§ 20. Деление рациональных чисел

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 2: Рациональные числа и действия над ними. Страницы 135–143.

Чему научишься

• Делить отрицательные числа и сразу ставить правильный знак.
• Переносить минус дроби в числитель или знаменатель: $-\frac{8}{9} = \frac{-8}{9} = \frac{8}{-9}$.
• Превращать обыкновенную дробь в бесконечную периодическую: $\frac{28}{9} = 3{,}(1)$.
• Переводить периодическую дробь обратно в обыкновенную: $0{,}(35) = \frac{35}{99}$.

Разминка

Это задания № 635–637 из прошлого урока. Вспомни их.

• Сколько будет $10{,}5 : 0{,}25$? Делить на 0,25 — значит умножать на 4: 42.
• А $127{,}2 : 0{,}4$? $1272 : 4 = $ 318.
• Натуральное ли число $15\frac{1}{6} : 7\frac{2}{3} : 0{,}5 : \frac{1}{23}$? Да, это 91.
• С какой скоростью проехать 48 км за 1 ч 20 мин? $48 : \frac{4}{3} = $ 36 км/ч.

💡 Все эти примеры были с положительными числами. А если делимое или делитель с минусом? Ответ подскажет умножение.

Разбираемся

Деление — это умножение «наоборот»

Если $a : b = c$, то $b \cdot c = a$. Хочешь найти $-18 : (-9)$? Спроси себя: на что умножить $-9$, чтобы вышло $-18$? На 2. Значит, $-18 : (-9) = 2$.

А $-18 : 9$? На что умножить 9, чтобы получить $-18$? На $-2$. И $18 : (-9) = -2$ по той же причине.

📌 Знаки одинаковые — частное положительное. Знаки разные — частное отрицательное. Модуль частного: модуль делимого делим на модуль делителя.

Правило знаков то же, что при умножении. Это не случайность: деление проверяется умножением.

А что с нулём?

$0 : (-10{,}25) = 0$, ведь $(-10{,}25) \cdot 0 = 0$. Нуль можно делить на любое число, кроме нуля, — получится нуль. А на нуль делить нельзя никогда.

Где прячется минус у дроби

$-8 : 9 = \frac{-8}{9}$, а $8 : (-9) = \frac{8}{-9}$. Оба частных равны $-\frac{8}{9}$. Значит:

📌 $-\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}$. Минус перед дробью можно поставить в числитель или в знаменатель — что удобнее.

Дроби, которые не кончаются

Раздели 28 на 9 уголком: 3, остаток 1; потом 10 : 9 = 1, остаток 1; снова 10 : 9… Остаток 1 возвращается без конца. Получается $3{,}111\ldots$

Почему так бывает? Остаток всегда меньше делителя. При делении на 9 возможны лишь остатки 0–8. Рано или поздно какой-то остаток повторится, и цифры пойдут по кругу.

📌 Бесконечная десятичная дробь, в которой с какого-то места повторяется одна и та же группа цифр, — периодическая. Повторяющаяся группа — период, её пишут в скобках: $3{,}111\ldots = 3{,}(1)$, $10{,}6363\ldots = 10{,}(63)$.

🌟 Период бывает очень длинным. У $\frac{71}{17}$ в периоде 16 цифр: $4{,}(1764705882352941)$.

💡 Как читать. $3{,}(1)$ — «три целых и один в периоде». $7{,}4(30)$ — «семь целых, четыре десятых и тридцать в периоде».

Любую обычную десятичную дробь тоже можно считать периодической — с периодом 0: $5{,}27 = 5{,}27000\ldots = 5{,}27(0)$.

Обратно: из периодической — в обыкновенную

Чистая периодическая дробь — период начинается сразу после запятой: $0{,}(35)$, $31{,}(7)$. Правило:

📌 Числитель — период. Знаменатель — столько девяток, сколько цифр в периоде. Целая часть остаётся. $0{,}(35) = \frac{35}{99}$; $4{,}(378) = 4\frac{378}{999}$; $31{,}(7) = 31\frac{7}{9}$.

