§ 15. Вычитание рациональных чисел

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 2: Рациональные числа и действия над ними. Страницы 106–112.

Чему научишься

• Заменять вычитание сложением с противоположным числом.
• Вычитать любые рациональные числа: и положительные, и отрицательные.
• Заранее угадывать знак разности.
• Решать уравнения, где неизвестное — уменьшаемое, вычитаемое или $-x$.

Разминка

Это задания № 479 и 480 из прошлого урока. Ответь, потом открой ответ.

• Сколько будет $13{,}79 - 1{,}29$? 12,5. Удобная пара!
• А $2\frac{1}{3} + \frac{5}{6}$? $2\frac{2}{6} + \frac{5}{6} = 3\frac{1}{6}$.
• Значит, $13{,}79 - 2\frac{1}{3} - 1{,}29 - \frac{5}{6} = ?$ $12\frac{1}{2} - 3\frac{1}{6} =$ $9\frac{1}{3}$.
• Натуральное ли число $202{,}5 - \left(79\frac{1}{7} - 8\frac{1}{2}\right) - 3\frac{6}{7}$? Да: $211 - 83 =$ 128.

💡 В разминке мы вычитали, но собирали числа в группы, как при сложении. Сегодня узнаешь, почему так можно: вычитание — это переодетое сложение.

Разбираемся

Вычесть — значит шагнуть влево

Сколько будет $3 - 8$? Встань на 3 и сделай 8 шагов влево.

Получилось $-5$. А что будет, если к 3 прибавить $-8$? Прибавить минус восемь — тоже 8 шагов влево. Снова $-5$!

$3 - 8 = 3 + (-8) = -5$.

Главный фокус урока

📌 Чтобы вычесть число, прибавь противоположное ему: $a - b = a + (-b)$.

Работает всегда:

• $-8 - 6 = -8 + (-6) = -14$;
• $9 - b = 9 + (-b)$;
• $5 - (-2) = 5 + 2 = 7$.

Последний пример самый интересный. Вычесть минус два — то же, что прибавить два!

💡 Подумай так: если у тебя забрали долг в 2000 тенге, тебе стало на 2000 лучше. «Убрать минус» — значит прибавить.

У каждого рационального числа есть противоположное. Поэтому вычитать теперь можно всегда — даже из меньшего большее.

⚠️ Частая ошибка. В $7 - (-3)$ меняют знак только у одного минуса и пишут $7 - 3 = 4$. Правильно: минус и минус дают плюс, $7 - (-3) = 7 + 3 = 10$.

Какой будет знак

Посмотри на разность $-2{,}5 - (-1{,}5)$. Переводим: $-2{,}5 + 1{,}5 = -1$. Отрицательная! А уменьшаемое $-2{,}5$ было меньше вычитаемого $-1{,}5$.

Теперь наоборот: $-1{,}5 - (-2{,}5) = -1{,}5 + 2{,}5 = 1$. Положительная. Уменьшаемое было больше.

📌 Уменьшаемое больше вычитаемого — разность положительная. Меньше — отрицательная. Равны — разность ноль.

Ещё пример с разными знаками: $4 - (-1) = 5 > 0$, потому что $4 > -1$. А $-4 - 1 = -5 < 0$, потому что $-4 < 1$.

💡 Говорим правильно. $\left(-2\frac{3}{4}\right) - (-1{,}4)$ читают так: «разность минус двух целых трёх четвертых и минус одной целой четырёх десятых» или «из минус двух целых трёх четвертых вычесть минус одну целую четыре десятых».

👨‍👩‍👧 Родителю. Пусть ребёнок первые 10–15 примеров честно переписывает вычитание в сложение: $-6 - 9 = -6 + (-9)$. Это кажется лишним, но именно так исчезают ошибки со знаками. Потом шаг уйдёт в голову сам.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Почему вычесть $a$ из $b$ и прибавить к $b$ число $-a$ — одно и то же? На прямой в обоих случаях мы из точки $b$ идём влево на $a$ единиц и попадаем в одну точку.
• Почему вычитание можно заменить сложением? Потому что $a - b = a + (-b)$, а противоположное число есть у любого рационального числа.
• Когда разность положительна, а когда отрицательна? Положительна, если уменьшаемое больше вычитаемого. Отрицательна, если меньше.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 481

Замени разность суммой и посчитай: 1) $8 - 18$; $8 - (-18)$; $-8 - 18$; $-8 - (-18)$; 2) $13 - 9$; $13 - (-9)$; $-13 - 9$; $-13 - (-9)$.

Как думать. Знак «минус» между числами превращаем в «плюс», а у вычитаемого меняем знак.

Решение.

1. $8 + (-18) = -10$; $8 + 18 = 26$; $-8 + (-18) = -26$; $-8 + 18 = 10$.
2. $13 + (-9) = 4$; $13 + 9 = 22$; $-13 + (-9) = -22$; $-13 + 9 = -4$.

