§ 13. Сложение рациональных чисел с разными знаками

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 2: Рациональные числа и действия над ними. Страницы 96–101.

Чему научишься

• Складывать положительное и отрицательное число на координатной прямой.
• Складывать такие числа без рисунка — по правилу модулей.
• Сразу видеть, какой знак будет у ответа.
• Решать задачи про температуру, площади и скорость, где числа «уходят в минус».

Разминка

Это задания № 423 и 424 из прошлого урока. Ответь в уме, потом открой ответ.

• Чему равно $-|-700| + |500| + |-200| + \frac{3}{4} + 0{,}25$? Модули: $-700 + 500 + 200 = 0$, а $\frac{3}{4} + 0{,}25 = 1$. Итого 1.
• А $|199{,}25| + |-55{,}3| + 44{,}7 + 0{,}75 - |-300|$? $199{,}25 + 0{,}75 = 200$, $55{,}3 + 44{,}7 = 100$, $300 - 300 =$ 0.
• Где на координатной прямой точка $B(-6)$: левее или правее $C(-1)$? Левее: $-6 < -1$.
• Какая точка дальше от нуля: $A(-0{,}4)$ или $P(1{,}3)$? $P$: её модуль 1,3 больше, чем 0,4.

💡 Заметил? В первом примере $-700$ и $+700$ «съели» друг друга. Сегодня как раз разберёмся, что бывает, когда встречаются минус и плюс.

Разбираемся

Шагаем по прямой

Сложить число — значит шагнуть по координатной прямой. Плюс — шаг вправо, минус — шаг влево. Начнём с $-8$ и шагнём на 5 вправо.

Получилось $(-8) + 5 = -3$. А если начать с 5 и шагнуть на 8 влево? Попадём туда же: $5 + (-8) = -3$. От перестановки слагаемых сумма не меняется.

Теперь $(-3) + 7$: от $-3$ семь шагов вправо — это 4. И $7 + (-3) = 4$.

Кто сильнее — тот и победил

Представь перетягивание каната. Слева тянут 8 человек, справа — 5. Кто выиграл? Левые, но «перевес» всего в 3 человека. Вот и всё правило!

📌 Чтобы сложить два числа с разными знаками:

1. из большего модуля вычти меньший;
2. поставь знак того числа, у которого модуль больше.

Примеры: $-70 + 50 = -(70 - 50) = -20$. $70 + (-40) = +(70 - 40) = 30$. $-15{,}9 + 3{,}8 = -(15{,}9 - 3{,}8) = -12{,}1$.

💡 А если модули равны? Тогда силы равны, и сумма — ноль: $-53 + 53 = 0$. Так складываются противоположные числа.

⚠️ Частая ошибка. В $-12 + 5$ пишут $-17$, складывая модули. Нет! Модули складывают, только когда знаки одинаковые. Здесь знаки разные — модули вычитаем: $12 - 5 = 7$, знак минус. Ответ $-7$.

Как быстро угадать знак

Посмотри, какое число «тяжелее» без знака. Знак ответа — как у него. В $-1{,}5 + 2{,}5$ тяжелее 2,5, значит ответ плюсовой: 1. А $1 + 0 = 1$: прибавить ноль — ничего не изменить.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка перед каждым примером сначала назвать знак ответа, а потом число. Например: «$-30 + 12$ — минус, восемнадцать». Это убирает почти все ошибки урока.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Почему $m + (-n)$ и $(-n) + m$ равны? От перестановки слагаемых сумма не меняется. На прямой оба пути приводят в одну точку.
• Какой знак у суммы $m + (-n)$, если $m$ и $n$ — натуральные и $m < n$? Минус. Модуль числа $-n$ больше, значит знак берём у него.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 425

Найди суммы: $(-5) + 13$; $(-8) + 15$; $6 + (-13)$; $7 + (-12)$; $(-53) + 53$; $17 + (-17)$.

Как думать. Вычитаем меньший модуль из большего, знак — у «тяжёлого» числа.

Решение. 1) $13 - 5 = 8$; 2) $15 - 8 = 7$; 3) $-(13 - 6) = -7$; 4) $-(12 - 7) = -5$; 5) и 6) противоположные числа — 0.

