§ 2. Пропорция. Основное свойство пропорции

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 1: Отношения и пропорции. Страницы 24–31.

Чему научишься

• Узнавать пропорцию среди равенств.
• Называть крайние и средние члены пропорции.
• Проверять пропорцию «крест-накрест» — основным свойством.
• Находить неизвестный член пропорции и решать такие уравнения.
• Составлять из одной пропорции несколько новых.

Разминка

Это задания № 108–110 из прошлого урока — они разогревают как раз то, что нужно сегодня.

• Сколько будет $259 \cdot 804$? $207,200 + 1036 = $ 208 236.
• А $\frac{87}{100} \cdot 6\frac{26}{29}$? $\frac{87}{100} \cdot \frac{200}{29} = $ 6.
• Что больше: $0{,}15 \cdot 6{,}6$ или $0{,}003 \cdot 33$? Первое: $0{,}99 > 0{,}099$.
• Реши $2x \cdot 0{,}25 = 64$. $0{,}5x = 64$, $x = 128$.
• Чему равно $15 : 3$ и $30 : 6$? Оба отношения равны 5.

💡 Последний вопрос — подсказка. Два разных отношения оказались равны. Такое равенство и есть герой урока.

Разбираемся

Два равных отношения

На 2 стакана риса берут 4 стакана воды. На 3 стакана риса — 6 стаканов воды. Отношения $2 : 4$ и $3 : 6$ равны: оба равны $\frac{1}{2}$.

📌 Пропорция — это верное равенство двух отношений: $a : b = c : d$, или $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Слово «верное» тут главное. $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$ — пропорция: обе дроби равны 0,75. А $\frac{3}{4} = \frac{5}{6}$ — нет: $0{,}75 \ne 0{,}8333\ldots$ Такое равенство просто неверно.

Читают пропорцию так: «$a$, делённое на $b$, равно $c$, делённому на $d$» или «отношение $a$ к $b$ равно отношению $c$ к $d$».

🌟 Пропорции живут в рецептах, лекарствах, картах, архитектуре и даже в рисунке лица. Художники давно заметили: глаза делят голову примерно пополам по высоте.

Крайние и средние

В записи $a : b = c : d$:

• $a$ и $d$ стоят по краям — это крайние члены;
• $b$ и $c$ стоят в середине — это средние члены.

💡 Как запомнить: прочитай пропорцию в строчку. Кто «с краю», тот крайний. Кто «в серединке», тот средний.

Главный секрет: крест-накрест

Возьмём $3 : 5 = 6 : 10$. Перемножим крайние: $3 \cdot 10 = 30$. Перемножим средние: $5 \cdot 6 = 30$. Совпало! Проверим ещё: в $7{,}2 : 6 = 36 : 30$ получаем $7{,}2 \cdot 30 = 216$ и $6 \cdot 36 = 216$.

📌 Основное свойство пропорции. Произведение крайних членов равно произведению средних: если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то $a \cdot d = b \cdot c$.

Почему так всегда? Приведём дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ к общему знаменателю $bd$: получим $\frac{ad}{bd} = \frac{cb}{bd}$. Знаменатели одинаковые, дроби равны — значит, равны и числители: $ad = bc$.

На дробях это выглядит как крестик: числитель одной дроби умножаем на знаменатель другой.

Проверка: пропорция или нет?

$\frac{7}{9{,}1} = \frac{10}{13}$: $7 \cdot 13 = 91$ и $9{,}1 \cdot 10 = 91$. Равны — пропорция.

$\frac{7}{9{,}1} = \frac{9}{1{,}7}$: $7 \cdot 1{,}7 = 11{,}9$, а $9{,}1 \cdot 9 = 81{,}9$. Не равны — не пропорция.

Ищем неизвестный член

Решим $\frac{28}{49} = \frac{4}{x}$. По свойству: $28 \cdot x = 49 \cdot 4$, то есть $28x = 196$, и $x = 196 : 28 = 7$.

📌 Короткое правило. Неизвестный крайний член = произведение средних : известный крайний. Неизвестный средний член = произведение крайних : известный средний.

⚠️ Частая ошибка. Перемножают «соседей» по горизонтали: $28 \cdot 4$. Нет! Перемножаем по диагонали: числитель левой дроби со знаменателем правой.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка после решения подставить найденное число и проверить крест-накрест. Пять секунд — и ошибки нет. Эта привычка сильно поможет в 7 классе.

Одна пропорция — четыре варианта

Из $\frac{13}{14} = \frac{39}{42}$ знаем: $13 \cdot 42 = 14 \cdot 39$. То же равенство дают и другие пропорции:

• $\frac{13}{39} = \frac{14}{42}$ — поменяли местами средние члены;
• $\frac{42}{14} = \frac{39}{13}$ — поменяли местами крайние члены;
• $\frac{42}{39} = \frac{14}{13}$ — поменяли и те, и другие.

