§ 16. Сложение и вычитание рациональных чисел

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 2: Рациональные числа и действия над ними. Страницы 113–119.

Чему научишься

• Превращать любое вычитание в сложение.
• Считать длинные цепочки из плюсов и минусов, не путаясь в знаках.
• Группировать слагаемые так, чтобы считать было удобно.
• Находить неизвестное слагаемое, уменьшаемое и вычитаемое, когда в уравнении есть отрицательные числа.

Разминка

Это задания № 525 и 526 из прошлого урока, плюс пара вопросов на правила.

• Чем заменить вычитание $a - b$? Сложением с противоположным числом: $a - b = a + (-b)$.
• Чему равно $-(-7)$? Число, противоположное $-7$, это 7.
• Равна ли нулю сумма $17\frac{1}{6} + 3\frac{1}{3} - 9{,}4 - 8\frac{2}{9} + \frac{11}{90}$ (№ 525)? Нет. $17\frac{1}{6} + 3\frac{1}{3} = 20{,}5$; $20{,}5 - 9{,}4 = 11{,}1$; $11{,}1 - 8\frac{2}{9} + \frac{11}{90} = 11\frac{9}{90} - 8\frac{20}{90} + \frac{11}{90} = 3$. Получилось 3, а не нуль.
• Будет ли целым положительным числом $100{,}19 - (23{,}5 - 20\frac{1}{3}) + \frac{14}{15} - \frac{281}{300}$ (№ 526)? В скобках $3\frac{1}{6}$. Дальше $\frac{14}{15} - \frac{281}{300} = \frac{280 - 281}{300} = -\frac{1}{300}$. Итог: $100{,}19 - 3\frac{1}{6} - \frac{1}{300} = 97{,}02$. Положительное, но не целое.

💡 Заметил? В № 526 удобно было сначала сложить «соседей» $\frac{14}{15}$ и $-\frac{281}{300}$. Выбирать удобный порядок — это и есть главный приём сегодняшнего урока.

Разбираемся

Минус — это «плюс противоположное»

Ты уже знаешь два правила. Первое: $a - b = a + (-b)$. Второе: $-(-a) = a$. Вместе они делают чудо: любой пример со сложением и вычитанием превращается в одну большую сумму.

Например, $16{,}25 + (-14) - (-13{,}75) + (-30) - 26$ превращается в $16{,}25 + (-14) + 13{,}75 + (-30) + (-26)$.

Теперь в примере только плюсы. А сумму можно переставлять и группировать как угодно.

Приём «два кармана»

Представь, что положительные числа — это деньги, которые тебе дали, а отрицательные — деньги, которые ты потратил. Удобно сначала сложить всё полученное, потом всё потраченное, а в конце сравнить.

Для нашего примера:

• «Получено»: $16{,}25 + 13{,}75 = 30$.
• «Потрачено»: $-14 - 30 - 26 = -70$.
• Итог: $30 + (-70) = -40$.

📌 Чтобы сложить много чисел с разными знаками: 1) замени вычитание сложением; 2) отдельно сложи положительные, отдельно отрицательные; 3) сложи два результата.

То же с дробями

Пример: $-\frac{1}{8} + \frac{2}{3} - \left(-\frac{3}{4}\right) + \frac{5}{6} + \left(-\frac{1}{8}\right)$.

• Отрицательные: $-\frac{1}{8} - \frac{1}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$.
• Положительные: $\frac{2}{3} + \frac{3}{4} + \frac{5}{6} = \frac{8 + 9 + 10}{12} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}$.
• Итог: $-\frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

⚠️ Частая ошибка. Минус перед скобкой меняет знак каждого числа в скобках: $-(6{,}1 - (-2{,}85)) = -6{,}1 - 2{,}85$. Многие меняют знак только у первого числа. Проверяй: сначала посчитай скобку целиком, потом вычитай.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка перед вычислением подчеркнуть все положительные слагаемые одним цветом, а отрицательные другим. Это сразу снимает половину ошибок со знаками.

Не обязательно всегда «два кармана»

Иногда выгоднее сложить числа, которые дают круглый результат. В $3\frac{8}{31} - \left(-\frac{23}{31}\right)$ сразу видно: $3\frac{8}{31} + \frac{23}{31} = 4$. Ищи такие пары: они экономят время.

Проверь, как понял

Проверь себя

• С помощью каких равенств вычитание заменяют сложением? $a - b = a + (-b)$ и $-(-a) = a$.
• Как группировать слагаемые в сумме положительных и отрицательных чисел? Положительные собрать в одни скобки, отрицательные в другие, посчитать каждую скобку и сложить результаты. Если видны удобные пары, их можно сложить первыми.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 527

Выполни действия: 1) $(-5486 + 3578) + 1422$; 2) $4523 + (-3788 + 1477)$; 3) $(357 - 768 - 589) + (332 - 211 - 643)$; 4) $(-389 + 298 + 428) - (102 - 572 + 643)$.

Как думать. Сначала скобки, потом то, что между ними.

Решение.

1. $-5486 + 3578 = -1908$; $-1908 + 1422 = -486$.
2. $-3788 + 1477 = -2311$; $4523 - 2311 = 2212$.
3. $357 - 768 - 589 = -1000$; $332 - 211 - 643 = -522$; $-1000 + (-522) = -1522$.
4. $-389 + 298 + 428 = 337$; $102 - 572 + 643 = 173$; $337 - 173 = 164$.

Ответ: 1) $-486$; 2) 2212; 3) $-1522$; 4) 164.

№ 528

Выполни действия: 1) $5{,}36 + (-3{,}28) - 1{,}78$; 2) $29{,}04 - 121{,}4 - 43{,}52$; 3) $-6{,}9 + 0{,}205 - (-4{,}155)$; 4) $-7 - 1{,}38 - (-4{,}96)$; 5) $4{,}87 - 8{,}54 + 3{,}12$; 6) $45{,}006 - 52{,}29 + (-2{,}306)$.

Как думать. Работают «два кармана»: положительные отдельно, отрицательные отдельно.

Решение.

