§ 3. Прямо пропорциональная зависимость. Обратно пропорциональная зависимость

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 1: Отношения и пропорции. Страницы 32–38.

Чему научишься

• Узнавать прямо пропорциональные величины: растёт одна — во столько же раз растёт другая.
• Узнавать обратно пропорциональные величины: одна растёт — другая во столько же раз уменьшается.
• Проверять по таблице, есть ли пропорциональность.
• Решать задачи про покупки, движение, работу и рецепты через пропорцию или «на сколько раз больше».

Разминка

Это задания № 144–147 из прошлого урока. Реши в уме, потом открой ответ.

• 5 ручек стоят 650 тг. Сколько стоит одна? А 7 таких ручек? $650 : 5 = 130$ тг, а 7 ручек — $130 \cdot 7 = 910$ тг.
• Чему равно частное $x$ и $y$, если $x = 0{,}8$, $y = 0{,}25$? Сколько частных можно составить? $0{,}8 : 0{,}25 = 3{,}2$ и наоборот $0{,}25 : 0{,}8 = 0{,}3125$. Частных два.
• Швея за 3 ч шьёт 9 изделий. Сколько она сошьёт за 4 ч? За 2 ч? В час — 3 изделия. За 4 ч — 12, за 2 ч — 6. Время выросло вдвое (с 2 до 4 ч) — и изделий вдвое больше (с 6 до 12).
• Периметр квадрата 17 см. Какова площадь квадрата со стороной в 8 раз длиннее? Сторона первого $17 : 4 = 4{,}25$ см, второго — $4{,}25 \cdot 8 = 34$ см. Площадь $34 \cdot 34 = 1156$ см².

💡 Заметил вывод про швею? Сколько раз увеличилось время, во столько же раз увеличилась работа. Это и есть главная мысль урока.

Разбираемся

Две величины «держатся за руки»

Стаканчик мороженого стоит 200 тг. Один стаканчик — 200 тг, два — 400 тг, пять — 1000 тг. Сколько бы ты ни купил, стоимость всегда равна цене, умноженной на количество.

Если связь между $y$ и $x$ записывается формулой $y = kx$, где $k$ — постоянное число (не нуль), такие величины называют прямо пропорциональными. Число $k$ — коэффициент прямой пропорциональности.

Примеры из жизни:

• стоимость $y$ = цена $k$ · количество $x$;
• путь $y$ = скорость $k$ · время $x$;
• площадь прямоугольника $y$ = длина $k$ · ширина $x$;
• работа $y$ = производительность $k$ · время $x$.

📌 Если величины прямо пропорциональны, то при увеличении одной в несколько раз другая увеличивается во столько же раз. Уменьшается одна — во столько же раз уменьшается другая.

А бывает наоборот

Дорога до бабушки в Талгар — 60 км. Едешь со скоростью 30 км/ч — тратишь 2 ч. Едешь 60 км/ч — 1 ч. Скорость выросла вдвое, а время вдвое уменьшилось.

Если связь записывается формулой $y = \frac{k}{x}$ ($k$ — постоянное число, не нуль), величины называют обратно пропорциональными. Тут постоянно произведение: $x \cdot y = k$.

Примеры:

• время = путь : скорость (путь не меняется);
• длина прямоугольника = площадь : ширина (площадь не меняется);
• время работы = вся работа : производительность.

📌 Если величины обратно пропорциональны, то при увеличении одной в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Посмотри на графики. Синяя линия — стоимость конфет по 2 тг за штуку ($y = 2x$). Оранжевая — сколько часов нужно на 12 км при разной скорости ($y = \frac{12}{x}$).

⚠️ Частая ошибка. «Одна растёт, и другая растёт — значит, прямо пропорциональны». Не всегда! Периметр прямоугольника $P = 2(a + 3)$ растёт вместе с $a$, но при $a = 1$ он 8, а при $a = 2$ — 10. Длина выросла вдвое, а периметр — нет. Проверяй именно «во столько же раз».

