9.1. Прямоугольный параллелепипед и его развертка

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава IX: Развертки пространственных фигур. Страницы 173–176.

Чему научишься

• Считать у коробки грани, рёбра и вершины (их 6, 12 и 8).
• Называть длину, ширину и высоту и узнавать куб среди коробок.
• Понимать, что такое развёртка, и находить на ней противоположные грани.
• Находить сумму длин рёбер, площадь поверхности и объём параллелепипеда и куба.

Разминка

Ответь в уме, потом открой ответ.

• Площадь прямоугольника 5 см на 3 см? $5 \cdot 3 = $ 15 см$^2$.
• Площадь квадрата со стороной 4 см? $4 \cdot 4 = $ 16 см$^2$.
• Объём коробки 2 см × 3 см × 4 см? $V = a \cdot b \cdot c = 2 \cdot 3 \cdot 4 = $ 24 см$^3$.
• Объём куба с ребром 3 см? $3 \cdot 3 \cdot 3 = $ 27 см$^3$.

Разбираемся

Коробка, кирпич и шкаф — одна фигура

Спичечный коробок, кирпич, шкаф, коробка от обуви — всё это прямоугольные параллелепипеды. Длинное слово, но фигура знакомая: её поверхность состоит из 6 прямоугольников. Эти прямоугольники называют гранями.

• Ребро — линия, где встречаются две грани.
• Вершина — точка, где сходятся три ребра.

📌 Противоположные грани параллелепипеда равны. Значит, грани идут парами: верх и низ, перед и зад, левая и правая.

Длина, ширина, высота

Из каждой вершины выходят три ребра. Их длины называют длиной, шириной и высотой, а вместе — измерениями. Обозначим их $a$, $b$, $c$.

Двенадцать рёбер делятся на три четвёрки одинаковых. Отсюда три формулы:

• сумма длин всех рёбер: $4 \cdot (a + b + c)$;
• площадь поверхности: $S = 2 \cdot (ab + bc + ac)$;
• объём: $V = a \cdot b \cdot c$.

Пример: коробка 5 см × 3 см × 2 см. Рёбра: $4 \cdot (5 + 3 + 2) = 40$ см. Поверхность: $2 \cdot (15 + 6 + 10) = 62$ см$^2$. Объём: $5 \cdot 3 \cdot 2 = 30$ см$^3$.

⚠️ Частая ошибка. Путают площадь поверхности и объём. Площадь — сколько бумаги уйдёт, чтобы обклеить коробку (см$^2$). Объём — сколько влезет внутрь (см$^3$). И ещё: в сумме рёбер забывают умножить на 4.

Куб — самая «честная» коробка

Куб — параллелепипед, у которого все измерения равны. Все 6 граней — одинаковые квадраты. Для куба с ребром $a$: сумма рёбер $12a$, площадь поверхности $6a^2$, объём $a^3$.

Развёртка: коробка, которую разрезали

Разрежь коробку по нескольким рёбрам так, чтобы она легла плоско и не распалась на куски. Получится развёртка — все шесть граней, приложенные друг к другу. Обычно это четыре боковые грани в ряд и две «крышки» сверху и снизу.

Вот развёртка коробки 4 × 2 × 3 клетки. Равные грани покрашены одним цветом:

У куба развёртка — 6 одинаковых квадратов. Таких развёрток ровно 11 разных! Самая известная — «крест». Здесь грани одного цвета при сворачивании окажутся друг напротив друга:

Как по развёртке найти противоположные грани

1. В ряду из четырёх граней противоположны грани через одну: 1-я и 3-я, 2-я и 4-я.
2. Две грани, приставленные к ряду сверху и снизу, — тоже пара (верх и низ).
3. Соседние на развёртке грани никогда не бывают противоположными.

