8.3. Способы представления статистических данных. Столбчатые, линейные, круговые и графические диаграммы. Таблицы
Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава VIII: Диаграммы. Страницы 165–172.
Чему научишься
- Узнавать четыре вида диаграмм: столбчатую, линейную, круговую и график. И понимать, когда хватит обычной таблицы.
- Читать диаграмму: где больше всего, где меньше, что почти одинаково.
- Выбирать масштаб и строить столбики так, чтобы диаграмма «не врала».
- Переводить проценты в градусы ($1% = 3{,}6^\circ$) и чертить круговую диаграмму.
Разминка
Ответь в уме, потом открой ответ.
- Сколько градусов в полном круге? $360^\circ$ — это полный угол.
- Сколько будет 25% от 360? $25% = \frac{1}{4}$, а $360 : 4 = $ 90.
- А 10% от 360? $360 : 10 = $ 36.
- На чертеже 1 см — это 1000 км. Сколько сантиметров займут 3000 км? $3000 : 1000 = $ 3 см.
💡 Запомни ответ про 25%: четверть круга — это прямой угол, $90^\circ$. Он ещё не раз пригодится.
Разбираемся
Числа, которые видно с одного взгляда
Вот длины четырёх рек: 4200 км, 2500 км, 2400 км, 2200 км. Какая длиннее и насколько? Приходится вчитываться. А теперь посмотри на картинку ниже — ответ виден сразу. Такой рисунок называется диаграммой: он показывает числа наглядно.
Столбчатая диаграмма: соревнование столбиков
У каждого значения — свой столбик. Ширина у всех одинаковая, расстояние между ними тоже. Важна только высота: чем больше число, тем выше столбик.
Как построить на бумаге:
- Начерти прямой угол. Внизу подпишешь названия, слева — числа.
- Выбери масштаб, например 1 см — 1000 км.
- Найди высоту каждого столбика: значение раздели на масштаб.
- Нарисуй столбики и подпиши их.
Для рек выходит: Ертис $4200 : 1000 = 4{,}2$ см, Есиль 2,5 см, Жайык 2,4 см, Сырдария 2,2 см.
⚠️ Частая ошибка. Рисовать столбики «на глаз». Тогда 2500 км может оказаться выше, чем 4200 км, и диаграмма соврёт. Сначала посчитай высоты по масштабу, потом проверь: больше число — выше столбик.
Линейная диаграмма: вместо столбиков — палочки
Всё как у столбчатой, только вместо широких столбиков — отрезки. Длина отрезка и есть значение. Например, горы: пик Абая около 4000 м, Талгар около 5000 м, Хан-Тенгри около 7000 м, пик Жамбыла около 4400 м. Если 1 см — 1500 м, то отрезок для Хан-Тенгри будет $7000 : 1500 \approx 4{,}7$ см.
Круговая диаграмма: делим пирог
Круговая диаграмма показывает, из каких частей состоит целое. Весь круг — это 100%. Чем больше доля, тем шире кусок-сектор.
📌 Весь круг — $360^\circ$, поэтому $1%$ круга $= 360^\circ : 100 = 3{,}6^\circ$. Чтобы найти угол сектора, умножь проценты на $3{,}6^\circ$.
Пример: в сплаве 15% меди, 60% олова, остальное — сурьма. Сурьмы $100% - 15% - 60% = 25%$. Нажми на сектор — увидишь его угол.
Считаем углы: медь $3{,}6^\circ \cdot 15 = 54^\circ$, олово $3{,}6^\circ \cdot 60 = 216^\circ$, сурьма $360^\circ - 54^\circ - 216^\circ = 90^\circ$. Проверка: $54 + 216 + 90 = 360$. Теперь чертим круг, проводим радиус и транспортиром откладываем углы один за другим.
👨👩👧 Родителю. Когда углы посчитаны, попросите ребёнка их сложить. Должно выйти ровно $360^\circ$. Если нет — ошибка в счёте, и её лучше найти до транспортира.
График: как меняется со временем
График показывает, как что-то меняется. По горизонтали — время, по вертикали — значение. Каждое измерение — точка, точки соединяют отрезками, получается ломаная.
Вот температура в Астане 15 июля 2016 года. Нажми на точки и найди самое холодное и самое жаркое время.
Холоднее всего в 2 часа ночи — $16^\circ$C, жарче всего в 15 часов — $30^\circ$C. Ломаная идёт вверх — теплеет, вниз — холодает.
