§ 12. Сложение отрицательных рациональных чисел

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 2: Рациональные числа и действия над ними. Страницы 91–95.

Чему научишься

• Складывать два и больше отрицательных чисел без координатной прямой.
• Объяснять, почему сумма отрицательных чисел всегда отрицательна.
• Складывать отрицательные десятичные и обыкновенные дроби.
• Решать задачи про похолодание, понижение уровня воды и уменьшение числа.

Разминка

Это задания № 393–395 из прошлого урока: вспоминаем, как удобно складывать.

• Сколько будет $1212 + 1098 + 688 + 102$? Группируем: $(1212 + 688) + (1098 + 102) = 1900 + 1200 = 3100$.
• А $6\frac{1}{6} + 18,15 + 100\frac{5}{6} + 2\frac{19}{20}$? $\left(6\frac{1}{6} + 100\frac{5}{6}\right) + (18,15 + 2,95) = 107 + 21,1 = 128,1$.
• Где на прямой точки $A(7)$, $B(-3)$, $C(-1,5)$, $D(0,5)$? $A$ — на 7 вправо от нуля, $B$ — на 3 влево, $C$ — посередине между $-2$ и $-1$, $D$ — посередине между 0 и 1.
• Сколько будет $1,32 + |47,15| + 8,68 + |-2,85| + |-60|$? Снимаем модули и группируем: $10 + 50 + 60 = 120$.
• А $\left|15\frac{7}{11}\right| + 97\frac{4}{11} + 2\frac{13}{21} + \left|-84\frac{8}{21}\right|$? $113 + 87 = 200$.

💡 Переставлять и группировать слагаемые удобно и с отрицательными числами. Скоро это пригодится.

Разбираемся

Минус плюс минус

Сложим $-2$ и $-4$ на прямой. Встаём в точку $-2$ и делаем 4 шага влево. Попробуй сам.

Получилось $-6$. А теперь заметь: $2 + 4 = 6$. Ответ тот же, только со знаком «минус».

📌 Чтобы сложить два отрицательных числа:

1. сложи их модули;
2. поставь перед результатом минус.

Например: $-1,5 + (-2,5) = -(1,5 + 2,5) = -4$. И $-\frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$.

Почему так

Оба слагаемых тянут влево. Мы стартуем левее нуля и уходим ещё левее. Вернуться к нулю или перейти вправо просто нечем. Поэтому сумма отрицательных чисел всегда отрицательная, и уходит она от нуля на сумму модулей.

💡 Представь кошелёк с долгами. Ты должен другу 200 тг, а потом занял ещё 300 тг. Всего долг — 500 тг: $-200 + (-300) = -500$.

⚠️ Частая ошибка. Видят два минуса и думают: «минус на минус даёт плюс». Это правило про умножение, его вы узнаете позже. При сложении два минуса дают минус: $-3 + (-5) = -8$, а не 8.

Как читать

Запись $(-9) + (-5)$ читают так: «сумма минус девяти и минус пяти» или «к минус девяти прибавить минус пять». Скобки вокруг первого числа часто не пишут: $-9 + (-5)$. А вот вокруг второго — обязательно: два знака подряд, «$+ -$», не ставят.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка проговаривать вслух: «Оба отрицательные — складываю модули, ставлю минус». Через несколько примеров правило станет привычным, и ошибок со знаком станет меньше.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Почему при сложении отрицательных чисел получается отрицательное число? Мы начинаем левее нуля и сдвигаемся ещё левее. Значит, результат тоже левее нуля.
• Может ли сумма отрицательных чисел быть положительной или равной нулю? Нет. Её модуль равен сумме модулей, а знак всегда «минус».

Решаем упражнения

Уровень A

№ 396

Вычисли: 1) $(-36) + (-27)$; 2) $(-29) + (-83)$; 3) $(-15) + (-97)$; 4) $(-56) + (-87)$; 5) $(-316) + (-28)$; 6) $(-206) + (-29)$.

