8.1. Окружность. Круг

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава VIII: Диаграммы. Страницы 157–161.

Чему научишься

• Чертить окружность циркулем с нужным радиусом.
• Отличать окружность (линию) от круга (части плоскости).
• Находить радиус и диаметр друг через друга: $D = 2R$.
• Понимать, где точка: на окружности, внутри круга или снаружи.
• Разбираться, как могут располагаться две окружности.

Разминка

Посмотри на четыре фигуры, у каждой внутри точка: $A$ — окружность с центром $O$, $B$ — шестиугольник с точкой $E$, $C$ — закрашенный круг с центром $K$, $D$ — прямоугольник с точкой $L$.

• У какой фигуры все точки на одинаковом расстоянии от отмеченной точки? Только у окружности $A$. У шестиугольника и прямоугольника вершины дальше от центра, чем середины сторон.
• Чем фигура $A$ отличается от фигуры $C$? $A$ — только линия, а $C$ — линия вместе со всей закрашенной частью внутри (это круг).
• Чем фигура $A$ отличается от $B$ и $D$? $A$ — кривая линия без углов, все её точки на одном расстоянии от центра. $B$ и $D$ — многоугольники из отрезков, с вершинами.

Разбираемся

Циркуль рисует окружность

Поставь иглу циркуля в точку $O$ и, не меняя раствора, сделай грифелем полный оборот. Получится замкнутая линия — окружность. Каждая её точка отстоит от $O$ на одно и то же расстояние — на раствор циркуля.

📌 Окружность — все точки плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной точки — центра.

Окружность делит плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю.

Радиус и диаметр

Радиус $R$ — отрезок от центра до любой точки окружности. Все радиусы одной окружности равны: это и есть раствор циркуля.

Диаметр $D$ — отрезок через центр, от края до края. Он состоит из двух радиусов:

$D = 2R$, $R = D : 2$.

Если $R = 15$ мм, то $D = 30$ мм. Если $D = 8$ см, то $R = 4$ см.

⚠️ Частая ошибка. Перепутать радиус и диаметр в задаче. Радиус — от центра до края. Диаметр — от края до края через центр. Проверка: диаметр всегда вдвое длиннее.

Обруч и блин

Круг — это окружность вместе со всем, что внутри. Окружность — как обруч, круг — как блин. Центр, радиус и диаметр у них общие. Любой диаметр режет круг на два равных полукруга.

Две окружности (два круга) равны, если совпадают при наложении. А это бывает, когда у них равные радиусы.

👨‍👩‍👧 Родителю. Спросите: «Центр принадлежит окружности? А кругу?» Правильно: окружности — нет (центр не на линии), кругу — да. Этот вопрос хорошо показывает, понял ли ребёнок разницу.

Где точка?

Сравни расстояние от точки до центра с радиусом:

• равно $R$ — точка на окружности (и в круге тоже);
• меньше $R$ — внутри круга;
• больше $R$ — вне круга.

Дуга

Две точки делят окружность на две части. Каждая часть — дуга, у неё два конца. Вместо слова «дуга» пишут значок: $\cup AB$. Двумя буквами обычно называют меньшую из двух дуг. Дуги и окружности вокруг нас: край циферблата, обод колеса, шкала весов.

Две окружности: встретятся или нет

Радиусы $R_1$ и $R_2$, расстояние между центрами $d$:

• $d$ больше $R_1 + R_2$ — окружности не встречаются, лежат одна вне другой;
• $d = R_1 + R_2$ — касаются снаружи в одной точке;
• $d$ меньше $R_1 + R_2$ (но центры не слишком близко) — пересекаются в двух точках.

💡 За один оборот колесо проезжает столько, сколько длина его внешней окружности. Значит, число оборотов $=$ путь $:$ длина окружности.

Заодно вспомним время

1 сутки $= 24$ ч, 1 ч $= 60$ мин, 1 мин $= 60$ с, 1 ч $= 3600$ с. За сутки Земля делает оборот вокруг своей оси, за год — оборот вокруг Солнца.

🌟 Год длится около 365 суток 6 часов. За 4 года «лишние» часы набегают в целые сутки. Поэтому год, номер которого делится на 4, — високосный: в нём 366 дней, а в феврале 29.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Что такое окружность? Все точки плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной точки — центра.
• Что такое радиус? диаметр? Радиус — отрезок от центра до точки окружности. Диаметр — отрезок между двумя точками окружности, который проходит через центр.
• Во сколько раз диаметр длиннее радиуса? В 2 раза: $D = 2R$.
• Чем окружность отличается от круга? Окружность — только линия. Круг — линия вместе со всем, что внутри.
• Где мы встречаем окружность и круг? Окружность: обруч, кольцо, ободок тарелки, край циферблата. Круг: монета, блин, дно кастрюли, шанырак юрты, если смотреть на него как на диск.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 1255

На рисунке круг с центром $O$ и точки $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $K$, $L$, $O$. Какие точки: 1) лежат на окружности; 2) принадлежат кругу; 3) не принадлежат кругу?