Ответ: 8; 7; $-7$; $-5$; 0; 0.

№ 426

Сложи: $-18$ и 33; 65 и $-37$; $-49$ и 25; 31 и $-12$; $-58$ и 39; 46 и $-74$.

Решение.

1. $-18 + 33 = 33 - 18 = 15$.
2. $65 + (-37) = 65 - 37 = 28$.
3. $-49 + 25 = -(49 - 25) = -24$.
4. $31 + (-12) = 19$.
5. $-58 + 39 = -(58 - 39) = -19$.
6. $46 + (-74) = -(74 - 46) = -28$.

Ответ: 15; 28; $-24$; 19; $-19$; $-28$.

№ 427

Вычисли: $\frac{2}{3} + \left(-10\frac{1}{3}\right)$; $-\frac{3}{8} + \frac{4}{7}$; $\frac{3}{5} + \left(-1\frac{5}{6}\right)$; $\frac{2}{9} + \left(-1\frac{5}{6}\right)$; $\frac{4}{5} + \left(-\frac{2}{7}\right)$; $-9 + \frac{2}{9}$.

Как думать. С дробями то же правило. Сначала приводим к общему знаменателю, потом вычитаем модули.

Решение.

1. $-(10\frac{1}{3} - \frac{2}{3}) = -9\frac{2}{3}$.
2. $\frac{4}{7} - \frac{3}{8} = \frac{32}{56} - \frac{21}{56} = \frac{11}{56}$.
3. $-(1\frac{25}{30} - \frac{18}{30}) = -1\frac{7}{30}$.
4. $-(1\frac{15}{18} - \frac{4}{18}) = -1\frac{11}{18}$.
5. $\frac{28}{35} - \frac{10}{35} = \frac{18}{35}$.
6. $-(9 - \frac{2}{9}) = -8\frac{7}{9}$.

Ответ: $-9\frac{2}{3}$; $\frac{11}{56}$; $-1\frac{7}{30}$; $-1\frac{11}{18}$; $\frac{18}{35}$; $-8\frac{7}{9}$.

№ 428

Выполни: $\frac{11}{20} + \left(-2\frac{11}{15}\right)$; $-\frac{2}{5} + 6\frac{3}{4}$; $-\frac{7}{12} + 5\frac{1}{16}$; $\frac{5}{12} + \left(-\frac{4}{15}\right)$.

Решение.

1. Общий знаменатель 60: $-(2\frac{44}{60} - \frac{33}{60}) = -2\frac{11}{60}$.
2. $6\frac{15}{20} - \frac{8}{20} = 6\frac{7}{20} = 6{,}35$.
3. Знаменатель 48: $5\frac{3}{48} - \frac{28}{48} = 4\frac{51}{48} - \frac{28}{48} = 4\frac{23}{48}$.
4. $\frac{25}{60} - \frac{16}{60} = \frac{9}{60} = \frac{3}{20}$.

Ответ: $-2\frac{11}{60}$; 6,35; $4\frac{23}{48}$; $\frac{3}{20}$.

№ 429

Найди: $-12{,}64 + 53{,}24$; $-3{,}21 + 10{,}91$; $-33{,}04 + 43{,}54$; $21{,}19 + (-11{,}29)$.

Как думать. Везде больший модуль у положительного числа — ответы будут плюсовые.

Решение. 1) $53{,}24 - 12{,}64 = 40{,}6$; 2) $10{,}91 - 3{,}21 = 7{,}7$; 3) $43{,}54 - 33{,}04 = 10{,}5$; 4) $21{,}19 - 11{,}29 = 9{,}9$.

Ответ: 40,6; 7,7; 10,5; 9,9.

№ 430

Найди: $\frac{4}{5} + (-0{,}81)$; $-19{,}8 + 5\frac{4}{5}$; $-\frac{4}{5} + 1{,}8$; $12{,}75 + \left(-12\frac{3}{4}\right)$; $-5{,}7 + 4\frac{3}{10}$; $8{,}57 + \left(-1\frac{1}{2}\right)$.