Как думать. Складываем модули, ставим минус.

Решение.

1. $36 + 27 = 63$ → $-63$.
2. $29 + 83 = 112$ → $-112$.
3. $15 + 97 = 112$ → $-112$.
4. $56 + 87 = 143$ → $-143$.
5. $316 + 28 = 344$ → $-344$.
6. $206 + 29 = 235$ → $-235$.

Ответ: $-63$; $-112$; $-112$; $-143$; $-344$; $-235$.

№ 397

Сложи: $-8876$ и $-7789$; $-7676$ и $-4545$; $-7676$ и $-8989$; $-2345$ и $-6789$; $-5432$ и $-2345$; $-9876$ и $-6789$.

Решение.

1. $8876 + 7789 = 16,665$ → $-16,665$.
2. $7676 + 4545 = 12,221$ → $-12,221$.
3. $7676 + 8989 = 16,665$ → $-16,665$.
4. $2345 + 6789 = 9134$ → $-9134$.
5. $5432 + 2345 = 7777$ → $-7777$.
6. $9876 + 6789 = 16,665$ → $-16,665$.

Ответ: $-16,665$; $-12,221$; $-16,665$; $-9134$; $-7777$; $-16,665$.

🌟 Целых три ответа — $-16,665$! Посмотри на цифры: в этих парах цифры каждого разряда дают в сумме 15 (8 + 7, 8 + 7, 7 + 8, 6 + 9). Красивая закономерность.

№ 398

Найди: 1) $-3,77 + (-7,89)$; 2) $-76,7 + (-46,7)$; 3) $-9,7 + (-89,85)$; 4) $-23,45 + (-6,772)$; 5) $-54,32 + (-5,679)$; 6) $-10,28 + (-678,6)$.

Как думать. Складывая десятичные дроби, пишем запятую под запятой. При нужде дописываем нули.

Решение.

1. $3,77 + 7,89 = 11,66$ → $-11,66$.
2. $76,7 + 46,7 = 123,4$ → $-123,4$.
3. $9,70 + 89,85 = 99,55$ → $-99,55$.
4. $23,450 + 6,772 = 30,222$ → $-30,222$.
5. $54,320 + 5,679 = 59,999$ → $-59,999$.
6. $10,28 + 678,60 = 688,88$ → $-688,88$.

Ответ: $-11,66$; $-123,4$; $-99,55$; $-30,222$; $-59,999$; $-688,88$.

№ 399

Найди: 1) $-\frac{3}{4} + \left(-5\frac{1}{4}\right)$; 2) $-11\frac{3}{4} + \left(-5\frac{3}{4}\right)$; 3) $-\frac{7}{8} + \left(-\frac{1}{4}\right)$; 4) $-\frac{9}{11} + \left(-4\frac{3}{11}\right)$; 5) $-\frac{3}{17} + \left(-\frac{11}{34}\right)$; 6) $-\frac{7}{12} + \left(-8\frac{1}{6}\right)$.

Решение.

1. $\frac{3}{4} + 5\frac{1}{4} = 6$ → $-6$.
2. $11\frac{3}{4} + 5\frac{3}{4} = 16\frac{6}{4} = 17\frac{1}{2}$ → $-17\frac{1}{2}$.
3. $\frac{7}{8} + \frac{2}{8} = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8}$ → $-1\frac{1}{8}$.
4. $\frac{9}{11} + 4\frac{3}{11} = 4\frac{12}{11} = 5\frac{1}{11}$ → $-5\frac{1}{11}$.
5. $\frac{6}{34} + \frac{11}{34} = \frac{17}{34} = \frac{1}{2}$ → $-\frac{1}{2}$.
6. $\frac{7}{12} + 8\frac{2}{12} = 8\frac{9}{12} = 8\frac{3}{4}$ → $-8\frac{3}{4}$.