Таблица: точно и по порядку
Самый привычный способ — таблица. Аскар 10 апреля записывал температуру каждые 2 часа:
| время, ч | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| температура, °C | 0 | 2 | 3 | 5 | 7 | 9 | 13 | 12 | 10 | 7 | 5 | 3 |
Записи идут через одинаковый промежуток — 2 часа. Его называют шагом таблицы. Из таблицы легко сделать график:
Какую диаграмму выбрать
| что хочешь показать | что выбрать |
|---|---|
| сравнить несколько величин | столбчатую или линейную |
| из каких частей состоит целое | круговую |
| как величина меняется со временем | график |
| точные значения | таблицу |
Проверь, как понял
Проверь себя
- Как строится столбчатая диаграмма? Чертят прямой угол и выбирают масштаб. Для каждой величины рисуют столбик одной ширины; его высота — значение по масштабу.
- Что такое круговая диаграмма? Круг, разделённый на секторы — части целого. На каждый процент приходится $3{,}6^\circ$.
- Как изображается графическая диаграмма? Данные отмечают точками и соединяют отрезками. Получается ломаная, которая показывает, как меняется величина.
- Какие способы представить данные ты знаешь? Столбчатые, линейные, круговые и графические диаграммы, а ещё таблицы.
Решаем упражнения
Устный счёт
№ 1290
Посчитай в уме: 1) $(36{,}27 + 8{,}73) : 9$; 2) $(18 - 12{,}45) : 5$; 3) $(24 - 2{,}4) : 6$; 4) $(5{,}4 + 2{,}3) : 7$; 5) $(32{,}8 + 7{,}2) : 8$; 6) $(9{,}3 + 7{,}1) : 4$.
Как думать. Сначала скобки, потом деление. В первом и пятом примерах скобки дают круглые числа — это подарок.
Решение.
| пример | в скобках | ответ |
|---|---|---|
| 1) $(36{,}27 + 8{,}73) : 9$ | 45 | 5 |
| 2) $(18 - 12{,}45) : 5$ | 5,55 | 1,11 |
| 3) $(24 - 2{,}4) : 6$ | 21,6 | 3,6 |
| 4) $(5{,}4 + 2{,}3) : 7$ | 7,7 | 1,1 |
| 5) $(32{,}8 + 7{,}2) : 8$ | 40 | 5 |
| 6) $(9{,}3 + 7{,}1) : 4$ | 16,4 | 4,1 |
Ответ: 1) 5; 2) 1,11; 3) 3,6; 4) 1,1; 5) 5; 6) 4,1.
Уровень A
№ 1291
По диаграмме радиусов Меркурия, Венеры, Земли и Марса найди самую большую и самую маленькую планету. У каких планет радиусы почти равны?
Как думать. Выше столбик — больше радиус — больше планета.
Решение.
- Самый высокий столбик у Земли (около 6300 км), самый низкий — у Меркурия (около 2500 км).
- Венера (около 6000 км) и Земля почти одной высоты.
Ответ: 1) самая большая — Земля, самая маленькая — Меркурий; 2) примерно одинаковые радиусы у Венеры и Земли.
№ 1292
На круговой диаграмме суша занимает 29% поверхности Земли, вода — 71%. Найди углы обоих секторов.
Как думать. Каждый процент — это $3{,}6^\circ$.
Решение.
- Суша: $3{,}6^\circ \cdot 29 = 104{,}4^\circ$.
- Вода: $3{,}6^\circ \cdot 71 = 255{,}6^\circ$.
- Проверка: $104{,}4^\circ + 255{,}6^\circ = 360^\circ$ ✓.
Ответ: 1) $104{,}4^\circ$; 2) $255{,}6^\circ$.
№ 1293
В 5-этажном доме по 4 квартиры на этаже. Аскар живёт на 2-м этаже во 2-й квартире, Оля — на 4-м в 1-й, Саша — на 4-м в 3-й, Антон — на 5-м в 4-й. Все в первом подъезде. Какие у них номера квартир?
| этаж \ квартира на этаже | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | ||||
| 2 | Аскар | |||
| 3 | ||||
| 4 | Оля | Саша | ||
| 5 | Антон |
Как думать. Сначала посчитай, сколько квартир на этажах ниже, потом прибавь номер квартиры на этаже. Ниже 2-го этажа — 4 квартиры, ниже 4-го — $3 \cdot 4 = 12$, ниже 5-го — $4 \cdot 4 = 16$.
Решение.
- Аскар: $4 + 2 = 6$.