Как думать. Дроби здесь легко превращаются в десятичные: $\frac{4}{5} = 0{,}8$, $\frac{3}{4} = 0{,}75$, $\frac{3}{10} = 0{,}3$, $\frac{1}{2} = 0{,}5$.

Решение.

1. $0{,}8 - 0{,}81 = -0{,}01$.
2. $-19{,}8 + 5{,}8 = -14$.
3. $-0{,}8 + 1{,}8 = 1$.
4. $12{,}75 - 12{,}75 = 0$.
5. $-5{,}7 + 4{,}3 = -1{,}4$.
6. $8{,}57 - 1{,}5 = 7{,}07$.

Ответ: $-0{,}01$; $-14$; 1; 0; $-1{,}4$; 7,07.

№ 431

Сложи: $474 + (-326)$; $-22 + 188$; $-295 + 105$; $175 + (-135)$; $942 + (-158)$; $-345 + 155$.

Решение. 1) $474 - 326 = 148$; 2) $188 - 22 = 166$; 3) $-(295 - 105) = -190$; 4) $175 - 135 = 40$; 5) $942 - 158 = 784$; 6) $-(345 - 155) = -190$.

Ответ: 148; 166; $-190$; 40; 784; $-190$.

№ 432

Найди суммы трёх чисел: $-89 + (-11) + 273$; $(-73) + 873 + 88$; $-126 + 26 + (-72)$; $105 + (-65) + (-75)$.

Как думать. Складываем по два слева направо. Ищи пары, которые дают круглые числа.

Решение.

1. $-89 + (-11) = -100$; $-100 + 273 = 173$.
2. $-73 + 873 = 800$; $800 + 88 = 888$.
3. $-126 + 26 = -100$; $-100 + (-72) = -172$.
4. $105 + (-65) = 40$; $40 + (-75) = -35$.

Ответ: 173; 888; $-172$; $-35$.

№ 433

Выполни: $-0{,}75 + 0{,}55$; $-3{,}19 + 5{,}49$; $7{,}68 + (-0{,}98)$; $10{,}89 + (-0{,}9)$; $-8{,}6 + 7{,}62$; $3{,}64 + (-1{,}46)$.

Решение. 1) $-(0{,}75 - 0{,}55) = -0{,}2$; 2) $5{,}49 - 3{,}19 = 2{,}3$; 3) $7{,}68 - 0{,}98 = 6{,}7$; 4) $10{,}89 - 0{,}9 = 9{,}99$; 5) $-(8{,}6 - 7{,}62) = -0{,}98$; 6) $3{,}64 - 1{,}46 = 2{,}18$.

Ответ: $-0{,}2$; 2,3; 6,7; 9,99; $-0{,}98$; 2,18.

⚠️ Частая ошибка. В $10{,}89 + (-0{,}9)$ легко ошибиться разрядами. Подпиши нуль: $0{,}9 = 0{,}90$. Тогда $10{,}89 - 0{,}90 = 9{,}99$.

№ 434

Вычисли: $168{,}25 + (-32{,}25) + 736{,}4$; $-234{,}11 + 52{,}11 + 82$; $-74{,}5 + (-3{,}54) + 842{,}04$; $-12{,}76 + 0{,}66 + (-8{,}9)$.

Решение.

1. $168{,}25 - 32{,}25 = 136$; $136 + 736{,}4 = 872{,}4$.
2. $-234{,}11 + 52{,}11 = -182$; $-182 + 82 = -100$.
3. $-74{,}5 + (-3{,}54) = -78{,}04$; $-78{,}04 + 842{,}04 = 764$.
4. $-12{,}76 + 0{,}66 = -12{,}1$; $-12{,}1 + (-8{,}9) = -21$.

Ответ: 872,4; $-100$; 764; $-21$.

№ 435

Найди: $\frac{7}{12} + (-0{,}35)$; $-0{,}375 + \frac{3}{8}$; $-\frac{4}{21} + \frac{3}{14}$; $1{,}3 + \left(-1\frac{7}{15}\right)$; $4\frac{5}{9} + \left(-4\frac{4}{15}\right)$; $-2\frac{4}{75} + 3{,}07$.