Ещё столько же получим, если перевернуть обе дроби. Всего из одной пропорции выходит 8 записей.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Почему $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$ — пропорция, а $\frac{3}{4} = \frac{5}{6}$ — нет? В первом равенстве $3 \cdot 8 = 4 \cdot 6 = 24$, равенство верное. Во втором $3 \cdot 6 = 18$, а $4 \cdot 5 = 20$ — равенство неверное.
• Чему равны произведения крайних и средних в $3 : 5 = 6 : 10$ и $7{,}2 : 6 = 36 : 30$? В первой оба произведения равны 30, во второй — 216. Они совпадают.
• Любое ли равенство двух отношений — пропорция? Нет, только верное. Неверное равенство пропорцией не называют.
• Приведи пример равенства двух отношений, которое не пропорция. $2 : 3 = 4 : 5$: ведь $2 \cdot 5 = 10$, а $3 \cdot 4 = 12$.
• Как из одной пропорции получить другие? Поменять местами средние члены, или крайние, или и те, и другие. Ещё можно перевернуть обе дроби.
• Чем $\frac{42}{14} = \frac{39}{13}$ и $\frac{42}{39} = \frac{14}{13}$ отличаются от $\frac{13}{14} = \frac{39}{42}$? В первой поменяли местами крайние члены 13 и 42. Во второй поменяли и крайние, и средние.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 111

Пропорция ли это? 1) $\frac{2}{5} = \frac{4}{10}$; 2) $\frac{4}{7} = \frac{8}{14}$; 3) $\frac{5}{6} = \frac{15}{18}$; 4) $\frac{3}{4} = \frac{12}{20}$.

Как думать. Проверяем крест-накрест.

Решение.

1. $2 \cdot 10 = 20$, $5 \cdot 4 = 20$ — да.
2. $4 \cdot 14 = 56$, $7 \cdot 8 = 56$ — да.
3. $5 \cdot 18 = 90$, $6 \cdot 15 = 90$ — да.
4. $3 \cdot 20 = 60$, $4 \cdot 12 = 48$ — нет.

Ответ: 1), 2), 3) — пропорции; 4) — нет.

№ 112

При каком $b$ получится пропорция? 1) $\frac{3}{4} = \frac{b}{12}$; 2) $\frac{b}{5} = \frac{6}{15}$; 3) $\frac{2}{9} = \frac{8}{b}$; 4) $\frac{10}{b} = \frac{30}{33}$.

Решение.

1. $4b = 3 \cdot 12 = 36$, $b = 9$.
2. $15b = 5 \cdot 6 = 30$, $b = 2$.
3. $2b = 9 \cdot 8 = 72$, $b = 36$.
4. $30b = 10 \cdot 33 = 330$, $b = 11$.

Ответ: 1) 9; 2) 2; 3) 36; 4) 11.

№ 113

Запиши двумя способами равенство отношений и проверь, пропорция ли это: 1) 5 относится к 10, как 3 к 6; 2) отношение 7 к 2 равно отношению 28 к 8; 3) 45 во столько раз больше 20, во сколько 9 больше 4; 4) 7 составляет от 11 такую же часть, как 14 от 22.

Решение.

1. $5 : 10 = 3 : 6$, или $\frac{5}{10} = \frac{3}{6}$. Проверка: $5 \cdot 6 = 30 = 10 \cdot 3$ ✓.
2. $7 : 2 = 28 : 8$, или $\frac{7}{2} = \frac{28}{8}$. $7 \cdot 8 = 56 = 2 \cdot 28$ ✓.
3. $45 : 20 = 9 : 4$, или $\frac{45}{20} = \frac{9}{4}$. $45 \cdot 4 = 180 = 20 \cdot 9$ ✓.
4. $7 : 11 = 14 : 22$, или $\frac{7}{11} = \frac{14}{22}$. $7 \cdot 22 = 154 = 11 \cdot 14$ ✓.

Ответ: все четыре равенства — пропорции.

№ 114

Проверь двумя способами: 1) $2{,}5 : 8 = 5 : 16$; 2) $0{,}14 : 3 = 0{,}42 : 9$; 3) $13 : 1{,}7 = 26 : 3{,}4$; 4) $0{,}04 : 10 = 0{,}2 : 50$.

Как думать. Способ 1 — посчитать оба отношения. Способ 2 — сравнить произведения крайних и средних.

Решение.

Ответ: все четыре равенства — пропорции.

