§ 18. Умножение рациональных чисел

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 2: Рациональные числа и действия над ними. Страницы 123–130.

Чему научишься

• Умножать числа с разными знаками и с одинаковыми знаками.
• Быстро определять знак произведения, даже если множителей пять или шесть.
• Не путать $-3^2$ и $(-3)^2$.
• Решать уравнения вида «произведение равно нулю».

Разминка

Это задания № 584 и 585 из прошлого урока.

• $|-8| \cdot |0{,}01| \cdot |125| \cdot 0{,}1 = ?$ $8 \cdot 125 = 1000$, $0{,}01 \cdot 0{,}1 = 0{,}001$. Итог 1.
• $0{,}1 \cdot |-62{,}5| \cdot |16| \cdot 0{,}01 = ?$ $62{,}5 \cdot 16 = 1000$. Итог тоже 1.
• $93{,}1a + 16{,}9a - 1{,}1$ при $a = 0{,}01$? $110a - 1{,}1 = 1{,}1 - 1{,}1 = $ 0.
• $(9{,}72b + 0{,}28b) : 250$ при $b = 100$? $10b : 250 = 1000 : 250 = $ 4.

💡 Заметил? Мы переставляли множители, чтобы получить круглые 1000. Это переместительное и сочетательное свойства. Сегодня они помогут понять, как умножать отрицательные числа.

Разбираемся

Минус на плюс

Умножение — это сложение одинаковых слагаемых: $4 \cdot 3 = 4 + 4 + 4 = 12$. Значит, и $(-4) \cdot 3 = (-4) + (-4) + (-4) = -12$. Три долга по 4 тенге — это долг 12 тенге.

А если поменять множители местами, ответ не должен измениться: $3 \cdot (-4) = -12$.

📌 При умножении чисел с разными знаками перемножь модули и поставь перед ответом минус.

Примеры: $(-1{,}5) \cdot 20 = -30$; $0{,}3 \cdot (-1{,}2) = -0{,}36$; $\left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \frac{9}{14} = -\frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 14} = -\frac{3}{7}$.

Умножение на −1

$(-1) \cdot 12{,}4 = -12{,}4$, $27 \cdot (-1) = -27$. Умножение на $-1$ просто меняет знак числа на противоположный. Значит, и $(-12) \cdot (-1) = 12$.

Минус на минус

Посчитаем $(-3) \cdot (-4)$. Число $-3$ — это $3 \cdot (-1)$. Тогда:

$(-3) \cdot (-4) = (-1) \cdot 3 \cdot (-4) = (-1) \cdot (-12) = 12$.

📌 Чтобы умножить два отрицательных числа, перемножь их модули. Ответ положительный.

Примеры: $-20 \cdot (-30) = 600$; $-40 \cdot (-0{,}3) = 12$; $-\frac{3}{14} \cdot \left(-\frac{7}{9}\right) = \frac{1}{6}$.

💡 Запомнить легко: «враг моего врага — мой друг». Минус (враг) на минус (врага) — плюс (друг).

Посмотри, как растёт произведение

Умножаем $-3$ на числа 3, 2, 1, 0, −1, −2, −3. Каждый раз множитель уменьшается на 1, а произведение растёт на 3. Так оно и «перешагивает» через нуль в плюс.

Сколько минусов — такой и знак

Если множителей много, считай минусы:

• чётное число минусов (2, 4, 6…) — ответ положительный;
• нечётное (1, 3, 5…) — ответ отрицательный.

Например, $-2 \cdot (-2{,}1) \cdot (-5) \cdot (-3) \cdot (-1{,}1)$: пять минусов, значит, ответ отрицательный: $-69{,}3$.

Нуль всех «обнуляет»

📌 Если хотя бы один множитель равен нулю, произведение равно нулю. И наоборот: если произведение равно нулю, то хотя бы один множитель — нуль.

Это помогает решать уравнения. $(-5) \cdot (x + 42) = 0$. Множитель $-5$ не нуль, значит, $x + 42 = 0$, $x = -42$.

А в $(-21 + 7x)(18 - 9x) = 0$ нулём может быть любая скобка: $7x = 21$, $x = 3$ или $9x = 18$, $x = 2$. Два корня: 2 и 3.

Ловушка со степенью

⚠️ Частая ошибка. $-3^2$ и $(-3)^2$ — это разные числа! В $(-3)^2$ в квадрат возводят $-3$: $(-3) \cdot (-3) = 9$. А в $-3^2$ в квадрат возводят только 3, а минус ставят потом: $-9$.

🌟 Говори правильно. $(-3) \cdot (-5)$ читают «минус три умножить на минус пять» или «произведение минус трёх и минус пяти». А $-6x$ — «минус шесть икс».