1. $5{,}36 - 3{,}28 = 2{,}08$; $2{,}08 - 1{,}78 = 0{,}3$.
2. Отрицательные: $121{,}4 + 43{,}52 = 164{,}92$; $29{,}04 - 164{,}92 = -135{,}88$.
3. Положительные: $0{,}205 + 4{,}155 = 4{,}36$; $-6{,}9 + 4{,}36 = -2{,}54$.
4. Отрицательные: $-7 - 1{,}38 = -8{,}38$; $-8{,}38 + 4{,}96 = -3{,}42$.
5. Положительные: $4{,}87 + 3{,}12 = 7{,}99$; $7{,}99 - 8{,}54 = -0{,}55$.
6. Отрицательные: $52{,}29 + 2{,}306 = 54{,}596$; $45{,}006 - 54{,}596 = -9{,}59$.

Ответ: 1) 0,3; 2) $-135{,}88$; 3) $-2{,}54$; 4) $-3{,}42$; 5) $-0{,}55$; 6) $-9{,}59$.

№ 529

Вычисли: 1) $4{,}51 + (-62 - 37{,}5) + (-0{,}82)$; 2) $(46{,}3 - 52{,}59) - (-6{,}75 + 0{,}05)$; 3) $-53{,}12 - (16{,}9 - 0{,}07) + 13{,}7$; 4) $251{,}9 - (-78{,}01 + 3{,}8) - 2{,}01$.

Решение.

1. $-62 - 37{,}5 = -99{,}5$; $4{,}51 - 99{,}5 - 0{,}82 = -95{,}81$.
2. $46{,}3 - 52{,}59 = -6{,}29$; $-6{,}75 + 0{,}05 = -6{,}7$; $-6{,}29 - (-6{,}7) = -6{,}29 + 6{,}7 = 0{,}41$.
3. $16{,}9 - 0{,}07 = 16{,}83$; $-53{,}12 - 16{,}83 = -69{,}95$; $-69{,}95 + 13{,}7 = -56{,}25$.
4. $-78{,}01 + 3{,}8 = -74{,}21$; $251{,}9 + 74{,}21 = 326{,}11$; $326{,}11 - 2{,}01 = 324{,}1$.

Ответ: 1) $-95{,}81$; 2) 0,41; 3) $-56{,}25$; 4) 324,1.

№ 530

Найди значение: 1) $19\frac{131}{150} + \left(-12\frac{17}{25} - 18\frac{49}{150}\right)$; 2) $-48\frac{17}{35} + \left(11\frac{4}{35} - 18\frac{61}{70}\right)$; 3) $74\frac{29}{36} - \left(-44\frac{5}{18} + 10\frac{31}{48}\right)$; 4) $\left(2\frac{61}{80} - 9\frac{49}{60}\right) + \left(-12\frac{81}{120}\right)$.

Как думать. Приводим дроби к общему знаменателю, считаем скобку, потом остальное.

Решение.

1. $-12\frac{102}{150} - 18\frac{49}{150} = -31\frac{1}{150}$; $19\frac{131}{150} - 31\frac{1}{150} = -11\frac{20}{150} = -11\frac{2}{15}$.
2. $11\frac{8}{70} - 18\frac{61}{70} = -7\frac{53}{70}$; $-48\frac{34}{70} - 7\frac{53}{70} = -56\frac{17}{70}$.
3. Знаменатель 144: $-44\frac{40}{144} + 10\frac{93}{144} = -33\frac{91}{144}$; $74\frac{116}{144} + 33\frac{91}{144} = 108\frac{63}{144} = 108\frac{7}{16}$.
4. Знаменатель 240: $2\frac{183}{240} - 9\frac{196}{240} = -7\frac{13}{240}$; $-7\frac{13}{240} - 12\frac{162}{240} = -19\frac{175}{240} = -19\frac{35}{48}$.

Ответ: 1) $-11\frac{2}{15}$; 2) $-56\frac{17}{70}$; 3) $108\frac{7}{16}$; 4) $-19\frac{35}{48}$.

№ 531

Выполни действие: 1) $\frac{4}{25} + 4{,}84 + (-6{,}04)$; 2) $-8\frac{1}{6} - 4{,}75 + 0{,}3$; 3) $2\frac{7}{20} - 2{,}38 - 1{,}4$; 4) $-\frac{3}{8} + 0{,}225 - 1{,}5$.

Как думать. Если дробь легко превращается в десятичную ($\frac{4}{25} = 0{,}16$), считай десятичными. Если нет ($\frac{1}{6}$), переводи всё в обыкновенные.

Решение.

1. $0{,}16 + 4{,}84 = 5$; $5 - 6{,}04 = -1{,}04$.
2. $-8\frac{10}{60} - 4\frac{45}{60} + \frac{18}{60} = -12\frac{55}{60} + \frac{18}{60} = -12\frac{37}{60}$.
3. $2{,}35 - 2{,}38 - 1{,}4 = -1{,}43$.
4. $-0{,}375 + 0{,}225 - 1{,}5 = -0{,}15 - 1{,}5 = -1{,}65$.

Ответ: 1) $-1{,}04$; 2) $-12\frac{37}{60}$; 3) $-1{,}43$; 4) $-1{,}65$.

№ 532

Вычисли: 1) $-6\frac{9}{20} + 5\frac{5}{8} - 10{,}39$; 2) $-20{,}3 - \left(7\frac{5}{8} - 2{,}0325\right)$; 3) $6{,}08 - \frac{4}{5} - 3\frac{17}{25}$; 4) $20{,}6 - \left(-12\frac{5}{6} - 9{,}6\right)$.

Решение.

1. $-6{,}45 + 5{,}625 = -0{,}825$; $-0{,}825 - 10{,}39 = -11{,}215$.
2. $7{,}625 - 2{,}0325 = 5{,}5925$; $-20{,}3 - 5{,}5925 = -25{,}8925$.
3. $6{,}08 - 0{,}8 - 3{,}68 = 1{,}6$.
4. $-12\frac{25}{30} - 9\frac{18}{30} = -22\frac{13}{30}$; $20\frac{18}{30} + 22\frac{13}{30} = 43\frac{1}{30}$.