Как думать. Точки на окружности тоже принадлежат кругу — край блина тоже блин!

Решение. По рисунку: $B$ и $D$ — на окружности; $C$, $O$, $E$ — внутри; $A$, $K$, $L$ — снаружи.

Ответ: 1) $B$, $D$; 2) $B$, $C$, $D$, $E$, $O$; 3) $A$, $K$, $L$.

№ 1256

Отметь точку $O$ и отрезок $OA$ длиной 4 клетки. Построй циркулем окружность с центром $O$ и радиусом $OA$.

Решение.

1. Отметь точку $O$ на пересечении линий клетки. Отсчитай вправо 4 клетки — это точка $A$. Проведи $OA$ (это 2 см).
2. Иглу циркуля — в $O$, грифель — в $A$.
3. Не меняя раствора, сделай полный оборот.

Ответ: получится окружность радиусом 2 см (диаметр 4 см, то есть 8 клеток); точка $A$ лежит на ней.

№ 1257

1) Радиус окружности 11 см. Найди диаметр. 2) Диаметр Луны 3476 км. Найди её радиус.

Решение.

1. $D = 2R = 2 \cdot 11 = 22$ см.
2. $R = D : 2 = 3476 : 2 = 1738$ км.

Ответ: 1) 22 см; 2) 1738 км.

№ 1258

Собака на цепи 3 м привязана к колышку. Нарисуй участок, где она бегает (1 м — 1 см), и найди наибольшее расстояние между двумя точками границы участка.

Как думать. Дальше длины цепи собака не убежит — ни в какую сторону. Значит, граница — окружность с центром в колышке.

Решение.

1. Отметь колышек. Раствор циркуля 3 см. Начерти окружность и закрась круг — это участок собаки.
2. Две самые далёкие точки границы — концы диаметра: $D = 2 \cdot 3 = 6$ м.

Ответ: участок — круг радиусом 3 м (на рисунке 3 см); наибольшее расстояние 6 м.

№ 1259

Начерти две окружности с общим центром $O$ и радиусами 2 см и 3 см, закрась часть между ними. Как её назвать?

Решение.

1. Отметь $O$. Раствором 2 см начерти первую окружность.
2. Не сдвигая иглу, сделай раствор 3 см и начерти вторую.
3. Закрась полосу между ними. Её ширина везде $3 - 2 = 1$ см.

Ответ: закрашенная часть похожа на кольцо — её и называют кольцом.

№ 1260

Как без линейки и рулетки разделить кружево длиной 18 м на куски 15 м и 3 м?

Как думать. $18 : 3 = 6$, то есть 3 м — шестая часть кружева. А шестую часть легко получить складыванием.

Решение.

1. Сложи кружево втрое гармошкой — каждая часть $18 : 3 = 6$ м.
2. Одну такую часть (6 м) сложи пополам — получится 3 м.
3. Отрежь эти 3 м. Останется $18 - 3 = 15$ м.

Другой способ: сложить всё пополам (9 м), а потом втрое (3 м).

Ответ: сложить кружево так, чтобы получилась шестая часть (3 м), и отрезать её; остаток — 15 м.

№ 1261

Отметь на окружности 8 точек и соедини их попарно отрезками. Сколько отрезков?

Как думать. Из каждой точки выходит отрезок к каждой из остальных 7 точек.

Решение.

1. $8 \cdot 7 = 56$ — так каждый отрезок посчитан дважды (с обоих концов).
2. $56 : 2 = 28$.

Ответ: 28 отрезков.

№ 1262

Упрости выражения: 1) $3(x + 5) + 4x$; 2) $8(7 + x) - 3x$; 3) $9(x - 7) + 6x$; 4) $5(x + 8) - 11$; 5) $2(13 + x) - 15$; 6) $6(x + 5) + 2x$.

Как думать. Раскрываем скобки — число умножаем на каждое слагаемое. Потом складываем «иксы» с «иксами», а числа с числами.

Решение.

1. $3x + 15 + 4x = 7x + 15$.
2. $56 + 8x - 3x = 5x + 56$.
3. $9x - 63 + 6x = 15x - 63$.
4. $5x + 40 - 11 = 5x + 29$.
5. $26 + 2x - 15 = 2x + 11$.
6. $6x + 30 + 2x = 8x + 30$.

