7.3. Сравнение углов. Виды углов. Чертежный треугольник

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава VII: Углы. Многоугольники. Страницы 143–149.

Чему научишься

• Сравнивать углы: наложением и по градусам.
• Отличать острый, прямой, тупой, развёрнутый и полный углы.
• Строить прямой угол чертёжным треугольником.
• Находить неизвестный угол, если рядом есть прямой, развёрнутый или полный.

Разминка

• Измерь три угла. $\angle AOB$ отмечен квадратиком — это $90^\circ$. У $\angle EKD$ сторона $KE$ идёт влево, а $KD$ — вправо вверх, значит, угол тупой (больше $90^\circ$). $\angle NOF$ — острый (меньше $90^\circ$). Точные числа для $\angle EKD$ и $\angle NOF$ покажет транспортир.
• Сравни их. $\angle AOB < \angle EKD$; $\angle AOB > \angle NOF$.
• Какой больше прямого, а какой меньше? Больше угла $AOB$ — угол $EKD$, меньше — угол $NOF$.

Разбираемся

Как узнать, какой угол больше

Есть два способа.

Наложением. Переведи один угол на кальку и положи копию на другой угол: вершина к вершине, сторона к стороне. Смотри на вторую сторону:

• совпала — углы равны;
• копия спряталась внутри другого угла — угол-копия меньше.

По градусам. Измерь оба угла. Больше тот, где больше градусов. Например, $\angle AOB = 30^\circ$, $\angle AOC = 70^\circ$, значит, $\angle AOB < \angle AOC$.

На чертеже равные углы помечают одинаковым числом дужек: у обоих по одной или у обоих по две.

⚠️ Частая ошибка. Думают, что больше тот угол, у которого стороны длиннее или дужка крупнее. Нет! Величина угла зависит только от того, насколько раскрыты стороны.

Пять «характеров» углов

Сложи лист с развёрнутым углом пополам так, чтобы его стороны совпали. Линия сгиба поделит $180^\circ$ на две равные части по $90^\circ$. Каждая — прямой угол. На чертеже его помечают квадратиком.

Теперь все углы раскладываются по полочкам. Покрути луч и посмотри, как меняется подпись:

Полный угол — это два развёрнутых, над прямой и под ней: $180^\circ \cdot 2 = 360^\circ$. Весь круг вокруг точки.

👨‍👩‍👧 Родителю. Поиграйте в «найди угол»: пусть ребёнок покажет в комнате прямой угол (угол стола, книги), острый (раскрытые ножницы), тупой (приоткрытая спинка раскладного стула). Спросите, чем проверить прямой угол без транспортира — уголком листа или чертёжным треугольником.

⚠️ Частая ошибка. Относят к тупым и развёрнутый угол — он ведь тоже больше прямого. Но тупой угол меньше $180^\circ$. Развёрнутый — отдельный вид.

Чертёжный треугольник — быстрый прямой угол

У чертёжного треугольника один угол прямой. С ним прямой угол строится за секунду.

Как построить прямой угол со стороной $OD$:

1. Приложи треугольник: вершина прямого угла — в точку $O$, одна сторона — по лучу $OD$.
2. Проведи карандашом луч $OC$ вдоль другой стороны.

Готово: $\angle COD = 90^\circ$.

Как решать задачи с «подсказками» на рисунке

Квадратик — значит, там $90^\circ$. Стороны на одной прямой — $180^\circ$. Углы заполнили весь круг вокруг точки — $360^\circ$. Дальше неизвестный угол находим сложением или вычитанием.

Пример: $\angle AOE = 110^\circ$ — тупой, $\angle BOE = 90^\circ$ — прямой, $\angle DOE = 30^\circ$ — острый. И сразу видно: $\angle DOE < \angle BOE < \angle AOE$.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какой угол называют прямым? Сколько в нём градусов? Половину развёрнутого угла; в нём $90^\circ$.
• Какой угол называют тупым? Угол больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.
• Какой угол называют острым? Угол меньше $90^\circ$.
• У каких углов одинаковая градусная мера? У равных — тех, что совпадают при наложении.
• Задание для самостоятельного изучения: сравни $\angle PKN$, $\angle AOB$ и $\angle DEF$ на рисунке. $\angle PKN = 40^\circ$ (острый), $\angle AOB = 90^\circ$ (прямой), $\angle DEF = 110^\circ$ (тупой). Поэтому $\angle PKN < \angle AOB < \angle DEF$.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 1216

1) Найди на рисунке прямой, тупой и острый углы. 2) Начерти острый и тупой углы и запиши их величины.