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка перед любым умножением сначала сказать вслух знак ответа, а уже потом считать модули. Через десяток примеров это станет привычкой, и ошибок со знаком почти не будет.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Когда произведение равно нулю? Когда хотя бы один множитель равен нулю.
• Когда произведение положительное? Когда минусов среди множителей чётное число (в том числе ни одного).
• Когда отрицательное? Когда минусов нечётное число и нулей нет.
• Почему у $(-x + 2)(1 - x)(8 + x) = 0$ три корня? Произведение равно нулю, если нулю равна любая скобка: $-x + 2 = 0$ даёт $x = 2$; $1 - x = 0$ даёт $x = 1$; $8 + x = 0$ даёт $x = -8$.
• Как умножили $(-1{,}5) \cdot 20$? Перемножили модули ($1{,}5 \cdot 20 = 30$) и поставили минус: $-30$.
• Чему равны $(-1) \cdot 12{,}4$, $(-1) \cdot 45{,}21$, $27 \cdot (-1)$? $-12{,}4$; $-45{,}21$; $-27$. Получаются числа, противоположные положительным множителям.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 586

Найди пары произведений: 1) $1{,}6 \cdot 8$ и $-1{,}6 \cdot (-8)$; 2) $1{,}5 \cdot 0{,}4$ и $-1{,}5 \cdot (-0{,}4)$; 3) $60 \cdot 0{,}2$ и $-60 \cdot (-0{,}2)$; 4) $0{,}9 \cdot 9$ и $-0{,}9 \cdot (-9)$; 5) $0{,}4 \cdot 0{,}6$ и $-0{,}4 \cdot (-0{,}6)$; 6) $5 \cdot 0{,}02$ и $-5 \cdot (-0{,}02)$.

Как думать. Во второй половине каждой пары два минуса, они дают плюс. Значит, оба произведения в паре одинаковые.

Решение. 1) 12,8; 2) 0,6; 3) 12; 4) 8,1; 5) 0,24; 6) 0,1 — в каждой паре оба числа равны.

Ответ: 1) 12,8; 12,8; 2) 0,6; 0,6; 3) 12; 12; 4) 8,1; 8,1; 5) 0,24; 0,24; 6) 0,1; 0,1.

№ 587

Найди пары произведений: 1) $\frac{5}{11} \cdot \frac{8}{15}$ и $-\frac{5}{11} \cdot \left(-\frac{8}{15}\right)$; 2) $\frac{9}{16} \cdot \frac{5}{12}$ и $-\frac{9}{16} \cdot \left(-\frac{5}{12}\right)$; 3) $\frac{3}{14} \cdot \frac{7}{10}$ и $-\frac{3}{14} \cdot \left(-\frac{7}{10}\right)$.

Решение.

1. $\frac{5 \cdot 8}{11 \cdot 15} = \frac{8}{33}$.
2. $\frac{9 \cdot 5}{16 \cdot 12} = \frac{3 \cdot 5}{16 \cdot 4} = \frac{15}{64}$.
3. $\frac{3 \cdot 7}{14 \cdot 10} = \frac{3}{20} = 0{,}15$.

В каждой паре второе произведение такое же.

Ответ: 1) $\frac{8}{33}$; $\frac{8}{33}$; 2) $\frac{15}{64}$; $\frac{15}{64}$; 3) 0,15; 0,15.

№ 588

Найди: 1) $0{,}625 \cdot (-8)$; 2) $-0{,}75 \cdot 4$; 3) $-0{,}375 \cdot 16$; 4) $8 \cdot (-0{,}875)$.

Как думать. Полезно помнить: $0{,}625 = \frac{5}{8}$, $0{,}75 = \frac{3}{4}$, $0{,}375 = \frac{3}{8}$, $0{,}875 = \frac{7}{8}$.

Решение. 1) $-\frac{5}{8} \cdot 8 = -5$; 2) $-\frac{3}{4} \cdot 4 = -3$; 3) $-\frac{3}{8} \cdot 16 = -6$; 4) $-\frac{7}{8} \cdot 8 = -7$.

Ответ: 1) $-5$; 2) $-3$; 3) $-6$; 4) $-7$.

№ 589

Найди: 1) $\frac{3}{8} \cdot \left(-2\frac{2}{3}\right)$; 2) $-1{,}6 \cdot \frac{5}{8}$; 3) $-\frac{7}{8} \cdot 1\frac{1}{7}$; 4) $4\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{3}{14}\right)$.

Решение.

1. $-\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3} = -1$.
2. $-\frac{8}{5} \cdot \frac{5}{8} = -1$.
3. $-\frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7} = -1$.
4. $-\frac{14}{3} \cdot \frac{3}{14} = -1$.

Ответ: во всех четырёх $-1$.

💡 Во всех примерах множители — взаимно обратные числа. Их модули дают 1, а знаки разные — значит, $-1$.

№ 590

Найди: 1) $3\frac{8}{9} \cdot \left(-2\frac{1}{7}\right)$; 2) $8\frac{1}{6} \cdot \left(-7\frac{1}{5}\right)$; 3) $6\frac{3}{8} \cdot \left(-2\frac{6}{11}\right)$; 4) $10\frac{4}{7} \cdot \left(-2\frac{11}{12}\right)$; 5) $5\frac{5}{8} \cdot \left(-7\frac{4}{15}\right)$; 6) $7\frac{5}{9} \cdot \left(-9\frac{3}{4}\right)$.

Как думать. Везде разные знаки — ответ отрицательный. Смешанные числа переводим в неправильные дроби и сокращаем до умножения.

Решение.

1. $-\frac{35}{9} \cdot \frac{15}{7} = -\frac{5 \cdot 5}{3} = -\frac{25}{3} = -8\frac{1}{3}$.
2. $-\frac{49}{6} \cdot \frac{36}{5} = -\frac{49 \cdot 6}{5} = -\frac{294}{5} = -58{,}8$.
3. $-\frac{51}{8} \cdot \frac{28}{11} = -\frac{51 \cdot 7}{2 \cdot 11} = -\frac{357}{22} = -16\frac{5}{22}$.
4. $-\frac{74}{7} \cdot \frac{35}{12} = -\frac{37 \cdot 5}{6} = -\frac{185}{6} = -30\frac{5}{6}$.
5. $-\frac{45}{8} \cdot \frac{109}{15} = -\frac{3 \cdot 109}{8} = -\frac{327}{8} = -40\frac{7}{8}$.
6. $-\frac{68}{9} \cdot \frac{39}{4} = -\frac{17 \cdot 13}{3} = -\frac{221}{3} = -73\frac{2}{3}$.