Ответ: 1) $-10$; 26; $-26$; 10; 2) 4; 22; $-22$; $-4$.

№ 482

Найди: $-60 - 24$; $12 - 35$; $37 - 43$; $-45 - 55$; $-302 - (-200)$; $134 - (-400)$.

Решение. 1) $-60 + (-24) = -84$; 2) $12 + (-35) = -23$; 3) $37 + (-43) = -6$; 4) $-45 + (-55) = -100$; 5) $-302 + 200 = -102$; 6) $134 + 400 = 534$.

Ответ: $-84$; $-23$; $-6$; $-100$; $-102$; 534.

№ 483

Найди: $-\frac{1}{2} - \frac{1}{4}$; $-\frac{5}{9} - \frac{1}{3}$; $-\frac{7}{10} - \frac{3}{5}$; $\frac{16}{27} - \left(-\frac{1}{9}\right)$.

Решение.

1. $-\frac{2}{4} + (-\frac{1}{4}) = -\frac{3}{4}$.
2. $-\frac{5}{9} + (-\frac{3}{9}) = -\frac{8}{9}$.
3. $-\frac{7}{10} + (-\frac{6}{10}) = -\frac{13}{10} = -1\frac{3}{10}$.
4. $\frac{16}{27} + \frac{3}{27} = \frac{19}{27}$.

Ответ: $-\frac{3}{4}$; $-\frac{8}{9}$; $-1\frac{3}{10}$; $\frac{19}{27}$.

№ 484

Найди: $2\frac{1}{2} - 3\frac{1}{3}$; $-\frac{3}{5} - 1\frac{1}{3}$; $5\frac{7}{8} - \left(-2\frac{5}{12}\right)$; $-2\frac{3}{4} - \left(-\frac{4}{7}\right)$; $3\frac{9}{6} - 4\frac{11}{24}$; $-4\frac{11}{12} - \left(-\frac{11}{18}\right)$.

Как думать. В пятом примере дробная часть неправильная: $3\frac{9}{6} = 4\frac{3}{6} = 4\frac{1}{2}$.

Решение.

1. $2\frac{3}{6} + (-3\frac{2}{6}) = -\frac{5}{6}$.
2. $-(\frac{9}{15} + 1\frac{5}{15}) = -1\frac{14}{15}$.
3. $5\frac{21}{24} + 2\frac{10}{24} = 7\frac{31}{24} = 8\frac{7}{24}$.
4. $-2\frac{21}{28} + \frac{16}{28} = -2\frac{5}{28}$.
5. $4\frac{12}{24} - 4\frac{11}{24} = \frac{1}{24}$.
6. $-4\frac{33}{36} + \frac{22}{36} = -4\frac{11}{36}$.

Ответ: $-\frac{5}{6}$; $-1\frac{14}{15}$; $8\frac{7}{24}$; $-2\frac{5}{28}$; $\frac{1}{24}$; $-4\frac{11}{36}$.

№ 485

Найди: $7{,}8 - (-6{,}9)$; $-6{,}7 - (-7{,}6)$; $-5{,}4 - 6{,}8$; $-15\frac{4}{5} - \left(-20\frac{3}{5}\right)$; $-1\frac{7}{9} - 3\frac{5}{6}$; $\frac{16}{21} - 5\frac{1}{3}$.

Решение.

1. $7{,}8 + 6{,}9 = 14{,}7$.
2. $-6{,}7 + 7{,}6 = 0{,}9$.
3. $-5{,}4 + (-6{,}8) = -12{,}2$.
4. $-15\frac{4}{5} + 20\frac{3}{5} = 4\frac{4}{5}$.
5. $-(1\frac{14}{18} + 3\frac{15}{18}) = -4\frac{29}{18} = -5\frac{11}{18}$.
6. $\frac{16}{21} - 5\frac{7}{21} = -4\frac{12}{21} = -4\frac{4}{7}$.

Ответ: 14,7; 0,9; $-12{,}2$; $4\frac{4}{5}$; $-5\frac{11}{18}$; $-4\frac{4}{7}$.

№ 486

Найди: 1) $a - 3487$ при $a = 689$; $-6578$; 2) $-23,654 - y$ при $y = 5478$; $-16,234$; 3) $(a - b) - 369$ при $a = 832$, $b = 1812$.

Решение.

1. $689 - 3487 = -2798$; $-6578 - 3487 = -10,065$.
2. $-23,654 - 5478 = -29,132$; $-23,654 + 16,234 = -7420$.
3. $832 - 1812 = -980$; $-980 - 369 = -1349$.

Ответ: 1) $-2798$; $-10,065$; 2) $-29,132$; $-7420$; 3) $-1349$.

№ 487

Найди $x - y$: $x = 18{,}5$, $y = -22{,}5$; $x = -3{,}4$, $y = 2{,}46$; $x = -9{,}87$, $y = -4{,}89$; $x = -61{,}75$, $y = 42{,}45$.