Ответ: $-6$; $-17\frac{1}{2}$; $-1\frac{1}{8}$; $-5\frac{1}{11}$; $-\frac{1}{2}$; $-8\frac{3}{4}$.

№ 400

Найди значение $(-15,2) + x + (-3,1)$, если $x$ равен: 1) $-1,7$; 2) $-81,7$; 3) 18,3; 4) $-31\frac{7}{10}$.

Как думать. Сначала сложим два известных числа: $-15,2 + (-3,1) = -18,3$. Остаётся прибавить $x$.

Решение.

1. $-18,3 + (-1,7) = -20$.
2. $-18,3 + (-81,7) = -100$.
3. $-18,3 + 18,3 = 0$ — противоположные числа!
4. $-31\frac{7}{10} = -31,7$; $-18,3 + (-31,7) = -50$.

Ответ: $-20$; $-100$; 0; $-50$.

№ 401

Заполни таблицу: найди $m + n$ для пар $m = -72,35$, $n = -27,65$; $m = -27\frac{13}{18}$, $n = -22\frac{5}{18}$; $m = -22,625$, $n = -2\frac{3}{8}$; $m = -0,9375$, $n = -\frac{1}{4}$.

Как думать. Если одно число десятичное, а другое — обыкновенная дробь, переведи дробь в десятичную: $\frac{3}{8} = 0,375$, $\frac{1}{4} = 0,25$.

Решение.

Ответ: $-100$; $-50$; $-25$; $-1,1875$.

№ 402

Какое из чисел 312,1; $-312,1$; 276,5; $-276,5$ — корень уравнения $-17,8 + x = -294,3$?

Как думать. Сумма $-294,3$ отрицательна и уходит от нуля дальше, чем $-17,8$. Значит, $x$ тоже отрицательный. Его модуль: $294,3 - 17,8 = 276,5$.

Решение. Проверим $x = -276,5$: $-17,8 + (-276,5) = -(17,8 + 276,5) = -294,3$ ✓.

Ответ: $-276,5$.

№ 403

Найди неизвестное уменьшаемое: 1) $x - (-84,6) = -15,4$; 2) $x - \left(-4\frac{1}{3}\right) = -5\frac{2}{3}$; 3) $x - \left(-8\frac{5}{6}\right) = -1\frac{1}{6}$; 4) $x - \left(-48\frac{7}{13}\right) = -51\frac{6}{13}$.

Как думать. Правило из 5 класса работает и здесь: уменьшаемое = разность + вычитаемое. А сложить два отрицательных числа мы уже умеем.

Решение.

1. $x = -15,4 + (-84,6) = -100$.
2. $x = -5\frac{2}{3} + \left(-4\frac{1}{3}\right) = -10$.
3. $x = -1\frac{1}{6} + \left(-8\frac{5}{6}\right) = -10$.
4. $x = -51\frac{6}{13} + \left(-48\frac{7}{13}\right) = -100$.

Ответ: $-100$; $-10$; $-10$; $-100$.

№ 404

Найди корень: 1) $x - (-14,7) = -55,3$; 2) $x - \left(-64\frac{2}{3}\right) = -5\frac{1}{3}$; 3) $x - \left(-82\frac{5}{7}\right) = -7\frac{2}{7}$; 4) $x - \left(-4\frac{5}{12}\right) = -55\frac{7}{12}$.

Решение. Как в № 403: $x$ = разность + вычитаемое.

1. $x = -55,3 + (-14,7) = -70$.
2. $x = -5\frac{1}{3} + \left(-64\frac{2}{3}\right) = -70$.
3. $x = -7\frac{2}{7} + \left(-82\frac{5}{7}\right) = -90$.
4. $x = -55\frac{7}{12} + \left(-4\frac{5}{12}\right) = -60$.

Ответ: $-70$; $-70$; $-90$; $-60$.

№ 405

Прибавь $-34,5$ к числу: 1) $-5,5$; 2) $-65,5$; 3) $-15,5$.