Как узнать по таблице

• Делим $y$ на $x$ в каждом столбце. Везде одно число — прямая пропорциональность.
• Умножаем $x$ на $y$. Везде одно число — обратная.

Решаем задачу через «во сколько раз»

Из 40 кг яблок выходит 32 кг пюре. Сколько пюре из 90 кг яблок?

Яблок стало в $90 : 40 = \frac{9}{4}$ раза больше. Пюре прямо пропорционально яблокам, значит, его тоже в $\frac{9}{4}$ раза больше: $\frac{x}{32} = \frac{9}{4}$, откуда $4x = 9 \cdot 32$, $x = 72$ кг.

А теперь обратная. 4 бульдозера расчищают площадку за 9 ч. За сколько справятся 6?

Машин в $6 : 4 = \frac{3}{2}$ раза больше, значит, времени в $\frac{3}{2}$ раза меньше: $\frac{9}{x} = \frac{3}{2}$, $3x = 18$, $x = 6$ ч.

💡 Быстрый способ для обратной зависимости: найди «общий объём работы». 4 бульдозера · 9 ч = 36 «бульдозеро-часов». Делим на 6 машин: $36 : 6 = 6$ ч.

👨‍👩‍👧 Родителю. Перед решением попросите ребёнка ответить словами: «Если величину увеличить, ответ станет больше или меньше?» Это сразу показывает, прямая зависимость или обратная, и спасает от половины ошибок.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Когда величины прямо пропорциональны, а когда обратно? Прямо — если $y = kx$, то есть частное $y : x$ постоянно. Обратно — если $y = \frac{k}{x}$, то есть произведение $x \cdot y$ постоянно.
• Каким свойством они обладают? У прямо пропорциональных: одна растёт (уменьшается) в несколько раз — другая растёт (уменьшается) во столько же раз. У обратно пропорциональных: одна растёт в несколько раз — другая во столько же раз уменьшается.
• Почему путь и скорость при одном времени прямо пропорциональны, а скорость и время при одном пути — обратно? Путь = скорость · время. При постоянном времени путь растёт вместе со скоростью во столько же раз. При постоянном пути произведение скорости на время не меняется: одно растёт — другое уменьшается.
• Почему периметр квадрата прямо пропорционален стороне, а площадь — нет? $P = 4a$ — это формула вида $y = kx$. А $S = a \cdot a$: сторона выросла в 2 раза, площадь — в 4 раза. «Во столько же раз» не выполняется.
• Почему периметр прямоугольника при постоянной ширине не прямо пропорционален длине? $P = 2a + 2b$: к удвоенной длине прибавляется постоянное $2b$. Увеличишь длину вдвое — периметр вырастет меньше чем вдвое.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 148

Прямо пропорциональны ли: 1) площадь и длина прямоугольника при ширине 8 см; 2) объём и высота параллелепипеда при длине 4 дм и ширине 6 дм; 3) время и путь теплохода при скорости 65 км/ч; 4) время и скорость при пути 70 км?

Как думать. Пробуем записать формулу вида $y = kx$.

Решение.

1. $S = 8a$ — да.
2. $V = 4 \cdot 6 \cdot h = 24h$ — да.
3. $s = 65t$ — да.
4. $v = \frac{70}{t}$ — нет, это обратная пропорциональность.

Ответ: 1), 2), 3) — да; 4) — нет (обратная зависимость).

№ 149

Какие величины обратно пропорциональны: 1) длина и высота параллелепипеда при объёме 180 дм³ и ширине 15 дм; 2) цена 1 м ткани и её количество на 650 тг; 3) время вспашки и израсходованное горючее; 4) время вспашки 900 га и число одинаковых тракторов?

Как думать. Ищем постоянное произведение.

Решение.

1. $a \cdot 15 \cdot h = 180$, значит, $a \cdot h = 12$ — обратная.
2. цена · количество = 650 — обратная.
3. Дольше пашет — больше горючего. Это не обратная (скорее прямая) зависимость.
4. Тракторов больше — времени меньше, а вся работа (900 га) постоянна — обратная.