Решение. 1) $18{,}5 + 22{,}5 = 41$; 2) $-3{,}4 + (-2{,}46) = -5{,}86$; 3) $-9{,}87 + 4{,}89 = -4{,}98$; 4) $-61{,}75 + (-42{,}45) = -104{,}2$.

Ответ: 41; $-5{,}86$; $-4{,}98$; $-104{,}2$.

№ 488

Найди $(a + b) - c$: 1) $a = 5{,}8$, $b = 3{,}6$, $c = -2{,}5$; 2) $a = -23{,}3$, $b = -8{,}9$, $c = -47{,}6$; 3) $a = \frac{1}{5}$, $b = 1\frac{7}{10}$, $c = 2\frac{14}{15}$; 4) $a = -3\frac{5}{8}$, $b = 2\frac{5}{12}$, $c = -2\frac{3}{4}$.

Решение.

1. $9{,}4 + 2{,}5 = 11{,}9$.
2. $-32{,}2 + 47{,}6 = 15{,}4$.
3. $\frac{1}{5} + 1\frac{7}{10} = 1\frac{9}{10} = 1\frac{27}{30}$; $1\frac{27}{30} - 2\frac{28}{30} = -1\frac{1}{30}$.
4. $-3\frac{15}{24} + 2\frac{10}{24} = -1\frac{5}{24}$; $-1\frac{5}{24} + 2\frac{18}{24} = 1\frac{13}{24}$.

Ответ: 11,9; 15,4; $-1\frac{1}{30}$; $1\frac{13}{24}$.

№ 489

Найди разность наибольшего трёхзначного и наименьшего пятизначного натурального числа.

Решение. $999 - 10,000 = -(10,000 - 999) = -9001$.

Ответ: $-9001$.

№ 490

Какое число пропущено: $-20 - \ldots = -40$; $\ldots - 58 = 60$; $60 - \ldots = 33$; $\ldots - (-33) = 10$?

Как думать. Неизвестное вычитаемое = уменьшаемое − разность. Неизвестное уменьшаемое = разность + вычитаемое.

Решение. 1) $-20 - (-40) = 20$; 2) $60 + 58 = 118$; 3) $60 - 33 = 27$; 4) $10 + (-33) = -23$.

Ответ: 20; 118; 27; $-23$.

№ 491

Сложи и проверь вычитанием: $92{,}43 + (-17{,}24)$; $-18{,}64 + 19{,}48$; $86{,}1 + (-12{,}87)$; $-91{,}98 + (-36{,}66)$.

Как думать. Проверка: из суммы вычитаем второе слагаемое — должно получиться первое.

Решение.

1. $75{,}19$. Проверка: $75{,}19 - (-17{,}24) = 92{,}43$ ✓.
2. $0{,}84$. Проверка: $0{,}84 - 19{,}48 = -18{,}64$ ✓.
3. $73{,}23$. Проверка: $73{,}23 - (-12{,}87) = 86{,}1$ ✓.
4. $-128{,}64$. Проверка: $-128{,}64 - (-36{,}66) = -91{,}98$ ✓.

Ответ: 75,19; 0,84; 73,23; $-128{,}64$.

№ 492

Найди $3{,}5 - (-x + y)$: $x = 11{,}5$, $y = -2{,}2$; $x = 3{,}5$, $y = -2{,}25$; $x = 2{,}8$, $y = -3{,}19$; $x = 0{,}45$, $y = -4{,}5$.

Решение.

1. $-11{,}5 + (-2{,}2) = -13{,}7$; $3{,}5 + 13{,}7 = 17{,}2$.
2. $-3{,}5 + (-2{,}25) = -5{,}75$; $3{,}5 + 5{,}75 = 9{,}25$.
3. $-2{,}8 + (-3{,}19) = -5{,}99$; $3{,}5 + 5{,}99 = 9{,}49$.
4. $-0{,}45 + (-4{,}5) = -4{,}95$; $3{,}5 + 4{,}95 = 8{,}45$.

Ответ: 17,2; 9,25; 9,49; 8,45.

№ 493

Найди $a - (b - c)$: 1) $a = 5{,}6$, $b = 7{,}6$, $c = -4{,}8$; 2) $a = 52{,}3$, $b = -18{,}9$, $c = 24{,}5$; 3) $a = -\frac{5}{6}$, $b = -\frac{7}{9}$, $c = -\frac{5}{8}$; 4) $a = -7\frac{3}{16}$, $b = 2\frac{1}{8}$, $c = -7\frac{7}{12}$.

Решение.

1. $b - c = 7{,}6 + 4{,}8 = 12{,}4$; $5{,}6 - 12{,}4 = -6{,}8$.
2. $b - c = -18{,}9 - 24{,}5 = -43{,}4$; $52{,}3 + 43{,}4 = 95{,}7$.
3. $b - c = -\frac{56}{72} + \frac{45}{72} = -\frac{11}{72}$; $-\frac{60}{72} + \frac{11}{72} = -\frac{49}{72}$.
4. $b - c = 2\frac{1}{8} + 7\frac{7}{12} = 9\frac{17}{24}$; $-7\frac{9}{48} - 9\frac{34}{48} = -16\frac{43}{48}$.

