7.2. Транспортир. Измерение и построение углов

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава VII: Углы. Многоугольники. Страницы 139–142.

Чему научишься

• Понимать, как устроен транспортир: полукруг со шкалой от $0^\circ$ до $180^\circ$ и центр.
• Измерять угол и выбирать правильный ряд чисел.
• Строить угол нужной величины: $30^\circ$, $45^\circ$, $140^\circ$ — любой.
• Находить углы между стрелками часов.

Разминка

• Измерь угол $EOD$: сторона $OD$ идёт вправо, сторона $OE$ — вверх и чуть влево. Угол чуть больше прямого. Центр транспортира — в точку $O$, нуль — на луч $OD$. Должно выйти немного больше $90^\circ$ (примерно $95^\circ$–$100^\circ$).
• Как начертить $\angle ABC = 170^\circ$? Проведи луч $BA$. Центр транспортира — в точку $B$, нуль — на луч $BA$. По тому же ряду найди $170$, поставь точку $C$ и проведи луч $BC$. Угол почти развёрнутый: до $180^\circ$ не хватает $10^\circ$.

Разбираемся

Как устроен транспортир

Транспортир — это линейка с полукругом. На полукруге шкала от $0^\circ$ до $180^\circ$. Самое мелкое деление — $1^\circ$, деления по $5^\circ$ длиннее, а через каждые $10^\circ$ стоят числа.

На линейке есть маленький штрих — центр полукруга. Его всегда ставят в вершину угла.

💡 Чисел на шкале два ряда: один идёт от $0$ до $180$ слева направо, другой — справа налево. Так можно мерить углы, открытые и вправо, и влево.

Измеряем угол за 4 шага

Пусть надо измерить $\angle AOB$.

1. Центр транспортира — в вершину $O$.
2. Поверни транспортир, чтобы линия нуля легла на сторону $OA$.
3. Посмотри, через какой штрих проходит вторая сторона $OB$. Считай по тому ряду, где нуль стоит на стороне $OA$.
4. Запиши ответ, например: $\angle AOB = 60^\circ$.

Если сторона короткая и не дотягивается до шкалы, продли её линейкой.

⚠️ Частая ошибка. Читают не тот ряд и вместо $60^\circ$ пишут $120^\circ$. Числа $60$ и $120$ стоят на одном штрихе! Спасает прикидка: острый угол (уже уголка тетради) — меньше $90^\circ$, тупой — больше.

Строим угол сами

Пусть нужно построить $\angle ABC = 120^\circ$.

1. Проведи луч $BA$.
2. Положи транспортир: центр — в $B$, линия нуля — по лучу $BA$.
3. По ряду, где нуль на $BA$, найди $120$ и поставь у штриха точку $C$.
4. Убери транспортир и проведи луч $BC$.

Получился тупой угол $ABC = 120^\circ$. Попробуй теперь сам — потяни подвижный луч:

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка начертить угол $40^\circ$, а потом $140^\circ$ от того же луча. Если оба вышли одинаковыми «на глаз», ребёнок оба раза читал один и тот же ряд. Пусть сам объяснит, почему $140^\circ$ — тупой угол.

Углы прячутся в часах

Полный оборот стрелки — $360^\circ$. Между соседними числами на циферблате $30^\circ$. За 15 минут (четверть оборота) минутная стрелка поворачивается на $90^\circ$, за полчаса — на $180^\circ$.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Для чего служит транспортир? Чтобы измерять углы и строить углы нужной величины.
• На сколько делений разделена шкала? На 180 делений по $1^\circ$.
• Как найти градусную меру угла транспортиром? Центр — в вершину, нуль шкалы — на одну сторону; вторая сторона покажет величину по тому же ряду.
• Как построить угол заданной величины? Провести луч, приложить транспортир центром к началу луча и нулём вдоль луча, отметить точку у нужного числа и провести через неё второй луч.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 1200

Четыре цепочки: начни с числа 7, 9, 5 или 6 и выполняй действия по очереди, каждое — над предыдущим результатом.

Как думать. Дроби удобно сразу превратить в десятичные: $\frac{3}{5} = 0{,}6$, $\frac{4}{5} = 0{,}8$, $\frac{3}{4} = 0{,}75$, $2\frac{1}{2} = 2{,}5$.

Решение.

Ответ: 12; 5; 4,2; 2.

Уровень A

№ 1201

Измерь транспортиром три угла на рисунке и запиши их величины.

Как думать. Каждый угол меряем по одному правилу: центр — в вершину, нуль — на горизонтальную сторону, читаем штрих на второй стороне. Сначала прикинь: острый, прямой или тупой?

Решение.