Как думать. Прямой узнаёшь по квадратику или по «вверх и вправо». Острый — уже уголка тетради, тупой — шире.

Решение.

1. $\angle AOB$ — стороны вверх и вправо, это прямой угол. $\angle CFN$ — лучи узко расходятся вправо вверх и вправо вниз, это острый угол. $\angle FNK$ — один луч влево, другой вправо вверх, это тупой угол.
2. Начерти, например, $\angle ABC = 50^\circ$ (острый, меньше $90^\circ$) и $\angle MNK = 130^\circ$ (тупой, больше $90^\circ$, меньше $180^\circ$). Строим транспортиром, как в уроке 7.2.

Ответ: 1) прямой — $\angle AOB$, острый — $\angle CFN$, тупой — $\angle FNK$; 2) у каждого свои углы, острый меньше $90^\circ$, тупой от $90^\circ$ до $180^\circ$.

№ 1217

Среди шести углов найди равные наложением (через кальку) и запиши равенства.

Как думать. Переведи один угол на кальку и прикладывай к остальным: вершина к вершине, сторона к стороне. А можно просто измерить все шесть транспортиром.

Решение. По рисунку: $\angle AOB$ и $\angle XYZ$ — острые, около $55^\circ$; $\angle KLM$ и $\angle NRS$ — тупые, около $110^\circ$. У углов $DEF$ (около $50^\circ$) и $PQR$ (около $40^\circ$) пары нет.

Ответ: $\angle AOB = \angle XYZ$; $\angle KLM = \angle NRS$.

№ 1218

1) Построй треугольником прямой угол $AOB$ и его биссектрису $OC$. Найди $\angle AOC$. 2) Начерти развёрнутый угол $EOK$ и его биссектрису $OF$. Найди $\angle EOF$. Какие углы получились? Сделай вывод.

Как думать. Биссектриса делит угол пополам: делим $90^\circ$ и $180^\circ$ на 2.

Решение.

1. Построй прямой угол $AOB$ по чертёжному треугольнику. Биссектрису проведи транспортиром: отметь от $OA$ число $45$. $\angle AOC = 90^\circ : 2 = 45^\circ$.
2. Проведи прямую, отметь на ней точку $O$ и концы $E$ и $K$. Биссектриса делит $180^\circ$ пополам: $\angle EOF = 180^\circ : 2 = 90^\circ$. Оба угла, $EOF$ и $FOK$, — прямые. Такую биссектрису можно построить и чертёжным треугольником.

Ответ: 1) $\angle AOC = 45^\circ$; 2) $\angle EOF = 90^\circ$, получились два прямых угла. Вывод: биссектриса развёрнутого угла делит его на два прямых угла.

№ 1219

$\angle AOB$ развёрнутый, $\angle AOC = 50^\circ$. Найди $\angle COB$ и сравни его с углами $AOC$ и $AOB$.

Решение.

1. $\angle COB = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.
2. $50^\circ < 130^\circ$, значит, $\angle AOC < \angle COB$.
3. $180^\circ > 130^\circ$, значит, $\angle AOB > \angle COB$.

Ответ: $\angle COB = 130^\circ$; 1) $\angle AOC < \angle COB$; 2) $\angle AOB > \angle COB$.

Уровень B

№ 1220

Какие углы образуют стрелки часов в 3 ч, 4 ч, 6 ч?

Как думать. Минутная стрелка в ровный час стоит на 12. Считаем промежутки до часовой — по $30^\circ$ каждый.

Решение.

• 3 ч: три промежутка, $3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$ — прямой угол.
• 4 ч: $4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$ — тупой угол.
• 6 ч: $6 \cdot 30^\circ = 180^\circ$ — развёрнутый угол.

Ответ: в 3 ч — прямой ($90^\circ$), в 4 ч — тупой ($120^\circ$), в 6 ч — развёрнутый ($180^\circ$).

№ 1221

Сравни три острых угла с вершинами $A$, $E$, $D$ и запиши ответ знаками неравенства.

Как думать. Наложи копию самого узкого угла на остальные или измерь все три транспортиром.

Решение. По рисунку самый узкий угол — с вершиной $E$ (около $30^\circ$), за ним угол с вершиной $D$ (около $37^\circ$), самый широкий — с вершиной $A$ (около $40^\circ$).

Ответ: $\angle E < \angle D < \angle A$ (или $\angle A > \angle D > \angle E$).