Смешанная — между запятой и периодом есть другие цифры: $0{,}15(132)$. Здесь так:

📌 Числитель: (число до второго периода) минус (число до первого периода). Знаменатель: девятки по числу цифр периода, а за ними нули по числу цифр между запятой и периодом.

Для $0{,}15(132)$: до второго периода стоит 15132, до первого — 15. В периоде 3 цифры, до него — 2. Получаем $\frac{15,132 - 15}{99,900} = \frac{15,117}{99,900} = \frac{5039}{33,300}$.

Ещё пример: $4{,}37(8) = 4\frac{378 - 37}{900} = 4\frac{341}{900}$.

⚠️ Частая ошибка. В смешанной дроби забывают вычесть «хвост» до периода и пишут $0{,}9(4) = \frac{94}{990}$. Правильно: $\frac{94 - 9}{90} = \frac{85}{90} = \frac{17}{18}$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Проверить перевод легко на калькуляторе: разделите числитель на знаменатель и посмотрите, повторяются ли цифры.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Каков знак частного, если делимое положительное, а делитель отрицательный? Отрицательный.
• А если оба отрицательные? Положительный.
• А если делимое отрицательное, а делитель положительный? Отрицательный.
• Какие компоненты деления могут быть нулём? Делимое (и тогда частное тоже нуль). Делитель — никогда.
• Где можно записать минус у отрицательной дроби? Перед дробью, в числителе или в знаменателе.
• Какие остатки бывают при делении на 4; 9; 28; 100; 5873? От 0 до 3; от 0 до 8; от 0 до 27; от 0 до 99; от 0 до 5872. Остаток всегда меньше делителя.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 638

Раздели: 1) $-138 : 2$; 2) $156 : (-3)$; 3) $0 : (-16)$; 4) $-834 : 6$; 5) $-396 : (-8)$; 6) $-121 : (-11)$.

Как думать. Знак — по правилу, модуль — обычным делением.

Решение. 1) $-69$; 2) $-52$; 3) $0$; 4) $-139$; 5) $396 : 8 = 49{,}5$, знак плюс; 6) $11$.

Ответ: 1) $-69$; 2) $-52$; 3) 0; 4) $-139$; 5) 49,5; 6) 11.

№ 639

Раздели: 1) $-234 : 6$; 2) $927 : (-9)$; 3) $0 : (-43)$; 4) $-2184 : 21$; 5) $-1484 : (-7)$; 6) $-144 : (-12)$.

Решение. 1) $-39$; 2) $-103$; 3) $0$; 4) $-104$; 5) $212$; 6) $12$.

Ответ: 1) $-39$; 2) $-103$; 3) 0; 4) $-104$; 5) 212; 6) 12.

№ 640

Вычисли: 1) $-26 : (-130)$; 2) $-45 : 54$; 3) $-63 : (-9)$; 4) $-\frac{2}{9} : \frac{4}{27}$; 5) $-\frac{9}{11} : \left(-\frac{3}{22}\right)$; 6) $-\frac{9}{25} : \left(-\frac{4}{45}\right)$.

Как думать. Деление на дробь — умножение на обратную.

Решение.

1. $\frac{26}{130} = \frac{1}{5} = 0{,}2$.
2. $-\frac{45}{54} = -\frac{5}{6}$.
3. $7$.
4. $-\frac{2}{9} \cdot \frac{27}{4} = -\frac{3}{2} = -1{,}5$.
5. $\frac{9}{11} \cdot \frac{22}{3} = 6$.
6. $\frac{9}{25} \cdot \frac{45}{4} = \frac{81}{20} = 4{,}05$.

Ответ: 1) 0,2; 2) $-\frac{5}{6}$; 3) 7; 4) $-1{,}5$; 5) 6; 6) 4,05.

№ 641

Найди частное: 1) $-72 : (-90)$; 2) $-2 : 50$; 3) $-96 : (-120)$; 4) $-\frac{3}{7} : \frac{9}{14}$; 5) $-\frac{5}{17} : \left(-\frac{25}{34}\right)$; 6) $-\frac{39}{64} : \frac{13}{32}$.

Решение.