Ответ: 1) $-8\frac{1}{3}$; 2) $-58{,}8$; 3) $-16\frac{5}{22}$; 4) $-30\frac{5}{6}$; 5) $-40\frac{7}{8}$; 6) $-73\frac{2}{3}$.

№ 591

Умножь: 1) $-4{,}7 \cdot (-36)$; 2) $-5{,}9 \cdot (-6{,}3)$; 3) $-7{,}4 \cdot (-90)$; 4) $-31{,}6 \cdot (-75)$; 5) $-3{,}2 \cdot (-0{,}47)$; 6) $-200 \cdot (-0{,}85)$.

Как думать. Везде два минуса — ответы положительные. Просто перемножаем модули.

Решение. 1) $4{,}7 \cdot 36 = 169{,}2$; 2) $5{,}9 \cdot 6{,}3 = 37{,}17$; 3) $7{,}4 \cdot 90 = 666$; 4) $31{,}6 \cdot 75 = 2370$; 5) $3{,}2 \cdot 0{,}47 = 1{,}504$; 6) $200 \cdot 0{,}85 = 170$.

Ответ: 1) 169,2; 2) 37,17; 3) 666; 4) 2370; 5) 1,504; 6) 170.

№ 592

Вычисли: 1) $-3^2$; 2) $(-3)^2$; 3) $-0{,}3^2$; 4) $(-0{,}3)^2$.

Как думать. Если минус в скобках вместе с числом, его тоже возводят в степень. Если нет — минус просто ставят перед результатом.

Решение. 1) $-(3 \cdot 3) = -9$; 2) $(-3) \cdot (-3) = 9$; 3) $-(0{,}3 \cdot 0{,}3) = -0{,}09$; 4) $(-0{,}3) \cdot (-0{,}3) = 0{,}09$.

Ответ: 1) $-9$; 2) 9; 3) $-0{,}09$; 4) 0,09.

№ 593

Вычисли: 1) $-5^2$; 2) $(-5)^2$; 3) $-0{,}5^2$; 4) $(-0{,}5)^2$.

Решение. 1) $-25$; 2) 25; 3) $-0{,}25$; 4) 0,25.

Ответ: 1) $-25$; 2) 25; 3) $-0{,}25$; 4) 0,25.

№ 594

Вычисли: 1) $\left(-\frac{2}{3}\right)^2$; 2) $-\left(\frac{3}{4}\right)^2$; 3) $\left(-\frac{5}{6}\right)^2$; 4) $-\left(\frac{7}{9}\right)^2$.

Решение. 1) $\frac{4}{9}$; 2) $-\frac{9}{16}$; 3) $\frac{25}{36}$; 4) $-\frac{49}{81}$.

Ответ: 1) $\frac{4}{9}$; 2) $-\frac{9}{16}$; 3) $\frac{25}{36}$; 4) $-\frac{49}{81}$.

№ 595

Вычисли: 1) $-11^2$; 2) $(-1{,}3)^2$; 3) $-3{,}3^2$; 4) $\left(-\frac{5}{6}\right)^2$.

Решение. 1) $-121$; 2) $1{,}69$; 3) $-(3{,}3 \cdot 3{,}3) = -10{,}89$; 4) $\left(-\frac{5}{6}\right) \cdot \left(-\frac{5}{6}\right) = \frac{25}{36}$.

Ответ: 1) $-121$; 2) 1,69; 3) $-10{,}89$; 4) $\frac{25}{36}$.

№ 596

Умножь: 1) $-15{,}1 \cdot 8{,}6$; 2) $80{,}4 \cdot (-3{,}05)$; 3) $0{,}72 \cdot (-3{,}5)$; 4) $57{,}8 \cdot (-0{,}35)$; 5) $-258{,}4 \cdot 0{,}25$; 6) $0{,}216 \cdot (-25)$.

Как думать. Везде знаки разные — ответы отрицательные. Умножение на 0,25 — это деление на 4.

Решение. 1) $-129{,}86$; 2) $-245{,}22$; 3) $-2{,}52$; 4) $-20{,}23$; 5) $-258{,}4 : 4 = -64{,}6$; 6) $-0{,}216 \cdot 25 = -5{,}4$.

Ответ: 1) $-129{,}86$; 2) $-245{,}22$; 3) $-2{,}52$; 4) $-20{,}23$; 5) $-64{,}6$; 6) $-5{,}4$.

№ 597

Умножь: 1) $-15{,}1 \cdot 0{,}1$; 2) $80{,}4 \cdot (-0{,}01)$; 3) $0{,}01 \cdot (-3{,}5)$; 4) $-57{,}8 \cdot (-10)$; 5) $-256{,}7 \cdot (-10)$; 6) $-0{,}206 \cdot (-100)$.

Как думать. На 10, 100 запятая уходит вправо, на 0,1, 0,01 — влево. Знак — по правилу.

Решение. 1) $-1{,}51$; 2) $-0{,}804$; 3) $-0{,}035$; 4) 578; 5) 2567; 6) 20,6.

Ответ: 1) $-1{,}51$; 2) $-0{,}804$; 3) $-0{,}035$; 4) 578; 5) 2567; 6) 20,6.