№ 1222

Найди $\angle EFK$: 1) $\angle EFN$ прямой, луч $FK$ внутри, $\angle KFN = 55^\circ$; 2) $\angle PFK = 115^\circ$, $\angle PFE$ прямой, луч $FE$ внутри угла $PFK$.

Как думать. Ищем «целое» угол и известную часть. В 1) целое — прямой угол, в 2) целое — $115^\circ$, а прямой — его часть.

Решение.

1. Прямой угол $EFN$ состоит из $\angle EFK$ и $\angle KFN$: $\angle EFK = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ$.
2. Угол $PFK$ состоит из прямого $\angle PFE$ и $\angle EFK$: $\angle EFK = 115^\circ - 90^\circ = 25^\circ$.

Ответ: 1) $35^\circ$; 2) $25^\circ$.

№ 1223

Найди $\angle DBE$: 1) $\angle ABC$ прямой, внутри лучи $BD$ и $BE$, $\angle ABD = 25^\circ$, $\angle EBC = 40^\circ$; 2) точки $A$, $B$, $E$ на одной прямой, $\angle ABC = 25^\circ$, $\angle CBD$ прямой. Сделай рисунок.

Как думать. В 1) целое — прямой угол из трёх кусочков. В 2) целое — развёрнутый, тоже из трёх.

Решение.

1. Прямой угол разбит на три части: $\angle DBE = 90^\circ - 25^\circ - 40^\circ = 25^\circ$.
2. Угол $ABE$ развёрнутый, тоже из трёх частей: $\angle DBE = 180^\circ - 25^\circ - 90^\circ = 65^\circ$.

Рисунок 1): построй прямой угол $ABC$ треугольником, от $BA$ отложи транспортиром $25^\circ$ (луч $BD$), от $BC$ — $40^\circ$ (луч $BE$). Рисунок 2): проведи прямую $AE$ и точку $B$ на ней, от $BA$ отложи $25^\circ$ (луч $BC$), затем от $BC$ треугольником — прямой угол (луч $BD$).

Ответ: 1) $\angle DBE = 25^\circ$; 2) $\angle DBE = 65^\circ$.

№ 1224

Какие утверждения верные? 1) Биссектриса развёрнутого угла делит его на острый и тупой. 2) Любой острый угол меньше любого тупого. 3) Угол — это фигура из любых двух лучей. 4) Биссектриса развёрнутого угла делит его на два прямых. 5) Угол — это фигура из двух лучей с общим началом.

Решение.

1. Неверно. Биссектриса делит развёрнутый угол на два равных по $90^\circ$, а не на острый и тупой.
2. Верно. Острый меньше $90^\circ$, тупой больше $90^\circ$.
3. Неверно. У лучей должно быть общее начало.
4. Верно. $180^\circ : 2 = 90^\circ$.
5. Верно. Так и определяют угол.

Ответ: верны утверждения 2, 4, 5.

№ 1225

Улитка ползёт по столбу высотой 11 м: днём поднимается на 3 м, ночью съезжает на 2 м. На какой день и в какое время суток она доберётся до верха?

Как думать. Задача на смекалку. За сутки улитка поднимается на $3 - 2 = 1$ м. Но в последний день она доползёт до верха днём — и съезжать ей уже не придётся. Многие отвечают «на 11-й день» и попадают в ловушку.

Решение.

1. Каждое утро улитка на высоте, равной числу прошедших суток: утром 2-го дня — 1 м, утром 3-го — 2 м, …, утром 9-го — 8 м.
2. За 9-й день она поднимается на 3 м: $8 + 3 = 11$ м. Это вершина!
3. Проверим 8-й день: утром 7 м, днём $7 + 3 = 10$ м — до верха ещё не хватает.

Ответ: на 9-й день, днём.

Уровень C

№ 1226

Полный угол с вершиной $O$ разделён на углы $AOB$, $BOC$, $AOC$. $\angle AOB + \angle BOC = 220^\circ$, $\angle BOC + \angle AOC = 290^\circ$. Найди все три угла.

Как думать. Три угла вместе — полный угол, $360^\circ$. Если знаешь сумму двух, третий — это то, что осталось.

Решение.

1. $\angle AOC = 360^\circ - (\angle AOB + \angle BOC) = 360^\circ - 220^\circ = 140^\circ$.
2. $\angle AOB = 360^\circ - (\angle BOC + \angle AOC) = 360^\circ - 290^\circ = 70^\circ$.
3. $\angle BOC = 220^\circ - 70^\circ = 150^\circ$.