1. $\frac{72}{90} = 0{,}8$.
2. $-\frac{2}{50} = -0{,}04$.
3. $\frac{96}{120} = 0{,}8$.
4. $-\frac{3}{7} \cdot \frac{14}{9} = -\frac{2}{3}$.
5. $\frac{5}{17} \cdot \frac{34}{25} = \frac{2}{5} = 0{,}4$.
6. $-\frac{39}{64} \cdot \frac{32}{13} = -\frac{3}{2} = -1{,}5$.

Ответ: 1) 0,8; 2) $-0{,}04$; 3) 0,8; 4) $-\frac{2}{3}$; 5) 0,4; 6) $-1{,}5$.

№ 642

Найди значение: 1) $-15{,}6 : 0{,}65$; 2) $21{,}06 : (-1{,}3)$; 3) $-0{,}69 : 46$; 4) $106{,}4 : (-140)$; 5) $-351{,}9 : (-17)$; 6) $25{,}5 : (-250)$.

Как думать. Если делитель — десятичная дробь, переноси запятую вправо в обоих числах: $15{,}6 : 0{,}65 = 1560 : 65$.

Решение.

1. $1560 : 65 = 24$, ответ $-24$.
2. $210{,}6 : 13 = 16{,}2$, ответ $-16{,}2$.
3. $0{,}69 : 46 = 0{,}015$, ответ $-0{,}015$.
4. $106{,}4 : 140 = 0{,}76$, ответ $-0{,}76$.
5. $351{,}9 : 17 = 20{,}7$.
6. $25{,}5 : 250 = 0{,}102$, ответ $-0{,}102$.

Ответ: 1) $-24$; 2) $-16{,}2$; 3) $-0{,}015$; 4) $-0{,}76$; 5) 20,7; 6) $-0{,}102$.

№ 643

Найди значение: 1) $-35{,}7 : 350$; 2) $-184{,}2 : (-600)$; 3) $350{,}7 : (-350)$; 4) $-0{,}4 : 100$; 5) $41{,}3 : (-0{,}01)$; 6) $-17{,}64 : 480$.

Решение.

1. $35{,}7 : 350 = 0{,}102$, ответ $-0{,}102$.
2. $184{,}2 : 600 = 0{,}307$.
3. $350{,}7 : 350 = 1{,}002$, ответ $-1{,}002$.
4. $-0{,}004$.
5. Делить на 0,01 — умножать на 100: $-4130$.
6. $17{,}64 : 480 = 0{,}03675$, ответ $-0{,}03675$.

Ответ: 1) $-0{,}102$; 2) 0,307; 3) $-1{,}002$; 4) $-0{,}004$; 5) $-4130$; 6) $-0{,}03675$.

№ 644

Раздели: 1) $8\frac{2}{3} : (-0{,}13)$; 2) $-11{,}7 : \frac{1}{100}$; 3) $-40{,}4 : \left(-1\frac{3}{5}\right)$; 4) $6{,}25 : \left(-2\frac{3}{11}\right)$; 5) $-12\frac{3}{50} : 0{,}12$; 6) $-1{,}4 : \left(-1\frac{3}{4}\right)$.

Как думать. Смешанное число с «круглым» знаменателем (5, 50, 4) удобно превратить в десятичную дробь. С тройкой или 11 — работай с обыкновенными.

Решение.

1. $\frac{26}{3} : \frac{13}{100} = \frac{26}{3} \cdot \frac{100}{13} = \frac{200}{3} = 66\frac{2}{3}$, ответ $-66\frac{2}{3}$.
2. $-11{,}7 \cdot 100 = -1170$.
3. $40{,}4 : 1{,}6 = 25{,}25$.
4. $\frac{25}{4} \cdot \frac{11}{25} = \frac{11}{4} = 2{,}75$, ответ $-2{,}75$.
5. $12{,}06 : 0{,}12 = 100{,}5$, ответ $-100{,}5$.
6. $1{,}4 : 1{,}75 = 0{,}8$.

Ответ: 1) $-66\frac{2}{3}$; 2) $-1170$; 3) 25,25; 4) $-2{,}75$; 5) $-100{,}5$; 6) 0,8.

