7.4. Многоугольники

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава VII: Углы. Многоугольники. Страницы 150–154.

Чему научишься

• Отличать настоящий многоугольник от фигуры-«обманки».
• Показывать у многоугольника стороны, вершины, углы и диагонали.
• Понимать, что такое выпуклый многоугольник и когда два многоугольника равны.
• Считать периметр и находить площадь хитрой фигуры, достраивая её до прямоугольника.

Разминка

Вспомним прямоугольник — он сегодня главный помощник.

• Стороны прямоугольника 5 см и 3 см. Какой у него периметр? $(5 + 3) \cdot 2 = 16$ см.
• А площадь? $5 \cdot 3 = 15$ см².
• Сторона квадрата 6 см. Площадь? $6 \cdot 6 = 36$ см².
• Периметр квадрата 20 см. Какая у него сторона? $20 : 4 = 5$ см.

Разбираемся

Замкнутая дорожка из отрезков

Возьми несколько палочек и выложи их по очереди, конец к началу, чтобы последняя вернулась к первой. Получится замкнутая дорожка. Это многоугольник, если выполнены два правила.

📌 1) Соседние отрезки не лежат на одной прямой. 2) Несоседние отрезки нигде не встречаются.

Пятиугольник $ABCDE$ — честный многоугольник. А фигура-«бабочка» $KLNP$ — нет: у неё два несоседних отрезка пересекаются крестом посередине.

⚠️ Частая ошибка. «В бабочке четыре отрезка — значит, четырёхугольник». Нет! Ищи крест не в вершине. Нашёл — фигура не многоугольник.

Стороны, вершины, углы

Отрезки — это стороны. Их концы — вершины. Углы при вершинах — углы многоугольника. У четырёхугольника $ABCD$ стороны $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ и углы $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$, $\angle D$.

Обойди фигуру пальцем: после каждой вершины начинается новая сторона. Поэтому сторон всегда столько же, сколько вершин. Отсюда и имена: треугольник, четырёхугольник, пятиугольник… Меньше трёх сторон не бывает: из двух палочек замкнутую дорожку не сложишь.

Выпуклый или с «вмятиной»

Приложи линейку к любой стороне. Если вся фигура лежит по одну сторону от линейки — и так для каждой стороны, — многоугольник выпуклый. У стрелки или звёздочки есть «вмятина»: линейка, приложенная к одной из сторон, разрежет фигуру. Дальше работаем только с выпуклыми.

Равные многоугольники

Два многоугольника равны, если один можно наложить на другой и они совпадут. Проверять удобно калькой: обвёл, приложил. Кальку можно поворачивать и даже переворачивать.

Периметр и диагональ

Периметр — сумма длин всех сторон, как длина забора вокруг участка. У шестиугольника $DEFKLN$: $P = DE + EF + FK + KL + LN + ND$. Стороны пятиугольника 3, 4, 5, 2 и 6 см? Периметр $3 + 4 + 5 + 2 + 6 = 20$ см.

Диагональ — отрезок между двумя вершинами, которые не соседи. В шестиугольнике $DEFKLN$ отрезки $EN$ и $EL$ — диагонали, а $EF$ — сторона. У треугольника диагоналей нет: там все вершины соседние.

👨‍👩‍👧 Родителю. Нарисуйте пятиугольник и попросите показать пальцем сторону, вершину, угол и диагональ. Потом спросите: «Почему $AB$ — сторона, а $AC$ — диагональ?» Ответ: $A$ и $B$ соседи, а $A$ и $C$ — нет.

Площадь без формулы: достраиваем до прямоугольника

Площадь прямоугольника мы знаем: $S = a \cdot b$. А как быть с треугольником? Дострой его до прямоугольника! Прямоугольный треугольник — ровно половина прямоугольника.

Если фигура сложнее, считаем площадь большого прямоугольника и вычитаем лишние кусочки.

