§ 14. Свойства сложения рациональных чисел

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 2: Рациональные числа и действия над ними. Страницы 102–105.

book: ru-6-matematika-abylkasymova-2018 part: 1 lesson: "14" title: "Свойства сложения рациональных чисел" pages: 102-105 kind: lesson time: 40 hook: "Сколько будет $-3{,}2 + 7{,}9 + 3{,}2$? Если считать по порядку — долго. А если заметить одну хитрость — ответ виден за секунду!"

§ 14. Свойства сложения рациональных чисел

Чему научишься

• Менять слагаемые местами, даже если среди них есть отрицательные.
• Расставлять скобки так, как удобно тебе.
• Находить в длинной сумме противоположные числа и «вычёркивать» их.
• Упрощать выражения вроде $-15 + x + 7$.

Разминка

Это задания № 461–463 из прошлого урока. Ответь, потом открой ответ.

• Чему равно $19\frac{7}{9} + \left|-\frac{2}{9}\right|$? $19\frac{7}{9} + \frac{2}{9} =$ 20.
• Какие два числа из $27{,}26$; $67{,}64$; $32{,}36$ дают круглую сумму? $67{,}64 + 32{,}36 =$ 100.
• Сколько будет $148\frac{3}{17} + \frac{14}{17}$? $\frac{3}{17} + \frac{14}{17} = 1$, итого 149.
• А $993{,}8 + 50{,}2$? 1044.

💡 Во всех примерах мы не считали по порядку, а искали «пары-друзья». Сегодня выясним, можно ли так делать с отрицательными числами. Спойлер: можно!

Разбираемся

Переставляем — ничего не ломается

Ты знаешь с первого класса: $3 + 5 = 5 + 3$. Работает ли это с минусами? Проверим.

$(-4{,}1) + (-6{,}3) = -10{,}4$ и $(-6{,}3) + (-4{,}1) = -10{,}4$. Совпало!

$-10{,}7 + 4{,}5 = -6{,}2$ и $4{,}5 + (-10{,}7) = -6{,}2$. Опять совпало.

📌 Переместительное свойство. Для любых рациональных чисел $a + b = b + a$.

Скобки — куда хочешь

Сложим $-3$, $10$ и $-9$ двумя способами.

📌 Сочетательное свойство. Для любых рациональных чисел $(a + b) + c = a + (b + c)$.

Вместе эти два свойства дают суперсилу: слагаемые можно менять местами и группировать как угодно.

Охота на «пары-нули»

Возьмём длинную сумму: $(-1{,}9) + (-3{,}2) + 10{,}7 + (-3) + (-7) + 3{,}2 + 1{,}2$.

1. Видим $-3{,}2$ и $3{,}2$ — противоположные. Их сумма 0, вычёркиваем.
2. Собираем минусовые: $(-1{,}9) + (-3) + (-7) = -11{,}9$.
3. Собираем плюсовые: $10{,}7 + 1{,}2 = 11{,}9$.
4. $-11{,}9 + 11{,}9 = 0$.

Ответ — 0. Без единого сложного вычисления!

💡 План для длинных сумм: 1) вычеркни противоположные числа; 2) сложи все положительные; 3) сложи все отрицательные; 4) сложи два результата.

Попробуй сам: отметь все пары, которые в сумме дают ноль.

Пары сгорели, осталось $-0{,}6 + 1{,}7 = 1{,}1$. Вот и вся сумма!

⚠️ Частая ошибка. Переставляя слагаемое, «теряют» его знак. Минус всегда едет вместе с числом: в $5 - 8 + 3$ слагаемые — это $5$, $-8$ и $3$. Значит, $5 - 8 + 3 = 5 + 3 - 8$, а не $5 + 8 - 3$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка обводить каждое число вместе со знаком перед ним — как будто это «вагончик». Вагончики можно переставлять, а знак от вагона не отцепляется.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Когда сумма двух слагаемых равна нулю? Когда слагаемые — противоположные числа, например $-4$ и $4$.
• Как можно сложить три рациональных числа $m$, $n$, $k$? Любым способом: $(m + n) + k$, $m + (n + k)$, $(m + k) + n$ — результат один и тот же.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 464

Найди: $-0{,}37 + (0{,}37 + (-5{,}5))$; $-17{,}8 + (9{,}9 + 17{,}8)$; $(-45{,}6 + 7{,}7) + 45{,}6$; $(4{,}4 + (-85{,}9)) + 85{,}9$.