Ответ: 1) $-11{,}215$; 2) $-25{,}8925$; 3) 1,6; 4) $43\frac{1}{30}$.

№ 533

Выполни действия: 1) $6{,}6 - \frac{4}{5} + \left(-1\frac{2}{3}\right) + 3{,}4$; 2) $3\frac{8}{31} - 4{,}1 - \left(-\frac{23}{31} - 2{,}9\right)$; 3) $28 - \left(-3\frac{5}{12}\right) + \left(-4{,}5 + 2\frac{1}{4}\right)$; 4) $4{,}6 - 1\frac{11}{15} - \left(-2{,}3 + 5\frac{1}{3}\right)$.

Как думать. Ищи удобные пары: $6{,}6 + 3{,}4 = 10$, $3\frac{8}{31} + \frac{23}{31} = 4$.

Решение.

1. $6{,}6 + 3{,}4 = 10$; $-\frac{4}{5} - 1\frac{2}{3} = -2\frac{7}{15}$; $10 - 2\frac{7}{15} = 7\frac{8}{15}$.
2. $3\frac{8}{31} + \frac{23}{31} = 4$; $-4{,}1 + 2{,}9 = -1{,}2$; $4 - 1{,}2 = 2{,}8$.
3. $28 + 3\frac{5}{12} = 31\frac{5}{12}$; $-4{,}5 + 2{,}25 = -2{,}25$; $31\frac{5}{12} - 2\frac{3}{12} = 29\frac{1}{6}$.
4. $4\frac{18}{30} - 1\frac{22}{30} = 2\frac{26}{30}$; $-2{,}3 + 5\frac{1}{3} = 3\frac{1}{30}$; $2\frac{26}{30} - 3\frac{1}{30} = -\frac{5}{30} = -\frac{1}{6}$.

Ответ: 1) $7\frac{8}{15}$; 2) 2,8; 3) $29\frac{1}{6}$; 4) $-\frac{1}{6}$.

№ 534

Выполни действия: 1) $-82 - \left(4\frac{23}{30} - 2{,}55\right)$; 2) $-7{,}65 + \left(-5\frac{31}{40} + 4{,}76\right)$; 3) $20{,}8 - \left(7\frac{19}{20} - 8\frac{3}{5}\right)$; 4) $25{,}1 - \left(-9\frac{73}{80} + 0{,}0875\right)$.

Решение.

1. $4\frac{46}{60} - 2\frac{33}{60} = 2\frac{13}{60}$; $-82 - 2\frac{13}{60} = -84\frac{13}{60}$.
2. $-5{,}775 + 4{,}76 = -1{,}015$; $-7{,}65 - 1{,}015 = -8{,}665$.
3. $7{,}95 - 8{,}6 = -0{,}65$; $20{,}8 + 0{,}65 = 21{,}45$.
4. $-9{,}9125 + 0{,}0875 = -9{,}825$; $25{,}1 + 9{,}825 = 34{,}925$.

Ответ: 1) $-84\frac{13}{60}$; 2) $-8{,}665$; 3) 21,45; 4) 34,925.

№ 535

Выполни действия: 1) $-6{,}54 - 2\frac{7}{9} + 2{,}46 - 2\frac{7}{255}$; 2) $3\frac{5}{8} - 4{,}42 + 5 - 6{,}33$; 3) $-8{,}25 - 3{,}72 + \left(-\frac{1}{30} + \frac{7}{30}\right)$; 4) $3\frac{1}{14} + 2\frac{3}{7} + 2 - (6{,}1 - (-2{,}85))$.

Решение.

1. Десятичные: $-6{,}54 + 2{,}46 = -4{,}08 = -4\frac{2}{25}$. Общий знаменатель для 25, 9 и 255 равен 3825: $-4\frac{306}{3825} - 2\frac{2975}{3825} - 2\frac{105}{3825} = -8\frac{3386}{3825}$.
2. $3{,}625 + 5 = 8{,}625$; $-4{,}42 - 6{,}33 = -10{,}75$; $8{,}625 - 10{,}75 = -2{,}125$.
3. В скобках $\frac{6}{30} = 0{,}2$; $-8{,}25 - 3{,}72 + 0{,}2 = -11{,}77$.
4. $3\frac{1}{14} + 2\frac{6}{14} + 2 = 7\frac{7}{14} = 7{,}5$; в скобках $6{,}1 + 2{,}85 = 8{,}95$; $7{,}5 - 8{,}95 = -1{,}45$.

Ответ: 1) $-8\frac{3386}{3825}$; 2) $-2{,}125$; 3) $-11{,}77$; 4) $-1{,}45$.

№ 536

Найди значение удобным способом: 1) $\left(2\frac{7}{24} - 5\frac{9}{32}\right) + \left(6\frac{11}{24} - 7\frac{23}{32}\right)$; 2) $\left(11\frac{5}{49} - 6\frac{9}{14}\right) + \left(1\frac{3}{14} - 5\frac{16}{49}\right)$.

Как думать. Раскрой скобки и собери вместе дроби с одинаковыми знаменателями.

Решение.

1. $\left(2\frac{7}{24} + 6\frac{11}{24}\right) - \left(5\frac{9}{32} + 7\frac{23}{32}\right) = 8\frac{18}{24} - 13 = 8\frac{3}{4} - 13 = -4\frac{1}{4}$.
2. $\left(11\frac{5}{49} - 5\frac{16}{49}\right) + \left(-6\frac{9}{14} + 1\frac{3}{14}\right) = 5\frac{38}{49} - 5\frac{6}{14} = 5\frac{38}{49} - 5\frac{21}{49} = \frac{17}{49}$.

Ответ: 1) $-4\frac{1}{4}$; 2) $\frac{17}{49}$.

№ 537

Найди неизвестное слагаемое: 1) $-5{,}007 + x = 15{,}007 - 18{,}23$; 2) $x + (-1{,}4) = -5 + 0{,}04$; 3) $(-29{,}35 + 0{,}471) + x = 30$; 4) $(-5{,}7 - 12{,}8) + x = 40{,}5$.

