§ 11. Сложение рациональных чисел с помощью координатной прямой

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 2: Рациональные числа и действия над ними. Страницы 85–90.

Чему научишься

• Складывать любые рациональные числа, «шагая» по координатной прямой.
• Понимать, почему от прибавления отрицательного числа сумма уменьшается.
• Знать: сумма противоположных чисел равна нулю.
• Знать: от прибавления нуля число не меняется.

Разминка

Это задания № 369 и 370 из прошлого урока: шагаем от точки $A(2)$.

• Какая координата у точки на 6 клеток правее $A(2)$? $2 + 6 = 8$.
• А на 3,5 клетки левее? Дошли до нуля за 2 клетки, ещё 1,5 влево — это $-1,5$.
• А на 10 клеток левее? До нуля 2 клетки, ещё 8 — это $-8$.
• Назови две целые точки между $C(-0,9)$ и $D(1,5)$. Это 0 и 1 — других там нет.

💡 Заметил? Шаг вправо увеличивает координату, шаг влево — уменьшает. Именно так и складывают рациональные числа.

Разбираемся

Сложение — это шаги по прямой

Посмотри: если из точки 2 шагнуть вправо на 3, попадёшь в 5. Если из 5 шагнуть влево на 3, вернёшься в 2. Договоримся: шаг вправо — положительное число, шаг влево — отрицательное.

📌 Прибавить к числу $a$ число $b$ — значит сдвинуть точку $a$ на $b$ единиц: вправо, если $b > 0$, и влево, если $b < 0$.

Поэтому $4 + 2 = 6$ (из 4 два шага вправо), а $4 + (-2) = 2$ (из 4 два шага влево). Попробуй сам.

Градусник подсказывает

Утром было 4 °C, потеплело на 3 °C — стало 7 °C: $4 + 3 = 7$. А если температура «изменилась на −3 °C», значит, похолодало: $4 + (-3) = 1$.

💡 От прибавления положительного числа сумма растёт, от прибавления отрицательного — уменьшается.

Так же из $-4$: $-4 + 2 = -2$ (два шага вправо), $-4 + (-2) = -6$ (два шага влево).

Туда и обратно — ноль

Сложим 3 и $-3$. Из точки 3 шагаем на 3 влево — попадаем в 0. А $-3 + 3$: из $-3$ на 3 вправо — опять 0.

📌 Сумма противоположных чисел равна нулю: $a + (-a) = (-a) + a = 0$.

Так, $\frac{2}{3} + \left(-\frac{2}{3}\right) = 0$, $-4\frac{1}{2} + 4\frac{1}{2} = 0$, $5,3 + (-5,3) = 0$. Сколько прошёл вперёд, столько и назад — вернулся к нулю.

Шаг на ноль — стоишь на месте

Прибавить 0 — значит сдвинуться на 0 единиц, то есть остаться на месте: $-\frac{2}{3} + 0 = -\frac{2}{3}$. А $0 + \left(-\frac{2}{3}\right)$: из нуля шагаем на $\frac{2}{3}$ влево и попадаем в $-\frac{2}{3}$.

📌 Для любого числа $a$: $a + 0 = 0 + a = a$.

⚠️ Частая ошибка. Путают «прибавить отрицательное» и «получить положительное». $5 + (-8)$ — это не 13 и не 3! Из 5 шагаем на 8 влево: до нуля 5 шагов, ещё 3 — получаем $-3$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Нарисуйте на полу или во дворе «прямую» мелом от −10 до 10 и поиграйте: ребёнок стоит на числе, вы говорите «плюс минус три» — он делает три шага влево. Пять минут такой игры заменяют десяток примеров.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Что происходит с координатой точки, если сдвинуть её на положительное число единиц? На отрицательное? На положительное — точка уходит вправо, координата увеличивается. На отрицательное — влево, координата уменьшается.
• Почему сумма противоположных чисел равна нулю? У них одинаковые модули и разные знаки. Сколько шагов сделали в одну сторону, столько же — в другую, и вернулись в начало отсчёта.
• Почему отрицательное число плюс нуль — то же, что нуль плюс это число? В обоих случаях попадаем в одну и ту же точку: стоим на месте или шагаем из нуля на модуль числа влево. Результат — само это число.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 371

Найди с помощью прямой: $-4 + 7$; $-3 + 8$; $-2 + 9$; $-1 + 10$; $-4 + (-7)$; $-3 + (-8)$; $-2 + (-9)$; $-1 + (-10)$.

