§ 17. Расстояние между точками на координатной прямой

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 2: Рациональные числа и действия над ними. Страницы 120–122.

Чему научишься

• Находить расстояние между двумя точками по их координатам.
• Пользоваться формулой $|a - b|$ и понимать, зачем там модуль.
• Находить точки, которые стоят на заданном расстоянии от данной.
• Решать задачи про температуру, высоту и путь с помощью координатной прямой.

Разминка

Вспомни задания № 570 и 571 из прошлого урока.

• Где на прямой точка $B(-8{,}5)$? На 8,5 единицы левее нуля.
• Какая координата у точки на 6 клеток правее $A(2)$? $2 + 6 = 8$.
• А на 6,5 клетки левее $A(2)$? $2 - 6{,}5 = -4{,}5$.
• $OA = 7$ см, $OB = 4$ см, точки по одну сторону от $O$. Чему равно $AB$? $7 - 4 = 3$ см.
• Чему равен $|-3|$? 3. Модуль — это расстояние от числа до нуля, оно не бывает отрицательным.

Разбираемся

Когда обе точки справа от нуля

Возьмём $K(3)$ и $M(7)$. От нуля до $M$ семь единиц, до $K$ три. Значит, между ними $7 - 3 = 4$ единицы. Просто вычитаем меньшую координату из большей.

А если точки слева от нуля?

Пусть $F(-8)$ и $E(-5)$. Посчитай деления: от $-8$ до $-5$ ровно 3 шага. Формулой: $-5 - (-8) = -5 + 8 = 3$.

Если вычесть наоборот, получится $-8 - (-5) = -3$. Но расстояние не бывает отрицательным! Поэтому берём модуль: $|-3| = 3$.

Одна формула на все случаи

📌 Если $A(a)$ и $B(b)$, то расстояние между точками равно $|a - b|$.

Модуль нужен, чтобы не думать, какое число больше. Вычитай в любом порядке, а минус модуль «съест».

• $E(-5)$ и $K(3)$: $|-5 - 3| = |-8| = 8$.
• $F(-8)$ и $M(7)$: $|-8 - 7| = |-15| = 15$.
• $A(13)$ и $B(-7)$: $|13 - (-7)| = |20| = 20$.

💡 Когда точки по разные стороны от нуля, расстояния до нуля складываются: от $-8$ до $7$ это $8 + 7 = 15$.

⚠️ Частая ошибка. $|13 - (-7)|$ считают как $|13 - 7| = 6$. Минус на минус даёт плюс: $13 - (-7) = 13 + 7 = 20$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Хороший бытовой пример — градусник. «Утром было −8°, днём +3°. На сколько потеплело?» Пусть ребёнок посчитает и по делениям, и по формуле $|3 - (-8)| = 11$.

Проверь, как понял

Проверь себя

• По какой формуле найти расстояние между точками $D(d)$ и $F(f)$? $|d - f|$ (или $|f - d|$ — это одно и то же).
• Как найти длину отрезка с концами в точках 4 и $-9$? $|4 - (-9)| = |13| = 13$ единиц.
• Как найти расстояние между $E(-5)$ и $K(3)$? $|-5 - 3| = 8$.
• Чему равно расстояние между $F(-8)$ и $M(7)$? $|-8 - 7| = 15$.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 572

Построй точки и найди расстояние: 1) $A(8)$ и $B(3)$; 2) $C(-8)$ и $D(-3)$; 3) $M(8)$ и $K(-3)$; 4) $F(-8)$ и $E(3)$.

Как думать. Можно посчитать деления, а можно сразу по формуле.

Решение.

1. $|8 - 3| = 5$.
2. $|-8 - (-3)| = |-5| = 5$.
3. $|8 - (-3)| = 11$.
4. $|-8 - 3| = |-11| = 11$.

Ответ: 1) 5 ед.; 2) 5 ед.; 3) 11 ед.; 4) 11 ед.

💡 Пары 1 и 2 — зеркальные отражения друг друга, поэтому расстояния одинаковые. Так же и пары 3 и 4.

№ 573

По формуле $l = |a - b|$ найди расстояние: 1) $A(12)$, $B(36)$; 2) $A(-40)$, $B(53)$; 3) $A(70)$, $B(-34)$; 4) $A(-538)$, $B(-479)$.

Решение.

1. $|12 - 36| = |-24| = 24$.
2. $|-40 - 53| = |-93| = 93$.
3. $|70 - (-34)| = |104| = 104$.
4. $|-538 - (-479)| = |-59| = 59$.

Ответ: 1) 24; 2) 93; 3) 104; 4) 59.

№ 574

Найди расстояние: 1) $M(82{,}6)$, $K(-39{,}74)$; 2) $M(-34{,}72)$, $K(-873{,}5)$; 3) $M(-932{,}1)$, $K(67{,}3)$; 4) $M(0{,}432)$, $K(0{,}567)$.

Решение.

