\angle DOF = 40^\circ + 50^\circ + 20^\circ = 110^\circ$.

Ответ: а) $140^\circ$; б) $110^\circ$.

№ 1190

1) $OC$ — биссектриса угла $AOB$, $\angle AOC = 45^\circ$. Найди $\angle AOB$. 2) Биссектриса образует со стороной угол $35^\circ$. Найди весь угол.

Как думать. Биссектриса режет угол пополам. Знаешь половинку — умножь на 2.

Решение.

1. $\angle AOB = 45^\circ \cdot 2 = 90^\circ$.
2. $35^\circ \cdot 2 = 70^\circ$.

Ответ: 1) $90^\circ$; 2) $70^\circ$.

Уровень B

№ 1191

Какой угол образуют стрелки часов ровно в 6 часов? Как он называется?

Как думать. Минутная стрелка смотрит на 12, часовая — на 6. Посчитай промежутки между ними.

Решение. Стрелки лежат на одной прямой и смотрят в разные стороны. От 12 до 6 — 6 промежутков по $30^\circ$: $6 \cdot 30^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $180^\circ$, развёрнутый угол.

№ 1192

$\angle MOK = 120^\circ$, внутри него луч $OD$. $\angle MOD$ больше $\angle DOK$ на $50^\circ$. Найди $\angle DOK$ с помощью уравнения.

Как думать. Два кусочка вместе дают $120^\circ$, и один больше другого на $50^\circ$. Это просится в уравнение.

Решение.

1. Пусть $\angle DOK = x^\circ$. Тогда $\angle MOD = (x + 50)^\circ$.
2. Вместе они дают $\angle MOK$: $x + x + 50 = 120$.
3. $2x = 70$, $x = 35$.

Проверка: $\angle MOD = 85^\circ$; $85^\circ + 35^\circ = 120^\circ$, а $85^\circ - 35^\circ = 50^\circ$. Всё сходится.

Ответ: $\angle DOK = 35^\circ$.

№ 1193

На прямой $EF$ точка $O$, из неё лучи $ON$ (влево вверх) и $OP$ (вправо вверх). $\angle EOP = 110^\circ$, $\angle NOF = 130^\circ$. Найди $\angle NOP$.

Как думать. Угол $EOF$ развёрнутый. Найдём крайние кусочки, а средний — то, что останется от $180^\circ$.

Решение.

1. $\angle POF = 180^\circ - \angle EOP = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.
2. $\angle EON = 180^\circ - \angle NOF = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.
3. $\angle NOP = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ$.

Есть путь короче. Углы $EOP$ и $NOF$ вместе накрывают весь развёрнутый угол, а угол $NOP$ попал в оба — посчитан дважды. Поэтому $\angle NOP = 110^\circ + 130^\circ - 180^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $\angle NOP = 60^\circ$.

№ 1194

$\angle EOF = 90^\circ$, внутри луч $OD$. $\angle EOD$ в 2 раза меньше $\angle DOF$. Найди оба угла.

Как думать. Маленький кусочек — одна часть, большой — две части. Всего три равные части на $90^\circ$.

Решение.

1. Пусть $\angle EOD = x^\circ$, тогда $\angle DOF = 2x^\circ$.
2. $x + 2x = 90$, $3x = 90$, $x = 30$.
3. $\angle DOF = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $\angle EOD = 30^\circ$, $\angle DOF = 60^\circ$.

№ 1195

На прямой $AB$ точка $O$, из неё лучи $OE$ и $OD$. $\angle EOD = 80^\circ$, а $\angle AOE = \angle DOB$. Найди $\angle AOE$.

Как думать. Развёрнутый угол разбит на три кусочка. Средний известен, а два крайних — близнецы.

Решение.

1. $\angle AOB = 180^\circ$. Без угла $EOD$ остаётся $180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.
2. Эти $100^\circ$ делим поровну между $\angle AOE$ и $\angle DOB$: $100^\circ : 2 = 50^\circ$.

Ответ: $\angle AOE = 50^\circ$.

Уровень C

№ 1196

Часы показывают 1 ч 25 мин. Найди угол между стрелками.

Как думать. Задача повышенной трудности. Хитрость в том, что часовая стрелка тоже ползёт и в 1:25 стоит уже не ровно на «1». Отсчитываем каждую стрелку от числа 12.

Решение.

1. Минутная стрелка на 25 минутах: $25 \cdot 6^\circ = 150^\circ$ от 12.
2. Часовая за 1 час прошла $30^\circ$, за 25 минут — ещё $25 \cdot 0{,}5^\circ = 12{,}5^\circ$. Всего $42{,}5^\circ$ от 12.
3. Между стрелками: $150^\circ - 42{,}5^\circ = 107{,}5^\circ$.

Ответ: $107{,}5^\circ$.

№ 1197

$\angle AOB = 50^\circ$, $\angle BOC = 70^\circ$, у них общая сторона $OB$. Найди угол между их биссектрисами. Варианты: A. $55^\circ$; B. $48^\circ$; C. $60^\circ$; D. $65^\circ$.

Как думать. Каждая биссектриса отрезает от общей стороны $OB$ половинку своего угла.

Решение.

1. Биссектриса угла $AOB$ отходит от $OB$ на $50^\circ : 2 = 25^\circ$.
2. Биссектриса угла $BOC$ — на $70^\circ : 2 = 35^\circ$ в другую сторону.
3. Между биссектрисами: $25^\circ + 35^\circ = 60^\circ$.

Красиво: это ровно половина всего угла $AOC$: $(50^\circ + 70^\circ) : 2 = 60^\circ$.

Ответ: C. $60^\circ$.

№ 1198

$\angle AOB = 110^\circ$, внутри лучи $OC$ и $OD$ (от $OB$ идут так: $OD$, потом $OC$, потом $OA$). $\angle AOD = 80^\circ$, $\angle COB = 50^\circ$. Найди $\angle COD$.

Как думать. Углы $AOD$ и $COB$ «наезжают» друг на друга: у обоих внутри есть угол $COD$.

Решение.

1. $\angle AOD + \angle COB = 80^\circ + 50^\circ = 130^\circ$.
2. Это больше всего угла $AOB$ ровно на $\angle COD$, ведь его посчитали дважды: $\angle COD = 130^\circ - 110^\circ = 20^\circ$.

Проверка: $\angle AOC = 80^\circ - 20^\circ = 60^\circ$, $\angle DOB = 50^\circ - 20^\circ = 30^\circ$; $60^\circ + 20^\circ + 30^\circ = 110^\circ$. Верно.

Ответ: $\angle COD = 20^\circ$.

№ 1199

На прямой $AB$ точка $O$, лучи $OE$ и $OD$. $\angle DOB$ — это 25% угла $AOB$, а $\angle EOD$ больше $\angle DOB$ на $15^\circ$. Найди $\angle AOE$.

Как думать. $\angle AOB$ развёрнутый, а 25% — это четверть.

Решение.

1. $\angle AOB = 180^\circ$.
2. $\angle DOB = 180^\circ : 4 = 45^\circ$.
3. $\angle EOD = 45^\circ + 15^\circ = 60^\circ$.
4. $\angle AOE = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ$.

Ответ: $\angle AOE = 75^\circ$.

Шпаргалка

• Угол — два луча с общим началом. Лучи — стороны, начало — вершина.
• В записи $\angle AOB$ вершина — средняя буква.
• Развёрнутый угол равен $180^\circ$; $1^\circ$ — его $\frac{1}{180}$ часть.
• Биссектриса делит угол пополам.
• Если луч лежит внутри угла, то большой угол равен сумме двух частей.

Мини-тест