Ответ: $-6{,}8$; 95,7; $-\frac{49}{72}$; $-16\frac{43}{48}$.

№ 494

Составь выражение и найди: 1) уменьши $-389$ на 37; 2) уменьши 426 на 820; 3) из 99 999 вычти разность $-919$ и 10; 4) разность 9999 и 999 уменьши на 99; 5) из 10 000 вычти разность 1026 и $-572$; 6) из 357 вычти разность 152 и $-348$.

Решение.

1. $-389 - 37 = -426$.
2. $426 - 820 = -394$.
3. $-919 - 10 = -929$; $99,999 - (-929) = 100,928$.
4. $9999 - 999 - 99 = 8901$.
5. $1026 - (-572) = 1598$; $10,000 - 1598 = 8402$.
6. $152 - (-348) = 500$; $357 - 500 = -143$.

Ответ: $-426$; $-394$; 100 928; 8901; 8402; $-143$.

№ 495

Найди неизвестное слагаемое: $x + 24 = -126$; $42{,}4 + y = 23{,}2$; $x + 327 = -820$; $y + (-19{,}6) = 11{,}5$.

Как думать. Слагаемое = сумма − другое слагаемое. Теперь это работает и с отрицательными числами.

Решение. 1) $x = -126 - 24 = -150$; 2) $y = 23{,}2 - 42{,}4 = -19{,}2$; 3) $x = -820 - 327 = -1147$; 4) $y = 11{,}5 - (-19{,}6) = 31{,}1$.

Ответ: $-150$; $-19{,}2$; $-1147$; 31,1.

№ 496

Найди неизвестное вычитаемое: $321 - x = 450$; $122 - y = -200$; $20{,}4 - x = -13{,}6$; $50{,}3 - y = 72{,}4$.

Решение. 1) $x = 321 - 450 = -129$; 2) $y = 122 - (-200) = 322$; 3) $x = 20{,}4 - (-13{,}6) = 34$; 4) $y = 50{,}3 - 72{,}4 = -22{,}1$.

Ответ: $-129$; 322; 34; $-22{,}1$.

№ 497

Найди корни: $\frac{2}{5} - y = -\frac{3}{7}$; $a + 4\frac{5}{12} = -3\frac{1}{9}$; $b + 2\frac{4}{11} = \frac{2}{3}$; $1\frac{4}{15} - x = 2\frac{5}{8}$.

Решение.

1. $y = \frac{2}{5} + \frac{3}{7} = \frac{14 + 15}{35} = \frac{29}{35}$.
2. $a = -3\frac{1}{9} - 4\frac{5}{12} = -(3\frac{4}{36} + 4\frac{15}{36}) = -7\frac{19}{36}$.
3. $b = \frac{2}{3} - 2\frac{4}{11} = \frac{22}{33} - 2\frac{12}{33} = -1\frac{23}{33}$.
4. $x = 1\frac{4}{15} - 2\frac{5}{8} = 1\frac{32}{120} - 2\frac{75}{120} = -1\frac{43}{120}$.

Ответ: $\frac{29}{35}$; $-7\frac{19}{36}$; $-1\frac{23}{33}$; $-1\frac{43}{120}$.

№ 498

Реши: $x + 0{,}25 = -0{,}02$; $-x + (-10{,}05) = -0{,}996$; $x + 0{,}3 = -0{,}15$; $-x + 1{,}452 = 1{,}06$.

Как думать. Если в уравнении $-x$, сначала находим $-x$, а потом меняем знак.

Решение.

1. $x = -0{,}02 - 0{,}25 = -0{,}27$.
2. $-x = -0{,}996 + 10{,}05 = 9{,}054$, значит $x = -9{,}054$.
3. $x = -0{,}15 - 0{,}3 = -0{,}45$.
4. $-x = 1{,}06 - 1{,}452 = -0{,}392$, значит $x = 0{,}392$.

Ответ: $-0{,}27$; $-9{,}054$; $-0{,}45$; 0,392.

№ 499

Сравни: $26{,}4 - 97{,}83$ и $-71{,}78$; $-47{,}3 - 17{,}72$ и $-65{,}32$.

Как думать. Из двух отрицательных больше то, у которого модуль меньше.

Решение.

1. $26{,}4 - 97{,}83 = -71{,}43$. $|-71{,}43| < |-71{,}78|$, значит $-71{,}43 > -71{,}78$.
2. $-47{,}3 - 17{,}72 = -65{,}02 > -65{,}32$.

Ответ: 1)

№ 500

Сравни: $-18{,}85 - (-24{,}36)$ и 6,2; $-14{,}2 - 56{,}81$ и 71,02.

Решение.

1. $-18{,}85 + 24{,}36 = 5{,}51 < 6{,}2$.
2. $-14{,}2 - 56{,}81 = -71{,}01 < 71{,}02$ (отрицательное меньше положительного).