1. $|82{,}6 + 39{,}74| = 122{,}34$.
2. $|-34{,}72 + 873{,}5| = 838{,}78$.
3. $|-932{,}1 - 67{,}3| = |-999{,}4| = 999{,}4$.
4. $|0{,}432 - 0{,}567| = |-0{,}135| = 0{,}135$.

Ответ: 1) 122,34; 2) 838,78; 3) 999,4; 4) 0,135.

№ 575

Найди расстояние между $C$ и $D$: 1) $C\left(-\frac{2}{3}\right)$, $D\left(-3\frac{7}{9}\right)$; 2) $C\left(\frac{3}{8}\right)$, $D\left(-\frac{2}{3}\right)$; 3) $C(-0{,}6)$, $D\left(-\frac{2}{5}\right)$; 4) $C(0{,}25)$, $D\left(-\frac{3}{4}\right)$.

Как думать. Если дробь и десятичная вместе, приведи их к одному виду: $\frac{2}{5} = 0{,}4$, $\frac{3}{4} = 0{,}75$.

Решение.

1. $\left|-\frac{6}{9} + 3\frac{7}{9}\right| = 3\frac{1}{9}$.
2. $\left|\frac{3}{8} + \frac{2}{3}\right| = \frac{9 + 16}{24} = \frac{25}{24} = 1\frac{1}{24}$.
3. $|-0{,}6 + 0{,}4| = |-0{,}2| = 0{,}2$.
4. $|0{,}25 + 0{,}75| = 1$.

Ответ: 1) $3\frac{1}{9}$; 2) $1\frac{1}{24}$; 3) 0,2; 4) 1.

№ 576

Заполни таблицу расстояний между $F$ и $E$: $F\left(\frac{7}{8}\right)$ и $E(-0{,}125)$; $F(-0{,}375)$ и $E\left(\frac{5}{8}\right)$; $F\left(\frac{3}{8}\right)$ и $E(0{,}25)$; $F(-0{,}75)$ и $E\left(-\frac{5}{8}\right)$.

Как думать. Здесь всё в восьмых долях: $0{,}125 = \frac{1}{8}$, $0{,}25 = \frac{2}{8}$, $0{,}375 = \frac{3}{8}$, $0{,}75 = \frac{6}{8}$.

Решение.

Ответ: 1; 1; $\frac{1}{8}$ (0,125); $\frac{1}{8}$ (0,125).

Уровень B

№ 577

Построй на координатной прямой три пары точек, расстояние в каждой паре равно 2.

Как думать. Бери любую точку и отступай от неё на 2 единицы вправо или влево.

Решение. Например: $A(-5)$ и $B(-3)$; $C(-1)$ и $D(1)$; $E(3)$ и $F(5)$. Проверка: $|-5 - (-3)| = 2$, $|-1 - 1| = 2$, $|3 - 5| = 2$.

Ответ: например, $(-5; -3)$, $(-1; 1)$, $(3; 5)$. Возможны и другие пары.

№ 578

Запиши несколько координат точек слева и справа от нуля, которые удалены от начала отсчёта: 1) меньше чем на 4; 2) больше чем на 6.

Как думать. Расстояние от точки $x$ до нуля — это $|x|$. Нужно $|x| < 4$ или $|x| > 6$.

Решение.

1. $|x| < 4$: $-3{,}5$; $-2$; $-0{,}5$; $1$; $2{,}7$; $3{,}9$. Подходит всё строго между $-4$ и $4$.
2. $|x| > 6$: $-100$; $-7$; $-6{,}1$; $6{,}5$; $8$; $20$. Подходит всё левее $-6$ и правее $6$.

Ответ: например, 1) $-3$; $-1$; $2$; $3{,}5$; 2) $-10$; $-7$; $6{,}5$; $9$.

№ 579

Найди координаты точек $B$ и $P$, удалённых на 4 единицы от точки: 1) $A(7)$; 2) $C(2)$; 3) $M(4{,}5)$; 4) $K(-3{,}5)$.

Как думать. Таких точек всегда две: одна на 4 левее, другая на 4 правее.

Решение.

1. $7 - 4 = 3$; $7 + 4 = 11$.
2. $2 - 4 = -2$; $2 + 4 = 6$.
3. $4{,}5 - 4 = 0{,}5$; $4{,}5 + 4 = 8{,}5$.
4. $-3{,}5 - 4 = -7{,}5$; $-3{,}5 + 4 = 0{,}5$.

Ответ: 1) $B(3)$, $P(11)$; 2) $B(-2)$, $P(6)$; 3) $B(0{,}5)$, $P(8{,}5)$; 4) $B(-7{,}5)$, $P(0{,}5)$.

Уровень C

№ 580

Найди координаты точек $M$ и $K$ на расстоянии $\frac{1}{6}$ от точки: 1) $A\left(\frac{5}{6}\right)$; 2) $C\left(-\frac{2}{3}\right)$; 3) $B\left(\frac{7}{9}\right)$; 4) $P\left(-\frac{3}{4}\right)$.

Как думать. То же, что в № 579: отнимаем и прибавляем $\frac{1}{6}$. Нужен общий знаменатель.

Решение.