Ответ: 1) $7x + 15$; 2) $5x + 56$; 3) $15x - 63$; 4) $5x + 29$; 5) $2x + 11$; 6) $8x + 30$.

Уровень B

№ 1263

Два пересекающихся круга: первый с центром $A$, второй с центром $B$. Какие отмеченные точки принадлежат: 1) обоим кругам; 2) только первому; 3) только второму?

Решение. По рисунку: в общей части $E$ и $L$; только в первом круге — $K$ и центр $A$; точка $P$ лежит на окружности первого круга и вне второго; только во втором — $F$ и центр $B$.

Ответ: 1) $E$, $L$; 2) $A$, $K$, $P$; 3) $B$, $F$.

№ 1264

Диаметр Земли около 12 700 км, он в 11 раз меньше диаметра Юпитера. Найди радиус Юпитера.

Решение.

1. Диаметр Юпитера: $12,700 \cdot 11 = 139,700$ км.
2. Радиус: $139,700 : 2 = 69,850$ км.

На рисунке подписи перепутаны: большая полосатая планета — Юпитер, маленькая голубая — Земля.

Ответ: примерно 69 850 км.

№ 1265

Начерти окружности радиусами 2 см и 3 см так, чтобы расстояние между центрами было 1) 4 см; 2) 5 см; 3) 8 см. Как они расположены?

Как думать. Сравниваем расстояние между центрами с суммой радиусов: $2 + 3 = 5$ см.

Решение. Для каждого случая проведи отрезок $O_1O_2$ нужной длины, из $O_1$ начерти окружность радиусом 2 см, из $O_2$ — радиусом 3 см.

1. 4 см меньше 5 см — окружности пересекаются в двух точках.
2. 5 см равно сумме радиусов — окружности касаются в одной точке (на отрезке между центрами).
3. 8 см больше 5 см — окружности не пересекаются, лежат одна вне другой; между ними промежуток $8 - 5 = 3$ см.

Ответ: 1) пересекаются; 2) касаются снаружи; 3) не имеют общих точек.

№ 1266

Диаметр окружности с центром $A$ — 6 см, $AB = 5$ см, $D$ — общая точка окружностей, точки $A$, $D$, $B$ на одной прямой. Найди диаметр окружности с центром $B$. Как расположены окружности?

Решение.

1. Радиус первой окружности $AD = 6 : 2 = 3$ см.
2. $D$ лежит между $A$ и $B$, поэтому $BD = AB - AD = 5 - 3 = 2$ см — это радиус второй.
3. Диаметр второй окружности $2 \cdot 2 = 4$ см.

Ответ: 4 см; окружности касаются снаружи в точке $D$.

№ 1267

Отрезок $AB = 6$ см. Окружность с центром $A$ радиусом 5 см и окружность с центром $B$ радиусом 3 см пересекаются в точках $C$ и $D$. Найди периметр треугольника $ABC$.

Как думать. Точка $C$ лежит на обеих окружностях. Значит, $AC$ и $BC$ — радиусы.

Решение.

1. Построй $AB = 6$ см, проведи обе окружности, отметь точки пересечения $C$ и $D$.
2. $C$ на первой окружности, значит, $AC = 5$ см. $C$ на второй, значит, $BC = 3$ см.
3. $P = AB + AC + BC = 6 + 5 + 3 = 14$ см.

Ответ: 14 см.

№ 1268

1) Велосипедист едет 200 м/мин. Сколько оборотов сделает колесо за 3 мин, если длина его окружности 2 м? 2) Колесо машины за 47 с делает 400 оборотов, длина окружности колеса 2 м 35 см. Какая скорость у машины?

Как думать. За один оборот колесо проезжает длину своей окружности.

Решение.

1. Путь: $200 \cdot 3 = 600$ м. Оборотов: $600 : 2 = 300$.
2. 2 м 35 см $= 2{,}35$ м. Путь: $2{,}35 \cdot 400 = 940$ м. Скорость: $940 : 47 = 20$ м/с.

Ответ: 1) 300 оборотов; 2) 20 м/с.

№ 1269

Есть сосуды на 7 л и 3 л. Как, набирая воду из речки, оставить в маленьком сосуде 2 л?

Как думать. Наполняем маленький сосуд и переливаем в большой, пока большой не заполнится.

Решение.

1. Наполняем 3-литровый, выливаем в 7-литровый. В большом 3 л.
2. Снова наполняем 3-литровый, выливаем. В большом 6 л.
3. Третий раз наполняем 3-литровый и доливаем большой доверху. Войдёт только $7 - 6 = 1$ л.
4. В 3-литровом сосуде осталось $3 - 1 = 2$ л.