Как думать. Неизвестное слагаемое = сумма − известное слагаемое. Сначала посчитай всё, что можно посчитать.

Решение.

1. $15{,}007 - 18{,}23 = -3{,}223$; $x = -3{,}223 - (-5{,}007) = 1{,}784$.
2. $-5 + 0{,}04 = -4{,}96$; $x = -4{,}96 + 1{,}4 = -3{,}56$.
3. $-29{,}35 + 0{,}471 = -28{,}879$; $x = 30 + 28{,}879 = 58{,}879$.
4. $-5{,}7 - 12{,}8 = -18{,}5$; $x = 40{,}5 + 18{,}5 = 59$.

Ответ: 1) 1,784; 2) $-3{,}56$; 3) 58,879; 4) 59.

№ 538

Найди неизвестное вычитаемое: 1) $(13{,}04 - 1{,}001) - x = 12{,}039$; 2) $(0{,}375 - 1{,}625) - x = 1{,}04$; 3) $-0{,}48 - x = -0{,}01 + 1{,}2$; 4) $-15{,}43 - x = -4{,}2 + 3{,}73$.

Как думать. Вычитаемое = уменьшаемое − разность.

Решение.

1. $13{,}04 - 1{,}001 = 12{,}039$; $x = 12{,}039 - 12{,}039 = 0$.
2. $0{,}375 - 1{,}625 = -1{,}25$; $x = -1{,}25 - 1{,}04 = -2{,}29$.
3. $-0{,}01 + 1{,}2 = 1{,}19$; $x = -0{,}48 - 1{,}19 = -1{,}67$.
4. $-4{,}2 + 3{,}73 = -0{,}47$; $x = -15{,}43 + 0{,}47 = -14{,}96$.

Ответ: 1) 0; 2) $-2{,}29$; 3) $-1{,}67$; 4) $-14{,}96$.

№ 539

Найди неизвестное уменьшаемое: 1) $x - 0{,}18 = -7{,}63 - 0{,}27$; 2) $x - 1{,}36 = -5{,}8 + 5{,}43$; 3) $\left(x - \frac{7}{10}\right) + 1\frac{3}{4} = 1{,}17$; 4) $\left(-x + 1\frac{2}{3}\right) - \frac{5}{6} = -5\frac{11}{30}$.

Как думать. Уменьшаемое = разность + вычитаемое. В заданиях 3 и 4 действуем «снаружи внутрь»: сначала находим всю скобку.

Решение.

1. $x = -7{,}9 + 0{,}18 = -7{,}72$.
2. $x = -0{,}37 + 1{,}36 = 0{,}99$.
3. Скобка: $1{,}17 - 1{,}75 = -0{,}58$. Тогда $x = -0{,}58 + 0{,}7 = 0{,}12$.
4. Скобка: $-5\frac{11}{30} + \frac{25}{30} = -4\frac{16}{30} = -4\frac{8}{15}$. Тогда $-x = -4\frac{8}{15} - 1\frac{2}{3} = -6\frac{1}{5}$, значит, $x = 6{,}2$.

Ответ: 1) $-7{,}72$; 2) 0,99; 3) 0,12; 4) 6,2.

№ 540

Найди корни: 1) $-4{,}5 - x = -6 + 18{,}5$; 2) $x - 1{,}5 = -1{,}8 + 11{,}2$; 3) $10{,}54 - x = -7{,}5 + 1$; 4) $0{,}03 + x = -0{,}15 - 0{,}17$.

Решение.

1. $-4{,}5 - x = 12{,}5$; $x = -4{,}5 - 12{,}5 = -17$.
2. $x - 1{,}5 = 9{,}4$; $x = 10{,}9$.
3. $10{,}54 - x = -6{,}5$; $x = 10{,}54 + 6{,}5 = 17{,}04$.
4. $0{,}03 + x = -0{,}32$; $x = -0{,}35$.

Ответ: 1) $-17$; 2) 10,9; 3) 17,04; 4) $-0{,}35$.

№ 541

Найди корни: 1) $x - 1{,}2 = -1{,}6 - 1{,}46$; 2) $-0{,}16 + x = -0{,}84 + 1{,}5$; 3) $x - (2{,}3 - 6{,}7) = 0{,}99$; 4) $x - 4{,}3 = 0{,}45 - 0{,}54$.

Решение.

1. $x - 1{,}2 = -3{,}06$; $x = -1{,}86$.
2. $-0{,}16 + x = 0{,}66$; $x = 0{,}82$.
3. $2{,}3 - 6{,}7 = -4{,}4$; $x + 4{,}4 = 0{,}99$; $x = -3{,}41$.
4. $x - 4{,}3 = -0{,}09$; $x = 4{,}21$.

Ответ: 1) $-1{,}86$; 2) 0,82; 3) $-3{,}41$; 4) 4,21.

Уровень B

№ 542

Найди $a - (b + c)$: 1) $a = 11{,}06$, $b = 7{,}08$, $c = -6{,}19$; 2) $a = 42{,}4$, $b = -17{,}3$, $c = 23{,}5$.

Решение.

1. $b + c = 7{,}08 - 6{,}19 = 0{,}89$; $11{,}06 - 0{,}89 = 10{,}17$.
2. $b + c = -17{,}3 + 23{,}5 = 6{,}2$; $42{,}4 - 6{,}2 = 36{,}2$.

Ответ: 1) 10,17; 2) 36,2.

№ 543

Найди $a - (b - c)$: 1) $a = -\frac{5}{12}$, $b = -\frac{5}{9}$, $c = -\frac{3}{8}$; 2) $a = -5\frac{7}{16}$, $b = 3\frac{5}{8}$, $c = -8\frac{3}{10}$.

Решение.

1. $b - c = -\frac{40}{72} + \frac{27}{72} = -\frac{13}{72}$; $a - (b - c) = -\frac{30}{72} + \frac{13}{72} = -\frac{17}{72}$.
2. $b - c = 3\frac{5}{8} + 8\frac{3}{10} = 11\frac{37}{40}$; $-5\frac{35}{80} - 11\frac{74}{80} = -16\frac{109}{80} = -17\frac{29}{80}$.