Как думать. В первых четырёх примерах шагаем вправо. Часть шагов уходит на дорогу до нуля, остальные — за нуль. В последних четырёх шагаем влево, уходя всё дальше от нуля.

Решение.

1. $-4 + 7 = 3$; 2) $-3 + 8 = 5$; 3) $-2 + 9 = 7$; 4) $-1 + 10 = 9$.
2. $-4 + (-7) = -11$; 6) $-3 + (-8) = -11$; 7) $-2 + (-9) = -11$; 8) $-1 + (-10) = -11$.

Ответ: 3; 5; 7; 9; $-11$; $-11$; $-11$; $-11$.

💡 Интересно: все четыре последних ответа — $-11$. Ведь модули слагаемых каждый раз дают в сумме 11.

№ 372

Сложи с помощью прямой: $-9$ и 8; 8 и $-9$; 4 и $-5$; $-5$ и 4; 2 и $-7$; $-7$ и 2; 7 и $-2$; $-2$ и 7.

Как думать. Пары идут «туда-обратно»: слагаемые меняются местами. Посмотри, меняется ли ответ.

Решение.

1. $-9 + 8 = -1$; 2) $8 + (-9) = -1$.
2. $4 + (-5) = -1$; 4) $-5 + 4 = -1$.
3. $2 + (-7) = -5$; 6) $-7 + 2 = -5$.
4. $7 + (-2) = 5$; 8) $-2 + 7 = 5$.

Ответ: $-1$; $-1$; $-1$; $-1$; $-5$; $-5$; 5; 5. От перестановки слагаемых сумма не меняется.

№ 373

Найди: $-3 + 0$; $0 + (-1,5)$; $0 + \left(-2\frac{1}{2}\right)$; $-3\frac{1}{2} + 0$.

Решение. Нуль ничего не меняет: $-3 + 0 = -3$; $0 + (-1,5) = -1,5$; $0 + \left(-2\frac{1}{2}\right) = -2\frac{1}{2}$; $-3\frac{1}{2} + 0 = -3\frac{1}{2}$.

Ответ: $-3$; $-1,5$; $-2\frac{1}{2}$; $-3\frac{1}{2}$.

№ 374

Найди сумму противоположных чисел: $-4$ и 4; $-2,5$ и 2,5; $-5$ и 5; $-3,2$ и 3,2; 8 и $-8$; 7,5 и $-7,5$; 2 и $-2$; 7,2 и $-7,2$.

Решение. Сумма противоположных чисел всегда 0. Во всех восьми случаях ответ 0.

Ответ: 0 во всех случаях.

№ 375

Найди $b$: 1) $b + (-6,5) = 0$; 2) $b + 6,5 = 0$; 3) $6,5 + b = 6,5$; 4) $b + (-6,5) = -6,5$.

Как думать. Если сумма равна нулю — слагаемые противоположные. Если сумма равна другому слагаемому — прибавили нуль.

Решение.

1. $b$ противоположно $-6,5$: $b = 6,5$.
2. $b$ противоположно 6,5: $b = -6,5$.
3. $6,5 + b = 6,5$ — число не изменилось, значит $b = 0$.
4. $b + (-6,5) = -6,5$ — опять $b = 0$.

Ответ: 1) 6,5; 2) $-6,5$; 3) 0; 4) 0.

№ 376

Утром было 10 °C. Какой стала температура вечером, если она изменилась на: 1) 3 °C; 2) 5 °C; 3) $-3$ °C; 4) $-5$ °C?

Решение. 1) $10 + 3 = 13$ °C; 2) $10 + 5 = 15$ °C; 3) $10 + (-3) = 7$ °C; 4) $10 + (-5) = 5$ °C.

Ответ: 13 °C; 15 °C; 7 °C; 5 °C.

№ 377

Ночью было $-1$ °C. Какой стала температура днём, если она изменилась на: 1) 3 °C; 2) 5 °C; 3) $-3$ °C; 4) $-5$ °C?

Как думать. Стартуем с $-1$. Положительное изменение — шаги вправо, отрицательное — влево.

Решение. 1) $-1 + 3 = 2$ °C; 2) $-1 + 5 = 4$ °C; 3) $-1 + (-3) = -4$ °C; 4) $-1 + (-5) = -6$ °C.

Ответ: 2 °C; 4 °C; $-4$ °C; $-6$ °C.

№ 378

Вечером было: 1) 2 градуса тепла; 2) 6 градусов мороза; 3) 0 градусов. К утру потеплело на 6 градусов. Какой стала температура?