Ответ: 1), 2), 4).

№ 150

Прямо пропорциональны ли $x$ и $y$? 1) $x$: 1, 2, 3, 4; $y$: 9, 18, 27, 36. 2) $x$: 45, 40, 35, 30; $y$: 9, 8, 7, 6.

Как думать. Делим $y$ на $x$ в каждом столбце.

Решение.

1. $9 : 1 = 18 : 2 = 27 : 3 = 36 : 4 = 9$ — да, $y = 9x$.
2. $9 : 45 = 8 : 40 = 7 : 35 = 6 : 30 = \frac{1}{5}$ — да, $y = \frac{1}{5}x$. Не смущайся, что числа убывают: $x$ уменьшается — и $y$ уменьшается во столько же раз.

Ответ: 1) да; 2) да.

№ 151

Обратно пропорциональны ли $x$ и $y$? 1) $x$: 4, 8, 16, 32; $y$: 32, 16, 8, 4. 2) $x$: 100, 80, 40, 20; $y$: 10, 8, 4, 2.

Решение.

1. $4 \cdot 32 = 8 \cdot 16 = 16 \cdot 8 = 32 \cdot 4 = 128$ — да.
2. $100 \cdot 10 = 1000$, а $80 \cdot 8 = 640$ — нет. Здесь постоянно частное: $y = \frac{x}{10}$, это прямая пропорциональность.

Ответ: 1) да; 2) нет.

№ 152

Самолёт за 30 мин пролетел 300 км. Сколько он пролетит за 1 ч, 2 ч, 3 ч, 4 ч?

Решение. За 1 ч вдвое больше, чем за полчаса: 600 км. Дальше умножаем: $600 \cdot 2 = 1200$, $600 \cdot 3 = 1800$, $600 \cdot 4 = 2400$.

Ответ: 600 км; 1200 км; 1800 км; 2400 км.

№ 153

Купили 8 карандашей по 50 тг. Сколько карандашей можно купить на те же деньги при цене 10, 20, 40, 80 тг?

Как думать. Деньги постоянны, значит, цена и количество обратно пропорциональны.

Решение. Всего $8 \cdot 50 = 400$ тг. $400 : 10 = 40$; $400 : 20 = 20$; $400 : 40 = 10$; $400 : 80 = 5$.

Ответ: 40; 20; 10; 5 карандашей.

№ 154

Комната 9 м × 4,5 м × 2,7 м. 10 м³ воздуха весят 13 кг. Какова масса воздуха в комнате?

Как думать. Масса прямо пропорциональна объёму.

Решение.

1. Объём: $9 \cdot 4{,}5 \cdot 2{,}7 = 109{,}35$ м³.
2. 1 м³ весит $13 : 10 = 1{,}3$ кг.
3. $109{,}35 \cdot 1{,}3 = 142{,}155$ кг.

Ответ: 142,155 кг (около 142 кг).

🌟 Воздух в обычной комнате весит как два взрослых человека! Мы его просто не замечаем.

№ 155

Плита из бетона объёмом 2,5 м³ весит 4,75 т. Каков объём плиты из того же бетона массой 6,65 т?

Решение. 1 м³ весит $4{,}75 : 2{,}5 = 1{,}9$ т. Объём: $6{,}65 : 1{,}9 = 3{,}5$ м³.

Ответ: 3,5 м³.

№ 156

За 0,8 м ткани заплатили 960 тг. Сколько стоят 3,25 м?

Решение. 1 м стоит $960 : 0{,}8 = 1200$ тг. $3{,}25 \cdot 1200 = 3900$ тг.

Ответ: 3900 тг.

№ 157

Туристы за $\frac{1}{2}$ ч прошли 3,5 км. Сколько пройдут за 1 ч, 2,5 ч, 4 ч?

Решение. Скорость $3{,}5 \cdot 2 = 7$ км/ч. $7 \cdot 1 = 7$; $7 \cdot 2{,}5 = 17{,}5$; $7 \cdot 4 = 28$.