1. $\frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$; $\frac{5}{6} + \frac{1}{6} = 1$.
2. $-\frac{4}{6} - \frac{1}{6} = -\frac{5}{6}$; $-\frac{4}{6} + \frac{1}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$.
3. $\frac{14}{18} - \frac{3}{18} = \frac{11}{18}$; $\frac{14}{18} + \frac{3}{18} = \frac{17}{18}$.
4. $-\frac{9}{12} - \frac{2}{12} = -\frac{11}{12}$; $-\frac{9}{12} + \frac{2}{12} = -\frac{7}{12}$.

Ответ: 1) $M\left(\frac{2}{3}\right)$, $K(1)$; 2) $M\left(-\frac{5}{6}\right)$, $K\left(-\frac{1}{2}\right)$; 3) $M\left(\frac{11}{18}\right)$, $K\left(\frac{17}{18}\right)$; 4) $M\left(-\frac{11}{12}\right)$, $K\left(-\frac{7}{12}\right)$.

№ 581

На прямой отмечены $O(0)$ и $E(1)$, между ними два деления, то есть одно деление равно 0,5. Точка $A$ на 9 делений левее $O$, $B$ на 5, $C$ на 1; $D$ на 5 делений правее $O$, $F$ на 9. Найди пары точек на расстоянии 2 единицы друг от друга.

Как думать. Сначала переводим деления в координаты: каждое деление — 0,5. Расстояние 2 — это 4 деления.

Решение.

1. Координаты: $A(-4{,}5)$, $B(-2{,}5)$, $C(-0{,}5)$, $O(0)$, $E(1)$, $D(2{,}5)$, $F(4{,}5)$.
2. Ищем разность 2: $|-4{,}5 - (-2{,}5)| = 2$; $|-2{,}5 - (-0{,}5)| = 2$; $|2{,}5 - 4{,}5| = 2$.
3. Остальные пары не подходят: например, $|-0{,}5 - 1| = 1{,}5$, $|1 - 2{,}5| = 1{,}5$.

Ответ: $A(-4{,}5)$ и $B(-2{,}5)$; $B(-2{,}5)$ и $C(-0{,}5)$; $D(2{,}5)$ и $F(4{,}5)$.

Повторение

№ 582

При $\pi \approx 3{,}14$ найди: 1) площадь круга, если длина его окружности 157 м; 2) длину окружности, если площадь круга 28,26 м².

Как думать. Сначала находим радиус, через него всё остальное.

Решение.

1. $r = 25$ м, $S = 1962{,}5$ м² (шаги выше).
2. $r^2 = 28{,}26 : 3{,}14 = 9$, $r = 3$ м; $C = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 3 = 18{,}84$ м.

Ответ: 1) 1962,5 м²; 2) 18,84 м.

№ 583

Найди неизвестное слагаемое: 1) $x + |-1754| = 1754$; 2) $\left|2\frac{1}{3}\right| + \left|-2\frac{1}{3}\right| + x = 100\frac{2}{3}$.

Решение.

1. $|-1754| = 1754$; $x + 1754 = 1754$; $x = 0$.
2. $2\frac{1}{3} + 2\frac{1}{3} = 4\frac{2}{3}$; $x = 100\frac{2}{3} - 4\frac{2}{3} = 96$.

Ответ: 1) 0; 2) 96.

Готовимся к следующей теме

№ 584

Найди значение: 1) $|-8| \cdot |0{,}01| \cdot |125| \cdot 0{,}1$; 2) $0{,}1 \cdot |-62{,}5| \cdot |16| \cdot 0{,}01$.

Как думать. Модули дают положительные числа. Дальше ищем удобные пары: $8 \cdot 125 = 1000$, $62{,}5 \cdot 16 = 1000$.

Решение.

1. $8 \cdot 125 = 1000$; $0{,}01 \cdot 0{,}1 = 0{,}001$; $1000 \cdot 0{,}001 = 1$.
2. $62{,}5 \cdot 16 = 1000$; $0{,}1 \cdot 0{,}01 = 0{,}001$; $1000 \cdot 0{,}001 = 1$.

Ответ: 1) 1; 2) 1.

№ 585

Найди значение: 1) $93{,}1a + 16{,}9a - 1{,}1$ при $a = 0{,}01$; 2) $(9{,}72b + 0{,}28b) : 250$ при $b = 100$.

Как думать. Сначала соединим одинаковые буквы: $93{,}1a + 16{,}9a = 110a$. Считать станет гораздо проще.

Решение.

1. $110a - 1{,}1 = 110 \cdot 0{,}01 - 1{,}1 = 1{,}1 - 1{,}1 = 0$.
2. $10b : 250 = 1000 : 250 = 4$.

Ответ: 1) 0; 2) 4.

Шпаргалка

• Расстояние между точками = модуль разности координат.
• $|-5 - 3| = 8$; $|13 - (-7)| = 20$.
• От любой точки на заданном расстоянии лежат ровно две точки: слева и справа.
• Если координаты в дробях и десятичных, сначала приведи их к одному виду.

Мини-тест