Решение. 1) $-(5,5 + 34,5) = -40$; 2) $-(65,5 + 34,5) = -100$; 3) $-(15,5 + 34,5) = -50$.

Ответ: $-40$; $-100$; $-50$.

№ 406

Найди $a + b$: 1) $a = -8,36$, $b = -1,64$; 2) $a = -17,6$, $b = -12,4$; 3) $a = -4,75$, $b = -5,25$; 4) $a = -17,2$, $b = -92,8$.

Решение. 1) $-(8,36 + 1,64) = -10$; 2) $-(17,6 + 12,4) = -30$; 3) $-(4,75 + 5,25) = -10$; 4) $-(17,2 + 92,8) = -110$.

Ответ: $-10$; $-30$; $-10$; $-110$.

№ 407

Температура за неделю менялась так: пн $-1,5$ °C, вт $-2$ °C, ср $-0,5$ °C, чт $-2,8$ °C, пт $-1,7$ °C, сб $-1,9$ °C, вс $-1,3$ °C. На сколько изменилась температура за неделю?

Как думать. Все изменения отрицательные — складываем модули и ставим минус. Группируем удобные пары.

Решение. $(1,5 + 0,5) + 2 + (2,8 + 1,7) + (1,9 + 1,3) = 2 + 2 + 4,5 + 3,2 = 11,7$. Значит, изменение $-11,7$ °C.

Ответ: на $-11,7$ °C (похолодало на 11,7 °C).

№ 408

Уровень воды в реке изменился: в 1-й день на $-0,25$ м, во 2-й на $-0,1$ м, в 3-й на $-0,07$ м. На сколько сантиметров он изменился за три дня?

Решение. $-(0,25 + 0,1 + 0,07) = -0,42$ м. В метре 100 см: $-0,42$ м $= -42$ см.

Ответ: на $-42$ см (уровень опустился на 42 см).

№ 409

Число изменили на $-4,3$, потом на $-1,6$, потом на $-0,1$. Оно увеличилось или уменьшилось? На сколько?

Решение. Общее изменение: $-4,3 + (-1,6) + (-0,1) = -6$. Изменение отрицательное, значит, число уменьшилось.

Ответ: уменьшилось на 6.

Уровень B

№ 410

Найди: 1) $(-2,25 + (-1,75)) + \left(-2\frac{2}{3} + \left(-3\frac{1}{3}\right)\right)$; 2) $\left(-327,8 + \left(-72\frac{1}{5}\right)\right) + \left(-539\frac{11}{15} + \left(-60\frac{4}{15}\right)\right)$; 3) $\left(-789\frac{3}{5} + (-101,4)\right) + \left(-27,04 + \left(-72\frac{24}{25}\right)\right)$; 4) $\left(-0,16 + \left(-\frac{21}{25}\right)\right) + \left(-0,875 + \left(-\frac{1}{8}\right)\right)$.

Как думать. В каждой скобке числа подобраны так, что сумма модулей получается круглой. Переводи дроби в удобный вид.

Решение.

1. $-(2,25 + 1,75) = -4$; $-\left(2\frac{2}{3} + 3\frac{1}{3}\right) = -6$; итого $-4 + (-6) = -10$.
2. $72\frac{1}{5} = 72,2$: $-(327,8 + 72,2) = -400$; $-\left(539\frac{11}{15} + 60\frac{4}{15}\right) = -600$; итого $-1000$.
3. $-891 + (-100) = -991$ (смотри шаги выше).
4. $\frac{21}{25} = 0,84$, $\frac{1}{8} = 0,125$: $-(0,16 + 0,84) = -1$; $-(0,875 + 0,125) = -1$; итого $-2$.

Ответ: $-10$; $-1000$; $-991$; $-2$.

№ 411

Найди число, противоположное значению выражения: 1) $-2\frac{1}{3} + \left(-5\frac{1}{4}\right)$; 2) $-14,27 + (-16,5)$; 3) $-33,2 + \left(-11\frac{2}{7}\right)$; 4) $-39,05 + \left(-5\frac{1}{4}\right)$.