⚠️ Частая ошибка. Путать периметр и площадь. Периметр — длина забора, в см. Площадь — сколько места внутри, в см². Получил периметр в см²? Где-то перепутал.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Где вокруг нас многоугольники? Тетрадь и доска — прямоугольники, знак «Уступи дорогу» — треугольник, пчелиные соты и гайка — шестиугольники, знак «Стоп» — восьмиугольник.
• Что такое стороны, вершины и углы многоугольника? Стороны — отрезки, из которых он сложен. Вершины — их концы. Углы — уголки, которые образуют соседние стороны в каждой вершине.
• Что такое периметр? Сумма длин всех сторон.
• Что такое диагональ? Отрезок, который соединяет две несоседние вершины.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 1231

Посчитай в уме: 1) $5{,}217 \cdot 10$; $5{,}217 \cdot 100$; 2) $316{,}2 : 10$; $316{,}2 : 100$; 3) $7{,}325 \cdot 100$; $7{,}325 \cdot 1000$; 4) $934{,}2 : 100$; $934{,}2 : 1000$.

Как думать. Умножаешь на 10, 100, 1000 — запятая прыгает вправо на 1, 2, 3 знака. Делишь — прыгает влево.

Решение.

1. $5{,}217 \cdot 10 = 52{,}17$; $5{,}217 \cdot 100 = 521{,}7$.
2. $316{,}2 : 10 = 31{,}62$; $316{,}2 : 100 = 3{,}162$.
3. $7{,}325 \cdot 100 = 732{,}5$; $7{,}325 \cdot 1000 = 7325$.
4. $934{,}2 : 100 = 9{,}342$; $934{,}2 : 1000 = 0{,}9342$.

Ответ: 1) 52,17; 521,7. 2) 31,62; 3,162. 3) 732,5; 7325. 4) 9,342; 0,9342.

Уровень A

№ 1232

Назови каждую из четырёх фигур на рисунке по числу её углов.

Как думать. Считай вершины — сколько их, такое и имя.

Решение. У фигур 3, 6, 4 и 5 углов.

Ответ: 1) треугольник; 2) шестиугольник; 3) четырёхугольник; 4) пятиугольник.

№ 1233

Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются — это диагонали четырёхугольника $ABCD$. Построй сам четырёхугольник.

Как думать. Концы диагоналей — это вершины. Осталось соединить их по порядку букв.

Решение.

1. Перенеси в тетрадь два пересекающихся отрезка: $A$ внизу слева, $C$ вверху справа, $B$ вверху слева, $D$ внизу справа.
2. По линейке соедини $A$ с $B$, $B$ с $C$, $C$ с $D$, $D$ с $A$.
3. Проверь: $AC$ и $BD$ соединяют несоседние вершины — значит, это и правда диагонали.

Ответ: четырёхугольник со сторонами $AB$, $BC$, $CD$, $DA$; данные отрезки оказываются внутри него и пересекаются.

№ 1234

Построй квадрат $ABCD$ с периметром 16 см, проведи диагональ $AC$, сравни калькой треугольники $ABC$ и $ACD$ и найди площадь $ABC$.

Как думать. У квадрата 4 равные стороны. Диагональ режет его на две одинаковые половинки.

Решение.

1. Сторона: $16 : 4 = 4$ см.
2. Строим: $AD = 4$ см; в точках $A$ и $D$ угольником строим прямые углы и откладываем вверх $AB = DC = 4$ см; соединяем $B$ и $C$.
3. Проводим $AC$. Обводим на кальке $ABC$ и прикладываем к $ACD$ (кальку можно повернуть). Совпали — треугольники равны.
4. Площадь квадрата $4 \cdot 4 = 16$ см², половина: $S_{ABC} = 16 : 2 = 8$ см².

Ответ: сторона 4 см; треугольники $ABC$ и $ACD$ равны; $S_{ABC} = 8$ см².

Уровень B

№ 1235

Квадрат разрезан двумя отрезками через середины сторон на 4 маленьких квадрата. Сколько всего прямоугольников на рисунке?