Проверка: $70^\circ + 150^\circ + 140^\circ = 360^\circ$. Верно.

Ответ: $\angle AOB = 70^\circ$, $\angle BOC = 150^\circ$, $\angle AOC = 140^\circ$.

№ 1227

$\angle EKF = 120^\circ$, внутри лучи $KL$ и $KN$. $KN$ — биссектриса $\angle LKF$, $\angle NKF = 37^\circ$. Найди $\angle EKL$. Варианты: A. $48^\circ$; B. $46^\circ$; C. $42^\circ$; D. $53^\circ$.

Как думать. Биссектриса подсказывает весь угол $LKF$, а остаток от $120^\circ$ — искомый.

Решение.

1. $\angle LKF = 37^\circ \cdot 2 = 74^\circ$.
2. $\angle EKL = 120^\circ - 74^\circ = 46^\circ$.

Ответ: B. $46^\circ$.

№ 1228

$OC$ — биссектриса развёрнутого угла $AOB$, $\angle EOF$ прямой, $\angle EOC = 30^\circ$, луч $OC$ лежит между $OE$ и $OF$. Найди $\angle AOE$, $\angle COF$, $\angle FOB$ и запиши равные углы.

Как думать. Биссектриса развёрнутого угла делит его на два прямых: $\angle AOC = \angle COB = 90^\circ$. Лучи на рисунке идут по порядку: $OA$, $OE$, $OC$, $OF$, $OB$.

Решение.

1. $\angle AOE = \angle AOC - \angle EOC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
2. $\angle COF = \angle EOF - \angle EOC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
3. $\angle FOB = \angle COB - \angle COF = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Проверка: $60^\circ + 30^\circ + 60^\circ + 30^\circ = 180^\circ$. Верно.

Ответ: $\angle AOE = 60^\circ$, $\angle COF = 60^\circ$, $\angle FOB = 30^\circ$. Равные углы: $\angle AOE = \angle COF$, $\angle EOC = \angle FOB$.

№ 1229

Прямые $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $O$. $OE$ — биссектриса $\angle AOB$, $OK$ — биссектриса $\angle AOC$, $\angle AOE = 65^\circ$. Найди $\angle BOD$ и $\angle KOD$.

Как думать. Каждая прямая — это развёрнутый угол в $180^\circ$. А биссектрисы подсказывают целые углы по половинкам.

Решение.

1. $\angle AOB = 65^\circ \cdot 2 = 130^\circ$.
2. Лучи $OA$ и $OD$ дают развёрнутый угол. $\angle BOD = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.
3. Лучи $OB$ и $OC$ тоже дают развёрнутый угол. $\angle AOC = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.
4. $OK$ — биссектриса: $\angle AOK = 50^\circ : 2 = 25^\circ$.
5. $\angle KOD = \angle AOD - \angle AOK = 180^\circ - 25^\circ = 155^\circ$.

Ответ: $\angle BOD = 50^\circ$, $\angle KOD = 155^\circ$.

№ 1230

Найди корень уравнения: 1) $a : (8 + 5x) = 6$ при $a = 108$; 2) $18 \cdot (b - 7x) = 90$ при $b = 40$; 3) $(3x + c) : 14 = 5$ при $c = 58$.

Как думать. Подставь число и ищи неизвестный компонент: делитель, множитель или делимое. Скобку считай одним «окошком».

Решение.

1. $108 : (8 + 5x) = 6$. Делитель: $8 + 5x = 108 : 6 = 18$. $5x = 10$, $x = 2$.
2. $18 \cdot (40 - 7x) = 90$. Множитель: $40 - 7x = 90 : 18 = 5$. $7x = 35$, $x = 5$.
3. $(3x + 58) : 14 = 5$. Делимое: $3x + 58 = 5 \cdot 14 = 70$. $3x = 12$, $x = 4$.

Ответ: 1) 2; 2) 5; 3) 4.

Шпаргалка

• Равные углы совпадают при наложении и имеют одинаковую градусную меру.
• Больше тот угол, у которого больше градусов; длина сторон роли не играет.
• Острый < $90^\circ$; прямой = $90^\circ$; тупой — от $90^\circ$ до $180^\circ$; развёрнутый = $180^\circ$; полный = $360^\circ$.
• Прямой угол строят чертёжным треугольником или транспортиром.
• Биссектриса развёрнутого угла делит его на два прямых угла.

Мини-тест