8.2. Круговой сектор (с историческими сведениями на с. 162)

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава VIII: Диаграммы. Страницы 162–164.

Чему научишься

• Узнавать круговой сектор и называть его тремя буквами.
• Помнить главное: углы всех секторов круга вместе — $360^\circ$.
• Находить угол последнего сектора, если остальные известны.
• Делить круг на секторы с нужными углами транспортиром.

Разминка

• Сколько градусов в полном угле? $360^\circ$ — это целый оборот.
• А в развёрнутом? $180^\circ$.
• А в прямом? $90^\circ$.
• Чему равно $360 - 110$? 250.

Разбираемся

Кусочек пиццы — это сектор

Начерти круг с центром $O$ и проведи из центра радиусы $OA$, $OB$ и $OC$. Круг распадётся на части, похожие на куски пиццы. Каждая часть — круговой сектор, или просто сектор.

📌 Сектор — часть круга между двумя радиусами и дугой, которая соединяет их концы.

Называют сектор тремя буквами, центр — посередине: $AOB$, $BOC$, $AOC$.

Угол сектора

Угол сектора — угол между его радиусами, вершина — в центре круга. Сложи углы всех секторов — получится полный угол:

$55^\circ + 80^\circ + 225^\circ = 360^\circ$.

Отсюда главный приём урока: знаешь все углы, кроме одного? Последний $= 360^\circ$ минус сумма известных.

Пример. Круг разрезан на два сектора, один — $110^\circ$. Второй: $360^\circ - 110^\circ = 250^\circ$.

⚠️ Частая ошибка. Вычитать из $180^\circ$ вместо $360^\circ$. $180^\circ$ — это только полкруга. Весь круг — $360^\circ$. Проверка: сложи все углы, должно выйти ровно 360.

Четверть и половина

Четверть круга — сектор с прямым углом $90^\circ$. Половина круга — сектор с развёрнутым углом $180^\circ$.

Строим сектор транспортиром

1. Начерти круг и проведи радиус $OA$.
2. Приложи транспортир центром к $O$, нулём — по радиусу $OA$.
3. Отметь точку у нужного числа градусов и проведи через неё второй радиус.
4. Следующий сектор строй от второго радиуса так же.

👨‍👩‍👧 Родителю. Возьмите круглый торт или пиццу. Спросите: «Режем на 4 равных куска — какой угол у каждого?» ($90^\circ$.) «А на 6?» ($60^\circ$.) Так быстро запоминается, что весь круг — 360. Это пригодится в следующем уроке, на круговых диаграммах.

Немного истории

Понятие «круг» первыми чётко описали древние греки. Слово «диаметр» — греческое, значит «поперечник». Слово «радиус» — латинское, в переводе «спица в колесе». А индийцы и вавилоняне главным в круге считали именно радиус.

🌟 Юрта — настоящий урок геометрии! Её основание — круг. Решётки-кереге по кругу образуют окружность, а их края — дуги. Шанырак наверху — тоже окружность. Жерди-уыки одним концом привязаны к кереге, а другим вставлены в шанырак — точь-в-точь радиусы, которые сходятся к центру.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Что называется сектором? Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой между их концами.
• Чему равна сумма углов всех секторов круга? $360^\circ$ — это полный угол.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 1276

Посчитай в уме четыре цепочки (каждое действие делаем с результатом предыдущего): 1) $350 \cdot 2 - 280 : 21 \cdot 7 + 190$; 2) $264 + 136 : 25 + 94 \cdot 8 - 120$; 3) $185 - 35 \cdot 4 + 360 : 32 + 170$; 4) $200 : 25 \cdot 70 - 140 : 60 + 93$.

Как думать. Это не обычный пример, а цепочка: каждый шаг — с тем, что получилось на предыдущем.

Решение.

1. $350 \cdot 2 = 700$; $700 - 280 = 420$; $420 : 21 = 20$; $20 \cdot 7 = 140$; $140 + 190 = 330$.
2. $264 + 136 = 400$; $400 : 25 = 16$; $16 + 94 = 110$; $110 \cdot 8 = 880$; $880 - 120 = 760$.
3. $185 - 35 = 150$; $150 \cdot 4 = 600$; $600 + 360 = 960$; $960 : 32 = 30$; $30 + 170 = 200$.
4. $200 : 25 = 8$; $8 \cdot 70 = 560$; $560 - 140 = 420$; $420 : 60 = 7$; $7 + 93 = 100$.

Ответ: 1) 330; 2) 760; 3) 200; 4) 100.