Как думать. «Тепло» — плюс, «мороз» — минус. 6 градусов мороза — это $-6$ °C.

Решение. 1) $2 + 6 = 8$ °C; 2) $-6 + 6 = 0$ °C; 3) $0 + 6 = 6$ °C.

Ответ: 8 °C; 0 °C; 6 °C.

№ 379

Утром было: 1) 2 градуса тепла; 2) 2 градуса мороза; 3) 0 градусов. К вечеру похолодало на 7 градусов. Какой стала температура?

Решение. Похолодание на 7 — прибавляем $-7$.

1. $2 + (-7) = -5$ °C; 2) $-2 + (-7) = -9$ °C; 3) $0 + (-7) = -7$ °C.

Ответ: $-5$ °C; $-9$ °C; $-7$ °C.

Уровень B

№ 380

Найди с помощью прямой: 1) $-10 + 3 + (-4)$; 2) $-5 + 8 + (-5)$; 3) $-3 + 3 + (-9,5)$; 4) $-9 + 7 + (-7)$.

Как думать. Шагаем по очереди: сначала первое слагаемое, потом второе. Ищи пары противоположных чисел — они «съедают» друг друга.

Решение.

1. $-10 + 3 = -7$, затем $-7 + (-4) = -11$.
2. $-5 + 8 = 3$, затем $3 + (-5) = -2$.
3. $-3 + 3 = 0$, затем $0 + (-9,5) = -9,5$.
4. $7 + (-7) = 0$, остаётся $-9$.

Ответ: $-11$; $-2$; $-9,5$; $-9$.

№ 381

Найди: 1) $-5 + 4,5 + (-4,5)$; 2) $-5,5 + 3,5 + (-3,5)$; 3) $-0,5 + 3,5 + (-4,5)$; 4) $-5 + 3 + (-4,5)$.

Решение.

1. $4,5 + (-4,5) = 0$, остаётся $-5$.
2. $3,5 + (-3,5) = 0$, остаётся $-5,5$.
3. $-0,5 + 3,5 = 3$, затем $3 + (-4,5) = -1,5$.
4. $-5 + 3 = -2$, затем $-2 + (-4,5) = -6,5$.

Ответ: $-5$; $-5,5$; $-1,5$; $-6,5$.

№ 382

Найди: 1) $-0,5 + \left(-\frac{1}{4}\right) + \left(-\frac{1}{4}\right)$; 2) $-0,5 + (-0,5) + (-0,5)$; 3) $-3,5 + \left(-2\frac{1}{4}\right) + (-3,25)$; 4) $-0,5 + \left(-\frac{1}{4}\right) + (-0,25)$.

Как думать. Все шаги — влево. Переведи дроби в десятичные: $\frac{1}{4} = 0,25$.

Решение.

1. $-0,5 + (-0,25) + (-0,25)$: влево на 0,5, потом ещё на 0,5 — итого $-1$.
2. Три раза влево на 0,5: $-1,5$.
3. $-3,5 + (-2,25) = -5,75$, затем $-5,75 + (-3,25) = -9$.
4. $-0,5 + (-0,25) + (-0,25) = -1$.

Ответ: $-1$; $-1,5$; $-9$; $-1$.

№ 383

Ночью было $-7$ °C, днём стало $+3$ °C. На сколько градусов изменилась температура?

Решение. От $-7$ до 0 — 7 градусов, от 0 до 3 — ещё 3. Всего $7 + 3 = 10$. Проверка: $-7 + 10 = 3$ ✓.

Ответ: повысилась на 10 °C.

№ 384

Найди число, которое нужно прибавить, чтобы получить: 1) из $-4$ число 4; 2) из 3 число 0; 3) из 2 число $-2$; 4) из $-3$ число 0; 5) из 5 число 5; 6) из $-5$ число $-5$.

Как думать. Считаем шаги от старта до финиша. Шли вправо — число положительное, влево — отрицательное.

Решение.

1. От $-4$ до 4 — 8 шагов вправо: $-4 + 8 = 4$.
2. От 3 до 0 — 3 шага влево: $3 + (-3) = 0$.
3. От 2 до $-2$ — 4 шага влево: $2 + (-4) = -2$.
4. От $-3$ до 0 — 3 шага вправо: $-3 + 3 = 0$.
5. Стоим на месте: $5 + 0 = 5$.
6. Стоим на месте: $-5 + 0 = -5$.

Ответ: 8; $-3$; $-4$; 3; 0; 0.