№ 598

Умножь: 1) $6\frac{1}{3} \cdot \left(-1\frac{2}{11}\right)$; 2) $-1\frac{3}{7} \cdot 2\frac{4}{5}$; 3) $-2\frac{2}{7} \cdot 3\frac{1}{4}$; 4) $1\frac{3}{5} \cdot \left(-3\frac{3}{4}\right)$; 5) $2\frac{1}{2} \cdot \left(-2\frac{2}{15}\right)$; 6) $-1\frac{9}{11} \cdot 2\frac{19}{40}$.

Решение.

1. $-\frac{19}{3} \cdot \frac{13}{11} = -\frac{247}{33} = -7\frac{16}{33}$.
2. $-\frac{10}{7} \cdot \frac{14}{5} = -4$.
3. $-\frac{16}{7} \cdot \frac{13}{4} = -\frac{52}{7} = -7\frac{3}{7}$.
4. $-\frac{8}{5} \cdot \frac{15}{4} = -6$.
5. $-\frac{5}{2} \cdot \frac{32}{15} = -\frac{16}{3} = -5\frac{1}{3}$.
6. $-\frac{20}{11} \cdot \frac{99}{40} = -\frac{9}{2} = -4{,}5$.

Ответ: 1) $-7\frac{16}{33}$; 2) $-4$; 3) $-7\frac{3}{7}$; 4) $-6$; 5) $-5\frac{1}{3}$; 6) $-4{,}5$.

№ 599

Найди: 1) $\left(\frac{2}{9}\right)^2$; 2) $\left(-\frac{1}{11}\right)^2$; 3) $\left(-\frac{3}{10}\right)^2$; 4) $\left(-\frac{3}{5}\right)^3$; 5) $\left(-\frac{7}{10}\right)^3$.

Как думать. Квадрат — два одинаковых множителя, два минуса дают плюс. Куб — три множителя, три минуса дают минус.

Решение. 1) $\frac{4}{81}$; 2) $\frac{1}{121}$; 3) $\frac{9}{100}$; 4) $-\frac{27}{125}$; 5) $-\frac{343}{1000} = -0{,}343$.

Ответ: 1) $\frac{4}{81}$; 2) $\frac{1}{121}$; 3) $\frac{9}{100}$; 4) $-\frac{27}{125}$; 5) $-0{,}343$.

№ 600

Умножь: 1) $-\frac{2}{3} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{1}{10}$; 2) $-\frac{6}{7} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{6}{5}$; 3) $-\frac{24}{36} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \left(-\frac{2}{9}\right)$; 4) $-\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{6} \cdot \left(-\frac{9}{10}\right)$; 5) $-\frac{1}{3} \cdot (-135) \cdot \frac{1}{5}$; 6) $\frac{2}{7} \cdot (-21) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)$.

Как думать. Сначала знак (считаем минусы), потом модули с сокращением.

Решение.

1. Один минус: $-\frac{2 \cdot 6 \cdot 1}{3 \cdot 7 \cdot 10} = -\frac{2}{35}$.
2. Два минуса: $\frac{6 \cdot 3 \cdot 6}{7 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{108}{175}$.
3. Три минуса: $-\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{9} = -\frac{1}{9}$.
4. Два минуса: $\frac{2 \cdot 5 \cdot 9}{3 \cdot 6 \cdot 10} = \frac{1}{2}$.
5. Два минуса: $\frac{135}{15} = 9$.
6. Два минуса: $\frac{2 \cdot 21}{7 \cdot 3} = 2$.

Ответ: 1) $-\frac{2}{35}$; 2) $\frac{108}{175}$; 3) $-\frac{1}{9}$; 4) 0,5; 5) 9; 6) 2.

№ 601

Найди: 1) $-2 \cdot (-2{,}1) \cdot (-5) \cdot (-3) \cdot (-1{,}1)$; 2) $-3 \cdot (-1{,}2) \cdot (-4) \cdot (-2) \cdot (-0{,}1)$.

Решение.

1. По шагам выше: $-69{,}3$.
2. Тоже пять минусов. Модули: $3 \cdot 4 = 12$; $12 \cdot 1{,}2 = 14{,}4$; $14{,}4 \cdot 2 = 28{,}8$; $28{,}8 \cdot 0{,}1 = 2{,}88$. Ответ $-2{,}88$.

Ответ: 1) $-69{,}3$; 2) $-2{,}88$.

№ 602

Выполни: 1) $-4{,}9 \cdot 100$; 2) $49{,}2 \cdot (-1000)$; 3) $-16{,}79 \cdot (-10)$; 4) $-6 \cdot (-0{,}1)$; 5) $-8 \cdot 0{,}01$; 6) $377{,}4 \cdot (-0{,}001)$.

Решение. 1) $-490$; 2) $-49,200$; 3) 167,9; 4) 0,6; 5) $-0{,}08$; 6) $-0{,}3774$.

Ответ: 1) $-490$; 2) $-49,200$; 3) 167,9; 4) 0,6; 5) $-0{,}08$; 6) $-0{,}3774$.

№ 603

Найди: 1) $-2\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8} \cdot \left(-3\frac{1}{3}\right)$; 2) $2\frac{2}{5} \cdot \left(-\frac{5}{6}\right) \cdot \left(-\frac{7}{10}\right)$.

Решение.

1. Два минуса — плюс: $\frac{8}{3} \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{10}{3} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$.
2. Два минуса — плюс: $\frac{12}{5} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{7}{10} = 2 \cdot \frac{7}{10} = 1{,}4$.