№ 1277

1) На сколько секторов с прямым углом можно разделить круг? 2) Сколько секторов с развёрнутым углом помещается в круге?

Решение.

1. $360^\circ : 90^\circ = 4$.
2. $360^\circ : 180^\circ = 2$ (два полукруга).

Ответ: 1) на 4; 2) 2.

Уровень A

№ 1278

В круге с центром $O$ проведены радиусы $OA$, $OB$, $OC$ и радиус вниз, продолжающий $OB$ (обозначим его конец $D$). Сколько круговых секторов на рисунке? Запиши их.

Как думать. Сектор задают два радиуса. Перебираем все пары радиусов. Каждая пара делит круг на два сектора: меньший и больший.

Решение.

1. Пары радиусов: $OA$ и $OB$, $OB$ и $OC$, $OC$ и $OD$, $OD$ и $OA$, $OA$ и $OC$, $OB$ и $OD$ — всего 6 пар.
2. Четыре сектора между соседними радиусами: $AOB$, $BOC$, $COD$, $DOA$.
3. Сектор $AOC$ из $AOB$ и $BOC$, и два полукруга, на которые круг делит диаметр $BD$ (правый — через $C$, левый — через $A$).
4. Каждая пара радиусов делит круг на два сектора. Вторые, «дополняющие» секторы: из трёх маленьких — $BOA$ через $D$ и $C$ и т.д. Итого по 2 сектора на пару: $6 \cdot 2 = 12$.

Ответ: 12 секторов: $AOB$, $BOC$, $COD$, $DOA$, их «дополнения» до круга (4 сектора из трёх соседних маленьких), сектор $AOC$ из двух маленьких с его дополнением и два полукруга $BOD$.

№ 1279

Начерти круг с центром $O$ и раздели его на 4 сектора с равными углами. Чему равен угол каждого?

Решение.

1. Угол каждого сектора $360^\circ : 4 = 90^\circ$.
2. Начерти круг, проведи диаметр.
3. Угольником (или транспортиром) построй в точке $O$ прямой угол к диаметру и проведи второй диаметр.
4. Два перпендикулярных диаметра делят круг на 4 равных сектора.

Ответ: по $90^\circ$.

№ 1280

Измерь углы секторов $NOP$ и $POR$ и вычисли угол сектора $NOR$.

Как думать. Сектор $NOR$ сложен из секторов $NOP$ и $POR$, поэтому его угол — сумма двух.

Решение.

1. Измерь транспортиром угол $NOP$: по рисунку около $85^\circ$.
2. Угол $POR$: около $40^\circ$.
3. $\angle NOR = 85^\circ + 40^\circ = 125^\circ$.

Ответ: около $125^\circ$ (точное значение зависит от твоих измерений).

№ 1281

Круг разделён на 2 сектора. Угол одного — 30% полного угла. Найди угол второго.

Решение.

1. 30% от $360^\circ$: $360 \cdot 0{,}3 = 108^\circ$.
2. Второй сектор: $360^\circ - 108^\circ = 252^\circ$.

Можно и сразу: второй — это $100% - 30% = 70%$, $360 \cdot 0{,}7 = 252^\circ$.

Ответ: $252^\circ$.

№ 1282

Во дворе играют щенки. Лап на 18 больше, чем голов. Сколько щенков?

Как думать. У щенка 1 голова и 4 лапы — лап на 3 больше. Каждый щенок добавляет к разнице 3.

Решение. $18 : 3 = 6$ щенков. Проверка: 6 голов, 24 лапы, $24 - 6 = 18$ ✓.

Ответ: 6 щенков.

Уровень B

№ 1283

Раздели круг на секторы так, чтобы углы трёх из них были $40^\circ$, $130^\circ$ и $60^\circ$. Раскрась их разными цветами и найди угол незакрашенного сектора.

Решение.

1. Проведи радиус $OA$. Транспортиром отложи от него $40^\circ$, проведи радиус $OB$.
2. От $OB$ отложи $130^\circ$ — радиус $OC$. От $OC$ отложи $60^\circ$ — радиус $OD$.
3. Раскрась три сектора разными цветами. Между $OD$ и $OA$ остался незакрашенный.
4. Его угол: $360^\circ - (40^\circ + 130^\circ + 60^\circ) = 360^\circ - 230^\circ = 130^\circ$.

Ответ: $130^\circ$.

№ 1284

Круг разделён на три сектора. Угол первого — 80% развёрнутого угла, второго — $\frac{2}{3}$ прямого. Найди угол третьего.

Решение.