№ 645

Раздели: 1) $-10\frac{4}{5} : 1\frac{10}{17}$; 2) $4\frac{1}{9} : (-0{,}74)$; 3) $-0{,}675 : \left(-1\frac{1}{8}\right)$; 4) $31{,}5 : \left(-1\frac{2}{5}\right)$; 5) $-4{,}02 : \left(-1\frac{1}{2}\right)$; 6) $2\frac{2}{5} : (-0{,}06)$.

Решение.

1. $\frac{54}{5} \cdot \frac{17}{27} = \frac{34}{5} = 6{,}8$, ответ $-6{,}8$.
2. $\frac{37}{9} : \frac{74}{100} = \frac{37}{9} \cdot \frac{100}{74} = \frac{50}{9} = 5\frac{5}{9}$, ответ $-5\frac{5}{9}$.
3. $0{,}675 : 1{,}125 = 0{,}6$.
4. $31{,}5 : 1{,}4 = 22{,}5$, ответ $-22{,}5$.
5. $4{,}02 : 1{,}5 = 2{,}68$.
6. $2{,}4 : 0{,}06 = 40$, ответ $-40$.

Ответ: 1) $-6{,}8$; 2) $-5\frac{5}{9}$; 3) 0,6; 4) $-22{,}5$; 5) 2,68; 6) $-40$.

№ 646

Найди неизвестный множитель: 1) $-6\frac{1}{2}x = 6$; 2) $-3{,}9x = -13$; 3) $-0{,}01x = -0{,}077$; 4) $-\frac{3}{8}x = 0{,}375$; 5) $x \cdot \left(-3\frac{5}{17}\right) = 28$; 6) $3{,}2x = -1\frac{1}{15}$; 7) $1\frac{7}{8}x = -1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2$; 8) $5{,}6x = -70$; 9) $-0{,}1x = -0{,}23$; 10) $-\frac{3}{5}x = \frac{9}{10}$; 11) $\frac{5}{9}x = -1\frac{13}{27}$; 12) $-0{,}01x = 4{,}4$.

Как думать. Неизвестный множитель = произведение : известный множитель.

Решение.

1. $x = 6 : \left(-\frac{13}{2}\right) = -\frac{12}{13}$.
2. $x = -13 : (-3{,}9) = \frac{130}{39} = 3\frac{1}{3}$.
3. $x = 7{,}7$.
4. $0{,}375 = \frac{3}{8}$, $x = -1$.
5. $x = 28 : \left(-\frac{56}{17}\right) = -\frac{17}{2} = -8{,}5$.
6. $x = -\frac{16}{15} : \frac{16}{5} = -\frac{1}{3}$.
7. Справа $-1 - \frac{9}{16} = -\frac{25}{16}$; $x = -\frac{25}{16} \cdot \frac{8}{15} = -\frac{5}{6}$.
8. $x = -12{,}5$.
9. $x = 2{,}3$.
10. $x = \frac{9}{10} \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = -1{,}5$.
11. $x = -\frac{40}{27} \cdot \frac{9}{5} = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3}$.
12. $x = -440$.

Ответ: 1) $-\frac{12}{13}$; 2) $3\frac{1}{3}$; 3) 7,7; 4) $-1$; 5) $-8{,}5$; 6) $-\frac{1}{3}$; 7) $-\frac{5}{6}$; 8) $-12{,}5$; 9) 2,3; 10) $-1{,}5$; 11) $-2\frac{2}{3}$; 12) $-440$.

№ 647

Запиши бесконечной десятичной дробью: 1) $\frac{2}{3}$; 2) $\frac{5}{7}$; 3) $\frac{2}{9}$; 4) $\frac{4}{7}$.

Как думать. Делим числитель на знаменатель уголком, пока остаток не повторится.

Решение.

1. $2 : 3 = 0{,}666\ldots = 0{,}(6)$.
2. $5 : 7 = 0{,}714285714285\ldots = 0{,}(714285)$.
3. $2 : 9 = 0{,}222\ldots = 0{,}(2)$.
4. $4 : 7 = 0{,}571428571428\ldots = 0{,}(571428)$.