Ответ: 1) $-\frac{17}{72}$; 2) $-17\frac{29}{80}$.

№ 544

Не вычисляя, сравни: 1) $123 + 49$ и $-170$; 2) $-184 + 3$ и $184$; 3) $-349 - 76$ и $35$; 4) $-512 - 120$ и $-512$; 5) $232 - (-89)$ и $232 + 89$; 6) $24 - 345$ и $-24 + 345$.

Как думать. Хватит знака результата. Положительное всегда больше отрицательного. Если отнять от числа положительное, оно уменьшится.

Решение.

1. Слева положительное, справа отрицательное:
   gt;$.
2. Слева отрицательное ($|-184| > 3$), справа положительное:
   lt;$.
3. Слева сумма двух отрицательных, она отрицательна:
   lt;$.
4. От $-512$ отняли 120, стало меньше:
   lt;$.
5. $232 - (-89) = 232 + 89$: $=$.
6. Слева отрицательное, справа то же число со знаком плюс:
   lt;$.

Ответ: 1)

№ 545

К числу прибавили $-7\frac{1}{2}$, из суммы вычли $2\frac{1}{3}$, получили $-5\frac{5}{6}$. Найди число.

Как думать. Составим уравнение $x + \left(-7\frac{1}{2}\right) - 2\frac{1}{3} = -5\frac{5}{6}$ и «откатим» действия назад.

Решение. $x = -5\frac{5}{6} + 2\frac{1}{3} + 7\frac{1}{2} = -5\frac{5}{6} + 2\frac{2}{6} + 7\frac{3}{6} = 4$. Проверка: $4 - 7{,}5 = -3{,}5$; $-3\frac{1}{2} - 2\frac{1}{3} = -5\frac{5}{6}$ ✓.

Ответ: 4.

№ 546

Как изменится сумма двух чисел, если: 1) одно слагаемое изменить на $5\frac{1}{10}$, другое на $-3\frac{1}{10}$; 2) одно уменьшить на $5\frac{1}{10}$, другое изменить на $3\frac{1}{10}$?

Как думать. Сумма изменяется на столько, сколько дают все изменения вместе. «Изменить на $-3\frac{1}{10}$» — значит уменьшить на $3\frac{1}{10}$.

Решение.

1. $5\frac{1}{10} + \left(-3\frac{1}{10}\right) = 2$: сумма увеличится на 2.
2. $-5\frac{1}{10} + 3\frac{1}{10} = -2$: сумма уменьшится на 2.

Ответ: 1) увеличится на 2; 2) уменьшится на 2.

№ 547

Найди число, противоположное: 1) сумме $-\frac{5}{6}$ и $\frac{1}{15}$; 2) разности $-10$ и $9\frac{8}{9}$; 3) разности $-12{,}5$ и $-11\frac{3}{5}$; 4) сумме $-2\frac{3}{4}$ и $-5\frac{5}{12}$.

Решение.

1. $-\frac{25}{30} + \frac{2}{30} = -\frac{23}{30}$; противоположное $\frac{23}{30}$.
2. $-10 - 9\frac{8}{9} = -19\frac{8}{9}$; противоположное $19\frac{8}{9}$.
3. $-12{,}5 + 11{,}6 = -0{,}9$; противоположное 0,9.
4. $-2\frac{9}{12} - 5\frac{5}{12} = -8\frac{2}{12} = -8\frac{1}{6}$; противоположное $8\frac{1}{6}$.

Ответ: 1) $\frac{23}{30}$; 2) $19\frac{8}{9}$; 3) 0,9; 4) $8\frac{1}{6}$.

№ 548

Первое число $12\frac{2}{6}$, второе на $14\frac{2}{21}$ меньше. Найди их сумму и разность.

Как думать. $12\frac{2}{6} = 12\frac{1}{3}$. Второе число найдём вычитанием, оно окажется отрицательным.

Решение.

1. Второе: $12\frac{7}{21} - 14\frac{2}{21} = -1\frac{16}{21}$.
2. Сумма: $12\frac{7}{21} - 1\frac{16}{21} = 10\frac{12}{21} = 10\frac{4}{7}$.
3. Разность: $12\frac{7}{21} - \left(-1\frac{16}{21}\right) = 13\frac{23}{21} = 14\frac{2}{21}$. Так и должно быть: числа отличаются как раз на $14\frac{2}{21}$.

Ответ: сумма $10\frac{4}{7}$; разность $14\frac{2}{21}$.

№ 549

Составь выражение и найди значение: 1) к $4\frac{2}{3}$ прибавь разность $-4\frac{1}{3}$ и $\frac{4}{5}$; 2) из разности $\frac{5}{8}$ и $\frac{7}{12}$ вычти $-\frac{5}{8}$.

Решение.

1. $4\frac{2}{3} + \left(-4\frac{1}{3} - \frac{4}{5}\right) = 4\frac{10}{15} - 5\frac{2}{15} = -\frac{7}{15}$.
2. $\left(\frac{5}{8} - \frac{7}{12}\right) - \left(-\frac{5}{8}\right) = \frac{1}{24} + \frac{15}{24} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$.

Ответ: 1) $-\frac{7}{15}$; 2) $\frac{2}{3}$.

№ 550

Составь выражение и найди значение: 1) к сумме $-3{,}5$ и $-1{,}8$ прибавь разность $-4{,}2$ и $2{,}5$; 2) из разности $-6{,}7$ и $9{,}2$ вычти число, противоположное $\frac{1}{4}$.

Решение.

1. $(-3{,}5 - 1{,}8) + (-4{,}2 - 2{,}5) = -5{,}3 + (-6{,}7) = -12$.
2. $(-6{,}7 - 9{,}2) - (-0{,}25) = -15{,}9 + 0{,}25 = -15{,}65$.

Ответ: 1) $-12$; 2) $-15{,}65$.

№ 551

Найди значение: 1) $196 + a + (-558 - 458)$ при $a = 82$; 2) $-b + 467 - (396 + (-274))$ при $b = 3684$.