Как думать. Квадрат — тоже прямоугольник! Чтобы ничего не пропустить, считаем по размерам.

Решение.

1. Маленькие квадраты: 4.
2. Из двух маленьких: 2 «лежачих» (верх и низ) и 2 «стоячих» (лево и право) — 4.
3. Весь большой квадрат: 1.

Всего $4 + 4 + 1 = 9$.

Ответ: 9 прямоугольников.

№ 1236

Начерти четырёхугольник и пятиугольник, проведи и запиши все диагонали. Сколько их у каждого?

Как думать. Из вершины диагональ идёт во все вершины, кроме себя самой и двух соседей.

Решение.

1. Четырёхугольник $ABCD$: из $A$ — только в $C$, из $B$ — только в $D$. Диагонали $AC$, $BD$ — 2.
2. Пятиугольник $ABCDE$: из каждой вершины по 2 диагонали. Без повторов: $AC$, $AD$, $BD$, $BE$, $CE$ — 5.

Проверка: $5 \cdot 2 = 10$, но каждая диагональ посчитана дважды (с двух концов): $10 : 2 = 5$.

Ответ: у четырёхугольника 2 диагонали, у пятиугольника 5.

№ 1237

Дострой треугольники $ABC$ и $DEF$ до прямоугольников и найди их площади в см². На клетчатой бумаге 1 см — это 2 клетки.

Как думать. Сначала переводим клетки в сантиметры: 2 клетки = 1 см. Потом достраиваем и вычитаем лишнее.

Решение.

1. $ABC$ прямоугольный: $AB = 8$ клеток $= 4$ см, $AC = 6$ клеток $= 3$ см. Прямоугольник $4 \cdot 3 = 12$ см², треугольник — половина: $12 : 2 = 6$ см².
2. $DEF$: $DF = 4$ см, вершина $E$ на 4 см выше $DF$ и на 6 см правее $D$. Прямоугольник $6 \times 4$ см с $D$ и $E$ в противоположных углах: $6 \cdot 4 = 24$ см².
   • Лишний верхний треугольник с катетами 6 см и 4 см: $6 \cdot 4 : 2 = 12$ см².
   • Лишний треугольник справа внизу с катетами 2 см (от $F$ до угла) и 4 см: $2 \cdot 4 : 2 = 4$ см².
   • $S_{DEF} = 24 - 12 - 4 = 8$ см².

Ответ: 1) 6 см²; 2) 8 см².

№ 1238

1) Стороны прямоугольника 13 см и 5 см. Найди площадь квадрата с таким же периметром. 2) Периметр квадрата на 21 см больше его стороны. Найди площадь квадрата.

Как думать. В пункте 2 представь периметр как 4 одинаковые палочки. Убери одну — останется 3 палочки, это и есть 21 см.

Решение.

1. Периметр $(13 + 5) \cdot 2 = 36$ см. Сторона квадрата $36 : 4 = 9$ см. Площадь $9 \cdot 9 = 81$ см².
2. 3 стороны = 21 см, сторона $21 : 3 = 7$ см. Площадь $7 \cdot 7 = 49$ см².

Ответ: 1) 81 см²; 2) 49 см².

№ 1239

Квадрат $ABCD$ со стороной 9 см. Внутри «вертушкой» уложены 4 одинаковых прямоугольника шириной 2 см, в центре — закрашенный квадрат. 1) Какие тут многоугольники? 2) Периметр закрашенной части? 3) Площадь незакрашенной части?

Как думать. Каждый прямоугольник лежит вдоль стороны и упирается в соседа. Значит, его длина $9 - 2$.

Решение.

1. На рисунке квадраты (большой $ABCD$ и маленький в центре) и прямоугольники.
2. Длина прямоугольника $9 - 2 = 7$ см. Сторона центрального квадрата — длина без ширины соседа: $7 - 2 = 5$ см. Периметр $5 \cdot 4 = 20$ см.
3. Один прямоугольник $7 \cdot 2 = 14$ см², четыре: $14 \cdot 4 = 56$ см². Проверка: $81 - 5 \cdot 5 = 81 - 25 = 56$ см².