№ 115

Составь, если можно, пропорцию из чисел: 1) 3; 4; 2; 6; 2) 2; 3; 6; 9; 3) 4; 5; 15; 12; 4) 0,6; 1,5; 2; 5.

Как думать. Ищем две пары с одинаковым произведением. Одна пара станет крайними членами, другая — средними.

Решение.

1. $3 \cdot 4 = 12 = 2 \cdot 6$ → $3 : 2 = 6 : 4$.
2. $2 \cdot 9 = 18 = 3 \cdot 6$ → $2 : 3 = 6 : 9$.
3. $4 \cdot 15 = 60 = 5 \cdot 12$ → $4 : 5 = 12 : 15$.
4. $0{,}6 \cdot 5 = 3 = 1{,}5 \cdot 2$ → $0{,}6 : 1{,}5 = 2 : 5$.

Ответ: во всех случаях можно, например: $3 : 2 = 6 : 4$; $2 : 3 = 6 : 9$; $4 : 5 = 12 : 15$; $0{,}6 : 1{,}5 = 2 : 5$.

№ 116

Составь по две пропорции, у которых отношение равно: 1) 5; 2) 6; 3) 9; 4) 10.

Как думать. Берём любое число и умножаем на нужное значение — получаем отношение. Ответов бесконечно много, вот примеры.

Решение.

1. $10 : 2 = 15 : 3$; $25 : 5 = 40 : 8$.
2. $12 : 2 = 18 : 3$; $36 : 6 = 6 : 1$.
3. $18 : 2 = 27 : 3$; $45 : 5 = 90 : 10$.
4. $20 : 2 = 50 : 5$; $100 : 10 = 7 : 0{,}7$.

Ответ: например, те, что выше.

№ 117

Найди звёздочку: 1) $115 : * = 46 : 2$; 2) $87 : 3 = * : 10$; 3) $ : 19 = 55 : 11$; 4) $208 : * = 28 : 7$.*

Решение.

1. $* = 115 \cdot 2 : 46 = 5$.
2. $* = 87 \cdot 10 : 3 = 290$.
3. $* = 19 \cdot 55 : 11 = 95$.
4. $* = 208 \cdot 7 : 28 = 52$.

Ответ: 1) 5; 2) 290; 3) 95; 4) 52.

№ 118

Найди звёздочку: 1) $3{,}5 : * = 2 : 0{,}4$; 2) $0{,}56 : 80 = * : 1000$; 3) $ : 4{,}4 = 6 : 12$; 4) $9{,}63 : * = 4{,}5 : 0{,}15$.*

Решение.

1. $* = 3{,}5 \cdot 0{,}4 : 2 = 0{,}7$.
2. $* = 0{,}56 \cdot 1000 : 80 = 7$.
3. $* = 4{,}4 \cdot 6 : 12 = 2{,}2$.
4. $* = 9{,}63 \cdot 0{,}15 : 4{,}5 = 0{,}321$.

Ответ: 1) 0,7; 2) 7; 3) 2,2; 4) 0,321.

№ 119

Составь новые пропорции из: 1) $24 : 8 = 4{,}8 : 1{,}6$; 2) $58 : 2{,}9 = 5 : 0{,}25$; 3) $7{,}2 : 36 = 8 : 40$; 4) $7{,}07 : 101 = 28 : 400$.

Как думать. Меняем местами средние, крайние или и те, и другие.

Решение.

1. $24 : 4{,}8 = 8 : 1{,}6$; $1{,}6 : 8 = 4{,}8 : 24$; $1{,}6 : 4{,}8 = 8 : 24$.
2. $58 : 5 = 2{,}9 : 0{,}25$; $0{,}25 : 2{,}9 = 5 : 58$; $0{,}25 : 5 = 2{,}9 : 58$.
3. $7{,}2 : 8 = 36 : 40$; $40 : 36 = 8 : 7{,}2$; $40 : 8 = 36 : 7{,}2$.
4. $7{,}07 : 28 = 101 : 400$; $400 : 101 = 28 : 7{,}07$; $400 : 28 = 101 : 7{,}07$.

Ответ: например, пропорции выше.

№ 120

Составь новые пропорции из: 1) $\frac{15}{17} = \frac{30}{34}$; 2) $\frac{8}{30} = \frac{0{,}4}{1{,}5}$; 3) $\frac{0{,}9}{7{,}1} = \frac{9}{71}$; 4) $\frac{0{,}6}{1{,}3} = \frac{3{,}6}{7{,}8}$.

Решение.