Ответ: 7 км; 17,5 км; 28 км.

№ 158

5 бульдозеров расчистили площадку за 7 ч. За сколько часов это сделают 7 таких бульдозеров?

Как думать. Машин больше — времени меньше: обратная пропорциональность.

Решение. Работа: $5 \cdot 7 = 35$ бульдозеро-часов. $35 : 7 = 5$ ч.

Ответ: за 5 ч.

№ 159

Груз перевезли 16 машин по 9 т. Сколько нужно машин по 12 т?

Решение. Груз $16 \cdot 9 = 144$ т. $144 : 12 = 12$ машин.

Ответ: 12 машин.

№ 160

4 каменщика сложат стену за 9 дней. За сколько дней сложат 6 каменщиков?

Решение. $4 \cdot 9 = 36$ «человеко-дней». $36 : 6 = 6$ дней.

Ответ: за 6 дней.

№ 161

18 рабочих отделали квартиры за 20 дней. За сколько дней справились бы 20 рабочих?

Решение. $18 \cdot 20 = 360$ человеко-дней. $360 : 20 = 18$ дней.

Ответ: за 18 дней.

№ 162

За 1,2 ч самолёт пролетел 1200 км. Сколько он пролетит за 3,5 ч?

Решение. Скорость $1200 : 1{,}2 = 1000$ км/ч. $1000 \cdot 3{,}5 = 3500$ км.

Ответ: 3500 км.

№ 163

1) Из 39 кг свежих слив выходит 10,5 кг сушёных. Сколько свежих нужно на 14,7 кг сушёных? 2) Из 20 кг яблок — 16 кг пюре. Сколько пюре из 45 кг?

Как думать. Сушёных нужно в $14{,}7 : 10{,}5 = 1{,}4$ раза больше — значит, и свежих в 1,4 раза больше.

Решение.

1. $39 \cdot 1{,}4 = 54{,}6$ кг.
2. Из 1 кг яблок — $16 : 20 = 0{,}8$ кг пюре. $45 \cdot 0{,}8 = 36$ кг.

Ответ: 1) 54,6 кг; 2) 36 кг.

№ 164

1) Из 3 кг сырого кофе выходит 2,5 кг жареного. Сколько сырого нужно на 1 кг жареного? 2) Из 2,75 т семян подсолнуха — 275 кг кормовых дрожжей. Сколько дрожжей из 13,5 т?

Решение.

1. Составим пропорцию: $\frac{x}{3} = \frac{1}{2{,}5}$, $x = 3 : 2{,}5 = 1{,}2$ кг.
2. Из 1 т — $275 : 2{,}75 = 100$ кг. $13{,}5 \cdot 100 = 1350$ кг.

Ответ: 1) 1,2 кг; 2) 1350 кг (1,35 т).

№ 165

За 5 ч мельница обмолотила 60 т пшеницы. Сколько обмолотит за 12 ч?

Решение. За 1 ч — $60 : 5 = 12$ т. $12 \cdot 12 = 144$ т.

Ответ: 144 т.

№ 166

Пешеход шёл 2,5 ч со скоростью 3,6 км/ч. Сколько времени он затратит на тот же путь со скоростью 4,5 км/ч?

Как думать. Путь тот же — скорость и время обратно пропорциональны.

Решение. Путь $3{,}6 \cdot 2{,}5 = 9$ км. Время $9 : 4{,}5 = 2$ ч.

Ответ: 2 ч.

Уровень B

№ 167

1) Найди периметр квадрата со стороной 3 см; 6 см; 2,5 см; 7,8 см. Прямо пропорциональны ли периметр и сторона? 2) Во сколько раз изменится периметр, если сторону увеличить (уменьшить) в 4, 5, 6, 9 раз? 3) Найди площадь квадрата со стороной 2, 4, 7, 10 дм. Прямо пропорциональны ли площадь и сторона?

Решение.