Как думать. Сначала находим сумму — она отрицательная. Противоположное число — тот же модуль без минуса.

Решение.

1. $2\frac{4}{12} + 5\frac{3}{12} = 7\frac{7}{12}$; сумма $-7\frac{7}{12}$, противоположное $7\frac{7}{12}$.
2. $14,27 + 16,5 = 30,77$; противоположное 30,77.
3. $33\frac{1}{5} + 11\frac{2}{7} = 44 + \frac{7}{35} + \frac{10}{35} = 44\frac{17}{35}$; противоположное $44\frac{17}{35}$.
4. $39,05 + 5,25 = 44,3$; противоположное 44,3.

Ответ: $7\frac{7}{12}$; 30,77; $44\frac{17}{35}$; 44,3.

№ 412

Представь в виде суммы двух равных чисел: $-6$; $-208$; $-11$; $-1,4$; $-6,2$; $-10,2$.

Как думать. Делим модуль пополам, оба слагаемых — отрицательные.

Решение.

1. $-6 = -3 + (-3)$.
2. $-208 = -104 + (-104)$.
3. $-11 = -5,5 + (-5,5)$.
4. $-1,4 = -0,7 + (-0,7)$.
5. $-6,2 = -3,1 + (-3,1)$.
6. $-10,2 = -5,1 + (-5,1)$.

Ответ: слагаемые $-3$; $-104$; $-5,5$; $-0,7$; $-3,1$; $-5,1$.

№ 413

Найди: 1) $-267 + (-415)$; 2) $-392 + (-108)$; 3) $-2345 + (-687)$; 4) $-8346 + (-458)$; 5) $-0,26 + (-0,74)$; 6) $-0,485 + (-0,52)$.

Решение.

1. $-(267 + 415) = -682$.
2. $-(392 + 108) = -500$.
3. $-(2345 + 687) = -3032$.
4. $-(8346 + 458) = -8804$.
5. $-(0,26 + 0,74) = -1$.
6. $-(0,485 + 0,520) = -1,005$.

Ответ: $-682$; $-500$; $-3032$; $-8804$; $-1$; $-1,005$.

№ 414

Найди: 1) $-569 + (-587)$; 2) $-778 + (-354)$; 3) $-366 + (-278)$; 4) $-255 + (-167)$; 5) $-7,08 + (-4,39)$; 6) $-99,9 + (-7,77)$.

Решение.

1. $-(569 + 587) = -1156$.
2. $-(778 + 354) = -1132$.
3. $-(366 + 278) = -644$.
4. $-(255 + 167) = -422$.
5. $-(7,08 + 4,39) = -11,47$.
6. $-(99,90 + 7,77) = -107,67$.

Ответ: $-1156$; $-1132$; $-644$; $-422$; $-11,47$; $-107,67$.

№ 415

Вычисли: 1) $-5,79 + (-3,84)$; 2) $-2,76 + (-0,64)$; 3) $-7,64 + (-16,8)$; 4) $-7,788 + (-5,412)$; 5) $-86,9 + (-6,362)$; 6) $-2,785 + (-13,865)$.

Решение.

1. $-(5,79 + 3,84) = -9,63$.
2. $-(2,76 + 0,64) = -3,4$.
3. $-(7,64 + 16,80) = -24,44$.
4. $-(7,788 + 5,412) = -13,2$.
5. $-(86,900 + 6,362) = -93,262$.
6. $-(2,785 + 13,865) = -16,65$.

Ответ: $-9,63$; $-3,4$; $-24,44$; $-13,2$; $-93,262$; $-16,65$.

№ 416

Вычисли: 1) $-\frac{25}{28} + \left(-\frac{18}{35}\right)$; 2) $-\frac{40}{63} + \left(-\frac{35}{72}\right)$; 3) $-\frac{29}{54} + \left(-\frac{13}{42}\right)$; 4) $-\frac{19}{60} + \left(-\frac{11}{24}\right)$; 5) $-\frac{35}{81} + \left(-\frac{25}{72}\right)$; 6) $-\frac{23}{36} + \left(-\frac{31}{48}\right)$.