Решение.

1. $196 + 82 = 278$; $-558 - 458 = -1016$; $278 - 1016 = -738$.
2. $396 - 274 = 122$; $-3684 + 467 - 122 = -3339$.

Ответ: 1) $-738$; 2) $-3339$.

№ 552

При $a = -32{,}19$, $b = -30{,}91$, $c = -31{,}0$ найди: 1) $a + b + c$; 2) $-a + b - c$; 3) $a - b - c$.

Как думать. Аккуратно с минусами: $-a = 32{,}19$, $-b = 30{,}91$, $-c = 31$.

Решение.

1. $-32{,}19 - 30{,}91 - 31 = -94{,}1$.
2. $32{,}19 - 30{,}91 + 31 = 32{,}28$.
3. $-32{,}19 + 30{,}91 + 31 = 29{,}72$.

Ответ: 1) $-94{,}1$; 2) 32,28; 3) 29,72.

№ 553

Составь выражение и найди значение: 1) из суммы $\frac{5}{6}$ и $\frac{8}{9}$ вычти 1,5; 2) к разности $6\frac{1}{15}$ и $7\frac{1}{3}$ прибавь 8,3.

Решение.

1. $\frac{15}{18} + \frac{16}{18} - 1\frac{9}{18} = 1\frac{13}{18} - 1\frac{9}{18} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$.
2. $6\frac{1}{15} - 7\frac{5}{15} = -1\frac{4}{15}$; $-1\frac{8}{30} + 8\frac{9}{30} = 7\frac{1}{30}$.

Ответ: 1) $\frac{2}{9}$; 2) $7\frac{1}{30}$.

№ 554

Составь выражение и найди значение: 1) сумму $-96$ и $-86$ уменьши на 22,2; 2) из разности $40{,}3$ и $51{,}22$ вычти $-4{,}38$; 3) из суммы $-91{,}49$ и $80{,}09$ вычти 7,4.

Решение.

1. $(-96 - 86) - 22{,}2 = -182 - 22{,}2 = -204{,}2$.
2. $(40{,}3 - 51{,}22) - (-4{,}38) = -10{,}92 + 4{,}38 = -6{,}54$.
3. $(-91{,}49 + 80{,}09) - 7{,}4 = -11{,}4 - 7{,}4 = -18{,}8$.

Ответ: 1) $-204{,}2$; 2) $-6{,}54$; 3) $-18{,}8$.

№ 555

Составь выражение и найди значение: 1) к сумме $-2{,}4$ и $1\frac{2}{15}$ прибавь разность $-8\frac{2}{3}$ и 5,2; 2) к разности $-10{,}38$ и $-9{,}72$ прибавь сумму $17\frac{2}{7}$ и $-19$.

Решение.

1. $-2\frac{6}{15} + 1\frac{2}{15} = -1\frac{4}{15}$; $-8\frac{10}{15} - 5\frac{3}{15} = -13\frac{13}{15}$; $-1\frac{4}{15} - 13\frac{13}{15} = -15\frac{2}{15}$.
2. $-10{,}38 + 9{,}72 = -0{,}66$; $17\frac{2}{7} - 19 = -1\frac{5}{7}$; $-\frac{33}{50} - \frac{12}{7} = -\frac{231 + 600}{350} = -2\frac{131}{350}$.

Ответ: 1) $-15\frac{2}{15}$; 2) $-2\frac{131}{350}$.

№ 556

Найди корни: 1) $(x - 67{,}2) + 4{,}2 = 17{,}4 - 20{,}1$; 2) $-100{,}9 - (47{,}24 - x) = 5{,}82 - 90$.

Как думать. Скобку с иксом считаем одним «кирпичом» и находим её первой.

Решение.

1. Правая часть: $-2{,}7$. Скобка: $x - 67{,}2 = -2{,}7 - 4{,}2 = -6{,}9$. Тогда $x = -6{,}9 + 67{,}2 = 60{,}3$.
2. По шагам выше: $x = 63{,}96$.

Ответ: 1) 60,3; 2) 63,96.

№ 557

Найди корни: 1) $\frac{17}{28} + x = -1\frac{1}{7} + 2\frac{1}{2}$; 2) $\frac{43}{45} + x = -\frac{7}{15} + \frac{28}{45}$; 3) $4{,}6 + x = -1{,}8 + 1\frac{1}{15}$; 4) $15{,}5 - x = -6{,}8 + 18\frac{29}{30}$.

Решение.

1. Справа $1\frac{5}{14} = \frac{38}{28}$; $x = \frac{38}{28} - \frac{17}{28} = \frac{21}{28} = \frac{3}{4}$.
2. Справа $-\frac{21}{45} + \frac{28}{45} = \frac{7}{45}$; $x = \frac{7}{45} - \frac{43}{45} = -\frac{36}{45} = -\frac{4}{5}$.
3. Справа $-1\frac{12}{15} + 1\frac{1}{15} = -\frac{11}{15}$; $x = -\frac{11}{15} - 4\frac{9}{15} = -5\frac{5}{15} = -5\frac{1}{3}$.
4. Справа $-6\frac{24}{30} + 18\frac{29}{30} = 12\frac{5}{30} = 12\frac{1}{6}$; $x = 15\frac{1}{2} - 12\frac{1}{6} = 3\frac{1}{3}$.

Ответ: 1) $\frac{3}{4}$; 2) $-\frac{4}{5}$; 3) $-5\frac{1}{3}$; 4) $3\frac{1}{3}$.

№ 558

Как изменится сумма трёх чисел, если: 1) первое уменьшить на $6\frac{3}{7}$, второе изменить на $11\frac{6}{11}$, третье на $-19\frac{5}{77}$; 2) первое изменить на $-15{,}6$, второе на $-4\frac{2}{5}$, третье на 20?

Как думать. Складываем все изменения. «Уменьшить на $6\frac{3}{7}$» — это изменение на $-6\frac{3}{7}$.

Решение.