Ответ: три раза наполнить 3-литровый сосуд и переливать в 7-литровый; после третьего раза в малом сосуде останется 2 л.

№ 1270

Ученик начертил две окружности и поставил внутри них 5 точек: 4 оказались внутри первой и 3 — внутри второй. Как так? Нарисуй.

Как думать. $4 + 3 = 7$, а точек только 5. Значит, какие-то точки посчитаны дважды — они внутри обеих окружностей.

Решение.

1. $7 - 5 = 2$ точки лежат внутри обеих окружностей сразу.
2. Чертим две пересекающиеся окружности. В общую часть ставим 2 точки, в часть только первой — 2, в часть только второй — 1.
3. Проверка: внутри первой $2 + 2 = 4$, внутри второй $2 + 1 = 3$, всего $2 + 2 + 1 = 5$.

Ответ: окружности пересекаются; 2 точки в общей части, 2 — только в первой, 1 — только во второй.

Уровень C

№ 1271

Построй «цветок» из окружностей одного радиуса (центральная и шесть окружностей с центрами на ней), раскрась лепестки и объясни построение.

Решение.

1. Выбери раствор циркуля, например 3 см. Начерти окружность с центром $O$.
2. Поставь иглу в любую точку этой окружности и тем же раствором начерти вторую. Она пройдёт через $O$ и пересечёт первую в двух точках.
3. Ставь иглу в новую точку пересечения и повторяй. Тем же раствором окружность делится ровно на 6 равных частей, поэтому через шесть шагов ты вернёшься в начало.
4. Внутри центральной окружности дуги образуют 6 одинаковых лепестков. Раскрась их.

Ответ: цветок получается, потому что радиус укладывается на своей окружности ровно 6 раз.

№ 1272

Внутри большой окружности с центром $O$ — маленькая с центром $A$ и радиусом 2 см. Маленькая проходит через $O$ и касается большой изнутри. Найди диаметр большой окружности.

Решение.

1. Маленькая окружность проходит через $O$, значит, $AO = 2$ см.
2. Точка касания лежит на прямой $OA$ за точкой $A$, на 2 см от $A$. Радиус большой окружности $2 + 2 = 4$ см. Иначе говоря, радиус большой равен диаметру маленькой.
3. Диаметр большой окружности $4 \cdot 2 = 8$ см.

Ответ: 8 см.

№ 1273

Окружность с центром $A$ (диаметр 10 см) и окружность с центром $O$ (радиус 3 см) пересекаются в точках $B$ и $C$. Найди периметр четырёхугольника $ABOC$.

Как думать. Все четыре стороны $ABOC$ — радиусы!

Решение.

1. $AB$ и $AC$ — радиусы первой окружности: $10 : 2 = 5$ см.
2. $OB$ и $OC$ — радиусы второй: 3 см.
3. $P = 5 + 3 + 3 + 5 = 16$ см.

Ответ: 16 см.

№ 1274

Окружность переднего колеса кареты 2 м, заднего — 3 м. Переднее колесо сделало на 1200 оборотов больше заднего. Какое расстояние проехала карета?

Как думать. Оба колеса проехали один и тот же путь.

Решение.

1. Оборотов переднего: $S : 2$, заднего: $S : 3$.
2. На каждые 6 м пути переднее колесо делает 3 оборота, заднее — 2, разница 1 оборот.
3. Разница 1200 оборотов: $S = 6 \cdot 1200 = 7200$ м.
4. Проверка: $7200 : 2 = 3600$, $7200 : 3 = 2400$, $3600 - 2400 = 1200$ ✓.

Ответ: 7 км 200 м.

№ 1275

20 брёвен по 4 м распилить на бруски по 25 см. Сколько будет распилов?

Как думать. Чтобы разрезать палку на $n$ кусков, нужно $n - 1$ распилов.

Решение.

1. 4 м $= 400$ см; из одного бревна $400 : 25 = 16$ брусков.
2. Распилов на одно бревно: $16 - 1 = 15$.
3. На 20 брёвен: $15 \cdot 20 = 300$.

Ответ: 300 распилов.

⚠️ Частая ошибка. Ответить «320» — по числу брусков. Последний брусок отделяется вместе с предпоследним одним распилом. Проверь на палке: чтобы разрезать её на 2 части, нужен 1 распил.

Шпаргалка

• Точка на окружности: расстояние до центра $= R$; внутри — меньше; снаружи — больше.
• $d > R_1 + R_2$ — не встречаются; $d = R_1 + R_2$ — касаются; $d < R_1 + R_2$ — пересекаются.
• Високосный год: 366 дней, номер делится на 4.

Мини-тест