Как думать. Если дробь не превращается в «красивую» десятичную (как $\frac{7}{12}$), переводи десятичную в обыкновенную.

Решение.

1. $0{,}35 = \frac{7}{20}$; $\frac{35}{60} - \frac{21}{60} = \frac{14}{60} = \frac{7}{30}$.
2. $\frac{3}{8} = 0{,}375$, числа противоположные — 0.
3. $\frac{9}{42} - \frac{8}{42} = \frac{1}{42}$.
4. $1{,}3 = 1\frac{9}{30}$; $-(1\frac{14}{30} - 1\frac{9}{30}) = -\frac{5}{30} = -\frac{1}{6}$.
5. $4\frac{25}{45} - 4\frac{12}{45} = \frac{13}{45}$.
6. $3{,}07 = 3\frac{21}{300}$, $2\frac{4}{75} = 2\frac{16}{300}$; $3\frac{21}{300} - 2\frac{16}{300} = 1\frac{5}{300} = 1\frac{1}{60}$.

Ответ: $\frac{7}{30}$; 0; $\frac{1}{42}$; $-\frac{1}{6}$; $\frac{13}{45}$; $1\frac{1}{60}$.

№ 436

Заполни таблицу $a + b$ для пар: $-2\frac{2}{5}$ и 1,4; $3\frac{12}{50}$ и $-5{,}24$; $-2\frac{1}{4}$ и 3,25; $3\frac{4}{9}$ и $-3\frac{2}{7}$; $-3{,}4$ и $13\frac{2}{5}$.

Как думать. Переведи дроби в десятичные, где можно: $2\frac{2}{5} = 2{,}4$, $3\frac{12}{50} = 3{,}24$, $2\frac{1}{4} = 2{,}25$, $13\frac{2}{5} = 13{,}4$.

Решение.

Ответ: $-1$; $-2$; 1; $\frac{10}{63}$; 10.

Уровень B

№ 437

Вычисли: $-0{,}12 + \frac{3}{4}$; $1{,}15 + \left(-1\frac{1}{4}\right)$; $-8{,}2 + 9\frac{3}{7}$; $-8\frac{3}{8} + 7{,}75$; $5{,}2 + \left(-4\frac{1}{3}\right)$; $3\frac{2}{7} + (-1{,}25)$.

Решение.

1. $0{,}75 - 0{,}12 = 0{,}63$.
2. $1{,}15 - 1{,}25 = -0{,}1$.
3. $-8\frac{7}{35} + 9\frac{15}{35} = 1\frac{8}{35}$.
4. $-8{,}375 + 7{,}75 = -0{,}625 = -\frac{5}{8}$.
5. $5\frac{3}{15} - 4\frac{5}{15} = \frac{13}{15}$.
6. $3\frac{8}{28} - 1\frac{7}{28} = 2\frac{1}{28}$.

Ответ: 0,63; $-0{,}1$; $1\frac{8}{35}$; $-\frac{5}{8}$; $\frac{13}{15}$; $2\frac{1}{28}$.

№ 438

Найди: $(-2{,}6 + 4{,}5) + (2{,}8 + (-0{,}9))$ и $\left(-5\frac{3}{7} + 5\frac{1}{14}\right) + \left(\frac{5}{7} + \left(-\frac{5}{14}\right)\right)$.

Решение.

1. $1{,}9 + 1{,}9 = 3{,}8$.
2. $-5\frac{6}{14} + 5\frac{1}{14} = -\frac{5}{14}$; $\frac{10}{14} - \frac{5}{14} = \frac{5}{14}$; $-\frac{5}{14} + \frac{5}{14} = 0$.

Ответ: 3,8; 0.

№ 439

Составь выражение и найди: к сумме $-0{,}0625$ и $6\frac{1}{16}$ прибавь $-\frac{9}{16}$; к сумме $3\frac{2}{9}$ и $-\frac{5}{9}$ прибавь $-2\frac{2}{3}$.

Как думать. $0{,}0625 = \frac{1}{16}$ — это пригодится.

Решение.