1. $\angle ABC$: сторона $BC$ идёт влево, $BA$ — влево вверх. Угол острый, около $30^\circ$.
2. $\angle DOE$: сторона $OD$ вправо, $OE$ — влево вверх. Угол тупой, больше $90^\circ$; читаем по ряду, где нуль на $OD$.
3. $\angle EOF$: стороны смотрят вверх и вправо — прямой угол, $90^\circ$.

Ответ: 1) около $30^\circ$; 2) тупой угол, величина по измерению (больше $90^\circ$); 3) $90^\circ$.

№ 1202

1) Начерти любой угол $AOB$, измерь и запиши. 2) Построй $\angle AOB = 30^\circ$, $\angle DEF = 45^\circ$, $\angle KLN = 140^\circ$.

Как думать. Строим всегда одинаково: первый луч, транспортир центром в вершину и нулём по лучу, точка у нужного числа, второй луч.

Решение.

1. Проведи из $O$ два любых луча $OA$ и $OB$ и измерь угол. Например, $\angle AOB = 65^\circ$ — у каждого будет своё число.
2. Проведи первый луч из вершины ($OA$, $ED$, $LK$), приложи транспортир и отметь точку у числа $30$, $45$ или $140$. Проведи второй луч.
   • $\angle AOB = 30^\circ$ — узкий острый угол;
   • $\angle DEF = 45^\circ$ — половинка прямого угла;
   • $\angle KLN = 140^\circ$ — тупой, до развёрнутого не хватает $40^\circ$.

Ответ: построены углы $30^\circ$, $45^\circ$, $140^\circ$; проверьте каждый повторным измерением.

№ 1203

Построй $\angle DOE = 120^\circ$ и раздели его лучами $OF$ и $OL$ на 3 равных угла. Найди $\angle FOL$.

Как думать. Три равных кусочка из $120^\circ$ — каждый по $120^\circ : 3$. А строить удобно от одного луча: $40^\circ$, $80^\circ$, $120^\circ$.

Решение.

1. Каждый из трёх углов: $120^\circ : 3 = 40^\circ$.
2. Построй луч $OD$. Транспортиром отметь от него $40^\circ$ (луч $OF$), $80^\circ$ (луч $OL$) и $120^\circ$ (луч $OE$).
3. $\angle FOL$ — средний кусочек: $80^\circ - 40^\circ = 40^\circ$.

Ответ: $\angle FOL = 40^\circ$.

№ 1204

Измерь углы треугольника $ABC$ и найди их сумму.

Как думать. Меряй каждый угол отдельно: центр транспортира — в его вершину. Стороны треугольника и есть стороны угла.

Решение. По рисунку угол $A$ почти прямой (около $90^\circ$), угол $B$ маленький острый, угол $C$ острый. Измерь и сложи. Должно выйти $180^\circ$ — или очень близко, например $179^\circ$ или $181^\circ$: транспортир не идеально точный.

🌟 Это не случайность! У любого треугольника — маленького, огромного, кривого — сумма углов всегда $180^\circ$. Проверь на трёх разных треугольниках.

Ответ: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Это верно для любого треугольника.

№ 1205

Вставь числа вместо звёздочек: 1) $\frac{7}{} - \frac{}{4} = \frac{1}{8}$; 2) $\frac{7}{} + \frac{3}{} - \frac{4}{5} = \frac{1}{2}$.

Как думать. Подбираем знаменатели так, чтобы дроби легко приводились к знаменателю ответа.

Решение.

1. В ответе знаменатель 8. Пробуем $\frac{7}{8}$: $\frac{7}{8} - \frac{1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$. Значит, $\frac{7}{8} - \frac{3}{4} = \frac{1}{8}$. Других вариантов с цифрами нет.
2. Сначала найдём сумму двух первых дробей: $\frac{1}{2} + \frac{4}{5} = \frac{5}{10} + \frac{8}{10} = \frac{13}{10}$. Нужно $\frac{7}{} + \frac{3}{} = \frac{13}{10}$. Подходит $\frac{7}{10} + \frac{3}{5} = \frac{7}{10} + \frac{6}{10} = \frac{13}{10}$. Первая «звёздочка» здесь — число 10: с одними однозначными числами равенство не получается.

Проверка 2): $\frac{7}{10} + \frac{3}{5} - \frac{4}{5} = \frac{7}{10} - \frac{1}{5} = \frac{7}{10} - \frac{2}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. Верно.

Ответ: 1) $\frac{7}{8} - \frac{3}{4} = \frac{1}{8}$; 2) $\frac{7}{10} + \frac{3}{5} - \frac{4}{5} = \frac{1}{2}$.

Уровень B

№ 1206

На часах 2 ч. Какое время будет, если минутная стрелка повернётся на 1) $90^\circ$; 2) $180^\circ$?