Как думать. Главная работа — найти наименьший общий знаменатель. Разложи знаменатели на множители: $28 = 4 \cdot 7$, $35 = 5 \cdot 7$, значит НОК $= 4 \cdot 5 \cdot 7 = 140$.

Решение.

1. НОК(28, 35) = 140: $\frac{125}{140} + \frac{72}{140} = \frac{197}{140} = 1\frac{57}{140}$ → $-1\frac{57}{140}$.
2. НОК(63, 72) = 504: $\frac{320}{504} + \frac{245}{504} = \frac{565}{504} = 1\frac{61}{504}$ → $-1\frac{61}{504}$.
3. НОК(54, 42) = 378: $\frac{203}{378} + \frac{117}{378} = \frac{320}{378} = \frac{160}{189}$ → $-\frac{160}{189}$.
4. НОК(60, 24) = 120: $\frac{38}{120} + \frac{55}{120} = \frac{93}{120} = \frac{31}{40}$ → $-\frac{31}{40}$.
5. НОК(81, 72) = 648: $\frac{280}{648} + \frac{225}{648} = \frac{505}{648}$ → $-\frac{505}{648}$.
6. НОК(36, 48) = 144: $\frac{92}{144} + \frac{93}{144} = \frac{185}{144} = 1\frac{41}{144}$ → $-1\frac{41}{144}$.

Ответ: $-1\frac{57}{140}$; $-1\frac{61}{504}$; $-\frac{160}{189}$; $-\frac{31}{40}$; $-\frac{505}{648}$; $-1\frac{41}{144}$.

№ 417

Вычисли: 1) $-0,4 + \left(-\frac{1}{6}\right)$; 2) $-0,25 + \left(-\frac{3}{8}\right)$; 3) $-4,125 + \left(-\frac{5}{12}\right)$; 4) $-6,75 + \left(-8\frac{7}{12}\right)$; 5) $-11\frac{1}{3} + (-9,5)$; 6) $-7\frac{1}{6} + (-9,375)$; 7) $-0,75 + \left(-5\frac{5}{6}\right)$; 8) $-0,8 + \left(-4\frac{3}{7}\right)$; 9) $-6\frac{1}{6} + (-17,375)$.

Как думать. Дроби вроде $\frac{1}{6}$ или $\frac{5}{12}$ не превращаются в конечную десятичную. Поэтому переводим десятичные дроби в обыкновенные: $0,4 = \frac{2}{5}$, $0,25 = \frac{1}{4}$, $0,125 = \frac{1}{8}$, $0,375 = \frac{3}{8}$, $0,75 = \frac{3}{4}$.

Решение.

1. $\frac{2}{5} + \frac{1}{6} = \frac{12}{30} + \frac{5}{30} = \frac{17}{30}$ → $-\frac{17}{30}$.
2. $\frac{2}{8} + \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ → $-\frac{5}{8}$.
3. $4\frac{1}{8} + \frac{5}{12} = 4\frac{3}{24} + \frac{10}{24} = 4\frac{13}{24}$ → $-4\frac{13}{24}$.
4. $6\frac{9}{12} + 8\frac{7}{12} = 14\frac{16}{12} = 15\frac{4}{12} = 15\frac{1}{3}$ → $-15\frac{1}{3}$.
5. $11\frac{2}{6} + 9\frac{3}{6} = 20\frac{5}{6}$ → $-20\frac{5}{6}$.
6. $7\frac{4}{24} + 9\frac{9}{24} = 16\frac{13}{24}$ → $-16\frac{13}{24}$.
7. $\frac{9}{12} + 5\frac{10}{12} = 5\frac{19}{12} = 6\frac{7}{12}$ → $-6\frac{7}{12}$.
8. $\frac{4}{5} + 4\frac{3}{7} = 4 + \frac{28}{35} + \frac{15}{35} = 4\frac{43}{35} = 5\frac{8}{35}$ → $-5\frac{8}{35}$.
9. $6\frac{4}{24} + 17\frac{9}{24} = 23\frac{13}{24}$ → $-23\frac{13}{24}$.