- Оля: $12 + 1 = 13$.
- Саша: $12 + 3 = 15$.
- Антон: $16 + 4 = 20$.
Проверка: всего в подъезде $5 \cdot 4 = 20$ квартир. Антон живёт в последней, на 5-м этаже ✓.
Ответ: Аскар — кв. 6, Оля — кв. 13, Саша — кв. 15, Антон — кв. 20.
№ 1294
Построй линейную диаграмму длин рек (1 см — 200 км): Аягоз 492 км, Иле 1439 км, Тобыл 1600 км, Шу 1186 км, Талас 420 км. Какая река длиннее всех, какая короче, какие примерно равны?
Как думать. Длину каждого отрезка находим делением на 200 и округляем до десятых сантиметра.
Решение.
| река | длина, км | отрезок, см |
|---|---|---|
| Аягоз | 492 | $492 : 200 \approx 2{,}5$ |
| Иле | 1439 | $1439 : 200 \approx 7{,}2$ |
| Тобыл | 1600 | $1600 : 200 = 8$ |
| Шу | 1186 | $1186 : 200 \approx 5{,}9$ |
| Талас | 420 | $420 : 200 = 2{,}1$ |
Как строить:
- Начерти прямой угол. На вертикальной стороне сделай деления через 1 см: 200, 400, 600, …, 1600 км.
- Внизу отметь пять точек на равном расстоянии и подпиши реки.
- Из каждой точки проведи вверх отрезок нужной длины из таблицы.
Вот что должно получиться (сравни со своим рисунком):
Ответ: 1) самая длинная — Тобыл; 2) самая короткая — Талас; 3) примерно одинаковы Аягоз и Талас (2,5 см и 2,1 см), а также близки Иле и Тобыл.
№ 1295
Врачи советуют делить еду за день так: завтрак 25%, второй завтрак 15%, обед 45%, ужин 15%. Построй круговую диаграмму.
Как думать. Переводим каждый процент в градусы, а потом откладываем углы транспортиром.
Решение.
| приём пищи | % | угол сектора |
|---|---|---|
| завтрак | 25 | $3{,}6^\circ \cdot 25 = 90^\circ$ |
| второй завтрак | 15 | $3{,}6^\circ \cdot 15 = 54^\circ$ |
| обед | 45 | $3{,}6^\circ \cdot 45 = 162^\circ$ |
| ужин | 15 | $3{,}6^\circ \cdot 15 = 54^\circ$ |
Проверка: $90 + 54 + 162 + 54 = 360$ ✓.
Как чертить:
- Начерти круг и проведи радиус.
- Отложи от него $90^\circ$ и проведи второй радиус — это завтрак.
- От второго радиуса отложи $54^\circ$, потом $162^\circ$. Оставшийся кусок как раз $54^\circ$.
- Раскрась секторы и подпиши.
Должно получиться так:
Ответ: углы секторов $90^\circ$, $54^\circ$, $162^\circ$ и $54^\circ$.
№ 1296
На графике — сколько продали платьев, пальто и зонтов осенью, зимой, весной и летом. Когда больше и меньше всего покупают платья и пальто? Когда больше всего берут зонты и почему?
Как думать. Ищи у каждой линии самую высокую и самую низкую точку.
Решение. Перенесём значения в таблицу:
| осень | зима | весна | лето | |
|---|---|---|---|---|
| платья | 200 | 100 | 200 | 500 |
| пальто | 400 | 500 | 300 | 100 |
| зонты | 300 | 200 | 500 | 200 |
- Больше всего: платьев — летом (500), пальто — зимой (500).
- Меньше всего: платьев — зимой (100), пальто — летом (100).
- Зонтов больше всего покупают весной (500): весной часто идут дожди.
Ответ: 1) а) летом; б) зимой; 2) а) зимой; б) летом; 3) весной, потому что весной много дождей.
№ 1297
На диаграмме — оценки за контрольную. Сколько учеников получили «5», «4», «3», «2»? Какой процент класса написал на «5» и «4»?
Как думать. Процент — это часть от всего класса. Значит, сначала нужно найти, сколько учеников всего.
Решение.
- По столбикам: «5» — 5 учеников, «4» — 13, «3» — 10, «2» — 2.
- Всего: $5 + 13 + 10 + 2 = 30$.
- На «5» и «4»: $5 + 13 = 18$, это $\frac{18}{30} = \frac{3}{5} = 60%$.