Ответ: 1) $3\frac{1}{3}$; 2) 1,4.

№ 604

Вычисли: 1) $-1\frac{2}{3} \cdot 3{,}6$; 2) $1\frac{9}{31} \cdot (-3{,}1)$; 3) $-48 \cdot \left(-2\frac{5}{12}\right)$; 4) $4{,}5 \cdot \left(-1\frac{11}{15}\right)$; 5) $-12 \cdot \left(-4\frac{23}{24}\right)$; 6) $-7{,}5 \cdot \left(-2\frac{1}{125}\right)$.

Решение.

1. $-\frac{5}{3} \cdot 3{,}6 = -5 \cdot 1{,}2 = -6$.
2. $-\frac{40}{31} \cdot 3{,}1 = -40 \cdot 0{,}1 = -4$.
3. $48 \cdot \frac{29}{12} = 4 \cdot 29 = 116$.
4. $-4{,}5 \cdot \frac{26}{15} = -0{,}3 \cdot 26 = -7{,}8$.
5. $12 \cdot \frac{119}{24} = \frac{119}{2} = 59{,}5$.
6. $7{,}5 \cdot 2{,}008 = 15{,}06$.

Ответ: 1) $-6$; 2) $-4$; 3) 116; 4) $-7{,}8$; 5) 59,5; 6) 15,06.

№ 605

Найди произведение всех нечётных чисел: 1) от 3 до 9; 2) от $-3$ до 3; 3) от $-7$ до 5; 4) от $-11$ до $-7$; 5) от $-18$ до $-14$; 6) от $-24$ до $-19$.

Как думать. Выпиши нечётные числа из промежутка, посчитай, сколько среди них отрицательных, — это знак ответа.

Решение.

1. $3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 = 945$.
2. $-3, -1, 1, 3$: два минуса; $3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 3 = 9$.
3. $-7, -5, -3, -1, 1, 3, 5$: четыре минуса; $7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 = 1575$.
4. $-11, -9, -7$: три минуса; $-693$.
5. $-17, -15$: два минуса; $255$.
6. $-23, -21, -19$: три минуса; $23 \cdot 21 \cdot 19 = 9177$, ответ $-9177$.

Ответ: 1) 945; 2) 9; 3) 1575; 4) $-693$; 5) 255; 6) $-9177$.

№ 606

Не вычисляя, сравни: 1) $213 \cdot (-8716) \cdot (-507)$ и $-405 \cdot (-378) \cdot (-912)$; 2) $14{,}8 \cdot (-9{,}236) \cdot 853{,}2$ и $205{,}3 \cdot (-764{,}6) \cdot (-19{,}8)$; 3) $-463 \cdot (-903) \cdot 711{,}5$ и $356{,}8 \cdot (-558) \cdot 0$; 4) $-612{,}7 \cdot 0 \cdot (-425{,}3)$ и $237 \cdot (-106) \cdot 649$.

Как думать. Нужны только знаки: положительное > 0 > отрицательное.

Решение.

1. Слева два минуса (плюс), справа три (минус):
   gt;$.
2. Слева один минус (минус), справа два (плюс):
   lt;$.
3. Слева плюс, справа нуль:
   gt;$.
4. Слева нуль, справа минус:
   gt;$.

Ответ: 1)

№ 607

Поставь

Как думать. Здесь все произведения отрицательные, поэтому их придётся посчитать. Из двух отрицательных больше то, у которого модуль меньше.

Решение.

1. $-3{,}993$ и $-3{,}1746$: $-3{,}993 < -3{,}1746$.
2. $-4{,}0092$ и $-4{,}056$: $-4{,}0092 > -4{,}056$.
3. $-9{,}81$ и $-9{,}8192$: $-9{,}81 > -9{,}8192$.
4. $-12{,}7151$ и $-12{,}168$: $-12{,}7151 < -12{,}168$.

Ответ: 1)

№ 608

Найди делимое: 1) $x : 0{,}71 = -0{,}46$; 2) $x : (-0{,}09) = 1$; 3) $x : (-5{,}9) = -1{,}1$; 4) $x : (-13{,}4) = -2{,}6$; 5) $x : (-0{,}8) = -0{,}7$; 6) $x : (-9{,}7) = -1{,}55$.

Как думать. Делимое = частное · делитель.

Решение. 1) $-0{,}46 \cdot 0{,}71 = -0{,}3266$; 2) $1 \cdot (-0{,}09) = -0{,}09$; 3) $-1{,}1 \cdot (-5{,}9) = 6{,}49$; 4) $-2{,}6 \cdot (-13{,}4) = 34{,}84$; 5) $-0{,}7 \cdot (-0{,}8) = 0{,}56$; 6) $-1{,}55 \cdot (-9{,}7) = 15{,}035$.

Ответ: 1) $-0{,}3266$; 2) $-0{,}09$; 3) 6,49; 4) 34,84; 5) 0,56; 6) 15,035.

№ 609

Найди корень: 1) $x : 0{,}4 = -1\frac{2}{3}$; 2) $x : 0{,}25 = -\frac{4^2}{5}$; 3) $x : \frac{9}{13} = -2\frac{1}{6}$.

Решение.

1. $x = -\frac{5}{3} \cdot \frac{2}{5} = -\frac{2}{3}$.
2. $-\frac{4^2}{5} = -\frac{16}{5}$; $x = -\frac{16}{5} \cdot \frac{1}{4} = -\frac{4}{5} = -0{,}8$.
3. $x = -\frac{13}{6} \cdot \frac{9}{13} = -\frac{3}{2} = -1{,}5$.