1. Первый: 80% от $180^\circ$: $180 \cdot 0{,}8 = 144^\circ$.
2. Второй: $\frac{2}{3}$ от $90^\circ$: $90 : 3 \cdot 2 = 60^\circ$.
3. Третий: $360^\circ - 144^\circ - 60^\circ = 156^\circ$.

Ответ: $156^\circ$.

№ 1285

Круг разбит на четыре сектора с углами $x^\circ$, $2x^\circ$, $5x^\circ$ и $4x^\circ$. Найди угол каждого.

Как думать. Все «иксы» вместе — это весь круг, $360^\circ$.

Решение.

1. $x + 2x + 5x + 4x = 360$, $12x = 360$, $x = 30$.
2. Углы: $30^\circ$, $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$, $5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$, $4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$.
3. Проверка: $30 + 60 + 150 + 120 = 360$ ✓.

Ответ: $30^\circ$, $60^\circ$, $150^\circ$, $120^\circ$.

№ 1286

Реши уравнения: 1) $\dfrac{25}{\frac{2}{3}x + 0{,}25} = 4$; 2) $\dfrac{36}{7 - \frac{5}{6}x} = 8$; 3) $\dfrac{27}{5\frac{1}{3} + \frac{1}{9}x} = 4{,}5$.

Как думать. Неизвестен делитель: делитель $=$ делимое $:$ частное. Потом решаем то, что осталось.

Решение.

1. $\frac{2}{3}x + 0{,}25 = 25 : 4 = 6{,}25$; $\frac{2}{3}x = 6$; $x = 6 : \frac{2}{3} = 9$.
2. $7 - \frac{5}{6}x = 36 : 8 = 4{,}5$; $\frac{5}{6}x = 2{,}5 = \frac{5}{2}$; $x = \frac{5}{2} : \frac{5}{6} = 3$.
3. $5\frac{1}{3} + \frac{1}{9}x = 27 : 4{,}5 = 6$; $\frac{1}{9}x = 6 - 5\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$; $x = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$.

Ответ: 1) 9; 2) 3; 3) 6.

№ 1287

Круг разделён на три сектора. Угол первого в 3 раза больше угла второго и в 2 раза меньше угла третьего. Найди углы и построй секторы.

Как думать. Самый маленький — второй сектор, его и примем за $x$.

Решение.

1. Второй $x$, первый $3x$, третий $3x \cdot 2 = 6x$.
2. $x + 3x + 6x = 360$, $10x = 360$, $x = 36$.
3. Первый $108^\circ$, второй $36^\circ$, третий $216^\circ$. Проверка: $108 + 36 + 216 = 360$.
4. Построение: проведи радиус, отложи транспортиром $108^\circ$, от нового радиуса — $36^\circ$; оставшийся сектор и будет $216^\circ$ (его не откладываем — он больше развёрнутого).

Ответ: $108^\circ$, $36^\circ$, $216^\circ$.

№ 1288

Круг разделён на три сектора. Первый и второй вместе — $200^\circ$, второй и третий вместе — $290^\circ$. Найди угол второго.

Как думать. Сложим обе суммы: второй сектор посчитан дважды, а первый и третий — по разу.

Решение.

1. $200^\circ + 290^\circ = 490^\circ$ — это все три сектора и ещё раз второй.
2. Все три сектора — $360^\circ$. Второй: $490^\circ - 360^\circ = 130^\circ$.
3. Проверка: первый $200 - 130 = 70^\circ$, третий $290 - 130 = 160^\circ$, $70 + 130 + 160 = 360$ ✓.

Ответ: $130^\circ$.

№ 1289

За 2 мин 2 кота поймали 2 мышей. Сколько мышей поймают 4 кота за 4 мин? За сколько минут 3 кота поймают 3 мышей?

Как думать. Задача на смекалку. Сначала узнаем, сколько ловит один кот: 2 кота за 2 мин — 2 мыши, значит, один кот за 2 мин ловит одну мышь.

Решение.

1. За 4 мин один кот поймает 2 мыши. Четыре кота: $4 \cdot 2 = 8$ мышей.
2. Три кота за 2 мин поймают каждый по мыши — всего 3 мыши.

Ответ: 8 мышей; за 2 минуты.

⚠️ Частая ошибка. Ответить «3 минуты» на второй вопрос, просто повторив число 3. Коты ловят одновременно, и каждому на мышь нужно всё те же 2 минуты.

Шпаргалка

• Сектор называют тремя буквами, центр — в середине: $AOB$.
• Строим сектор транспортиром: ноль — по первому радиусу.
• Сектор больше $180^\circ$ получаем как остаток круга.

Мини-тест