Как думать. В каждом примере есть пара противоположных чисел. Перегруппируй скобки, чтобы она «сгорела».

Решение.

1. $(-0{,}37 + 0{,}37) + (-5{,}5) = -5{,}5$.
2. $(-17{,}8 + 17{,}8) + 9{,}9 = 9{,}9$.
3. $(-45{,}6 + 45{,}6) + 7{,}7 = 7{,}7$.
4. $4{,}4 + (-85{,}9 + 85{,}9) = 4{,}4$.

Ответ: $-5{,}5$; 9,9; 7,7; 4,4.

№ 465

Найди: $-0{,}49 + (-13{,}2 + 0{,}49)$; $\left(\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(-6\frac{3}{8}\right)\right) + 6{,}375$; $0{,}52 + (-0{,}25 + 1{,}1)$; $\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-5\frac{3}{7}\right) + (-0{,}0625)$.

Как думать. $6\frac{3}{8} = 6{,}375$ и $\left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} = 0{,}0625$. Видишь пары?

Решение.

1. $(-0{,}49 + 0{,}49) + (-13{,}2) = -13{,}2$.
2. $-6\frac{3}{8} + 6{,}375 = 0$, остаётся $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$.
3. $0{,}52 + 0{,}85 = 1{,}37$.
4. $\frac{1}{16} + (-0{,}0625) = 0$, остаётся $-5\frac{3}{7}$.

Ответ: $-13{,}2$; $\frac{4}{9}$; 1,37; $-5\frac{3}{7}$.

№ 466

Найди $(a + b) + c$: 1) $a = 3{,}8$, $b = -5{,}5$, $c = -4{,}5$; 2) $a = -25{,}6$, $b = 18{,}2$, $c = -14{,}4$; 3) $a = \frac{1}{6}$, $b = \frac{2}{3}$, $c = -\frac{5}{8}$; 4) $a = 2\frac{3}{8}$, $b = 5\frac{1}{4}$, $c = -3\frac{5}{12}$.

Как думать. Можно считать $a + (b + c)$ или $(a + c) + b$ — что удобнее.

Решение.

1. $b + c = -5{,}5 + (-4{,}5) = -10$; $3{,}8 + (-10) = -6{,}2$.
2. $a + c = -25{,}6 + (-14{,}4) = -40$; $-40 + 18{,}2 = -21{,}8$.
3. $\frac{4}{24} + \frac{16}{24} - \frac{15}{24} = \frac{5}{24}$.
4. $2\frac{9}{24} + 5\frac{6}{24} = 7\frac{15}{24}$; $7\frac{15}{24} - 3\frac{10}{24} = 4\frac{5}{24}$.

Ответ: $-6{,}2$; $-21{,}8$; $\frac{5}{24}$; $4\frac{5}{24}$.

№ 467

Упрости: $-15 + x + 7$; $a + (-27) + 48$; $y + 43 + (-36)$; $5{,}6 + (-4{,}7) - c$.

Как думать. Буква пусть стоит на месте, а числа складываем между собой.

Решение.

1. $-15 + 7 = -8$: получаем $x - 8$.
2. $-27 + 48 = 21$: $a + 21$.
3. $43 + (-36) = 7$: $y + 7$.
4. $5{,}6 + (-4{,}7) = 0{,}9$: $0{,}9 - c$.

Ответ: $x - 8$; $a + 21$; $y + 7$; $0{,}9 - c$.

№ 468

Составь выражения и найди: 1) к сумме $-1{,}4$ и 3,7 прибавь сумму 5,3 и $-7{,}6$; 2) к сумме 7,24 и 5,16 прибавь сумму $-15{,}3$ и $-6{,}2$; 3) к сумме 40,2 и $-8{,}4$ прибавь разность 5,2 и 2,4; 4) к разности 11,1 и 3,9 прибавь сумму $-25{,}6$ и $-61{,}6$.