Ответ: 1) 0,(6); 2) 0,(714285); 3) 0,(2); 4) 0,(571428).

🌟 У всех «седьмых» дробей период из одних и тех же цифр 1, 4, 2, 8, 5, 7 — только начинается с разных мест.

№ 648

Найди частное: 1) $(-5{,}6) : x$ при $x = 8; -2; 0{,}1; -10$; 2) $-3x : (-4{,}2)$ при $x = 1{,}4; -1\frac{2}{5}; 2$; 3) $-14{,}42 : a$ при $a = -7; 20; -0{,}1; 1000$; 4) $\frac{5}{6}x : \left(-2\frac{5}{6}\right)$ при $x = -3\frac{2}{5}; 0{,}2; -1; -10$.

Как думать. Во 2-м и 4-м выражение сначала упрости: $-3x : (-4{,}2) = \frac{x}{1{,}4}$, а $\frac{5}{6}x : \left(-\frac{17}{6}\right) = -\frac{5x}{17}$.

Решение.

1. $-0{,}7$; $2{,}8$; $-56$; $0{,}56$.
2. $1{,}4 : 1{,}4 = 1$; $-1{,}4 : 1{,}4 = -1$; $2 : 1{,}4 = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7}$.
3. $2{,}06$; $-0{,}721$; $144{,}2$; $-0{,}01442$.
4. $-\frac{5}{17} \cdot \left(-\frac{17}{5}\right) = 1$; $-\frac{5 \cdot 0{,}2}{17} = -\frac{1}{17}$; $\frac{5}{17}$; $\frac{50}{17} = 2\frac{16}{17}$.

Ответ: 1) $-0{,}7$; 2,8; $-56$; 0,56. 2) 1; $-1$; $1\frac{3}{7}$. 3) 2,06; $-0{,}721$; 144,2; $-0{,}01442$. 4) 1; $-\frac{1}{17}$; $\frac{5}{17}$; $2\frac{16}{17}$.

№ 649

Запиши обыкновенной дробью: 1) 0,(41); 2) 6,(02); 3) 17,(9); 4) 8,(203).

Как думать. Дроби чистые: период — в числитель, девятки — в знаменатель.

Решение.

1. $0{,}(41) = \frac{41}{99}$.
2. $6{,}(02) = 6\frac{2}{99}$.
3. $17{,}(9) = 17\frac{9}{9} = 18$.
4. $8{,}(203) = 8\frac{203}{999}$.

Ответ: 1) $\frac{41}{99}$; 2) $6\frac{2}{99}$; 3) 18; 4) $8\frac{203}{999}$.

💡 Сюрприз из пункта 3: $17{,}999\ldots$ — это ровно 18! Так же $0{,}(9) = 1$. Между этими числами нет ни одного другого числа.

Уровень B

№ 650

Вычисли: 1) $-1{,}28 : \left(0{,}64 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right)\right)$; 2) $\left(3\frac{4}{5} \cdot \left(-4\frac{5}{19}\right)\right) : (-3)$; 3) $\dfrac{-25{,}6 \cdot \left(-6\frac{1}{6}\right)}{-16 \cdot 7\frac{2}{5}}$; 4) $\dfrac{-27 \cdot 2\frac{2}{9}}{-5\frac{4}{9} \cdot \frac{27}{49}}$.

Решение.

1. $0{,}64 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right) = -0{,}08$; $-1{,}28 : (-0{,}08) = 16$.
2. $\frac{19}{5} \cdot \left(-\frac{81}{19}\right) = -\frac{81}{5}$; $-\frac{81}{5} : (-3) = \frac{27}{5} = 5{,}4$.
3. Сверху два минуса, снизу один — ответ отрицательный. $\frac{25{,}6 \cdot \frac{37}{6}}{16 \cdot \frac{37}{5}} = \frac{25{,}6 \cdot 5}{16 \cdot 6} = \frac{128}{96} = \frac{4}{3}$. Ответ $-1\frac{1}{3}$.
4. Числитель: $-27 \cdot \frac{20}{9} = -60$. Знаменатель: $-\frac{49}{9} \cdot \frac{27}{49} = -3$. Частное: $20$.