Ответ: 1) квадраты и прямоугольники; 2) 20 см; 3) 56 см².

№ 1240

Периметр треугольника $ABC$ 24 см. $AC$ на 4 см больше $BC$, а $BC$ на 2 см меньше $AB$. Найди стороны.

Как думать. $BC$ короче всех — её и обозначим $x$.

Решение.

1. $BC = x$, $AC = x + 4$, $AB = x + 2$.
2. $x + (x + 4) + (x + 2) = 24$, то есть $3x + 6 = 24$, $3x = 18$, $x = 6$.
3. $BC = 6$ см, $AC = 10$ см, $AB = 8$ см. Проверка: $6 + 10 + 8 = 24$ ✓.

Ответ: $AB = 8$ см, $BC = 6$ см, $AC = 10$ см.

№ 1241

Клумба-прямоугольник площадью 300 м². Какие стороны выбрать, чтобы забор вокруг был самым коротким? A. 6 и 50; B. 5 и 60; C. 10 и 30; D. 20 и 15.

Как думать. Забор — это периметр. Площадь везде 300, так что сравниваем периметры. (В вариантах написано «см», но по смыслу это метры.)

Решение.

• A: $(6 + 50) \cdot 2 = 112$ м;
• B: $(5 + 60) \cdot 2 = 130$ м;
• C: $(10 + 30) \cdot 2 = 80$ м;
• D: $(20 + 15) \cdot 2 = 70$ м.

💡 Чем прямоугольник ближе к квадрату, тем короче забор при той же площади.

Ответ: D — 20 м и 15 м.

Уровень C

№ 1242

Сколько треугольников на рисунке? В большом треугольнике из верхней вершины к основанию проведены два отрезка, а из левой нижней вершины — отрезок к правой стороне, который пересекает оба первых.

Как думать. Это задача на внимательный перебор. Считаем группами, чтобы ничего не пропустить.

Решение. Верхняя вершина $T$, нижние $L$ и $R$, точки на основании $P_1$ и $P_2$, точка на правой стороне $Q$; отрезок $LQ$ пересекает $TP_1$ и $TP_2$ в точках $X_1$ и $X_2$. Из $T$ выходят 4 линии: $TL$, $TP_1$, $TP_2$, $TR$.

1. Две линии из $T$ плюс основание: $TLP_1$, $TLP_2$, $TLR$, $TP_1P_2$, $TP_1R$, $TP_2R$ — 6.
2. Две линии из $T$ плюс отрезок $LQ$: $TLX_1$, $TLX_2$, $TLQ$, $TX_1X_2$, $TX_1Q$, $TX_2Q$ — ещё 6.
3. С вершиной $L$ между основанием и $LQ$: $LP_1X_1$, $LP_2X_2$, $LRQ$ — ещё 3.

Всего $6 + 6 + 3 = 15$.

Ответ: 15 треугольников (при таком расположении отрезков).

№ 1243

Три одинаковых квадрата из проволоки стоят в ряд и образуют прямоугольник длиной 36 см. Сколько проволоки ушло на все квадраты (в м и см)?

Как думать. Квадраты сделаны отдельно — у каждого свои 4 стороны, даже там, где они касаются.

Решение.

1. Сторона квадрата: $36 : 3 = 12$ см.
2. Один квадрат: $12 \cdot 4 = 48$ см.
3. Три квадрата: $48 \cdot 3 = 144$ см $= 1$ м 44 см.

Ответ: 1 м 44 см.

№ 1244

С помощью площади прямоугольника найди площади трёх закрашенных фигур.

Как думать. Считаем прямоугольник вокруг фигуры и вычитаем светлые треугольники. Каждый такой треугольник — половина своего прямоугольника.