1. $\frac{15}{30} = \frac{17}{34}$; $\frac{34}{17} = \frac{30}{15}$; $\frac{34}{30} = \frac{17}{15}$.
2. $\frac{8}{0{,}4} = \frac{30}{1{,}5}$; $\frac{1{,}5}{30} = \frac{0{,}4}{8}$; $\frac{1{,}5}{0{,}4} = \frac{30}{8}$.
3. $\frac{0{,}9}{9} = \frac{7{,}1}{71}$; $\frac{71}{7{,}1} = \frac{9}{0{,}9}$; $\frac{71}{9} = \frac{7{,}1}{0{,}9}$.
4. $\frac{0{,}6}{3{,}6} = \frac{1{,}3}{7{,}8}$; $\frac{7{,}8}{1{,}3} = \frac{3{,}6}{0{,}6}$; $\frac{7{,}8}{3{,}6} = \frac{1{,}3}{0{,}6}$.

Ответ: например, пропорции выше.

№ 121

Составь пропорции из верных равенств: 1) $21 \cdot 4 = 7 \cdot 12$; 2) $3{,}2 \cdot 5 = 10 \cdot 1{,}6$; 3) $19 \cdot 3{,}3 = 0{,}11 \cdot 570$; 4) $0{,}48 \cdot 3 = 2{,}4 \cdot 0{,}6$.

Как думать. Множители левой части делаем крайними членами, правой — средними. Например, из $ad = bc$ получаем $a : b = c : d$.

Решение.

1. $21 : 7 = 12 : 4$; $21 : 12 = 7 : 4$; $4 : 7 = 12 : 21$; $4 : 12 = 7 : 21$.
2. $3{,}2 : 10 = 1{,}6 : 5$; $3{,}2 : 1{,}6 = 10 : 5$; $5 : 10 = 1{,}6 : 3{,}2$; $5 : 1{,}6 = 10 : 3{,}2$.
3. $19 : 0{,}11 = 570 : 3{,}3$; $19 : 570 = 0{,}11 : 3{,}3$; $3{,}3 : 0{,}11 = 570 : 19$; $3{,}3 : 570 = 0{,}11 : 19$.
4. $0{,}48 : 2{,}4 = 0{,}6 : 3$; $0{,}48 : 0{,}6 = 2{,}4 : 3$; $3 : 2{,}4 = 0{,}6 : 0{,}48$; $3 : 0{,}6 = 2{,}4 : 0{,}48$.

Ответ: например, пропорции выше.

№ 122

Составь пропорцию из равенства и сделай все перестановки её членов: 1) $13 \cdot 20 = 26 \cdot 10$; 2) $52 \cdot 6 = 39 \cdot 8$; 3) $3{,}8 \cdot 8 = 1{,}9 \cdot 16$; 4) $6{,}8 \cdot 9 = 3{,}6 \cdot 17$.

Как думать. Сначала 4 пропорции, где крайние — множители левой части. Потом ещё 4, где крайними становятся множители правой части.

Решение.

1. Показано по шагам выше.

2. $52 : 39 = 8 : 6$; $52 : 8 = 39 : 6$; $6 : 39 = 8 : 52$; $6 : 8 = 39 : 52$; $39 : 52 = 6 : 8$; $39 : 6 = 52 : 8$; $8 : 52 = 6 : 39$; $8 : 6 = 52 : 39$.

3. $3{,}8 : 1{,}9 = 16 : 8$; $3{,}8 : 16 = 1{,}9 : 8$; $8 : 1{,}9 = 16 : 3{,}8$; $8 : 16 = 1{,}9 : 3{,}8$; $1{,}9 : 3{,}8 = 8 : 16$; $1{,}9 : 8 = 3{,}8 : 16$; $16 : 3{,}8 = 8 : 1{,}9$; $16 : 8 = 3{,}8 : 1{,}9$.

4. $6{,}8 : 3{,}6 = 17 : 9$; $6{,}8 : 17 = 3{,}6 : 9$; $9 : 3{,}6 = 17 : 6{,}8$; $9 : 17 = 3{,}6 : 6{,}8$; $3{,}6 : 6{,}8 = 9 : 17$; $3{,}6 : 9 = 6{,}8 : 17$; $17 : 6{,}8 = 9 : 3{,}6$; $17 : 9 = 6{,}8 : 3{,}6$.

Ответ: в каждом пункте по 8 пропорций (выписаны выше).

№ 123

Найди неизвестное: 1) $15 : 3 = x : 6$; 2) $y : 9 = 50 : 5$; 3) $26 : 2 = 39 : z$; 4) $66 : t = 24 : 4$.

Решение.

1. $x = 15 \cdot 6 : 3 = 30$.
2. $y = 9 \cdot 50 : 5 = 90$.
3. $z = 2 \cdot 39 : 26 = 3$.
4. $t = 66 \cdot 4 : 24 = 11$.