1. Знаменатель 77: $-6\frac{33}{77} + 11\frac{42}{77} - 19\frac{5}{77} = 5\frac{9}{77} - 19\frac{5}{77} = -13\frac{73}{77}$.
2. $-15{,}6 - 4{,}4 + 20 = 0$.

Ответ: 1) уменьшится на $13\frac{73}{77}$; 2) не изменится.

№ 559

Найди значение: 1) $(28{,}19 - 40{,}16) - (7{,}28 - 10{,}11) + (-29{,}1 - 40{,}8)$; 2) $(-8{,}243 + 6{,}743) + (-18{,}1 - 19{,}1) - (40 - 51{,}2)$.

Решение.

1. $-11{,}97 - (-2{,}83) + (-69{,}9) = -11{,}97 + 2{,}83 - 69{,}9 = -79{,}04$.
2. $-1{,}5 + (-37{,}2) - (-11{,}2) = -1{,}5 - 37{,}2 + 11{,}2 = -27{,}5$.

Ответ: 1) $-79{,}04$; 2) $-27{,}5$.

Уровень C

№ 560

Убедись, что выражение равно 1: 1) $3\frac{1}{9} - 6\frac{1}{3} + \frac{4}{27} + 4\frac{2}{27}$; 2) $\frac{5}{6} + 4\frac{4}{9} - 2\frac{17}{18} - 1\frac{1}{3}$.

Решение.

1. Знаменатель 27: положительные $3\frac{3}{27} + \frac{4}{27} + 4\frac{2}{27} = 7\frac{9}{27}$; отрицательное $-6\frac{9}{27}$. Итог: $1$ ✓.
2. Знаменатель 18: положительные $\frac{15}{18} + 4\frac{8}{18} = 5\frac{5}{18}$; отрицательные $-2\frac{17}{18} - 1\frac{6}{18} = -4\frac{5}{18}$. Итог: $1$ ✓.

Ответ: оба выражения равны 1.

№ 561

Докажи, что значение отрицательно: 1) $6\frac{5}{6} - 2{,}875 + 2\frac{11}{12} - 7\frac{8}{3}$; 2) $3\frac{9}{16} - 5{,}25 - 4\frac{1}{8} + 4{,}8125$.

Как думать. Достаточно найти значение, но можно и проще: показать, что «отрицательный карман» тяжелее.

Решение.

1. $7\frac{8}{3} = 9\frac{2}{3}$. Положительные: $6\frac{10}{12} + 2\frac{11}{12} = 9\frac{3}{4}$. Отрицательные: $-2\frac{7}{8} - 9\frac{2}{3} = -12\frac{13}{24}$. Итог: $9\frac{18}{24} - 12\frac{13}{24} = -2\frac{19}{24} < 0$.
2. Положительные: $3{,}5625 + 4{,}8125 = 8{,}375$. Отрицательные: $-5{,}25 - 4{,}125 = -9{,}375$. Итог: $-1 < 0$.

Ответ: 1) $-2\frac{19}{24}$; 2) $-1$; оба значения отрицательны.

№ 562

Проверь равенства: 1) $\dfrac{(18{,}14 - 20{,}49) - (-3{,}35)}{\frac{2}{7} + \left(-5\frac{2}{3}\right) + 5\frac{5}{7}} = 3$; 2) $\dfrac{5\frac{6}{11} - 5{,}5 + 3\frac{1}{22}}{(22{,}19 - 40{,}2) - (-20{,}10)} = 1{,}5$.

Как думать. Отдельно считаем числитель и знаменатель, потом делим.

Решение.

1. Числитель: $-2{,}35 + 3{,}35 = 1$. Знаменатель: $\frac{2}{7} + 5\frac{5}{7} - 5\frac{2}{3} = 6 - 5\frac{2}{3} = \frac{1}{3}$. Частное: $1 : \frac{1}{3} = 3$. Верно.
2. Числитель: $5\frac{12}{22} - 5\frac{11}{22} + 3\frac{1}{22} = 3\frac{2}{22} = 3\frac{1}{11}$. Знаменатель: $-18{,}01 + 20{,}1 = 2{,}09$. Частное $3\frac{1}{11} : 2{,}09 = \frac{34}{11} \cdot \frac{100}{209} \approx 1{,}48$, а не 1,5. Проверка: $2{,}09 \cdot 1{,}5 = 3{,}135$, но $3\frac{1}{11} \approx 3{,}091$.

Ответ: 1) верно; 2) неверно.

№ 563

Докажи, что равны значения выражений $-19{,}8 + 16\frac{19}{30} - 3\frac{2}{3} + 1\frac{1}{6}$ и $-29\frac{1}{4} - 1\frac{13}{14} + 32{,}75 - 3\frac{4}{7} - 3\frac{2}{3}$.

Решение.

1. Первое (знаменатель 30): $16\frac{19}{30} + 1\frac{5}{30} = 17\frac{24}{30}$; $-19\frac{24}{30} - 3\frac{20}{30} = -23\frac{14}{30}$; итог $17\frac{24}{30} - 23\frac{14}{30} = -5\frac{20}{30} = -5\frac{2}{3}$.
2. Второе: удобная пара $-29\frac{1}{4} + 32\frac{3}{4} = 3\frac{1}{2}$. Ещё пара: $-1\frac{13}{14} - 3\frac{8}{14} = -5\frac{7}{14} = -5\frac{1}{2}$. Итог: $3\frac{1}{2} - 5\frac{1}{2} - 3\frac{2}{3} = -5\frac{2}{3}$.

Ответ: оба выражения равны $-5\frac{2}{3}$.

№ 564

Верно ли, что $(-4{,}717 + 8{,}687) - \left(18\frac{3}{20} - 26\frac{3}{25}\right)$ в 2,5 раза больше, чем $-6\frac{1}{3} + 8\frac{3}{7} - 4\frac{3}{7} + 7{,}3$?

Решение.