Ответ: $-\frac{17}{30}$; $-\frac{5}{8}$; $-4\frac{13}{24}$; $-15\frac{1}{3}$; $-20\frac{5}{6}$; $-16\frac{13}{24}$; $-6\frac{7}{12}$; $-5\frac{8}{35}$; $-23\frac{13}{24}$.

⚠️ Частая ошибка. Посчитали модуль и забыли поставить минус. Перед тем как записать ответ, спроси себя: «Слагаемые отрицательные? Значит, и ответ с минусом».

Уровень C

№ 418

Найди $a + (-38,6)$, если: 1) $a = -12,3$; 2) $a = -61,4$; 3) $a = -902,4$; 4) $a = -32\frac{2}{5}$.

Решение.

1. $-(12,3 + 38,6) = -50,9$.
2. $-(61,4 + 38,6) = -100$.
3. $-(902,4 + 38,6) = -941$.
4. $32\frac{2}{5} = 32,4$; $-(32,4 + 38,6) = -71$.

Ответ: $-50,9$; $-100$; $-941$; $-71$.

№ 419

Найди $a + b + (-0,5)$, если: 1) $a = -\frac{4}{15}$, $b = -0,4$; 2) $a = -0,4375$, $b = -\frac{5}{12}$; 3) $a = -3\frac{11}{18}$, $b = -6\frac{5}{6}$; 4) $a = -18\frac{3}{14}$, $b = -6\frac{17}{21}$.

Как думать. Все три слагаемых отрицательные. Складываем три модуля, ставим минус. Десятичные переводим в обыкновенные: $0,4 = \frac{2}{5}$, $0,5 = \frac{1}{2}$, $0,4375 = \frac{7}{16}$.

Решение.

1. $\frac{4}{15} + \frac{2}{5} + \frac{1}{2} = \frac{8}{30} + \frac{12}{30} + \frac{15}{30} = \frac{35}{30} = 1\frac{1}{6}$ → $-1\frac{1}{6}$.
2. $\frac{7}{16} + \frac{5}{12} + \frac{1}{2} = \frac{21}{48} + \frac{20}{48} + \frac{24}{48} = \frac{65}{48} = 1\frac{17}{48}$ → $-1\frac{17}{48}$.
3. $3\frac{11}{18} + 6\frac{15}{18} + \frac{9}{18} = 9\frac{35}{18} = 10\frac{17}{18}$ → $-10\frac{17}{18}$.
4. $18\frac{9}{42} + 6\frac{34}{42} + \frac{21}{42} = 24\frac{64}{42} = 25\frac{22}{42} = 25\frac{11}{21}$ → $-25\frac{11}{21}$.

Ответ: $-1\frac{1}{6}$; $-1\frac{17}{48}$; $-10\frac{17}{18}$; $-25\frac{11}{21}$.

Повторяем

№ 420

Лиственные деревья занимают 61,8% лесов Казахстана, хвойные — 15,5%, кустарники — 22,7%. Построй круговую диаграмму.

Как думать. Весь круг — 100% — это 360°. Значит, 1% — это 3,6°.

Решение.

1. Лиственные: $61,8 \cdot 3,6 = 222,48° \approx 222°$.
2. Хвойные: $15,5 \cdot 3,6 = 55,8° \approx 56°$.
3. Кустарники: $22,7 \cdot 3,6 = 81,72° \approx 82°$. Проверка: $222 + 56 + 82 = 360$ ✓. Чертим круг, от радиуса транспортиром откладываем углы по очереди.