Ответ: 1) 30; 2) 90; 3) 3; 4) 11.

№ 124

Найди неизвестное: 1) $n : 4{,}7 = 82 : 4{,}1$; 2) $5{,}8 : 29 = m : 3{,}4$; 3) $60 : k = 46 : 2{,}3$; 4) $4{,}2 : 7 = 9{,}6 : t$.

Как думать. Иногда проще сначала посчитать известное отношение. Например, $82 : 4{,}1 = 20$.

Решение.

1. $82 : 4{,}1 = 20$, значит, $n = 4{,}7 \cdot 20 = 94$.
2. $5{,}8 : 29 = 0{,}2$, значит, $m = 3{,}4 \cdot 0{,}2 = 0{,}68$.
3. $46 : 2{,}3 = 20$, значит, $k = 60 : 20 = 3$.
4. $4{,}2 : 7 = 0{,}6$, значит, $t = 9{,}6 : 0{,}6 = 16$.

Ответ: 1) 94; 2) 0,68; 3) 3; 4) 16.

№ 125

Найди неизвестное: 1) $\frac{4}{a} = \frac{16}{20}$; 2) $\frac{c}{8} = \frac{25}{40}$; 3) $\frac{39}{27} = \frac{b}{9}$; 4) $\frac{49}{32} = \frac{12}{d}$.

Решение.

1. $16a = 4 \cdot 20 = 80$, $a = 5$.
2. $40c = 8 \cdot 25 = 200$, $c = 5$.
3. $27b = 39 \cdot 9 = 351$, $b = 13$.
4. $49d = 32 \cdot 12 = 384$, $d = \frac{384}{49} = 7\frac{41}{49}$.

Ответ: 1) 5; 2) 5; 3) 13; 4) $7\frac{41}{49}$.

№ 126

Реши: 1) $x : 1{,}5 = 35 : 7$; 2) $9{,}1 : y = 65 : 5$; 3) $40 : 0{,}2 = z : 3$; 4) $54 : 2{,}7 = 50 : x$.

Решение.

1. $35 : 7 = 5$, $x = 1{,}5 \cdot 5 = 7{,}5$.
2. $65 : 5 = 13$, $y = 9{,}1 : 13 = 0{,}7$.
3. $40 : 0{,}2 = 200$, $z = 200 \cdot 3 = 600$.
4. $54 : 2{,}7 = 20$, $x = 50 : 20 = 2{,}5$.

Ответ: 1) 7,5; 2) 0,7; 3) 600; 4) 2,5.

№ 127

Реши: 1) $\frac{34}{112} = \frac{y}{56}$; 2) $\frac{y}{4{,}2} = \frac{15}{21}$; 3) $\frac{2{,}7}{4{,}8} = \frac{9}{y}$; 4) $\frac{6{,}8}{y} = \frac{0{,}4}{1{,}3}$.

Решение.

1. $y = 34 \cdot 56 : 112 = 17$.
2. $y = 4{,}2 \cdot 15 : 21 = 3$.
3. $2{,}7y = 4{,}8 \cdot 9 = 43{,}2$, $y = 16$.
4. $0{,}4y = 6{,}8 \cdot 1{,}3 = 8{,}84$, $y = 22{,}1$.

Ответ: 1) 17; 2) 3; 3) 16; 4) 22,1.

№ 128

Реши: 1) $120 : 9 = z : 18$; 2) $304 : z = 76 : 3$; 3) $14{,}4 : 6 = 1{,}2 : z$; 4) $z : 8{,}8 = 3{,}3 : 8$.

Решение.

1. $z = 120 \cdot 18 : 9 = 240$.
2. $76z = 304 \cdot 3 = 912$, $z = 12$.
3. $14{,}4z = 6 \cdot 1{,}2 = 7{,}2$, $z = 0{,}5$.
4. $8z = 8{,}8 \cdot 3{,}3 = 29{,}04$, $z = 3{,}63$.

Ответ: 1) 240; 2) 12; 3) 0,5; 4) 3,63.

№ 129

Числа 36 и 5 — средние члены пропорции. Какими могут быть крайние? Приведи пример.

Как думать. Произведение крайних должно равняться $36 \cdot 5 = 180$. Подойдёт любая пара чисел с произведением 180.

Решение. Например, 9 и 20: $9 : 36 = 5 : 20$ (оба отношения равны 0,25). Ещё варианты: 18 и 10, 4 и 45, 1 и 180.

Ответ: любые два числа с произведением 180, например $9 : 36 = 5 : 20$.

№ 130

Числа 1,6 и 2,5 — крайние члены. Запиши пропорцию, где средние члены — натуральные числа.