Ответ: 1)

Уровень B

№ 501

Найди неизвестное слагаемое: $x + (-13{,}85 - 4{,}2) = -12{,}3$; $c + (-12{,}76 - 26{,}69) = -40{,}8$; $(-27{,}31 - 15{,}9) + y = -62{,}7$; $(-1{,}3 - 4{,}75) + n = -7{,}4$.

Как думать. Сначала посчитай скобку — получится обычное уравнение.

Решение.

1. Скобка: $-18{,}05$. $x = -12{,}3 + 18{,}05 = 5{,}75$.
2. Скобка: $-39{,}45$. $c = -40{,}8 + 39{,}45 = -1{,}35$.
3. Скобка: $-43{,}21$. $y = -62{,}7 + 43{,}21 = -19{,}49$.
4. Скобка: $-6{,}05$. $n = -7{,}4 + 6{,}05 = -1{,}35$.

Ответ: 5,75; $-1{,}35$; $-19{,}49$; $-1{,}35$.

№ 502

Найди корни: $x + 4\frac{1}{8} = -7\frac{3}{5}$; $-x + \left(-31\frac{1}{3}\right) = 40\frac{5}{12}$; $-5\frac{3}{20} - x = 3\frac{1}{8}$; $-29\frac{3}{7} - x = -11\frac{4}{21}$.

Решение.

1. $x = -7\frac{3}{5} - 4\frac{1}{8} = -(7{,}6 + 4{,}125) = -11{,}725$.
2. $-x = 40\frac{5}{12} + 31\frac{1}{3} = 71\frac{9}{12} = 71\frac{3}{4}$, значит $x = -71\frac{3}{4}$.
3. $x = -5\frac{3}{20} - 3\frac{1}{8} = -(5{,}15 + 3{,}125) = -8{,}275$.
4. $x = -29\frac{3}{7} + 11\frac{4}{21} = -(29\frac{9}{21} - 11\frac{4}{21}) = -18\frac{5}{21}$.

Ответ: $-11{,}725$; $-71\frac{3}{4}$; $-8{,}275$; $-18\frac{5}{21}$.

№ 503

Какое число пропущено: $-30 - (-(-\ldots)) = -40$; $-(-(-\ldots)) - (-18) = -57$; $-52 - (-(-\ldots)) = -34$; $-(-(-(-\ldots))) - 33 = -25$?

Как думать. Чётное число минусов перед числом «сокращается», нечётное — оставляет один минус.

Решение.

1. $-(-a) = a$: $-30 - a = -40$, $a = 10$.
2. Три минуса: $-a + 18 = -57$, $a = 75$.
3. $-52 - a = -34$, $a = -18$.
4. Четыре минуса — их нет: $a - 33 = -25$, $a = 8$.

Ответ: 10; 75; $-18$; 8.

№ 504

Сравни: $-13{,}24 - 4{,}7$ и $-8{,}84$; $-82{,}09 - 2{,}7$ и 84,79; $-67{,}45 - 23{,}7$ и $-91{,}15$; $-83{,}03 - 24{,}8$ и $-108$.

Решение.

1. $-17{,}94 < -8{,}84$.
2. $-84{,}79 < 84{,}79$.
3. $-91{,}15 = -91{,}15$.
4. $-107{,}83 > -108$.

Ответ:

№ 505

Сравни: $725{,}3 - 978{,}6$ и $-253{,}3$; $-46{,}8 - 77{,}5$ и $-124{,}2$; $-179{,}25 - (-200)$ и 20,08; $-(-63{,}78) + 7{,}53$ и 770,31.

Решение.

1. $725{,}3 - 978{,}6 = -253{,}3$ — равны.
2. $-124{,}3 < -124{,}2$.
3. $-179{,}25 + 200 = 20{,}75 > 20{,}08$.
4. $63{,}78 + 7{,}53 = 71{,}31 < 770{,}31$.

Ответ: $=$;

№ 506

Составь выражение и найди: 1) из 3874 вычти разность $-593$ и 77; 2) разность 8118 и 292 уменьши на 68; 3) из 654 вычти разность $-914$ и $-815$; 4) из 598 вычти разность 712 и $-137$.

Решение.

1. $-593 - 77 = -670$; $3874 - (-670) = 4544$.
2. $8118 - 292 = 7826$; $7826 - 68 = 7758$.
3. $-914 - (-815) = -99$; $654 - (-99) = 753$.
4. $712 - (-137) = 849$; $598 - 849 = -251$.

Ответ: 4544; 7758; 753; $-251$.

№ 507

Найди корни: $-x + 3{,}9 = 2{,}1$; $-x + (-5{,}16) = 6{,}01$; $-x + 2{,}9 = -8{,}7$; $-x + (-5{,}88) = -7{,}17$.

Решение.