1. $(-0{,}0625 + 6\frac{1}{16}) + (-\frac{9}{16}) = 6 + (-\frac{9}{16}) = 5\frac{7}{16}$.
2. $(3\frac{2}{9} + (-\frac{5}{9})) + (-2\frac{2}{3}) = 2\frac{6}{9} + (-2\frac{6}{9}) = 0$.

Ответ: $5\frac{7}{16}$; 0.

№ 440

Составь выражение и найди: к сумме $-2\frac{3}{4}$ и 0,7 прибавь 1,35; к сумме 8,6 и $-5{,}9$ прибавь $-2\frac{7}{10}$.

Решение.

1. $(-2{,}75 + 0{,}7) + 1{,}35 = -2{,}05 + 1{,}35 = -0{,}7$.
2. $(8{,}6 + (-5{,}9)) + (-2{,}7) = 2{,}7 + (-2{,}7) = 0$.

Ответ: $-0{,}7$; 0.

№ 441

Какое из чисел $-9$; 9; 3,4 — корень уравнения $-6{,}2 + x = -2{,}8$?

Решение. $-6{,}2 + (-9) = -15{,}2$ — нет. $-6{,}2 + 9 = 2{,}8$ — нет, знак не тот. $-6{,}2 + 3{,}4 = -2{,}8$ — да!

Ответ: 3,4.

№ 442

Подбери корни: $x + (-2) = 7$; $-6 + y = 3$; $x + 2 = -3$; $4 + m = 2$; $x + (-4) = 8$; $-2 + m = 1$; $m + 1 = -2$; $9 + y = 4$; $y + (-7) = 10$.

Как думать. Представь прямую: откуда надо стартовать (или куда шагнуть), чтобы прийти в нужную точку?

Решение. 1) $9 + (-2) = 7$, $x = 9$; 2) $-6 + 9 = 3$, $y = 9$; 3) $-5 + 2 = -3$, $x = -5$; 4) $4 + (-2) = 2$, $m = -2$; 5) $x = 12$; 6) $m = 3$; 7) $m = -3$; 8) $y = -5$; 9) $y = 17$.

Ответ: 9; 9; $-5$; $-2$; 12; 3; $-3$; $-5$; 17.

№ 443

Найди $m + n$: $m = -5{,}4$, $n = 2$; $m = 2{,}3$, $n = -4$; $m = -4$, $n = 9{,}25$.

Решение. 1) $-(5{,}4 - 2) = -3{,}4$; 2) $-(4 - 2{,}3) = -1{,}7$; 3) $9{,}25 - 4 = 5{,}25$.

Ответ: $-3{,}4$; $-1{,}7$; 5,25.

№ 444

Найди $a + b$: $a = 4{,}8$, $b = -7\frac{5}{9}$; $a = 5\frac{2}{7}$, $b = -6{,}4$; $a = -1{,}4$, $b = \frac{1}{5}$.

Как думать. Смешанные числа удобно складывать по частям: целые отдельно, дроби отдельно.

Решение.

1. $4{,}8 = 4\frac{36}{45}$, $7\frac{5}{9} = 7\frac{25}{45}$. $-(7\frac{25}{45} - 4\frac{36}{45}) = -(6\frac{70}{45} - 4\frac{36}{45}) = -2\frac{34}{45}$.
2. $6{,}4 = 6\frac{14}{35}$, $5\frac{2}{7} = 5\frac{10}{35}$. $-(6\frac{14}{35} - 5\frac{10}{35}) = -1\frac{4}{35}$.
3. $-1{,}4 + 0{,}2 = -1{,}2$.

Ответ: $-2\frac{34}{45}$; $-1\frac{4}{35}$; $-1{,}2$.

№ 445

Найди неизвестное уменьшаемое: $x - 2{,}76 = -4$; $x - 8\frac{1}{4} = -3{,}2$; $y - 2\frac{7}{9} = -8$.

Как думать. Уменьшаемое = разность + вычитаемое. Теперь мы умеем складывать числа с разными знаками.

Решение.

1. $x = -4 + 2{,}76 = -1{,}24$.
2. $x = -3{,}2 + 8{,}25 = 5{,}05$.
3. $y = -8 + 2\frac{7}{9} = -5\frac{2}{9}$.