Решение. $1{,}6 \cdot 2{,}5 = 4$. Натуральные числа с произведением 4: 1 и 4 или 2 и 2. Например, $1{,}6 : 2 = 2 : 2{,}5$ (оба отношения равны 0,8) или $1{,}6 : 4 = 1 : 2{,}5$.

Ответ: например, $1{,}6 : 2 = 2 : 2{,}5$.

Уровень B

№ 131

Реши: 1) $75 : (2x) = 15 : 25$; 2) $44 : 99 = 4 : (3x)$; 3) $(5x) : 13 = 8 : 52$; 4) $10{,}5 : 21 = (4x) : 20$.

Как думать. Сначала находим весь член пропорции ($2x$, $3x$…), потом сам $x$.

Решение.

1. $15 \cdot 2x = 75 \cdot 25$, $30x = 1875$, $x = 62{,}5$.
2. $44 \cdot 3x = 99 \cdot 4$, $132x = 396$, $x = 3$.
3. $52 \cdot 5x = 13 \cdot 8$, $260x = 104$, $x = 0{,}4$.
4. $21 \cdot 4x = 10{,}5 \cdot 20$, $84x = 210$, $x = 2{,}5$.

Ответ: 1) 62,5; 2) 3; 3) 0,4; 4) 2,5.

№ 132

Реши: 1) $\frac{2{,}5}{7y} = \frac{5}{42}$; 2) $\frac{9{,}3}{15} = \frac{3{,}1}{4y}$; 3) $\frac{169}{100} = \frac{13}{2y}$; 4) $\frac{5{,}7}{20} = \frac{0{,}5y}{40}$.

Решение.

1. $5 \cdot 7y = 2{,}5 \cdot 42$, $35y = 105$, $y = 3$.
2. $9{,}3 \cdot 4y = 15 \cdot 3{,}1$, $37{,}2y = 46{,}5$, $y = 1{,}25$.
3. $169 \cdot 2y = 100 \cdot 13$, $338y = 1300$, $y = \frac{1300}{338} = \frac{50}{13} = 3\frac{11}{13}$.
4. $20 \cdot 0{,}5y = 5{,}7 \cdot 40$, $10y = 228$, $y = 22{,}8$.

Ответ: 1) 3; 2) 1,25; 3) $3\frac{11}{13}$; 4) 22,8.

№ 133

Реши: 1) $\frac{3}{7} : k = 5 : 2\frac{1}{3}$; 2) $k : \frac{5}{9} = 1{,}8 : 6$; 3) $5{,}5 : 8 = k : \frac{2}{11}$; 4) $20 : 3{,}25 = \frac{4}{13} : k$.

Как думать. Во всех пунктах произведение двух известных членов окажется равным 1. Удобно!

Решение.

1. $5k = \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3} = 1$, $k = 0{,}2$.
2. $6k = \frac{5}{9} \cdot 1{,}8 = 1$, $k = \frac{1}{6}$.
3. $8k = 5{,}5 \cdot \frac{2}{11} = 1$, $k = \frac{1}{8}$.
4. $20k = 3{,}25 \cdot \frac{4}{13} = \frac{13}{4} \cdot \frac{4}{13} = 1$, $k = 0{,}05$.

Ответ: 1) 0,2; 2) $\frac{1}{6}$; 3) $\frac{1}{8}$; 4) 0,05.

№ 134

Составь пропорции из величин: 1) длина прямоугольника 16 м, площадь 40 м²; 2) 8 карандашей стоят 128 тг; 3) 36 км за 6 ч; 4) за 18 ч сделали 234 предмета.

Как думать. Отношение двух величин даёт третью: ширину, цену, скорость, производительность. А ещё можно взять «вдвое больше того и другого» — отношение не изменится.

Решение.

1. Ширина $40 : 16 = 2{,}5$ м, поэтому $40 : 16 = 2{,}5 : 1$. При той же ширине и вдвое большей длине: $40 : 16 = 80 : 32$.
2. Цена $128 : 8 = 16$ тг, поэтому $128 : 8 = 16 : 1$; ещё $128 : 8 = 256 : 16$ (16 карандашей стоят 256 тг).
3. Скорость $36 : 6 = 6$ км/ч, поэтому $36 : 6 = 6 : 1$; ещё $36 : 6 = 18 : 3$ (за 3 ч — 18 км).
4. За час $234 : 18 = 13$ предметов, поэтому $234 : 18 = 13 : 1$; ещё $234 : 18 = 117 : 9$.

Ответ: например, пропорции выше.

№ 135

Найди $y$: 1) $\frac{y + 5}{110} = \frac{42}{660}$; 2) $\frac{25}{17 - y} = \frac{200}{56}$; 3) $\frac{77}{800} = \frac{7{,}7}{y + 53}$; 4) $\frac{1}{1{,}8} = \frac{40 - y}{32{,}4}$.