👨‍👩‍👧 Родителю. Лучший помощник здесь — ножницы и клетчатая бумага. Нарисуйте с ребёнком развёртку куба, вырежьте и сложите. После двух-трёх раз он начнёт «видеть» сгибы в уме.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какие предметы похожи на прямоугольный параллелепипед? Кирпич, спичечный коробок, шкаф, книга, коробка от обуви, аквариум.
• Сколько у него граней? 6.
• Сколько рёбер и вершин? 12 рёбер и 8 вершин.
• Какой параллелепипед называют кубом? Тот, у которого длина, ширина и высота равны.
• Что такое развёртка? Плоская фигура из всех граней тела. Она получается, если разрезать поверхность по некоторым рёбрам и развернуть.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 1302

Посчитай в уме: 1) $808 : 4$; $1515 : 3$; $1212 : 6$. 2) $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$; $36{,}36 : 18$; $\frac{1}{3} + \frac{1}{6}$. 3) $70{,}7 : 7$; $\frac{2}{5} - \frac{1}{10}$; $45{,}45 : 9$. 4) $\frac{2}{3} : \frac{4}{9}$; $21{,}7 : 7$; $\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{10}$.

Как думать. Числа вроде 808, 1515, 36,36 делятся «по кусочкам»: $808 : 4$ — это $800 : 4$ и $8 : 4$. Дроби складываем, приводя к общему знаменателю.

Решение.

1. $808 : 4 = $ 202; $1515 : 3 = $ 505; $1212 : 6 = $ 202.
2. $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = $ $\frac{3}{4}$; $36{,}36 : 18 = $ 2,02; $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = $ $\frac{1}{2}$.
3. $70{,}7 : 7 = $ 10,1; $\frac{2}{5} - \frac{1}{10} = \frac{4}{10} - \frac{1}{10} = $ $\frac{3}{10}$; $45{,}45 : 9 = $ 5,05.
4. $\frac{2}{3} : \frac{4}{9} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{2} = $ $1\frac{1}{2}$; $21{,}7 : 7 = $ 3,1; $\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{10} = \frac{15}{60} = $ $\frac{1}{4}$.

Ответ: 1) 202; 505; 202. 2) $\frac{3}{4}$; 2,02; $\frac{1}{2}$. 3) 10,1; $\frac{3}{10}$; 5,05. 4) $1\frac{1}{2}$; 3,1; $\frac{1}{4}$.

Уровень A

№ 1303

Сколько проволоки нужно на каркас куба с ребром 15 см?

Как думать. Каркас — это все рёбра, как у скелета. У куба 12 одинаковых рёбер.

Решение. $12 \cdot 15 = 180$ см.

Ответ: 180 см (1 м 80 см).

№ 1304

Вот развёртка куба. Если закрашенная грань сверху, какая грань будет снизу? Какая слева, какая справа?

Как думать. В ряду из четырёх граней противоположны грани через одну. Закрашенная — 2-я в ряду, значит, напротив неё 4-я.

Решение.

1. Закрашенная грань сверху. Ряд сгибаем вниз вокруг неё.
2. Круг (слева от закрашенной) опускается вниз и становится левой гранью.
3. Звезда (справа от закрашенной) становится правой гранью.
4. Треугольник, 4-я грань ряда, уходит под куб и становится нижней.
5. «Сапожок» и полумесяц — передняя и задняя грани, они противоположны друг другу.

Если повернуть куб другой стороной к себе, левая и правая поменяются местами. Но пара «круг — звезда» всегда противоположна.

Ответ: нижняя — треугольник; левая — круг; правая — звезда (сапожок и полумесяц — передняя и задняя).

Уровень B

№ 1305

Периметр грани куба 32 см. Найди площадь поверхности и объём куба.

Как думать. Грань куба — квадрат. По периметру квадрата находим его сторону, а это и есть ребро куба.

Решение.

1. Ребро: $32 : 4 = 8$ см.
2. Площадь одной грани: $8 \cdot 8 = 64$ см$^2$.
3. Площадь поверхности: $6 \cdot 64 = 384$ см$^2$.
4. Объём: $8 \cdot 8 \cdot 8 = 512$ см$^3$.

Ответ: 384 см$^2$; 512 см$^3$.

№ 1306

Параллелепипед сложен из развёртки на клетчатой бумаге (2 клетки = 1 см). Найди длину, ширину, высоту и площадь поверхности.

