Упражнения для повторения главы VII

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава VII: Углы. Многоугольники. Страницы 155–156.

Что повторяем

• Угол, градусная мера, биссектриса, развёрнутый и полный угол — п. 7.1 (№ 1248, 1250, 1251).
• Транспортир: как измерить и построить угол — п. 7.2 (№ 1252).
• Сравнение углов и их виды: острый, прямой, тупой, развёрнутый — п. 7.3 (№ 1250, 1251).
• Многоугольники: стороны, углы, периметр, равные фигуры, подсчёт фигур на рисунке — п. 7.4 (№ 1249, 1252, 1253, 1254).

💡 Три числа, которые стоит держать в голове всю главу: прямой угол — $90^\circ$, развёрнутый — $180^\circ$, полный — $360^\circ$.

Решаем упражнения

№ 1248

На какие углы биссектриса делит угол: 1) $82^\circ$; 2) $110^\circ$; 3) $50^\circ$?

Как думать. Биссектриса делит угол ровно пополам. Значит, просто делим градусы на 2.

Решение.

1. $82^\circ : 2 = 41^\circ$.
2. $110^\circ : 2 = 55^\circ$.
3. $50^\circ : 2 = 25^\circ$.

Ответ: 1) два угла по $41^\circ$; 2) по $55^\circ$; 3) по $25^\circ$.

№ 1249

Найди на рисунке равные четырёхугольники. Там шесть фигур: две трапеции, повёрнутые друг к другу, и две пары, где одна фигура — зеркальное отражение или поворот другой.

Как думать. Равные фигуры совмещаются при наложении. Кальку можно поворачивать и переворачивать, поэтому перевёрнутая или отражённая фигура того же размера тоже равна исходной.

Решение.

1. Фигуры 1 и 6 — одна и та же трапеция, вторая просто стоит «вверх ногами».
2. Фигуры 2 и 4 — зеркальные близнецы: переверни кальку с фигурой 2, и она ляжет на фигуру 4.
3. Фигуры 3 и 5 — прямоугольные трапеции; фигура 3, повёрнутая на пол-оборота, совпадает с фигурой 5.

Ответ: равны фигуры 1 и 6, 2 и 4, 3 и 5.

№ 1250

Какой угол между часовой и минутной стрелками, если часы показывают 1) 5 ч; 2) 10 ч?

Как думать. Циферблат — полный угол $360^\circ$, на нём 12 часов. Между соседними числами $360^\circ : 12 = 30^\circ$. В целый час минутная стрелка стоит на 12.

Решение.

1. 5 ч: от 12 до 5 — 5 делений, $5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$.
2. 10 ч: от 10 до 12 — 2 деления (считаем по короткой стороне), $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

Ответ: 1) $150^\circ$; 2) $60^\circ$.

№ 1251

Луч $OC$ делит развёрнутый угол $AOB$ на углы $AOC = x^\circ + 60^\circ$ и $COB = x^\circ - 20^\circ$. Найди эти углы.

Как думать. Вместе два угла дают развёрнутый угол — $180^\circ$.

Решение.

1. $(x + 60) + (x - 20) = 180$, $2x + 40 = 180$, $2x = 140$, $x = 70$.
2. $\angle AOC = 70^\circ + 60^\circ = 130^\circ$, $\angle BOC = 70^\circ - 20^\circ = 50^\circ$.
3. Проверка: $130^\circ + 50^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $\angle AOC = 130^\circ$, $\angle BOC = 50^\circ$.

№ 1252

Начерти четырёхугольник $ABCD$, где $\angle A = 50^\circ$, $\angle B = 120^\circ$, $\angle C = 80^\circ$. Измерь угол $D$ и найди сумму всех четырёх углов.

Как думать. Чертим по шагам транспортиром. А потом замечаем: сумма углов четырёхугольника всегда одна и та же.

Решение.

1. Проведи отрезок $AD$ (например, 6 см).
2. В точке $A$ построй транспортиром угол $50^\circ$ и проведи луч. Отложи на нём $AB$ (например, 3 см).
3. В точке $B$ построй угол $120^\circ$ между лучом $BA$ и новым лучом вправо. Проведи этот луч.
4. Точку $C$ на этом луче выбираем так, чтобы угол $C$ был $80^\circ$. Проще так: в точке $D$ построй угол $110^\circ$ к отрезку $DA$ (лучом вверх). Где лучи пересеклись — там вершина $C$. Измерь угол $C$: выйдет $80^\circ$.
5. Измерь угол $D$ транспортиром. Должно получиться около $110^\circ$.
6. Сумма: $50^\circ + 120^\circ + 80^\circ + 110^\circ = 360^\circ$.

📌 Сумма углов любого (выпуклого) четырёхугольника — $360^\circ$. Поэтому $\angle D = 360^\circ - 50^\circ - 120^\circ - 80^\circ = 110^\circ$ даже без измерения.

Ответ: 1) $\angle D = 110^\circ$; 2) сумма углов $360^\circ$.

№ 1253

Стороны четырёхугольника $ABCD$ сложили попарно, вышло 7, 8, 10, 9, 11 и 12 см. Найди периметр. A. 20 см; B. 19 см; C. 22 см; D. 18 см.

Как думать. Из четырёх сторон можно составить ровно 6 пар: $AB+BC$, $AB+CD$, $AB+DA$, $BC+CD$, $BC+DA$, $CD+DA$. Каждая сторона попадает в 3 пары.

Решение.

1. Сложим все числа: $7 + 8 + 10 + 9 + 11 + 12 = 57$ см.
2. Каждая сторона тут посчитана 3 раза: $57 = 3 \cdot P$.
3. $P = 57 : 3 = 19$ см.

Ответ: B — 19 см.

№ 1254

Сколько треугольников в правильном пятиугольнике со всеми пятью диагоналями (внутри получается пятиконечная звезда)? A. 20; B. 25; C. 30; D. 28.

Как думать. Это задача на аккуратный перебор. Считаем по видам: в правильном пятиугольнике каждый вид повторяется 5 раз — по разу «на каждую вершину».

Решение. Вершины $A$, $B$, $C$, $D$, $E$. Каждая диагональ пересекается с двумя другими и делится на три части.

1. Лучи звезды — маленькие треугольники с вершиной в вершине пятиугольника — 5.
2. Маленькие треугольники с основанием на стороне пятиугольника (например, $AB$) и вершиной в ближайшей точке пересечения диагоналей — 5.
3. Три соседние вершины, например $ABC$ (две стороны и диагональ) — 5.
4. Сторона и противоположная вершина, например $ABD$ (сторона и две диагонали) — 5.
5. Сторона $AB$ и точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ (или $AD$ и $BE$): у каждой стороны таких два — $5 \cdot 2 = 10$.
6. Диагональ (например, $AC$) и точка пересечения диагоналей $AD$ и $CE$ по другую сторону от неё, чем вершина $B$ — 5.

Всего $5 + 5 + 5 + 5 + 10 + 5 = 35$ треугольников. Это известный результат: в пятиугольнике со всеми диагоналями 35 треугольников.

🌟 Пятиконечная звезда внутри пятиугольника называется пентаграммой. Её рисовали ещё древние греки, а математики до сих пор находят в ней новые закономерности.

Ответ: 35 треугольников; среди предложенных вариантов верного числа нет.

Мини-тест