Решение.

1. $(-1{,}4 + 3{,}7) + (5{,}3 + (-7{,}6)) = 2{,}3 + (-2{,}3) = 0$.
2. $(7{,}24 + 5{,}16) + (-15{,}3 + (-6{,}2)) = 12{,}4 + (-21{,}5) = -9{,}1$.
3. $(40{,}2 + (-8{,}4)) + (5{,}2 - 2{,}4) = 31{,}8 + 2{,}8 = 34{,}6$.
4. $(11{,}1 - 3{,}9) + (-25{,}6 + (-61{,}6)) = 7{,}2 + (-87{,}2) = -80$.

Ответ: 0; $-9{,}1$; 34,6; $-80$.

№ 469

Составь выражения и найди: 1) к сумме $-19$ и 62 прибавь 88; 2) к разности 1256 и 874 прибавь $-346$; 3) к сумме $-405$ и $-607$ прибавь 358; 4) к 411 прибавь сумму 318 и $-404$; 5) к $-649$ прибавь сумму 273 и $-528$; 6) к $-921$ прибавь разность 405 и 217.

Решение.

1. $(-19 + 62) + 88 = 43 + 88 = 131$.
2. $(1256 - 874) + (-346) = 382 - 346 = 36$.
3. $(-405 + (-607)) + 358 = -1012 + 358 = -654$.
4. $411 + (318 + (-404)) = 411 + (-86) = 325$.
5. $-649 + (273 + (-528)) = -649 + (-255) = -904$.
6. $-921 + (405 - 217) = -921 + 188 = -733$.

Ответ: 131; 36; $-654$; 325; $-904$; $-733$.

№ 470

Найди: $-\frac{5}{8} + \frac{1}{4} + \frac{7}{12}$; $\frac{1}{5} + \left(-\frac{1}{7}\right) + \frac{2}{9}$; $-\frac{1}{8} + \frac{3}{9} + \left(-\frac{5}{36}\right)$; $\frac{7}{8} + \left(-\frac{4}{5}\right) + \left(-1\frac{1}{20}\right)$; $-\frac{11}{18} + \frac{5}{12} + 7\frac{1}{9}$; $2\frac{4}{15} + \frac{2}{5} + \left(-5\frac{1}{6}\right)$.

Как думать. Приводим все три дроби к одному знаменателю, потом складываем числители со знаками.

Решение.

1. Знаменатель 24: $\frac{-15 + 6 + 14}{24} = \frac{5}{24}$.
2. Знаменатель 315: $\frac{63 - 45 + 70}{315} = \frac{88}{315}$.
3. Знаменатель 72: $\frac{-9 + 24 - 10}{72} = \frac{5}{72}$.
4. Знаменатель 40: $\frac{35 - 32 - 42}{40} = -\frac{39}{40}$.
5. Знаменатель 36: $-\frac{22}{36} + \frac{15}{36} = -\frac{7}{36}$; $7\frac{4}{36} - \frac{7}{36} = 6\frac{33}{36} = 6\frac{11}{12}$.
6. Знаменатель 30: $2\frac{8}{30} + \frac{12}{30} = 2\frac{20}{30}$; $2\frac{20}{30} - 5\frac{5}{30} = -2\frac{15}{30} = -2\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{5}{24}$; $\frac{88}{315}$; $\frac{5}{72}$; $-\frac{39}{40}$; $6\frac{11}{12}$; $-2\frac{1}{2}$.

Уровень B

№ 471

Вычисли: $-6{,}6 + \frac{4}{5} + \left(-1\frac{2}{3}\right) + 3{,}4$; $-3\frac{8}{31} + 4{,}1 + (-6) + 2{,}9$; $28 + \left(-3\frac{5}{12}\right) + 7{,}95 + 4{,}05$; $4{,}6 + 1\frac{11}{15} + (-2{,}3)$.

Как думать. Сначала складываем «удобные» числа, неудобную дробь — в самом конце.

Решение.