Решение.

1. $660(y + 5) = 110 \cdot 42 = 4620$, $y + 5 = 7$, $y = 2$.
2. По шагам выше: $y = 10$.
3. $77(y + 53) = 800 \cdot 7{,}7 = 6160$, $y + 53 = 80$, $y = 27$.
4. $1{,}8(40 - y) = 32{,}4$, $40 - y = 18$, $y = 22$.

Ответ: 1) 2; 2) 10; 3) 27; 4) 22.

№ 136

Найди $y$: 1) $(3y - 7) : 5 = 33 : 15$; 2) $35 : (21 - 5y) = 5 : 2$; 3) $64 : 72 = (7y + 3) : 9$; 4) $53 : 4 = 212 : (6y - 8)$.

Решение.

1. $15(3y - 7) = 5 \cdot 33$, $3y - 7 = 11$, $3y = 18$, $y = 6$.
2. $5(21 - 5y) = 35 \cdot 2$, $21 - 5y = 14$, $5y = 7$, $y = 1{,}4$.
3. $72(7y + 3) = 64 \cdot 9$, $7y + 3 = 8$, $7y = 5$, $y = \frac{5}{7}$.
4. $53(6y - 8) = 4 \cdot 212$, $6y - 8 = 16$, $6y = 24$, $y = 4$.

Ответ: 1) 6; 2) 1,4; 3) $\frac{5}{7}$; 4) 4.

№ 137

Найди $y$: 1) $\frac{11y}{20} = 16 : 80$; 2) $5{,}1 : 8{,}7 = \frac{34y}{29}$; 3) $7{,}2 : 2{,}7 = \frac{32y}{3}$.

Решение.

1. $16 : 80 = 0{,}2$; $11y = 4$; $y = \frac{4}{11}$.
2. $8{,}7 \cdot 34y = 5{,}1 \cdot 29$, $295{,}8y = 147{,}9$, $y = 0{,}5$.
3. $7{,}2 : 2{,}7 = \frac{8}{3}$, значит, $\frac{32y}{3} = \frac{8}{3}$, $32y = 8$, $y = 0{,}25$.

Ответ: 1) $\frac{4}{11}$; 2) 0,5; 3) 0,25.

Уровень C

№ 138

Для пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ на луче отмечены $a$, $c$ и $d$ (рис. 3). Отметь четвёртый член.

На рисунке луч с равными делениями без чисел: $a$ — на 4-м делении, $c$ — на 12-м, $d$ — на 15-м.

Как думать. Неизвестен средний член $b$. Считаем в делениях: $b = a \cdot d : c$.

Решение. $b = 4 \cdot 15 : 12 = 5$. Проверка: $\frac{4}{5} = \frac{12}{15}$ ✓. Это верно при любой длине деления, ведь все числа увеличатся в одно и то же число раз.

Ответ: точка $b$ — на 5-м делении от начала.

№ 139

В воздухе примерно 4 части азота и 1 часть кислорода. 1) Сколько азота в 60 кг воздуха? 2) Сколько кислорода в 50 кг воздуха?

Как думать. Весь воздух — это $4 + 1 = 5$ равных частей.

Решение.

1. $60 : 5 = 12$ кг — одна часть; азота $12 \cdot 4 = 48$ кг.
2. $50 : 5 = 10$ кг — одна часть, это и есть кислород.

Ответ: 1) 48 кг; 2) 10 кг.

№ 140

Реши: 1) $(x + 5{,}6) : 15\frac{2}{3} = 3{,}2 : 5\frac{2}{9}$; 2) $(16 - x) : 13\frac{4}{7} = \frac{7}{9} : 10\frac{5}{9}$.

Решение.

1. $x + 5{,}6 = 15\frac{2}{3} \cdot 3{,}2 : 5\frac{2}{9} = \frac{47}{3} \cdot \frac{16}{5} \cdot \frac{9}{47} = \frac{48}{5} = 9{,}6$. $x = 9{,}6 - 5{,}6 = 4$.
2. $16 - x = \frac{95}{7} \cdot \frac{7}{9} : \frac{95}{9} = \frac{95}{9} \cdot \frac{9}{95} = 1$. $x = 15$.

Ответ: 1) 4; 2) 15.

№ 141

Реши: 1) $\left(9\frac{2}{3} - x\right) : 3{,}5 = \frac{17}{35} : 1{,}02$; 2) $(6{,}5 + x) : 0{,}475 = 1\frac{11}{19} : \frac{3}{28}$.

Решение.