- Если нужно отдельно: на «5» — $\frac{5}{30} \approx 16{,}7%$, на «4» — $\frac{13}{30} \approx 43{,}3%$.
Ответ: 1) 5, 13, 10 и 2 ученика; 2) на «5» и «4» — 60% класса (на «5» около 16,7%, на «4» около 43,3%).
№ 1298
Вода — это 65% массы человека, 50% — животных, 59% — домашних животных, 70% — уток, 75% — рыб, 99% — медузы. Построй столбчатую диаграмму. Зависит ли доля воды от того, где живёт существо?
Как думать. Удобный масштаб: 1 см — 10%. Тогда высота столбика в сантиметрах — это проценты, делённые на 10.
Решение.
| организм | вода, % | высота столбика, см |
|---|---|---|
| человек | 65 | 6,5 |
| животные | 50 | 5 |
| домашние животные | 59 | 5,9 |
| утка | 70 | 7 |
| рыба | 75 | 7,5 |
| медуза | 99 | 9,9 |
Начерти прямой угол, слева отметь 10%, 20%, …, 100% через 1 см. Нарисуй шесть столбиков одной ширины. Сверь:
Ответ: зависит: у тех, кто живёт в воде (медуза, рыба) или у воды (утка), воды в организме больше всего.
🌟 Медуза почти целиком из воды. Если её вытащить на солнце, от неё останется лишь тонкая плёнка!
№ 1299
На диаграмме — сколько процентов углерода в разном топливе: дрова, торф, бурый уголь, каменный уголь, антрацит. Что даёт меньше и больше всего тепла и сколько в нём углерода? Почему зимой часто топят каменным углём?
Как думать. Чем больше в топливе углерода, тем больше тепла оно даёт, когда горит.
Решение.
- Меньше всего углерода у сухих дров — около 50%. Они дают меньше всего тепла.
- Больше всего — у антрацита, около 95%. Он даёт больше всего тепла.
- В каменном угле около 90% углерода: он даёт много тепла и долго горит. В Казахстане его много добывают (например, в Караганде и Экибастузе), поэтому он доступен.
Ответ: 1) сухие дрова, около 50%; 2) антрацит, около 95%; 3) каменный уголь даёт много тепла (около 90% углерода) и доступен.
№ 1300
Скорости: охотничья собака 18 м/с, лиса 10 м/с, заяц 14 м/с. Кто быстрее — лиса или заяц, и на сколько? Кого собака догонит быстрее?
Как думать. Собака догоняет того быстрее, к кому за секунду приближается сильнее.
Решение.
- Заяц быстрее лисы: $14 - 10 = 4$ м/с.
- Каждую секунду собака приближается к лисе на $18 - 10 = 8$ м, а к зайцу — на $18 - 14 = 4$ м.
- Если оба убегают с одинакового расстояния, лису собака догонит в 2 раза быстрее.
Ответ: 1) заяц, на 4 м/с; 2) лису.
№ 1301
Как ты проводишь сутки: школа, уроки, дела по дому, игры, сон? Построй круговую диаграмму своего времени.
Как думать. Сутки — это 24 часа и весь круг $360^\circ$. На 1 час приходится $360^\circ : 24 = 15^\circ$.
Решение. У каждого свои часы. Вот пример:
| занятие | часов | угол сектора |
|---|---|---|
| школа | 6 | $6 \cdot 15^\circ = 90^\circ$ |
| домашнее задание | 2 | $30^\circ$ |
| работа по дому | 1 | $15^\circ$ |
| игры, прогулки | 3 | $45^\circ$ |
| сон | 9 | $135^\circ$ |
| остальное (еда, дорога) | 3 | $45^\circ$ |
Проверка: $6 + 2 + 1 + 3 + 9 + 3 = 24$ ч и $90 + 30 + 15 + 45 + 135 + 45 = 360^\circ$ ✓. Дальше чертим круг и откладываем углы транспортиром, как в № 1295.
Ответ: у каждого свой; главное — сумма часов 24, сумма углов $360^\circ$ (1 ч = $15^\circ$).
👨👩👧 Родителю. Составьте таблицу вместе с ребёнком по его настоящему дню. Хороший повод обсудить, хватает ли ему сна и прогулок.
Шпаргалка
- Сначала масштаб, потом длины столбиков: значение $:$ масштаб.
- Угол сектора = проценты $\cdot\ 3{,}6^\circ$; все углы вместе дают $360^\circ$.
- Если целое — сутки, то 1 ч = $15^\circ$.
- График идёт вверх — величина растёт, вниз — падает.