Уровень C

№ 385

На прямой отмечены соседние натуральные числа $b$ и $b + 1$ (одно деление — единица). Отметь $b + 4$; $b + (-4)$; $b + 7$; $b + (-7)$. Как они лежат относительно $b$?

Как думать. Чему равно $b$, мы не знаем — и не нужно. Одно деление — единица, так что прибавить 4 — сдвинуться на 4 деления.

Решение.

1. $b + 4$ — на 4 деления правее $b$.
2. $b + (-4)$ — на 4 деления левее $b$.
3. $b + 7$ — на 7 делений правее $b$.
4. $b + (-7)$ — на 7 делений левее $b$.

Ответ: правее на 4; левее на 4; правее на 7; левее на 7 делений.

№ 386

На прямой отмечены $m$ и $m + 1$, между ними 4 деления. Отметь $m + \frac{1}{4}$; $m + \left(-\frac{1}{4}\right)$; $m + 1\frac{3}{4}$; $m + \left(-1\frac{3}{4}\right)$. Как они лежат относительно $m$?

Как думать. Единица занимает 4 деления, значит одно деление — $\frac{1}{4}$. Тогда $1\frac{3}{4}$ — это $4 + 3 = 7$ делений.

Решение.

1. $m + \frac{1}{4}$ — на 1 деление правее $m$.
2. $m + \left(-\frac{1}{4}\right)$ — на 1 деление левее $m$.
3. $m + 1\frac{3}{4}$ — на 7 делений правее $m$.
4. $m + \left(-1\frac{3}{4}\right)$ — на 7 делений левее $m$.

Ответ: правее на 1 деление; левее на 1; правее на 7; левее на 7 делений.

№ 387

Реши, используя свойство противоположных чисел: 1) $x + \left(-\frac{1}{4}\right) = 0$; 2) $-x + \frac{1}{4} = 0$; 3) $-\frac{1}{4} + x = 0$; 4) $\frac{1}{4} + (-x) = 0$; 5) $-x + \left(-\frac{1}{4}\right) = 0$; 6) $-\frac{1}{4} + (-x) = 0$.

Как думать. Сумма равна нулю — значит слагаемые противоположные. Сначала находим, чему равно слагаемое с $x$, потом сам $x$.

Решение.

1. $x$ противоположно $-\frac{1}{4}$: $x = \frac{1}{4}$.
2. $-x$ противоположно $\frac{1}{4}$: $-x = -\frac{1}{4}$, значит $x = \frac{1}{4}$.
3. $x = \frac{1}{4}$.
4. $-x = -\frac{1}{4}$, $x = \frac{1}{4}$.
5. $-x$ противоположно $-\frac{1}{4}$: $-x = \frac{1}{4}$, значит $x = -\frac{1}{4}$.
6. $-x = \frac{1}{4}$, $x = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{4}$; $-\frac{1}{4}$; $-\frac{1}{4}$.

№ 388

Реши: 1) $-20 + (x + 15) = 0$; 2) $-20 + (x - 15) = 0$; 3) $-20 + (15 + x) = 0$; 4) $-20 + (-x - 15) = 0$; 5) $5x + (-100) = 0$; 6) $-100 + 5x = 0$; 7) $0,6x + (-72,6) = 0$; 8) $-51,3 + 0,03x = 0$.

Как думать. Скобка или слагаемое с $x$ противоположны второму слагаемому. Дальше решаем обычное уравнение.

Решение.

1. $x + 15 = 20$, $x = 5$.
2. $x - 15 = 20$, $x = 35$.
3. $15 + x = 20$, $x = 5$.
4. $-x - 15 = 20$, $-x = 35$, $x = -35$.
5. $5x = 100$, $x = 20$.
6. $5x = 100$, $x = 20$.
7. $0,6x = 72,6$, $x = 72,6 : 0,6 = 121$.
8. $0,03x = 51,3$, $x = 51,3 : 0,03 = 1710$.

Ответ: 5; 35; 5; $-35$; 20; 20; 121; 1710.

№ 389

Реши: 1) $-\frac{2}{3} + \left(x - \frac{1}{4}\right) = 0$; 2) $-\frac{2}{3} + \left(\frac{1}{4} - x\right) = 0$; 3) $-\frac{3}{20} + (5x - 0,2) = 0$; 4) $-\frac{7}{24} + \left(2x - \frac{1}{4}\right) = 0$.

Как думать. Скобка противоположна первому слагаемому, то есть равна числу без минуса.

Решение.