Ответ: 1) $-\frac{2}{3}$; 2) $-0{,}8$; 3) $-1{,}5$.

№ 610

Выполни: 1) $-1{,}2 \cdot (25{,}5 \cdot 4)$; 2) $-1{,}7 \cdot (26{,}2 \cdot 0{,}5)$; 3) $(-16 \cdot 0{,}25) \cdot 6{,}6$; 4) $-0{,}6 \cdot (-15) \cdot 7{,}7$.

Решение. 1) $-1{,}2 \cdot 102 = -122{,}4$; 2) $-1{,}7 \cdot 13{,}1 = -22{,}27$; 3) $-4 \cdot 6{,}6 = -26{,}4$; 4) $9 \cdot 7{,}7 = 69{,}3$.

Ответ: 1) $-122{,}4$; 2) $-22{,}27$; 3) $-26{,}4$; 4) 69,3.

№ 611

Найди: 1) $\left(\frac{2}{7} \cdot 3\frac{1}{2}\right) \cdot 4$; 2) $\left(-4\frac{1}{5} \cdot 2\frac{1}{7}\right) \cdot \frac{1}{18}$; 3) $\left(-5\frac{6}{7} \cdot 1\frac{1}{41}\right) \cdot \left(-4\frac{1}{3}\right)$; 4) $-\left(-2\frac{5}{12} \cdot 1\frac{1}{29}\right) \cdot \frac{4}{35}$.

Решение.

1. $\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{2} = 1$; $1 \cdot 4 = 4$.
2. $-\frac{21}{5} \cdot \frac{15}{7} = -9$; $-9 \cdot \frac{1}{18} = -0{,}5$.
3. $-\frac{41}{7} \cdot \frac{42}{41} = -6$; $-6 \cdot \left(-\frac{13}{3}\right) = 26$.
4. $-\frac{29}{12} \cdot \frac{30}{29} = -\frac{5}{2}$; $-\left(-\frac{5}{2}\right) = \frac{5}{2}$; $\frac{5}{2} \cdot \frac{4}{35} = \frac{2}{7}$.

Ответ: 1) 4; 2) $-0{,}5$; 3) 26; 4) $\frac{2}{7}$.

№ 612

Найди значение: 1) $-\frac{5}{9}x$ при $x = -18$; 2) $-\frac{1}{15}y$ при $y = -5$; 3) $1{,}6b$ при $b = -450$; 4) $-30{,}7a$ при $a = 6{,}8$.

Решение. 1) $\frac{5}{9} \cdot 18 = 10$; 2) $\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$; 3) $-1{,}6 \cdot 450 = -720$; 4) $-30{,}7 \cdot 6{,}8 = -208{,}76$.

Ответ: 1) 10; 2) $\frac{1}{3}$; 3) $-720$; 4) $-208{,}76$.

Уровень B

№ 613

Найди: 1) $7{,}5a \cdot b$ при $a = -24$, $b = -8$; 2) $(-15) \cdot c \cdot (-d)$ при $c = 0{,}2$, $d = 3{,}5$; 3) $-5 \cdot y \cdot x$ при $x = -5{,}2$, $y = 0{,}7$; 4) $0{,}25 \cdot (-m) \cdot (-n)$ при $m = -2{,}4$, $n = 6{,}4$.

Как думать. Подставляем числа в скобках. Осторожно: $-d$ при $d = 3{,}5$ — это $-3{,}5$, а $-m$ при $m = -2{,}4$ — это $+2{,}4$.

Решение.

1. $7{,}5 \cdot (-24) \cdot (-8) = 7{,}5 \cdot 192 = 1440$.
2. $(-15) \cdot 0{,}2 \cdot (-3{,}5) = (-3) \cdot (-3{,}5) = 10{,}5$.
3. $-5 \cdot 0{,}7 \cdot (-5{,}2) = (-3{,}5) \cdot (-5{,}2) = 18{,}2$.
4. $0{,}25 \cdot 2{,}4 \cdot (-6{,}4) = 0{,}6 \cdot (-6{,}4) = -3{,}84$.

Ответ: 1) 1440; 2) 10,5; 3) 18,2; 4) $-3{,}84$.

№ 614

Вычисли: 1) $-1\frac{2}{3} \cdot 3{,}4 \cdot \left(-2\frac{2}{17}\right)$; 2) $1\frac{9}{31} \cdot (-3{,}1) \cdot (-17{,}75)$; 3) $-28 \cdot \left(-3\frac{5}{12}\right) \cdot \left(-2\frac{4}{31}\right)$; 4) $4{,}6 \cdot 1\frac{11}{15} \cdot (-2{,}3)$.

Решение.

1. Два минуса: $\frac{5}{3} \cdot \frac{17}{5} \cdot \frac{36}{17} = \frac{36}{3} = 12$.
2. Два минуса: $\frac{40}{31} \cdot 3{,}1 = 4$; $4 \cdot 17{,}75 = 71$.
3. Три минуса: $28 \cdot \frac{41}{12} \cdot \frac{66}{31} = \frac{7 \cdot 41 \cdot 22}{31} = \frac{6314}{31} = 203\frac{21}{31}$; ответ $-203\frac{21}{31}$.
4. Один минус: $4{,}6 \cdot \frac{26}{15} = \frac{119{,}6}{15}$; $\frac{119{,}6 \cdot 2{,}3}{15} = \frac{275{,}08}{15} = 18\frac{127}{375}$; ответ $-18\frac{127}{375}$.