Как думать. Минутная стрелка за 1 минуту поворачивается на $6^\circ$. Узнаем, сколько минут «помещается» в нужный поворот.

Решение.

1. $90^\circ : 6^\circ = 15$ минут. Время 2 ч 15 мин.
2. $180^\circ : 6^\circ = 30$ минут. Время 2 ч 30 мин.

Ответ: 1) 2 ч 15 мин; 2) 2 ч 30 мин.

№ 1207

$\angle AOB = 87^\circ$, внутри луч $OC$, $\angle BOC = 52^\circ$. Найди $\angle AOC$ и сделай рисунок.

Решение.

1. Рисунок: построй $\angle AOB = 87^\circ$, а от луча $OB$ отложи внутрь $52^\circ$ — это луч $OC$.
2. $\angle AOC = \angle AOB - \angle BOC = 87^\circ - 52^\circ = 35^\circ$.

Ответ: $\angle AOC = 35^\circ$.

№ 1208

Луч $OK$ смотрит вверх, $OL$ — вправо, $ON$ — между ними. Измерь углы $KOL$, $KON$, $NOL$ и докажи, что $\angle KOL - \angle KON = \angle NOL$.

Как думать. Целое минус одна часть — это другая часть. Осталось увидеть, что $\angle KOL$ — целое.

Решение.

1. $\angle KOL$ — между вертикальным и горизонтальным лучами, это $90^\circ$.
2. Измерь $\angle KON$ и $\angle NOL$. Например, если $\angle KON = 50^\circ$, то должно выйти $\angle NOL = 40^\circ$.
3. Почему так всегда: луч $ON$ лежит внутри $\angle KOL$ и делит его на две части. Значит, $\angle KOL = \angle KON + \angle NOL$. Убери одну часть — останется другая: $\angle KOL - \angle KON = \angle NOL$.

Ответ: $\angle KOL = 90^\circ$; $\angle KON + \angle NOL = 90^\circ$, поэтому равенство выполняется.

№ 1209

Какие утверждения верные? 1) Величина угла зависит от длины сторон. 2) Луч, делящий угол пополам, — биссектриса. 3) Стороны угла — лучи. 4) Величина угла не зависит от длины сторон. 5) Стороны угла — отрезки.

Решение.

1. Неверно. Продли стороны — угол не изменится.
2. Верно. Это и есть биссектриса.
3. Верно. Стороны угла — лучи.
4. Верно. Ровно то, что опровергает пункт 1.
5. Неверно. Стороны — лучи, а не отрезки.

Ответ: верны утверждения 2, 3, 4.

№ 1210

Измерь углы четырёхугольника $ABCD$ и найди $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D$.

Как думать. Меряем каждый угол, ставя центр транспортира в вершину. Подсказка из № 1204: четырёхугольник можно разрезать на два треугольника.

Решение. По рисунку углы $C$ и $D$ близки к прямым, угол $A$ острый, угол $B$ тупой. Сложи четыре результата — должно выйти $360^\circ$ (с маленькой погрешностью).

Почему $360^\circ$: диагональ $AC$ режет четырёхугольник на два треугольника, а у каждого сумма углов $180^\circ$. $180^\circ \cdot 2 = 360^\circ$.

Ответ: $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$.

№ 1211

Упрости и найди значение: 1) $2(x + 7) + 4x$ при $x = 5$; 2) $9(3 - y) + 15$ при $y = 2$; 3) $1{,}5(y + 9) + 3{,}5$ при $y = 4$; 4) $\frac{3}{4}(x - 6) + 2$ при $x = 8$.

Как думать. Раскрываем скобки, собираем похожие слагаемые, потом подставляем число.

Решение.

1. $2(x + 7) + 4x = 2x + 14 + 4x = 6x + 14$; при $x = 5$: $30 + 14 = 44$.
2. $9(3 - y) + 15 = 27 - 9y + 15 = 42 - 9y$; при $y = 2$: $42 - 18 = 24$.
3. $1{,}5(y + 9) + 3{,}5 = 1{,}5y + 13{,}5 + 3{,}5 = 1{,}5y + 17$; при $y = 4$: $6 + 17 = 23$.
4. $\frac{3}{4}(x - 6) + 2 = \frac{3}{4}x - 4{,}5 + 2 = \frac{3}{4}x - 2{,}5$; при $x = 8$: $6 - 2{,}5 = 3{,}5$.

Ответ: 1) 44; 2) 24; 3) 23; 4) 3,5.

Уровень C

№ 1212

Точка $O$ на прямой $EF$, из неё лучи $OK$, $OL$, $ON$, сверху лежит транспортир. Найди углы $EOK$, $KOL$, $LON$, $NOF$ и докажи, что вместе они дают $180^\circ$.