Ответ: 1) 16; 2) 5,4; 3) $-1\frac{1}{3}$; 4) 20.

№ 651

Запиши обыкновенной дробью: 1) 0,9(4); 2) 1,23(12); 3) 4,01(11); 4) 14,14(303).

Как думать. Все дроби смешанные. Числитель — «до второго периода минус до первого», знаменатель — девятки и нули.

Решение.

1. $0{,}9(4) = \frac{94 - 9}{90} = \frac{85}{90} = \frac{17}{18}$.
2. $1{,}23(12) = 1\frac{763}{3300}$ (по шагам выше).
3. $4{,}01(11) = 4\frac{111 - 1}{9900} = 4\frac{110}{9900} = 4\frac{1}{90}$.
4. $14{,}14(303) = 14\frac{14,303 - 14}{99,900} = 14\frac{14,289}{99,900} = 14\frac{4763}{33,300}$.

Ответ: 1) $\frac{17}{18}$; 2) $1\frac{763}{3300}$; 3) $4\frac{1}{90}$; 4) $14\frac{4763}{33,300}$.

💡 Проверь пункт 3: $\frac{1}{90} = 0{,}0111\ldots$ Значит, $4\frac{1}{90} = 4{,}0111\ldots$ — сходится!

№ 652

Запиши в виде $\frac{m}{n}$: 1) $-4\frac{9}{11}$; 2) $-12$; 3) $-0{,}7$; 4) $-20$; 5) $-5{,}3$; 6) $-5\frac{2}{9}$; 7) $-1{,}1$; 8) $-0{,}2$; 9) $-5$; 10) $-4{,}6$.

Как думать. Целое число — это дробь со знаменателем 1. Минус можно поставить в числитель.

Решение. 1) $\frac{-53}{11}$; 2) $\frac{-12}{1}$; 3) $\frac{-7}{10}$; 4) $\frac{-20}{1}$; 5) $\frac{-53}{10}$; 6) $\frac{-47}{9}$; 7) $\frac{-11}{10}$; 8) $\frac{-1}{5}$; 9) $\frac{-5}{1}$; 10) $\frac{-23}{5}$.

Ответ: записи выше (знаменатели можно брать и другие, например $-12 = \frac{-24}{2}$).

№ 653

Запиши бесконечной десятичной дробью: 1) $\frac{7}{19}$; 2) $-\frac{3}{17}$; 3) $28\frac{1}{3}$; 4) $-4\frac{5}{9}$; 5) $7\frac{2}{5}$.

Как думать. У дробей со знаменателями 19 и 17 периоды длинные — деление уголком надо вести терпеливо, до повтора остатка.

Решение.

1. $\frac{7}{19} = 0{,}(368421052631578947)$ — в периоде 18 цифр.
2. $-\frac{3}{17} = -0{,}(1764705882352941)$ — 16 цифр.
3. $28\frac{1}{3} = 28{,}(3)$.
4. $-4\frac{5}{9} = -4{,}(5)$.
5. $7\frac{2}{5} = 7{,}4 = 7{,}4(0)$.

Ответ: 1) 0,(368421052631578947); 2) $-0{,}(1764705882352941)$; 3) 28,(3); 4) $-4{,}(5)$; 5) 7,4(0).

Уровень C

№ 654

Сравни: 1) 42,5 и 42,(5); 2) $-4{,}13$ и $-4{,}(13)$; 3) 7,(53) и 7,53; 4) $-8{,}(3)$ и $-8{,}3$; 5) 24,12 и 24,(12); 6) $-3{,}8$ и $-3{,}(8)$.

Как думать. Распиши периодическую дробь: $42{,}(5) = 42{,}555\ldots$ У положительных она больше «обрезанной». У отрицательных — наоборот.

Решение.