Ответ: 1) 12; 2) 71; 3) $-203\frac{21}{31}$; 4) $-18\frac{127}{375}$.

№ 615

Выполни: 1) $-1{,}7 \cdot (25{,}5 \cdot 4)$; 2) $-1{,}2 \cdot (26{,}6 \cdot 1{,}5)$; 3) $(-16 \cdot 14{,}5) \cdot 2{,}9$; 4) $-0{,}5 \cdot (-14) \cdot 12{,}5 \cdot 0{,}6$.

Решение.

1. $-1{,}7 \cdot 102 = -173{,}4$.
2. $-1{,}2 \cdot 39{,}9 = -47{,}88$.
3. $-232 \cdot 2{,}9 = -672{,}8$.
4. $7 \cdot 12{,}5 \cdot 0{,}6 = 7 \cdot 7{,}5 = 52{,}5$.

Ответ: 1) $-173{,}4$; 2) $-47{,}88$; 3) $-672{,}8$; 4) 52,5.

№ 616

Найди корни: 1) $x : \left(-5\frac{5}{11}\right) = 10 - 7{,}8$; 2) $x : 0{,}14 = 3\frac{1}{49} - 5\frac{1}{7}$; 3) $x : \left(-\frac{25}{47}\right) = 23 - 13{,}6$; 4) $x : 1\frac{31}{80} = \frac{3}{37} - 12\frac{1}{3}$.

Как думать. Сначала считаем правую часть, потом делимое = частное · делитель.

Решение.

1. $10 - 7{,}8 = 2{,}2 = \frac{11}{5}$; $x = \frac{11}{5} \cdot \left(-\frac{60}{11}\right) = -12$.
2. $3\frac{1}{49} - 5\frac{7}{49} = -2\frac{6}{49} = -\frac{104}{49}$; $x = -\frac{104}{49} \cdot \frac{7}{50} = -\frac{52}{175}$.
3. $23 - 13{,}6 = 9{,}4$; $x = 9{,}4 \cdot \left(-\frac{25}{47}\right) = -0{,}2 \cdot 25 = -5$.
4. $\frac{9}{111} - \frac{1369}{111} = -\frac{1360}{111}$; $x = -\frac{1360}{111} \cdot \frac{111}{80} = -17$.

Ответ: 1) $-12$; 2) $-\frac{52}{175}$; 3) $-5$; 4) $-17$.

№ 617

Найди корни: 1) $(40{,}2 + x) : (-2{,}5) = -11\frac{3}{5}$; 2) $(x - 3{,}1) : \left(-3\frac{4}{7}\right) = 4{,}2$; 3) $(29{,}3 - x) : \left(-2\frac{2}{9}\right) = -13{,}5$; 4) $(x + 11{,}7) : (-2{,}8) = 7\frac{1}{7}$.

Решение.

1. $40{,}2 + x = -11{,}6 \cdot (-2{,}5) = 29$; $x = 29 - 40{,}2 = -11{,}2$.
2. $x - 3{,}1 = 4{,}2 \cdot \left(-\frac{25}{7}\right) = -15$; $x = -15 + 3{,}1 = -11{,}9$.
3. По шагам выше: $x = -0{,}7$.
4. $x + 11{,}7 = \frac{50}{7} \cdot (-2{,}8) = -20$; $x = -20 - 11{,}7 = -31{,}7$.

Ответ: 1) $-11{,}2$; 2) $-11{,}9$; 3) $-0{,}7$; 4) $-31{,}7$.

Уровень C

№ 618

Проверь: 1) $\left(-85\frac{5}{7}\right) \cdot (-1{,}96) \cdot 0{,}04 \cdot \left(-\frac{5}{21}\right) \cdot (-4{,}5) = 7{,}2$; 2) $18\frac{3}{20} \cdot \left(-\frac{25}{88}\right) \cdot (-1{,}6) \cdot \frac{2}{15} \cdot (-12{,}5) = -13{,}75$.

Как думать. Знак проверяем по числу минусов, модуль — по шагам.

Решение.

1. Четыре минуса — плюс. $\frac{600}{7} \cdot 1{,}96 = 168$; $168 \cdot 0{,}04 = 6{,}72$; $6{,}72 \cdot \frac{5}{21} = 1{,}6$; $1{,}6 \cdot 4{,}5 = 7{,}2$. Верно.
2. Три минуса — минус. $18{,}15 \cdot \frac{25}{88} = 5{,}15625$; $\cdot 1{,}6 = 8{,}25$; $\cdot \frac{2}{15} = 1{,}1$; $\cdot 12{,}5 = 13{,}75$. С минусом: $-13{,}75$. Верно.

Ответ: 1) верно; 2) верно.

№ 619

Убедись, что $\left(-\frac{13}{14}\right) \cdot 20{,}5 \cdot \left(-\frac{5}{99}\right) \cdot (-79{,}2) \cdot \left(-1\frac{8}{13}\right)$ в 8,2 раза меньше, чем $4{,}75 \cdot \left(-\frac{6}{19}\right) \cdot \left(-1\frac{8}{27}\right) \cdot 15\frac{3}{7}$.

Решение.