1. $-6{,}6 + 3{,}4 + 0{,}8 = -2{,}4$; $-2{,}4 + (-1\frac{2}{3}) = -(2\frac{6}{15} + 1\frac{10}{15}) = -4\frac{1}{15}$.
2. $4{,}1 + 2{,}9 + (-6) = 1$; $1 + (-3\frac{8}{31}) = -2\frac{8}{31}$.
3. $28 + 7{,}95 + 4{,}05 = 40$; $40 - 3\frac{5}{12} = 36\frac{7}{12}$.
4. $4{,}6 + (-2{,}3) = 2{,}3$; $2\frac{9}{30} + 1\frac{22}{30} = 3\frac{31}{30} = 4\frac{1}{30}$.

Ответ: $-4\frac{1}{15}$; $-2\frac{8}{31}$; $36\frac{7}{12}$; $4\frac{1}{30}$.

№ 472

Найди: $-3{,}1 + (2{,}8 + (-0{,}9))$; $\left(-2\frac{3}{7} + 5\frac{1}{14}\right) + (-3{,}2)$.

Решение.

1. $2{,}8 + (-0{,}9) = 1{,}9$; $-3{,}1 + 1{,}9 = -1{,}2$.
2. $5\frac{1}{14} - 2\frac{6}{14} = 2\frac{9}{14}$; $3{,}2 = 3\frac{1}{5}$; $2\frac{45}{70} - 3\frac{14}{70} = -\frac{39}{70}$.

Ответ: $-1{,}2$; $-\frac{39}{70}$.

№ 473

Составь выражения и найди: 1) к сумме $-4{,}2$ и $6\frac{1}{3}$ прибавь $-2{,}8$; 2) к сумме $-3\frac{2}{9}$ и 4,5 прибавь $-2\frac{7}{9}$.

Как думать. Свойства позволяют сначала сложить «похожие» числа: десятичные с десятичными, девятые с девятыми.

Решение.

1. $(-4{,}2 + 6\frac{1}{3}) + (-2{,}8) = (-4{,}2 + (-2{,}8)) + 6\frac{1}{3} = -7 + 6\frac{1}{3} = -\frac{2}{3}$.
2. $(-3\frac{2}{9} + 4{,}5) + (-2\frac{7}{9}) = (-3\frac{2}{9} + (-2\frac{7}{9})) + 4{,}5 = -6 + 4{,}5 = -1{,}5$.

Ответ: $-\frac{2}{3}$; $-1{,}5$.

№ 474

Составь выражения и найди: 1) к сумме $-2\frac{3}{4}$ и 0,7 прибавь 1,3; 2) к сумме $-5\frac{5}{6}$ и 8,9 прибавь $-3\frac{1}{6}$.

Решение.

1. $-2\frac{3}{4} + (0{,}7 + 1{,}3) = -2{,}75 + 2 = -0{,}75$.
2. $(-5\frac{5}{6} + (-3\frac{1}{6})) + 8{,}9 = -9 + 8{,}9 = -0{,}1$.

Ответ: $-0{,}75$; $-0{,}1$.

Уровень C

№ 475

Самым удобным способом найди: $\left(-1\frac{3}{4} - 3\frac{5}{14} + 5{,}4\right) + \left(1{,}75 + 2\frac{6}{7} - 5{,}4\right)$; $\left(-\frac{5}{6} + 0{,}375 - 123{,}4\right) + \left(\frac{5}{8} - \frac{1}{6} + 123{,}4\right)$.

Как думать. Раскрываем скобки и ищем пары: противоположные числа и числа с одинаковыми знаменателями.

Решение.

1. $-1\frac{3}{4} + 1{,}75 = 0$; $5{,}4 - 5{,}4 = 0$; остаётся $-3\frac{5}{14} + 2\frac{12}{14} = -\frac{7}{14} = -\frac{1}{2}$.
2. $-123{,}4 + 123{,}4 = 0$; $-\frac{5}{6} - \frac{1}{6} = -1$; $0{,}375 + \frac{5}{8} = 1$; $-1 + 1 = 0$.

Ответ: $-0{,}5$; 0.