Ответ: $-1{,}24$; 5,05; $-5\frac{2}{9}$.

№ 446

Найди корни: $x - 7{,}21 = -8\frac{1}{20}$; $m - 1\frac{3}{4} = -3{,}7$; $y - 2 = -4\frac{1}{3}$.

Решение. 1) $x = -8{,}05 + 7{,}21 = -0{,}84$; 2) $m = -3{,}7 + 1{,}75 = -1{,}95$; 3) $y = -4\frac{1}{3} + 2 = -2\frac{1}{3}$.

Ответ: $-0{,}84$; $-1{,}95$; $-2\frac{1}{3}$.

№ 447

Сложи: $-2\frac{1}{6} + 3\frac{1}{15}$; $-4\frac{7}{9} + \frac{5}{6}$; $5\frac{2}{7} + \left(-3\frac{7}{8}\right)$.

Решение.

1. $3\frac{2}{30} - 2\frac{5}{30} = 2\frac{32}{30} - 2\frac{5}{30} = \frac{27}{30} = 0{,}9$.
2. $-(4\frac{14}{18} - \frac{15}{18}) = -(3\frac{32}{18} - \frac{15}{18}) = -3\frac{17}{18}$.
3. $5\frac{16}{56} - 3\frac{49}{56} = 4\frac{72}{56} - 3\frac{49}{56} = 1\frac{23}{56}$.

Ответ: 0,9; $-3\frac{17}{18}$; $1\frac{23}{56}$.

№ 448

Найди корни: $x - 4\frac{1}{2} = -2\frac{1}{4}$; $-x - 6\frac{4}{5} = -3\frac{1}{2}$; $-x - 11\frac{1}{2} = -4\frac{7}{8}$.

Как думать. Во 2-м и 3-м уравнении сначала находим $-x$, а потом берём противоположное число.

Решение.

1. $x = -2{,}25 + 4{,}5 = 2{,}25$.
2. $-x = -3{,}5 + 6{,}8 = 3{,}3$, значит $x = -3{,}3$.
3. $-x = -4{,}875 + 11{,}5 = 6{,}625$, значит $x = -6{,}625$.

Ответ: 2,25; $-3{,}3$; $-6{,}625$.

№ 449

Найди $x + y$: $x = 8{,}75$, $y = -13{,}25$; $x = -3{,}49$, $y = 4{,}48$; $x = -39{,}57$, $y = 31{,}8$; $x = 79{,}35$, $y = -82{,}65$.

Решение. 1) $-(13{,}25 - 8{,}75) = -4{,}5$; 2) $4{,}48 - 3{,}49 = 0{,}99$; 3) $-(39{,}57 - 31{,}8) = -7{,}77$; 4) $-(82{,}65 - 79{,}35) = -3{,}3$.

Ответ: $-4{,}5$; 0,99; $-7{,}77$; $-3{,}3$.

№ 450

Утром было $-13$°C, за день температура изменилась на $x$°. Какой она стала при $x = 2$°; 4°; 5°; 8°?

Как думать. Выражение: $-13 + x$. Потепление — шаг вправо по термометру.

Решение. 1) $-13 + 2 = -11$; 2) $-13 + 4 = -9$; 3) $-13 + 5 = -8$; 4) $-13 + 8 = -5$.

Ответ: $-11$°C; $-9$°C; $-8$°C; $-5$°C.

№ 451

Ледники Канады 18 000 лет назад занимали 11,89 млн км². Каждые 3000 лет площадь менялась: на $-0{,}1$, на $-3{,}2$, на $-1{,}05$ млн км². Сейчас — 0,15 млн км². Какой была площадь 15 000, 12 000 и 9000 лет назад? Насколько она изменилась за всё время?

Как думать. «Изменилась на $-0{,}1$» значит прибавили отрицательное число, то есть площадь уменьшилась.

Решение.

1. 15 000 лет назад: $11{,}89 + (-0{,}1) = 11{,}79$ млн км².
2. 12 000 лет назад: $11{,}79 + (-3{,}2) = 8{,}59$ млн км².
3. 9000 лет назад: $8{,}59 + (-1{,}05) = 7{,}54$ млн км².
4. Изменение за 18 000 лет: от 11,89 до 0,15. $0{,}15 - 11{,}89 = -11{,}74$ млн км².