1. Первое: четыре минуса — плюс. $\frac{13}{14} \cdot \frac{21}{13} = \frac{3}{2}$; $\frac{5}{99} \cdot 79{,}2 = 4$; $\frac{3}{2} \cdot 4 \cdot 20{,}5 = 123$.
2. Второе: два минуса — плюс. $4{,}75 \cdot \frac{6}{19} = 1{,}5$; $1{,}5 \cdot \frac{35}{27} = \frac{35}{18}$; $\frac{35}{18} \cdot \frac{108}{7} = 30$.
3. $123 : 30 = 4{,}1$. Первое значение не меньше, а больше второго, в 4,1 раза.

Ответ: утверждение не подтверждается: первое значение 123, второе 30.

№ 620

Докажи, что значение целое: 1) $(-25{,}08) \cdot 4\frac{4}{19} \cdot \frac{35}{66} \cdot \left(-3\frac{1}{7}\right)$; 2) $\frac{27}{68} \cdot (-77{,}35) \cdot \left(-5\frac{20}{21}\right) \cdot 4\frac{12}{13}$.

Решение.

1. Два минуса — плюс. $25{,}08 \cdot \frac{80}{19} = 1{,}32 \cdot 80 = 105{,}6$; $105{,}6 \cdot \frac{35}{66} = 1{,}6 \cdot 35 = 56$; $56 \cdot \frac{22}{7} = 176$.
2. Два минуса — плюс. $77{,}35 : 68 = 1{,}1375$, $\cdot 27 = 30{,}7125$; $30{,}7125 \cdot \frac{125}{21} = 182{,}8125$; $182{,}8125 \cdot \frac{64}{13} = 900$.

Ответ: 1) 176; 2) 900 — оба числа целые.

№ 621

Из формулы $y + 2x - 4 = 0$ вырази: 1) $y$ через $x$; 2) $x$ через $y$.

Как думать. Оставляем нужную букву одну, остальное переносим как неизвестное слагаемое.

Решение.

1. $y = 4 - 2x$, то есть $y = -2x + 4$.
2. $2x = 4 - y$; $x = (4 - y) : 2 = 2 - 0{,}5y$.

Ответ: 1) $y = -2x + 4$; 2) $x = 2 - 0{,}5y$.

№ 622

Найди уменьшаемое: 1) $x - \left(10\frac{7}{9} + \left|-\frac{7}{9}\right| + \left(-11\frac{5}{9}\right)\right) = 0{,}8$; 2) $x - 412{,}5 = |-507 - 80{,}5|$.

Решение.

1. В скобках: $10\frac{7}{9} + \frac{7}{9} - 11\frac{5}{9} = 11\frac{5}{9} - 11\frac{5}{9} = 0$. Тогда $x = 0{,}8$.
2. $|-587{,}5| = 587{,}5$; $x = 587{,}5 + 412{,}5 = 1000$.

Ответ: 1) 0,8; 2) 1000.

№ 623

Построй точки $F$, $L$, $D$ с координатами, противоположными координатам $A$, $B$, $C$: 1) $A(3)$, $B(5)$, $C(11)$; 2) $A(-2)$, $B(-8)$, $C(-10)$. Найди $AF$, $BL$, $CD$, если единичный отрезок 0,5 см.

Как думать. Точка и противоположная ей стоят по разные стороны от нуля на одинаковом расстоянии. Значит, между ними удвоенный модуль. Потом умножаем на 0,5 см.

Решение.

1. $F(-3)$, $L(-5)$, $D(-11)$. $AF = 6 \cdot 0{,}5 = 3$ см; $BL = 10 \cdot 0{,}5 = 5$ см; $CD = 22 \cdot 0{,}5 = 11$ см.
2. $F(2)$, $L(8)$, $D(10)$. $AF = 4 \cdot 0{,}5 = 2$ см; $BL = 16 \cdot 0{,}5 = 8$ см; $CD = 20 \cdot 0{,}5 = 10$ см.

Ответ: 1) 3 см, 5 см, 11 см; 2) 2 см, 8 см, 10 см.

Готовимся к следующей теме

№ 624

Газета стоит 60 тг. Сколько стоят 1) 3; 2) 6; 3) 9; 4) 12; 5) 30; 6) 40 газет?

Как думать. Стоимость = цена · количество. Количество выросло в 2 раза — стоимость тоже в 2 раза.

Решение. 1) $60 \cdot 3 = 180$; 2) $60 \cdot 6 = 360$; 3) $60 \cdot 9 = 540$; 4) $60 \cdot 12 = 720$; 5) $60 \cdot 30 = 1800$; 6) $60 \cdot 40 = 2400$.

Ответ: 1) 180 тг; 2) 360 тг; 3) 540 тг; 4) 720 тг; 5) 1800 тг; 6) 2400 тг.

№ 625

Найди значение: 1) $3{,}75a + 6{,}25a + 1{,}9$ при $a = 0{,}01$; 2) $13{,}32x + 16{,}68x - 3000$ при $x = 100$.

Как думать. Сначала сложи коэффициенты при одинаковой букве: $3{,}75 + 6{,}25 = 10$; $13{,}32 + 16{,}68 = 30$.

Решение.

1. $10a + 1{,}9 = 0{,}1 + 1{,}9 = 2$.
2. $30x - 3000 = 3000 - 3000 = 0$.

Ответ: 1) 2; 2) 0.

Шпаргалка

• Сначала определи знак, потом перемножай модули.
• Умножение на $-1$ меняет число на противоположное.
• Если в произведении есть нуль, ответ 0, считать не надо.
• $(-a)^2$ всегда положительно, а $(-a)^3$ отрицательно (при $a > 0$).
• Уравнение «произведение = 0»: приравняй к нулю каждую скобку.

Мини-тест