1. $-x = 2{,}1 - 3{,}9 = -1{,}8$; $x = 1{,}8$.
2. $-x = 6{,}01 + 5{,}16 = 11{,}17$; $x = -11{,}17$.
3. $-x = -8{,}7 - 2{,}9 = -11{,}6$; $x = 11{,}6$.
4. $-x = -7{,}17 + 5{,}88 = -1{,}29$; $x = 1{,}29$.

Ответ: 1,8; $-11{,}17$; 11,6; 1,29.

№ 508

Найди корни: $-x + 19\frac{1}{3} = 10\frac{3}{7}$; $-x + \left(-22\frac{1}{4}\right) = -30{,}2$; $-x + 27\frac{1}{3} = -20\frac{5}{9}$; $-x + (-5{,}5) = -17\frac{1}{7}$.

Решение.

1. $-x = 10\frac{9}{21} - 19\frac{7}{21} = -8\frac{19}{21}$; $x = 8\frac{19}{21}$.
2. $-x = -30{,}2 + 22{,}25 = -7{,}95$; $x = 7{,}95$.
3. $-x = -20\frac{5}{9} - 27\frac{3}{9} = -47\frac{8}{9}$; $x = 47\frac{8}{9}$.
4. $-x = -17\frac{2}{14} + 5\frac{7}{14} = -11\frac{9}{14}$; $x = 11\frac{9}{14}$.

Ответ: $8\frac{19}{21}$; 7,95; $47\frac{8}{9}$; $11\frac{9}{14}$.

№ 509

Найди корни: $3\frac{2}{20} - x = 18\frac{1}{8}$; $-10\frac{3}{7} - x = -9\frac{2}{3}$; $3\frac{1}{2} - x = 7\frac{1}{5}$; $40\frac{5}{9} - x = 63\frac{4}{5}$.

Как думать. $x$ — вычитаемое: $x$ = уменьшаемое − разность.

Решение.

1. $3\frac{2}{20} = 3{,}1$, $18\frac{1}{8} = 18{,}125$. $x = 3{,}1 - 18{,}125 = -15{,}025$.
2. $x = -10\frac{9}{21} + 9\frac{14}{21} = -\frac{16}{21}$.
3. $x = 3{,}5 - 7{,}2 = -3{,}7$.
4. $x = 40\frac{25}{45} - 63\frac{36}{45} = -23\frac{11}{45}$.

Ответ: $-15{,}025$; $-\frac{16}{21}$; $-3{,}7$; $-23\frac{11}{45}$.

№ 510

Вычисли: $-21{,}1 - (9{,}9 - 10{,}2) - 67{,}8$; $(43{,}8 - 50{,}05) - (24{,}1 - 22{,}6)$.

Решение.

1. $9{,}9 - 10{,}2 = -0{,}3$; $-21{,}1 + 0{,}3 - 67{,}8 = -88{,}6$.
2. $-6{,}25 - 1{,}5 = -7{,}75$.

Ответ: $-88{,}6$; $-7{,}75$.

№ 511

Найди: $\left(8\frac{1}{42} - 12\frac{4}{21}\right) - \left(5\frac{1}{42} - 3\frac{3}{7}\right)$; $-19\frac{7}{16} - \left(25\frac{5}{8} - 28\frac{1}{2}\right) - \frac{3}{4}$.

Решение.

1. $8\frac{1}{42} - 12\frac{8}{42} = -4\frac{7}{42}$; $5\frac{1}{42} - 3\frac{18}{42} = 1\frac{25}{42}$; $-4\frac{7}{42} - 1\frac{25}{42} = -5\frac{32}{42} = -5\frac{16}{21}$.
2. $25\frac{5}{8} - 28\frac{4}{8} = -2\frac{7}{8}$; $-19\frac{7}{16} + 2\frac{14}{16} - \frac{12}{16} = -19\frac{7}{16} + 2\frac{2}{16} = -17\frac{5}{16}$.

Ответ: $-5\frac{16}{21}$; $-17\frac{5}{16}$.

№ 512

Найди $a - (b - c)$: 1) $a = 123$, $b = 91$, $c = 26{,}1$; 2) $a = -7{,}3$, $b = -1{,}5$, $c = 6{,}6$; 3) $a = -\frac{1}{12}$, $b = -\frac{3}{8}$, $c = -\frac{1}{6}$; 4) $a = -9\frac{3}{20}$, $b = -8\frac{3}{4}$, $c = -5{,}4$.

Решение.

1. $91 - 26{,}1 = 64{,}9$; $123 - 64{,}9 = 58{,}1$.
2. $-1{,}5 - 6{,}6 = -8{,}1$; $-7{,}3 + 8{,}1 = 0{,}8$.
3. $-\frac{9}{24} + \frac{4}{24} = -\frac{5}{24}$; $-\frac{2}{24} + \frac{5}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$.
4. $-8{,}75 + 5{,}4 = -3{,}35$; $-9{,}15 + 3{,}35 = -5{,}8$.

Ответ: 58,1; 0,8; $\frac{1}{8}$; $-5{,}8$.