1. Первое: $-4{,}717 + 8{,}687 = 3{,}97$; $18{,}15 - 26{,}12 = -7{,}97$; $3{,}97 + 7{,}97 = 11{,}94$.
2. Второе: $8\frac{3}{7} - 4\frac{3}{7} = 4$; $-6\frac{1}{3} + 4 + 7{,}3 = 4\frac{29}{30}$.
3. $4\frac{29}{30} \cdot 2{,}5 = \frac{149}{30} \cdot \frac{5}{2} = \frac{149}{12} = 12\frac{5}{12} \ne 11{,}94$.

Ответ: неверно.

Повторение

№ 565

При $\pi \approx 3{,}14$: 1) длина окружности 1,57 см — найди радиус и диаметр в миллиметрах; 2) площадь круга 314 см² — найди радиус и диаметр в дециметрах.

Как думать. $C = \pi d$, значит, $d = C : \pi$. $S = \pi r^2$, значит, $r^2 = S : \pi$.

Решение.

1. $d = 1{,}57 : 3{,}14 = 0{,}5$ см = 5 мм; $r = 2{,}5$ мм.
2. $r^2 = 314 : 3{,}14 = 100$, $r = 10$ см = 1 дм; $d = 2$ дм.

Ответ: 1) 2,5 мм и 5 мм; 2) 1 дм и 2 дм.

№ 566

Используя свойства умножения, найди: 1) $\frac{101}{206} \cdot \left|-1\frac{45}{61}\right| \cdot \left|1\frac{2}{101}\right| \cdot 1\frac{8}{53}$; 2) $\left|-\frac{93}{107}\right| \cdot \left|-1\frac{13}{57}\right| \cdot 1\frac{14}{93} \cdot \left|-\frac{57}{70}\right|$.

Как думать. Модули убираем (все числа станут положительными), смешанные числа переводим в неправильные дроби и сокращаем.

Решение.

1. $\frac{101}{206} \cdot \frac{106}{61} \cdot \frac{103}{101} \cdot \frac{61}{53}$. Сокращаем 101, 61; $\frac{106}{53} = 2$, $\frac{103}{206} = \frac{1}{2}$. Итог $2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.
2. $\frac{93}{107} \cdot \frac{70}{57} \cdot \frac{107}{93} \cdot \frac{57}{70} = 1$: каждое число сокращается со своей парой.

Ответ: 1) 1; 2) 1.

№ 567

Найди вычитаемое: 1) $|123{,}4 - 220{,}4| - x = \left|-220\frac{3}{4}\right| - |130{,}75|$; 2) $|7| - x = -|-90|$.

Решение.

1. $|-97| = 97$; справа $220{,}75 - 130{,}75 = 90$. $97 - x = 90$, $x = 7$.
2. $7 - x = -90$, $x = 7 + 90 = 97$.

Ответ: 1) 7; 2) 97.

№ 568

Найди неизвестный член пропорции: 1) $\frac{42}{1{,}4} = \frac{|-5{,}1|}{x}$; 2) $\frac{|-5{,}7|}{x} = \frac{39}{13}$.

Решение.

1. $\frac{42}{1{,}4} = 30$, значит, $\frac{5{,}1}{x} = 30$, $x = 0{,}17$.
2. $\frac{39}{13} = 3$, значит, $\frac{5{,}7}{x} = 3$, $x = 1{,}9$.

Ответ: 1) 0,17; 2) 1,9.

№ 569

Найди неизвестный член пропорции: 1) $\frac{x}{|-0{,}29|} = \frac{|-9{,}3|}{0{,}31}$; 2) $\frac{42}{0{,}7} = \frac{x}{|-1{,}6|}$.

Решение.

1. $\frac{9{,}3}{0{,}31} = 30$; $x = 30 \cdot 0{,}29 = 8{,}7$.
2. $\frac{42}{0{,}7} = 60$; $x = 60 \cdot 1{,}6 = 96$.

Ответ: 1) 8,7; 2) 96.

Готовимся к следующей теме

№ 570

Отметь на координатной прямой точки $A(10)$, $B(-8{,}5)$, $C(-3{,}5)$, $D(2)$, $E(8{,}5)$, $F(-5)$.

Как думать. Положительные числа справа от нуля, отрицательные слева. Половинки ставим ровно посередине между целыми.

Решение. Удобно взять единичный отрезок в 2 клетки, тогда 0,5 — это одна клетка. $B$ и $E$ симметричны относительно нуля: $-8{,}5$ и $8{,}5$.

Ответ: точки на рисунке выше.

№ 571

1. Найди координату точки, которая от $A(2)$: 1) правее на 6 клеток; 2) левее на 6,5 клетки; 3) левее на 3 клетки; 4) правее на 2 клетки (одна клетка — единичный отрезок). 2. На одной прямой отложены отрезки $OA$ и $OB$. Найди $AB$, если: 1) $OA = 7$ см, $OB = 4$ см; 2) $OA = 7{,}5$ см, $OB = 4{,}5$ см.

Как думать. Вправо — прибавляем, влево — вычитаем. Во второй части важно, лежат ли точки $A$ и $B$ по одну сторону от $O$ или по разные.

Решение.

1. Часть 1: $2 + 6 = 8$; $2 - 6{,}5 = -4{,}5$; $2 - 3 = -1$; $2 + 2 = 4$.
2. Часть 2, точки по одну сторону от $O$: $AB = OA - OB$: $7 - 4 = 3$ см; $7{,}5 - 4{,}5 = 3$ см.
3. Если точки по разные стороны от $O$: $AB = OA + OB$: 11 см и 12 см.

Ответ: 1. 1) 8; 2) $-4{,}5$; 3) $-1$; 4) 4. 2. 1) 3 см; 2) 3 см (если $A$ и $B$ по разные стороны от $O$, то 11 см и 12 см).

💡 Заметь: в части 2 длина $AB$ — это разность «расстояний от нуля». На следующем уроке ты научишься находить расстояние между любыми точками, даже если одна из них слева от нуля.

Шпаргалка

• Любое вычитание заменяется сложением с противоположным числом.
• Слагаемые можно переставлять и группировать как удобно.
• Ищи «круглые» пары: $6{,}6 + 3{,}4 = 10$, $3\frac{8}{31} + \frac{23}{31} = 4$.
• В уравнении сначала посчитай всё, где нет икса.

Мини-тест