№ 476

С помощью свойств найди: $-\frac{5}{8} + 8{,}34 + (-9{,}84) + 0{,}625 + 1{,}5 + (-2{,}2)$; $-0{,}17 + 34{,}2 + (-9{,}83) + 6{,}2 + 5{,}8 + (-2{,}2)$.

Решение.

1. $-\frac{5}{8} + 0{,}625 = 0$; $8{,}34 + (-9{,}84) = -1{,}5$; $-1{,}5 + 1{,}5 = 0$; остаётся $-2{,}2$.
2. $-0{,}17 + (-9{,}83) = -10$; $34{,}2 + (-2{,}2) = 32$; $6{,}2 + 5{,}8 = 12$; $-10 + 32 + 12 = 34$.

Ответ: $-2{,}2$; 34.

Повторение

№ 477

Одна типография выполнит заказ за 2 дня, другая — за 8 дней. За сколько дней они сделают его вместе?

Как думать. Весь заказ — 1. За день первая делает $\frac{1}{2}$, вторая — $\frac{1}{8}$ заказа.

Решение.

1. Вместе за день: $\frac{1}{2} + \frac{1}{8} = \frac{5}{8}$ заказа.
2. Время: $1 : \frac{5}{8} = \frac{8}{5} = 1{,}6$ дня.

Ответ: за 1,6 дня.

№ 478

Найди $x$ из пропорций: 1) $\frac{x}{17} = \frac{102}{3{,}4}$ ($x$ т кислорода в год дают зелёные насаждения); 2) $\frac{266}{38} = \frac{105}{x}$ ($x$ т кислорода в год даёт 1 га кукурузы — хватит 30 людям).

Решение.

1. $\frac{102}{3{,}4} = 30$, значит $x = 17 \cdot 30 = 510$.
2. $\frac{266}{38} = 7$, значит $x = 105 : 7 = 15$.

Ответ: 510 т; 15 т.

🌟 Один гектар кукурузы даёт за год столько кислорода, что его хватает на 30 человек. Неплохо для поля!

Готовимся к следующей теме

№ 479

Найди: $100 - 87\frac{1}{7} - 6{,}5 - 0{,}01$; $13{,}79 - 2\frac{1}{3} - 1{,}29 - \frac{5}{6}$.

Решение.

1. $100 - 6{,}5 - 0{,}01 = 93{,}49$; $93{,}49 - 87\frac{1}{7} = 6\frac{49}{100} - \frac{1}{7} = 6\frac{343 - 100}{700} = 6\frac{243}{700}$.
2. $13{,}79 - 1{,}29 = 12{,}5$; $2\frac{1}{3} + \frac{5}{6} = 3\frac{1}{6}$; $12\frac{1}{2} - 3\frac{1}{6} = 9\frac{1}{3}$.

Ответ: $6\frac{243}{700}$; $9\frac{1}{3}$.

№ 480

Натуральное ли число получится: $202{,}5 - \left(79\frac{1}{7} - 8\frac{1}{2}\right) - 3\frac{6}{7}$; $38\frac{2}{19} - 17{,}2 - \left(\frac{2}{9} - \frac{1}{5}\right)$?

Решение.

1. $202{,}5 - 79\frac{1}{7} + 8{,}5 - 3\frac{6}{7} = (202{,}5 + 8{,}5) - (79\frac{1}{7} + 3\frac{6}{7}) = 211 - 83 = 128$ — натуральное.
2. $\frac{2}{9} - \frac{1}{5} = \frac{1}{45}$; $38\frac{2}{19} - 17{,}2 = 20\frac{86}{95}$; $20\frac{86}{95} - \frac{1}{45} = 20\frac{151}{171}$ — не натуральное.

Ответ: 1) да, 128; 2) нет, получается $20\frac{151}{171}$.

Шпаргалка

• Слагаемые можно переставлять и группировать как угодно.
• Сначала вычёркивай противоположные числа.
• Потом складывай отдельно все плюсы и все минусы.
• Дроби с одинаковыми знаменателями собирай вместе.
• Переставляя число, не теряй его знак.

Мини-тест