Как думать. Считаем клетки на развёртке и делим на 2 — получаем сантиметры.

Решение. На развёртке:

• три прямоугольника по 4 × 8 клеток, то есть 2 см × 4 см;
• два квадрата по 4 × 4 клетки, то есть 2 см × 2 см;
• один прямоугольник 8 × 4 клетки, то есть 4 см × 2 см.

1. Длинное ребро — 4 см, два других — по 2 см. Длина 4 см, ширина 2 см, высота 2 см.
2. Четыре грани по $4 \cdot 2 = 8$ см$^2$ и две грани по $2 \cdot 2 = 4$ см$^2$.
3. Площадь поверхности: $4 \cdot 8 + 2 \cdot 4 = 32 + 8 = 40$ см$^2$.

Проверка по формуле: $2 \cdot (4 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 4 \cdot 2) = 2 \cdot 20 = 40$ см$^2$ ✓.

Ответ: 1) длина 4 см, ширина 2 см, высота 2 см; 2) 40 см$^2$.

№ 1307

Начерти развёртку куба с ребром 2 см и найди площадь его поверхности.

Как думать. Удобнее всего «крест»: четыре квадрата в ряд и по квадрату сверху и снизу.

Решение.

1. Нарисуй в ряд 4 квадрата со стороной 2 см (на клетчатой бумаге это 4 × 4 клетки каждый). Получится полоса 8 см × 2 см.
2. Над вторым квадратом и под ним пририсуй ещё по квадрату 2 см × 2 см. Получится «крест».
3. Площадь одной грани: $2 \cdot 2 = 4$ см$^2$.
4. Площадь поверхности: $6 \cdot 4 = 24$ см$^2$.

Вот как должно выглядеть в тетради (1 клетка — 0,5 см):

Ответ: 24 см$^2$.

Уровень C

№ 1308

Сумма рёбер параллелепипеда 13 см × 8 см × 6 см равна сумме рёбер куба. Найди объём куба.

Как думать. Проволока одна и та же: сначала узнаём её длину по параллелепипеду, потом делим на 12 рёбер куба.

Решение.

1. Сумма рёбер параллелепипеда: $4 \cdot (13 + 8 + 6) = 4 \cdot 27 = 108$ см.
2. Ребро куба: $108 : 12 = 9$ см.
3. Объём куба: $9 \cdot 9 \cdot 9 = 729$ см$^3$.

Ответ: 729 см$^3$.

№ 1309

Какие из этих фигур из шести квадратов — развёртки куба?

Как думать. Мысленно сгибаем фигуру. Если две грани ложатся на одно место — это не развёртка. Удобный признак: к «полосе» из четырёх квадратов можно приставить по одному квадрату с каждой стороны, но не два квадрата подряд с одной стороны.

Решение.

1. Фигура №1: столбец C, D, E, F и слева от D два квадрата подряд — B и A. B станет боковой «крышкой», а A ляжет на одну из граней столбца. Не развёртка.
2. Фигура №2: ряд B, D, E, F, над D — C, под B — A. Ряд сворачивается в кольцо, C и A закрывают его сверху и снизу. Развёртка.
3. Фигура №3: ряд B, D, F, над B — A, под B — C, над F — E. Если B — дно, то A, C, D — бока, F — верх, а E, пристроенный к F с той же стороны, что и A, ложится на место A. Не развёртка.
4. Фигура №4: «лесенка» A; B, C, D; E, F. Сгибаем: B — дно, A, C — бока, D — бок напротив A, E — верх, F — оставшийся бок. Все грани разные. Развёртка.

Ответ: развёртками куба являются №2 и №4.

№ 1310

Сумма всех рёбер параллелепипеда 112 см, длина + высота = 19 см, высота + ширина = 13 см. Найди объём и выбери ответ: A. 540 см$^3$; B. 432 см$^3$; C. 405 см$^3$; D. 420 см$^3$.

Как думать. Сумма рёбер — это 4 раза (длина + ширина + высота). Найдя эту сумму, по очереди «выуживаем» каждое измерение.

Решение.