Ответ: секторы примерно 222°, 56° и 82°.

№ 421

Между посёлками 18 км. Сколько времени займёт путь со скоростью 6 км/ч? А если увеличить скорость в 1) 2 раза; 2) 3 раза; 3) 6 раз; 4) 12 раз?

Как думать. Скорость больше во столько-то раз — время меньше во столько же раз.

Решение. $18 : 6 = 3$ ч. Дальше: 1) $3 : 2 = 1,5$ ч; 2) $3 : 3 = 1$ ч; 3) $3 : 6 = 0,5$ ч; 4) $3 : 12 = 0,25$ ч.

Ответ: 3 ч; 1,5 ч; 1 ч; 0,5 ч; 0,25 ч.

№ 422

Найди неизвестное слагаемое: 1) $x + (|-15| + 15,4) = 31$; 2) $\left|7\frac{2}{3}\right| + \left|-2\frac{1}{3}\right| + x = 100$.

Решение.

1. $|-15| + 15,4 = 15 + 15,4 = 30,4$. Тогда $x = 31 - 30,4 = 0,6$.
2. $7\frac{2}{3} + 2\frac{1}{3} = 10$. Тогда $x = 100 - 10 = 90$.

Ответ: 1) 0,6; 2) 90.

Готовимся к следующей теме

№ 423

Найди удобным способом: 1) $-|-700| + |500| + |-200| + \frac{3}{4} + 0,25$; 2) $|199,25| + |-55,3| + 44,7 + 0,75 - |-300|$.

Как думать. Сначала аккуратно снимаем модули. Внимание: $-|-700|$ — это минус от модуля, то есть $-700$.

Решение.

1. $-700 + 500 + 200 + \frac{3}{4} + 0,25$. Числа $500 + 200 = 700$ и $-700$ противоположны — их сумма 0. Остаётся $0,75 + 0,25 = 1$.
2. $(199,25 + 0,75) + (55,3 + 44,7) - 300 = 200 + 100 - 300 = 0$.

Ответ: 1) 1; 2) 0.

№ 424

Построй точки на координатной прямой: 1) $A(-4)$, $B(-6)$, $C(-1)$, $K(3)$, $M(5)$, $P(8)$; 2) $A(-0,4)$, $B(-0,7)$, $C(-0,9)$, $K(0,4)$, $M(1,1)$, $P(1,3)$; 3) $A\left(-\frac{1}{3}\right)$, $B\left(-2\frac{1}{3}\right)$, $C\left(-1\frac{2}{3}\right)$, $K\left(\frac{2}{3}\right)$, $M(3)$, $P(2)$.

Как думать. Единичный отрезок выбираем под числа. В пункте 1 хватит 1 клетки на единицу. В пункте 2 удобно 10 клеток (одна клетка — 0,1). В пункте 3 — 3 клетки (одна клетка — $\frac{1}{3}$).

Решение.

1. Единица — 1 клетка. $B$ — на 6 клеток левее нуля, $A$ — на 4, $C$ — на 1. $K$, $M$, $P$ — на 3, 5 и 8 клеток правее.
2. Единица — 10 клеток. $C$, $B$, $A$ — на 9, 7 и 4 клетки левее нуля. $K$ — на 4 клетки правее, $M$ — на 11, $P$ — на 13.
3. Единица — 3 клетки. $A$ — на 1 клетку левее нуля, $C$ — на 5, $B$ — на 7. $K$ — на 2 клетки правее, $P$ — на 6, $M$ — на 9.

Ответ: точки отмечены по описанию.

Шпаргалка

• Оба слагаемых отрицательные — складываем модули и ставим минус.
• Сумма отрицательных чисел никогда не бывает положительной или нулём.
• Много отрицательных слагаемых — складываем все модули сразу, группируя удобные пары.
• Десятичные и обыкновенные дроби в одном примере приводим к одному виду.
• «Похолодало», «понизился», «уменьшили» — это отрицательные изменения.

Мини-тест