№ 513

Найди $(a + b) - c$: 1) $a = -10{,}1$, $b = 9{,}9$, $c = -20{,}2$; 2) $a = -\frac{1}{4}$, $b = \frac{5}{7}$, $c = -\frac{3}{7}$; 3) $a = 55{,}23$, $b = -60{,}1$, $c = -5{,}13$; 4) $a = -7\frac{4}{9}$, $b = -13\frac{1}{6}$, $c = -10\frac{5}{18}$.

Решение.

1. $-0{,}2 + 20{,}2 = 20$.
2. $-\frac{1}{4} + \frac{5}{7} + \frac{3}{7} = -\frac{7}{28} + \frac{32}{28} = \frac{25}{28}$.
3. $-4{,}87 + 5{,}13 = 0{,}26$.
4. $-7\frac{8}{18} - 13\frac{3}{18} = -20\frac{11}{18}$; $-20\frac{11}{18} + 10\frac{5}{18} = -10\frac{6}{18} = -10\frac{1}{3}$.

Ответ: 20; $\frac{25}{28}$; 0,26; $-10\frac{1}{3}$.

№ 514

Найди корни: $(-40{,}5 - 39{,}5) + x = 18{,}3$; $x + (21{,}8 - 30) = 1{,}2$; $(79{,}7 - 100) - x = 29$; $(-0{,}28 - 9{,}82) - x = -6{,}11$.

Решение.

1. $-80 + x = 18{,}3$; $x = 98{,}3$.
2. $x - 8{,}2 = 1{,}2$; $x = 9{,}4$.
3. $-20{,}3 - x = 29$; $x = -20{,}3 - 29 = -49{,}3$.
4. $-10{,}1 - x = -6{,}11$; $x = -10{,}1 + 6{,}11 = -3{,}99$.

Ответ: 98,3; 9,4; $-49{,}3$; $-3{,}99$.

№ 515

Найди корни: $\left(-\frac{1}{3} - \frac{2}{5}\right) - x = \frac{1}{15}$; $\left(\frac{7}{9} - \frac{8}{27}\right) - x = \frac{2}{3}$; $\left(\frac{1}{4} - \frac{5}{11}\right) - x = \frac{43}{44}$; $\left(\frac{7}{30} - \frac{1}{6}\right) - x = -\frac{3}{10}$.

Решение.

1. Скобка $-\frac{11}{15}$; $x = -\frac{11}{15} - \frac{1}{15} = -\frac{12}{15} = -\frac{4}{5}$.
2. Скобка $\frac{13}{27}$; $x = \frac{13}{27} - \frac{18}{27} = -\frac{5}{27}$.
3. Скобка $-\frac{9}{44}$; $x = -\frac{9}{44} - \frac{43}{44} = -\frac{52}{44} = -1\frac{2}{11}$.
4. Скобка $\frac{2}{30} = \frac{1}{15}$; $x = \frac{2}{30} + \frac{9}{30} = \frac{11}{30}$.

Ответ: $-\frac{4}{5}$; $-\frac{5}{27}$; $-1\frac{2}{11}$; $\frac{11}{30}$.

№ 516

Найди разности: 1) наименьшего двузначного и наибольшего трёхзначного; 2) наименьшего трёхзначного и наибольшего четырёхзначного; 3) наибольшего двузначного и наименьшего четырёхзначного; 4) наибольшего пятизначного и наименьшего шестизначного натурального числа.

Решение. 1) $10 - 999 = -989$; 2) $100 - 9999 = -9899$; 3) $99 - 1000 = -901$; 4) $99,999 - 100,000 = -1$.

Ответ: $-989$; $-9899$; $-901$; $-1$.

Уровень C

№ 517

Поставь вместо звёздочек числа, чтобы равенство стало верным: $-7 - 20 = 7 - $; $-9 - * = * - 8$; $ - 30 = 29 - $; $ - 51 = * - 49$.

Как думать. В первом пункте звёздочка одна — ответ единственный. В остальных звёздочек две, подходит много пар. Покажем по одному примеру.

Решение.

1. $-27 = 7 - $, значит $ = 7 + 27 = 34$.
2. Например, $-9 - 1 = -2 - 8$ (обе части $-10$). Если звёздочки одинаковые: $-9 - (-0{,}5) = -0{,}5 - 8 = -8{,}5$.
3. Например, $30 - 30 = 29 - 29$ (обе части 0). Одинаковые: $29{,}5 - 30 = 29 - 29{,}5 = -0{,}5$.
4. Например, $51 - 51 = 49 - 49$ или $52 - 51 = 50 - 49$. Первое число всегда на 2 больше второго.

Ответ: 1) 34; 2)–4) например: $1$ и $-2$; $30$ и $29$; $52$ и $50$.

№ 518

Запиши в виде разности: $a + (-b) + (-c) + (-d)$; $(-m) + n + (-t) + (-k)$.

Решение. Прибавить противоположное — то же, что вычесть.

1. $a - b - c - d$.
2. $n - m - t - k$ (или $-m + n - t - k$).