Ответ: 11,79; 8,59; 7,54 млн км²; изменилась на $-11{,}74$ млн км² (уменьшилась на 11,74 млн км²).

🌟 Почти вся Канада когда-то была подо льдом! Сейчас ледников осталось около 1% от прежнего.

Уровень C

№ 452

Посевы сахарной свёклы в 2003 году — 22,2 тыс. га, потом — $(22{,}2 + x)$ тыс. га. Найди площадь при $x = 0{,}1$; $-0{,}1$; $-0{,}1$; $-0{,}1$; $-16$.

Решение. 1) $22{,}2 + 0{,}1 = 22{,}3$; 2)–4) $22{,}2 + (-0{,}1) = 22{,}1$ (три года подряд одно и то же изменение); 5) $22{,}2 + (-16) = 6{,}2$.

Ответ: 22,3; 22,1; 22,1; 22,1; 6,2 тыс. га.

№ 453

Хлопчатник в 2004 году — 223,7 тыс. га, потом — $(223{,}7 + x)$ тыс. га. Найди при $x = -19{,}5$; $-23{,}6$; $-23{,}8$; $-49{,}1$.

Решение. 1) $223{,}7 - 19{,}5 = 204{,}2$; 2) $223{,}7 - 23{,}6 = 200{,}1$; 3) $223{,}7 - 23{,}8 = 199{,}9$; 4) $223{,}7 - 49{,}1 = 174{,}6$.

Ответ: 204,2; 200,1; 199,9; 174,6 тыс. га.

№ 454

Овощи в 2004 году — 111,3 тыс. га, потом — $(111{,}3 + x)$ тыс. га. Найди при $x = -0{,}7$; $-9{,}1$; $-7{,}1$; 1,6.

Решение. 1) $111{,}3 - 0{,}7 = 110{,}6$; 2) $111{,}3 - 9{,}1 = 102{,}2$; 3) $111{,}3 - 7{,}1 = 104{,}2$; 4) $111{,}3 + 1{,}6 = 112{,}9$.

Ответ: 110,6; 102,2; 104,2; 112,9 тыс. га.

№ 455

У земли 15°C. На высоте 1000 м температура меняется на $-6{,}5$°, на 2000 м — на $-13$°, на 3000 м — на $-19{,}5$°, на 4000 м — на $-26$°, на 5000 м — на $-32{,}5$°, на 6000 м — на $-39$°. Найди температуру на каждой высоте.

Как думать. Каждая тысяча метров — минус 6,5°. Считаем $15 + (\text{изменение})$.

Решение.

Ответ: 8,5°; 2°; $-4{,}5$°; $-11$°; $-17{,}5$°; $-24$°C.

🌟 Вот почему на вершинах Заилийского Алатау снег лежит даже летом, когда в Алматы жара!

Повторение

№ 456

Собственная скорость теплохода 32,5 км/ч. Как он плыл — по течению или против, если его скорость была 35 км/ч; 30 км/ч?

Как думать. По течению река «помогает», скорость больше собственной. Против — меньше.

Решение.

1. $35 > 32{,}5$ — по течению. Течение: $35 - 32{,}5 = 2{,}5$ км/ч.
2. $30 < 32{,}5$ — против течения. Течение: $32{,}5 - 30 = 2{,}5$ км/ч.

Ответ: 1) по течению; 2) против течения.

№ 457

Собственная скорость катера 15,2 км/ч. Найди скорость против течения, если течение 2,7; 2,9; 3,1; $3\frac{1}{5}$ км/ч.

Решение. Против течения: $15{,}2 - v_{теч}$. 1) $15{,}2 - 2{,}7 = 12{,}5$; 2) $15{,}2 - 2{,}9 = 12{,}3$; 3) $15{,}2 - 3{,}1 = 12{,}1$; 4) $15{,}2 - 3{,}2 = 12$.

Ответ: 12,5; 12,3; 12,1; 12 км/ч.