1. $a + b + c = 112 : 4 = 28$ см.
2. Ширина: $28 - (a + c) = 28 - 19 = 9$ см.
3. Высота: $13 - 9 = 4$ см.
4. Длина: $19 - 4 = 15$ см.
5. Объём: $15 \cdot 9 \cdot 4 = 540$ см$^3$.

Проверка: $4 \cdot (15 + 9 + 4) = 112$ ✓.

Ответ: A. 540 см$^3$.

№ 1311

Развёртка куба: в ряд квадраты MBAO, BCSA, CFNS, FKLN; над CFNS — квадрат DEFC, под ним — SNPR. Какие точки совпадут с D, E, K, L, когда сложишь куб? Какая сторона совпадёт с DE?

Как думать. Пусть квадрат CFNS — дно куба. Остальные квадраты поднимаем вверх. Точки, которые окажутся в одной вершине верхней грани, и совпадут.

Решение.

1. Квадрат BCSA поднимается вдоль CS: точка B встаёт над C, точка A — над S.
2. Квадрат FKLN поднимается вдоль FN: K встаёт над F, L — над N.
3. Квадрат DEFC поднимается вдоль CF: D встаёт над C, E — над F.
4. Квадрат SNPR поднимается вдоль SN: R встаёт над S, P — над N.
5. Квадрат MBAO ложится сверху как крышка: M оказывается над F, O — над N.

Собираем точки по вершинам верхней грани:

• над C: D и B;
• над F: E, K и M;
• над N: L, O и P;
• над S: A и R.

Сторона DE идёт от вершины «над C» к вершине «над F». Такая же сторона у квадрата MBAO — это BM.

Ответ: 1) D совместится с B; E — с M и K; K — с M и E; L — с O и P. 2) Со стороной DE совместится сторона MB.

👨‍👩‍👧 Родителю. Эту задачу проще всего решить руками: перерисуйте развёртку на бумагу, подпишите вершины, вырежьте и сложите. Совпавшие буквы окажутся в одном углу.

№ 1312

Куб с ребром 2 см складывают из полоски 2 см × 14 см: 7 квадратов (A, половинки грани B, C, D, E, половинки грани B, F), с перегибами по диагоналям. 1) Сложи куб сам. 2) Какой из кубов №1, №2, №3 получен из этой полоски?

Как думать. Площадь полоски $2 \cdot 14 = 28$ см$^2$, а поверхность куба $6 \cdot 2 \cdot 2 = 24$ см$^2$. Лишние 4 см$^2$ — две половинки без подписи, которые уходят внутрь при перегибе. Две половинки $\frac{1}{2}B$ вместе дают целую грань B.

Решение.

1. Вырежи полоску 2 см × 14 см и раздели её на 7 квадратов. Во 2-м и 6-м квадрате проведи диагонали, как на рисунке.
2. Перегни полоску по этим диагоналям. Получится плоская фигура: ряд C, D, E, с концов которого торчат треугольники $\frac{1}{2}B$, внизу слева квадрат A, вверху справа квадрат F.
3. Сверни ряд C, D, E в кольцо: два треугольника $\frac{1}{2}B$ сойдутся и закроют четвёртую боковую грань. A и F станут крышками сверху и снизу.
4. Противоположные грани получаются такие: A и F, B и D, C и E.
5. Значит, на кубе никогда не видны одновременно A и F, или B и D, или C и E. Сверяем с рисунками: у куба №2 видны D и B — так не бывает. У куба №1 видны C, F и B — эти грани соседние, такое возможно. У куба №3, судя по описанию рисунка, видны A и F.

Проще всего проверить на практике: сложи куб из полоски и сравни его с рисунками.

Ответ: 1) куб складывается перегибами по двум диагоналям; 2) по описанию рисунка подходит куб №1 (противоположные грани A–F, B–D, C–E).

Шпаргалка

• Противоположные грани параллелепипеда равны.
• В ряду из четырёх граней развёртки противоположны грани через одну.
• Две «крышки» по краям ряда — тоже противоположные.
• Соседние на развёртке грани напротив друг друга не бывают.

Мини-тест