1. $9\frac{2}{3} - x = 3{,}5 \cdot \frac{17}{35} : 1{,}02 = 1{,}7 : 1{,}02 = \frac{170}{102} = \frac{5}{3}$. $x = 9\frac{2}{3} - 1\frac{2}{3} = 8$.
2. $6{,}5 + x = 0{,}475 \cdot \frac{30}{19} \cdot \frac{28}{3} = 0{,}475 \cdot \frac{280}{19} = 0{,}025 \cdot 280 = 7$. $x = 0{,}5$.

Ответ: 1) 8; 2) 0,5.

№ 142

Реши: 1) $\frac{y - 8}{11\frac{4}{7}} = \frac{\frac{8}{27}}{5\frac{1}{3}}$; 2) $\frac{\frac{3}{20}}{\frac{10}{33}} = \frac{19\frac{4}{5}}{x - 15}$; 3) $\frac{5\frac{5}{9}}{2{,}5} = \frac{x - 19}{7\frac{1}{5}}$.

Как думать. Сначала посчитай «готовое» отношение из чисел, потом найди скобку.

Решение.

1. $\frac{8}{27} : \frac{16}{3} = \frac{1}{18}$. Тогда $y - 8 = \frac{81}{7} \cdot \frac{1}{18} = \frac{9}{14}$, $y = 8\frac{9}{14}$.
2. $\frac{3}{20} : \frac{10}{33} = \frac{99}{200}$. Тогда $x - 15 = \frac{99}{5} : \frac{99}{200} = 40$, $x = 55$.
3. $\frac{50}{9} : \frac{5}{2} = \frac{20}{9}$. Тогда $x - 19 = \frac{20}{9} \cdot \frac{36}{5} = 16$, $x = 35$.

Ответ: 1) $8\frac{9}{14}$; 2) 55; 3) 35.

Подготовь сообщение

№ 143

Подготовь сообщение об истории учения об отношениях и пропорциях (Евклид, «Начала», Древняя Греция).

Как думать. Ответь на три вопроса: кто, когда, что сделал. Добавь одну интересную деталь и пример из жизни.

Решение. Пример короткого сообщения:

Отношения и пропорции изучали ещё в Древней Греции. В IV веке до нашей эры учение о них сильно продвинулось. Около 300 года до н. э. греческий математик Евклид собрал знания своего времени в книгу «Начала». Целая её часть посвящена отношениям и пропорциям. «Начала» больше двух тысяч лет учили геометрии в школах всего мира. Пропорции нужны и сегодня: в рецептах, на картах, в чертежах и в архитектуре.

Ответ: пример сообщения выше; даты сверь с энциклопедией.

Готовимся к следующей теме

№ 144

5 ручек стоят 650 тг. 1) Сколько стоит одна ручка? 2) Сколько стоят 7 таких ручек?

Решение.

1. $650 : 5 = 130$ тг.
2. $130 \cdot 7 = 910$ тг.

Ответ: 1) 130 тг; 2) 910 тг.

№ 145

$x = 0{,}8$, $y = 0{,}25$. Найди частное. Сколько частных можно составить?

Решение. Частных два:

• $x : y = 0{,}8 : 0{,}25 = 3{,}2$;
• $y : x = 0{,}25 : 0{,}8 = 0{,}3125$.

Они взаимно обратные: $3{,}2 \cdot 0{,}3125 = 1$.

Ответ: два частных: 3,2 и 0,3125.

№ 146

Швея за 3 ч шьёт 9 изделий. Сколько сошьёт за 4 ч и за 2 ч? Сравни и сделай вывод.

Решение.

1. За 1 ч: $9 : 3 = 3$ изделия.
2. За 4 ч: $3 \cdot 4 = 12$ изделий.
3. За 2 ч: $3 \cdot 2 = 6$ изделий.
4. $12 : 6 = 2$, и время $4 : 2 = 2$.

Ответ: 12 и 6 изделий. Вывод: во сколько раз больше время работы, во столько же раз больше изделий.

💡 Это и есть прямая пропорциональность — тема следующих уроков.

№ 147

Периметр первого квадрата 17 см. Сторона второго в 8 раз больше. Найди площадь второго квадрата.

Решение.

1. Сторона первого: $17 : 4 = 4{,}25$ см.
2. Сторона второго: $4{,}25 \cdot 8 = 34$ см.
3. Площадь второго: $34 \cdot 34 = 1156$ см².

Ответ: 1156 см².

Шпаргалка

• Пропорция — верное равенство отношений.
• Проверка: крест-накрест, $ad = bc$.
• Неизвестный член: перемножь «диагональ» без $x$ и раздели на оставшееся число.
• Менять местами можно средние, крайние или и то, и другое.
• После решения подставь ответ и проверь.

Мини-тест