№ 458

Собственная скорость лодки 11,1 км/ч. Найди скорость по течению, если течение 2,7; 2,9; 3,1; $3\frac{1}{5}$ км/ч.

Решение. По течению: $11{,}1 + v_{теч}$. 1) 13,8; 2) 14; 3) 14,2; 4) $11{,}1 + 3{,}2 = 14{,}3$.

Ответ: 13,8; 14; 14,2; 14,3 км/ч.

№ 459

Отметь точки $F$, $L$, $D$ с координатами, противоположными координатам $A$, $B$, $C$: 1) $A(2)$, $B(7)$, $C(10)$; 2) $A\left(-\frac{1}{3}\right)$, $B\left(1\frac{1}{3}\right)$, $C\left(\frac{2}{3}\right)$.

Как думать. У противоположного числа меняется только знак. Точки лежат на одинаковом расстоянии от нуля по разные стороны.

Решение.

1. $F(-2)$, $L(-7)$, $D(-10)$. Удобно взять 1 клетку за единицу.
2. $F\left(\frac{1}{3}\right)$, $L\left(-1\frac{1}{3}\right)$, $D\left(-\frac{2}{3}\right)$. Здесь возьми 3 клетки за единицу, тогда треть — одна клетка.

Ответ: 1) $F(-2)$, $L(-7)$, $D(-10)$; 2) $F\left(\frac{1}{3}\right)$, $L\left(-1\frac{1}{3}\right)$, $D\left(-\frac{2}{3}\right)$.

№ 460

Найди число, 30% которого равны 40; число, 96% которого равны 12.

Как думать. Число по его проценту: делим часть на долю.

Решение.

1. $40 : 0{,}3 = \frac{400}{3} = 133\frac{1}{3}$.
2. $12 : 0{,}96 = 12{,}5$.

Ответ: $133\frac{1}{3}$; 12,5.

Готовимся к следующей теме

№ 461

Найди уменьшаемое: $x - \left(19\frac{7}{9} + \left|-\frac{2}{9}\right|\right) = 30{,}8$; $x - 12{,}5 = |241{,}6 - 242{,}1|$.

Решение.

1. В скобке $19\frac{7}{9} + \frac{2}{9} = 20$. $x = 30{,}8 + 20 = 50{,}8$.
2. Справа $|-0{,}5| = 0{,}5$. $x = 0{,}5 + 12{,}5 = 13$.

Ответ: 50,8; 13.

№ 462

Найди: $(27{,}26 + 67{,}64) + 191{,}5 + (32{,}36 + 8{,}5)$; $777{,}07 + (77{,}13 + 68{,}53) + (23{,}93 + 23{,}87)$.

Как думать. Скобки можно переставлять — ищи пары с круглой суммой.

Решение.

1. $191{,}5 + 8{,}5 = 200$; $67{,}64 + 32{,}36 = 100$; $200 + 100 + 27{,}26 = 327{,}26$.
2. $777{,}07 + 23{,}93 = 801$; $77{,}13 + 23{,}87 = 101$; $801 + 101 + 68{,}53 = 970{,}53$.

Ответ: 327,26; 970,53.

№ 463

С помощью свойств сложения найди: $148\frac{3}{17} + \left|37\frac{7}{13}\right| + 151\frac{6}{13} + \left|-\frac{14}{17}\right| - |-338|$; $993{,}8 + 50{,}96 + \left|-50\frac{1}{5}\right| + |5{,}04| - |-1000|$.

Решение.

1. $148\frac{3}{17} + \frac{14}{17} = 149$; $37\frac{7}{13} + 151\frac{6}{13} = 189$; $149 + 189 - 338 = 0$.
2. $993{,}8 + 50{,}2 = 1044$; $50{,}96 + 5{,}04 = 56$; $1044 + 56 - 1000 = 100$.

Ответ: 0; 100.

Шпаргалка

• Знаки разные — модули вычитаем.
• Знак ответа — у числа, которое «тяжелее» по модулю.
• Модули равны — сумма равна нулю.
• Порядок слагаемых не важен: $5 + (-8) = (-8) + 5$.
• Проверка: представь шаги по прямой или по термометру.

Мини-тест