Ответ: $a - b - c - d$; $n - m - t - k$.

№ 519

Найди корни: $-x - \left(41\frac{3}{5} - 45\frac{1}{3}\right) = -9\frac{7}{15}$; $\left(20{,}2 - 27\frac{3}{7}\right) - y = 19\frac{32}{35}$.

Решение.

1. Скобка: $41\frac{9}{15} - 45\frac{5}{15} = -3\frac{11}{15}$. Уравнение: $-x + 3\frac{11}{15} = -9\frac{7}{15}$. $-x = -13\frac{3}{15}$, $x = 13\frac{1}{5} = 13{,}2$.
2. Скобка: $20\frac{7}{35} - 27\frac{15}{35} = -7\frac{8}{35}$. $y = -7\frac{8}{35} - 19\frac{32}{35} = -26\frac{40}{35} = -27\frac{1}{7}$.

Ответ: 13,2; $-27\frac{1}{7}$.

№ 520

$a$ и $b$ — натуральные. Среди $-a + b$; $a - b$; $-b - a$; $a + b$ найди выражение, которое равно $b - a$, и выражение, противоположное $b - a$.

Решение.

1. $-a + b = b + (-a) = b - a$ — равно.
2. $a - b = -(b - a)$ — противоположно.

Ответ: 1) $-a + b$; 2) $a - b$.

№ 521

$a$, $b$, $c$ — натуральные, $a < b < c$. Верно ли: $b - a < c$; $c - a < b - c$?

Как думать. Проверь на числах: $a = 1$, $b = 2$, $c = 3$. Потом объясни в общем виде.

Решение.

1. $b - a$ меньше $b$ (ведь $a > 0$), а $b < c$. Значит, $b - a < c$ — верно.
2. $c - a > 0$, потому что $c > a$. А $b - c < 0$, потому что $b < c$. Положительное не может быть меньше отрицательного — неверно.

Ответ: 1) верно; 2) неверно.

Повторение

№ 522

Собственная скорость лодки 3,5 км/ч, против течения — 0,9 км/ч. Найди скорость по течению.

Решение.

1. Течение: $3{,}5 - 0{,}9 = 2{,}6$ км/ч.
2. По течению: $3{,}5 + 2{,}6 = 6{,}1$ км/ч.

Ответ: 6,1 км/ч.

№ 523

На карте масштаба 1 : 100 000 между пунктами 4,2 см. Каково расстояние на местности?

Решение. $4{,}2 \cdot 100,000 = 420,000$ см $= 4200$ м $= 4{,}2$ км.

Ответ: 4,2 км.

№ 524

Найди $\frac{33}{41} \cdot \left|\frac{5}{21}\right| \cdot |-1{,}4| \cdot 3\frac{8}{11}$.

Решение. $|-1{,}4| = \frac{7}{5}$, $3\frac{8}{11} = \frac{41}{11}$. $\frac{33}{41} \cdot \frac{5}{21} \cdot \frac{7}{5} \cdot \frac{41}{11} = \frac{33 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 41}{41 \cdot 21 \cdot 5 \cdot 11} = \frac{33 \cdot 7}{21 \cdot 11} = 1$.

Ответ: 1.

Готовимся к следующей теме

№ 525

Равно ли нулю $17\frac{1}{6} + 3\frac{1}{3} - 9{,}4 - 8\frac{2}{9} + \frac{11}{90}$?

Как думать. Группируем: сначала дроби с «дружными» знаменателями.

Решение.

1. $17\frac{1}{6} + 3\frac{2}{6} = 20\frac{1}{2} = 20{,}5$.
2. $20{,}5 - 9{,}4 = 11{,}1$.
3. $-8\frac{2}{9} + \frac{11}{90} = -8\frac{20}{90} + \frac{11}{90} = -8\frac{9}{90} = -8{,}1$.
4. $11{,}1 - 8{,}1 = 3$.

Ответ: нет, значение равно 3.

№ 526

Верно ли, что $100{,}19 - \left(23{,}5 - 20\frac{1}{3}\right) + \frac{14}{15} - \frac{281}{300}$ — положительное целое число?

Решение.

1. $23\frac{1}{2} - 20\frac{1}{3} = 3\frac{1}{6}$.
2. $\frac{14}{15} - \frac{281}{300} = \frac{280}{300} - \frac{281}{300} = -\frac{1}{300}$.
3. $100\frac{57}{300} - 3\frac{50}{300} - \frac{1}{300} = 97\frac{6}{300} = 97{,}02$.

Ответ: нет, получается 97,02 — положительное, но не целое.

Шпаргалка

• Вычесть число — значит прибавить противоположное.
• Два минуса подряд, $-(-a)$, дают плюс.
• Знак разности: больше минус меньше — плюс; меньше минус больше — минус.
• В уравнении с $-x$ найди $-x$, потом поменяй знак.
• Проверка вычитания: разность + вычитаемое = уменьшаемое.

Мини-тест