1. $42{,}5 < 42{,}555\ldots$
2. $|-4{,}13| < |-4{,}1313\ldots|$, значит, $-4{,}13 > -4{,}(13)$.
3. $7{,}5353\ldots > 7{,}53$.
4. $-8{,}333\ldots < -8{,}3$.
5. $24{,}12 < 24{,}1212\ldots$
6. $-3{,}8 > -3{,}888\ldots$

Ответ: 1) <; 2) >; 3) >; 4) <; 5) <; 6) >.

№ 655

Лодка по течению плывёт на 6,4 км/ч быстрее, чем против течения. Найди скорость течения.

Как думать. По течению: $v + t$. Против: $v - t$. Разница — это две скорости течения.

Решение. $(v + t) - (v - t) = 2t = 6{,}4$, значит, $t = 3{,}2$ км/ч.

Ответ: 3,2 км/ч.

№ 656

Единичный отрезок разбит на 3 части. $F$ — на 7 делений левее нуля, $L$ — на 1 деление левее, $M$ — на 5 делений правее. Найди координаты и длины $FL$ и $LM$.

Как думать. Каждое деление — $\frac{1}{3}$. Считаем деления и умножаем.

Решение.

• $F = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3}$; $L = -\frac{1}{3}$; $M = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$.
• $FL = -\frac{1}{3} - \left(-\frac{7}{3}\right) = 2$ ед.
• $LM = \frac{5}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = 2$ ед.

Ответ: $F\left(-2\frac{1}{3}\right)$, $L\left(-\frac{1}{3}\right)$, $M\left(1\frac{2}{3}\right)$; $FL = LM = 2$ ед.

№ 657

Запиши произведение суммой или разностью: 1) $(a + c) \cdot 64{,}3$; 2) $52{,}1 \cdot (m - y)$; 3) $(x + d) \cdot 125{,}4$; 4) $173{,}7 \cdot (x + z)$; 5) $(p - n) \cdot \frac{9}{11}$; 6) $\frac{7}{8} \cdot (b - s)$.

Как думать. Распределительное свойство: число умножаем на каждое слагаемое в скобке.

Решение.

1. $64{,}3a + 64{,}3c$.
2. $52{,}1m - 52{,}1y$.
3. $125{,}4x + 125{,}4d$.
4. $173{,}7x + 173{,}7z$.
5. $\frac{9}{11}p - \frac{9}{11}n$.
6. $\frac{7}{8}b - \frac{7}{8}s$.

Ответ: записи выше.

Готовимся к следующей теме

№ 658

Выполни действия: 1) $0{,}5 \cdot 3\frac{2}{3} + 17{,}2$; 2) $10\frac{7}{9} - 2{,}5 \cdot 1\frac{1}{6}$; 3) $8\frac{1}{2} : 5\frac{2}{3} + 19{,}7$; 4) $7\frac{1}{4} \cdot \frac{35}{58} : 5\frac{5}{6}$.

Как думать. Сначала умножение и деление, потом сложение и вычитание.

Решение.

1. $\frac{1}{2} \cdot \frac{11}{3} = \frac{11}{6} = 1\frac{5}{6}$; $1\frac{5}{6} + 17\frac{1}{5} = 18\frac{25 + 6}{30} = 19\frac{1}{30}$.
2. $\frac{5}{2} \cdot \frac{7}{6} = \frac{35}{12}$; $\frac{97}{9} - \frac{35}{12} = \frac{388 - 105}{36} = \frac{283}{36} = 7\frac{31}{36}$.
3. $\frac{17}{2} : \frac{17}{3} = \frac{3}{2} = 1{,}5$; $1{,}5 + 19{,}7 = 21{,}2$.
4. $\frac{29}{4} \cdot \frac{35}{58} = \frac{35}{8}$; $\frac{35}{8} : \frac{35}{6} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

Ответ: 1) $19\frac{1}{30}$; 2) $7\frac{31}{36}$; 3) 21,2; 4) $\frac{3}{4}$.

Шпаргалка

• Знак частного — как у произведения: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус.
• Модуль частного = модуль делимого : модуль делителя.
• Повторяющаяся группа цифр — период, пишем в скобках: $3{,}(1)$.
• Чистую дробь: период над девятками. Смешанную: «до второго периода минус до первого» над девятками с нулями.

Мини-тест