Решение.

1. Прямоугольник $8 \times 4$ см: 32 см². Сверху закрашено 5 см из 8, у лишнего треугольника катеты $8 - 5 = 3$ см и 4 см: $3 \cdot 4 : 2 = 6$ см². Фигура: $32 - 6 = 26$ см².
2. Нижнее основание $3 + 5 + 2 = 10$ см, высота 4 см. Прямоугольник $10 \cdot 4 = 40$ см². Боковые треугольники: $3 \cdot 4 : 2 = 6$ см² и $2 \cdot 4 : 2 = 4$ см². Фигура: $40 - 6 - 4 = 30$ см².
3. Прямоугольник $6 \cdot 4 = 24$ см². Вершины ромба — середины сторон, поэтому 4 угловых треугольника вместе — ровно половина. Ромб: $24 : 2 = 12$ см².

Ответ: 1) 26 см²; 2) 30 см²; 3) 12 см².

№ 1245

Из четырёх одинаковых треугольников сложен «зигзаг»: их основания вместе дают отрезок $AB = 20$ см. Найди площадь фигуры и назови её.

Как думать. Площадь фигуры — это четыре площади одного треугольника. Основание каждого $20 : 4 = 5$ см. Треугольник — половина прямоугольника с тем же основанием и высотой: $S = 5 \cdot h : 2$.

Решение.

1. Основание одного треугольника $20 : 4 = 5$ см.
2. Высоту $h$ берём с рисунка (по клеткам или по подписи).
3. Площадь фигуры $4 \cdot (5 \cdot h : 2) = 10 \cdot h$ см². Например, при высоте 4 см: $10 \cdot 4 = 40$ см².
4. Имя даём по числу вершин на контуре — посчитай их на рисунке.

Ответ: $S = 10 \cdot h$ см², где $h$ — высота треугольника по рисунку.

№ 1246

Периметр пятиугольника $ABCDE$ 51 см. Диагонали $BE$ и $BD$ режут его на треугольники $ABE$, $EBD$, $BCD$ с периметрами 33, 42 и 36 см. Найди $BE$ и $BD$, если они равны.

Как думать. Сложи периметры трёх треугольников. Туда войдут все стороны пятиугольника, а каждая диагональ — два раза.

Решение.

1. $33 + 42 + 36 = 111$ см.
2. $111 = 51 + 2 \cdot BE + 2 \cdot BD$. Так как $BE = BD$: $111 = 51 + 4 \cdot BE$.
3. $4 \cdot BE = 60$, $BE = 15$ см, $BD = 15$ см.

Ответ: $BE = BD = 15$ см.

№ 1247

Реши уравнения: 1) $\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{6}x - \frac{1}{3}} - \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$; 2) $\dfrac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{9} + \frac{1}{3}x} + \frac{1}{2} = \frac{13}{14}$.

Как думать. Распутываем «снаружи внутрь», как матрёшку: сначала вся дробь, потом её знаменатель, потом $x$.

Решение.

1. Дробь $= \frac{1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{3}{8}$. Знаменатель $= \frac{1}{2} : \frac{3}{8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$. Тогда $\frac{5}{6}x = \frac{4}{3} + \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$, $x = \frac{5}{3} : \frac{5}{6} = 2$.
2. Дробь $= \frac{13}{14} - \frac{1}{2} = \frac{13}{14} - \frac{7}{14} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$. Знаменатель $= \frac{2}{3} : \frac{3}{7} = \frac{14}{9}$. Тогда $\frac{1}{3}x = \frac{14}{9} - \frac{2}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$, $x = 4$.

Ответ: 1) $x = 2$; 2) $x = 4$.

Шпаргалка

• Сторон столько же, сколько вершин; имя — по числу углов.
• Выпуклый: вся фигура по одну сторону от каждой стороны.
• Равные многоугольники совпадают при наложении.
• Прямоугольный треугольник — половина прямоугольника.

Мини-тест