Как думать. Транспортир уже лежит как надо: центр в $O$, линейка по $EF$. Читаем по одному ряду, где нуль у луча $OE$. Каждый угол — разность соседних отметок.

Решение.

1. Запиши отметки лучей по ряду от $OE$: $OK$ — число $k$, $OL$ — число $l$, $ON$ — число $n$, $OF$ — $180$.
2. Тогда $\angle EOK = k$, $\angle KOL = l - k$, $\angle LON = n - l$, $\angle NOF = 180 - n$.
3. Складываем: $k + (l - k) + (n - l) + (180 - n) = 180$. Все промежуточные числа сократились.

Вот и доказательство: четыре угла вместе заполняют развёрнутый угол $EOF$, а он равен $180^\circ$.

Ответ: сумма четырёх углов равна $180^\circ$; сами углы — по отметкам на рисунке.

№ 1213

Прямые $a$ и $b$ пересекаются и дают углы 1, 2, 3, 4 (1 — сверху слева, 2 — сверху справа, 3 — снизу справа, 4 — снизу слева). Измерь $\angle 1$ и вычисли остальные. Запиши пары равных углов.

Как думать. Два соседних угла у пересекающихся прямых вместе дают развёрнутый угол, $180^\circ$. Достаточно измерить один — остальные вычисляются.

Решение.

1. Измерь $\angle 1$ транспортиром. Он острый.
2. Углы 1 и 2 — соседи на прямой $a$: $\angle 2 = 180^\circ - \angle 1$.
3. Углы 2 и 3 — соседи на прямой $b$: $\angle 3 = 180^\circ - \angle 2 = \angle 1$.
4. Углы 3 и 4 — соседи на прямой $a$: $\angle 4 = 180^\circ - \angle 3 = \angle 2$.

Пример: если $\angle 1 = 40^\circ$, то $\angle 2 = 140^\circ$, $\angle 3 = 40^\circ$, $\angle 4 = 140^\circ$.

Ответ: $\angle 2 = 180^\circ - \angle 1$, $\angle 3 = \angle 1$, $\angle 4 = \angle 2$; равные пары: $\angle 1 = \angle 3$, $\angle 2 = \angle 4$.

№ 1214

Найди угол между стрелками: 1) в 9 ч 10 мин (A. $145^\circ$; B. $150^\circ$; C. $130^\circ$; D. $125^\circ$); 2) в 10 ч 34 мин (A. $145^\circ$; B. $113^\circ$; C. $160^\circ$; D. $135^\circ$).

Как думать. Задача повышенной трудности. Отсчитываем каждую стрелку от 12 по ходу часов. Минутная: $6^\circ$ за минуту. Часовая: $30^\circ$ за каждый час и ещё $0{,}5^\circ$ за каждую минуту.

Решение.

1. 9 ч 10 мин.
   • Минутная: $10 \cdot 6^\circ = 60^\circ$.
   • Часовая: $9 \cdot 30^\circ + 10 \cdot 0{,}5^\circ = 270^\circ + 5^\circ = 275^\circ$.
   • Разность: $275^\circ - 60^\circ = 215^\circ$. Это больше $180^\circ$, поэтому берём угол с другой стороны: $360^\circ - 215^\circ = 145^\circ$.
2. 10 ч 34 мин.
   • Минутная: $34 \cdot 6^\circ = 204^\circ$.
   • Часовая: $10 \cdot 30^\circ + 34 \cdot 0{,}5^\circ = 300^\circ + 17^\circ = 317^\circ$.
   • Разность: $317^\circ - 204^\circ = 113^\circ$.

Ответ: 1) A. $145^\circ$; 2) B. $113^\circ$.

№ 1215

Поезд длиной 480 м проезжает мимо семафора за 32 с, а через мост — за 52 с. Найди длину моста. Варианты: A. 400 м; B. 350 м; C. 300 м; D. 380 м.

Как думать. Мимо семафора поезд проходит путь, равный своей длине. А через мост — длину моста плюс свою: от въезда головы до выезда хвоста.

Решение.

1. Скорость поезда: $480 : 32 = 15$ м/с.
2. За 52 с поезд проходит $15 \cdot 52 = 780$ м.
3. Длина моста: $780 - 480 = 300$ м.

Ответ: C. 300 м.

Шпаргалка

• Центр транспортира — в вершину угла, нулевая линия — по одной стороне.
• Читаем ряд, у которого нуль лежит на этой стороне.
• Прикидка: острый угол меньше $90^\circ$, тупой — больше.
• Чтобы построить угол, проводим луч, отмечаем точку у нужного числа и проводим второй луч.
• На часах: между соседними числами $30^\circ$; минутная стрелка — $6^\circ$ в минуту, часовая — $0{,}5^\circ$ в минуту.

Мини-тест