1. $x - \frac{1}{4} = \frac{2}{3}$, $x = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$.
2. $\frac{1}{4} - x = \frac{2}{3}$. Мы вычитаем из $\frac{1}{4}$ и получаем больше — значит, $x$ отрицательный. Его модуль: $\frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12}$, то есть $x = -\frac{5}{12}$. Проверка: шаг от $\frac{1}{4}$ на $\frac{5}{12}$ вправо даёт $\frac{3}{12} + \frac{5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ ✓.
3. $5x - 0,2 = 0,15$, $5x = 0,35$, $x = 0,07$.
4. $2x - \frac{1}{4} = \frac{7}{24}$, $2x = \frac{7}{24} + \frac{6}{24} = \frac{13}{24}$, $x = \frac{13}{48}$.

Ответ: 1) $\frac{11}{12}$; 2) $-\frac{5}{12}$; 3) 0,07; 4) $\frac{13}{48}$.

Повторяем

№ 390

Пирожок стоит 50 тг. Сколько стоят: 1) 2 пирожка; 2) 3; 3) 4; 4) 6; 5) 10 пирожков?

Решение. $50 \cdot 2 = 100$; $50 \cdot 3 = 150$; $50 \cdot 4 = 200$; $50 \cdot 6 = 300$; $50 \cdot 10 = 500$.

Ответ: 100 тг; 150 тг; 200 тг; 300 тг; 500 тг.

№ 391

Найди $x$ из пропорции $\frac{x}{850} = \left|\frac{4}{17}\right|$ — узнаешь, сколько примерно деревьев человек «расходует» за жизнь на жильё, мебель, бумагу.

Решение. Модуль положительной дроби — она сама. $x = 850 \cdot \frac{4}{17} = 50 \cdot 4 = 200$.

Ответ: примерно 200 деревьев.

🌟 Двести деревьев — это целая роща! Вот почему сдавать макулатуру и беречь бумагу — не пустые слова. Обычно считают, что тонна сданной макулатуры сберегает около 15–20 деревьев.

№ 392

Масштаб карты 1 : 10 000 000. Какое расстояние на карте, если на местности 500 км?

Решение. 1 см на карте — это 10 000 000 см = 100 км. Значит, 500 км — это $500 : 100 = 5$ см.

Ответ: 5 см.

Готовимся к следующей теме

№ 393

Найди удобным способом: 1) $1212 + 1098 + 688 + 102$; 2) $6\frac{1}{6} + 18,15 + 100\frac{5}{6} + 2\frac{19}{20}$.

Как думать. Переставим слагаемые так, чтобы получились «круглые» суммы.

Решение.

1. $(1212 + 688) + (1098 + 102) = 1900 + 1200 = 3100$.
2. $\left(6\frac{1}{6} + 100\frac{5}{6}\right) + \left(18,15 + 2,95\right) = 107 + 21,1 = 128,1$. Здесь $2\frac{19}{20} = 2,95$.

Ответ: 1) 3100; 2) 128,1.

№ 394

Отметь на прямой точки $A(7)$, $B(-3)$, $C(-1,5)$, $D(0,5)$.

Как думать. Удобно взять единичный отрезок в 2 клетки — тогда половинки попадут точно на клетки.

Решение. $A$ — 7 единиц вправо от нуля. $B$ — 3 единицы влево. $C$ — посередине между $-2$ и $-1$. $D$ — посередине между 0 и 1.

Ответ: точки отмечены на прямой.

№ 395

Вычисли удобным способом: 1) $\left|15\frac{7}{11}\right| + 97\frac{4}{11} + 2\frac{13}{21} + \left|-84\frac{8}{21}\right|$; 2) $1,32 + |47,15| + 8,68 + |-2,85| + |-60|$.

Как думать. Сначала снимаем модули — все числа станут положительными. Потом группируем дроби с одинаковыми знаменателями.

Решение.

1. $\left(15\frac{7}{11} + 97\frac{4}{11}\right) + \left(2\frac{13}{21} + 84\frac{8}{21}\right) = 113 + 87 = 200$.
2. $(1,32 + 8,68) + (47,15 + 2,85) + 60 = 10 + 50 + 60 = 120$.

Ответ: 1) 200; 2) 120.

Шпаргалка

• Прибавить $b$ — сдвинуться на $|b|$ единиц: вправо при $b > 0$, влево при $b < 0$.
• $a + (-a) = (-a) + a = 0$.
• $a + 0 = 0 + a = a$.
• Слагаемые можно переставлять: $-9 + 8 = 8 + (-9)$.
• Температура: «потеплело» — плюс, «похолодало» — минус.

Мини-тест