1. $P = 4a$: 12 см; 24 см; 10 см; 31,2 см. Да, прямо пропорциональны, коэффициент 4.
2. Во столько же раз: в 4, 5, 6, 9 раз.
3. $S = a \cdot a$: 4 дм²; 16 дм²; 49 дм²; 100 дм². Нет: сторона 2 → 4 выросла вдвое, а площадь 4 → 16 — вчетверо.

Ответ: 1) 12; 24; 10; 31,2 см — да; 2) в 4, 5, 6, 9 раз; 3) 4; 16; 49; 100 дм² — нет.

Математика в профессии повара

🌟 Повара в ресторанах пишут рецепты «на одну порцию» или «на 10 штук». А потом просто умножают — это и есть прямая пропорциональность в жизни.

№ 168

На 10 пирожков с хурмой: 400 г муки, 25 г сахара, 15 г маргарина, 10 г дрожжей, 200 г воды для теста, 150 г хурмы, 5 г муки, 70 г жира и 40 г воды для фарша. Сколько всего нужно на 20, 30, 50 пирожков?

Как думать. 20 пирожков — в 2 раза больше, чем 10; 30 — в 3 раза; 50 — в 5 раз. Каждый продукт умножаем на 2, 3, 5.

Решение.

Ответ: в таблице.

№ 169

На 1 порцию салата «Дойна»: 1 огурец, 1 помидор, 1 сладкий перец, 15 г зелёного лука, 20 г сливочного масла, 30 г брынзы. Сколько нужно на 10, 20, 30 порций?

Решение.

Ответ: в таблице.

№ 170

На 1 порцию «Замы с курицей»: 100 г курицы, 1 ст. ложка риса, 1 морковь, $\frac{1}{2}$ корня петрушки, 1 ч. ложка маргарина, 1 луковица, 1 стакан кваса, 1 пучок петрушки. Сколько нужно на 10, 20, 30 порций?

Решение.

Ответ: в таблице.

Уровень C

№ 171

Прямоугольник 10 см × 8 см. 1) Длину уменьшили в 2,5 раза, ширину — в 2 раза. Как изменится площадь? 2) Длину уменьшили в 2 раза, ширину — в 2,5 раза. Как изменится площадь? Сделай вывод.

Как думать. Площадь прямо пропорциональна длине (при той же ширине) и ширине (при той же длине). Значит, «уменьшения» перемножаются.

Решение. В обоих случаях получается 16 см² вместо 80 см², то есть в 5 раз меньше.

Ответ: 1) и 2) площадь уменьшится в 5 раз. Вывод: если длину уменьшить в $m$ раз, а ширину в $n$ раз, площадь уменьшится в $m \cdot n$ раз, неважно, какую сторону во сколько раз уменьшали.

№ 172

Числа 40 и 36. 1) Найди $\frac{1}{5}$ от НОК(40; 36). 2) Уменьши результат в 2 раза. 3) Сравни с меньшим из чисел. Сделай вывод.

Решение.

1. $40 = 2^3 \cdot 5$, $36 = 2^2 \cdot 3^2$. НОК $= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 360$. $360 : 5 = 72$.
2. $72 : 2 = 36$.
3. $36 = 36$ — получилось ровно меньшее число.

Ответ: 72; 36; равно числу 36. Вывод: $\frac{1}{10}$ от НОК(40; 36) равна 36, то есть НОК в 10 раз больше числа 36.

Готовимся к следующей теме

№ 173

1) Найди: 10% от 50; 20% от 80; 25% от 160; 35% от 900; 24% от 500; 75% от 1000. 2) Найди число, если: 20% его равны 7; 40% — 40; 50% — 87; 25% — 43; 60% — 36; 150% — 27.

Как думать. 1% — это сотая часть. Процент от числа: делим на 100 и умножаем на процент. Число по проценту: делим на процент и умножаем на 100.

Решение.

1. $50 : 100 \cdot 10 = 5$; $80 : 100 \cdot 20 = 16$; $160 : 100 \cdot 25 = 40$; $900 : 100 \cdot 35 = 315$; $500 : 100 \cdot 24 = 120$; $1000 : 100 \cdot 75 = 750$.
2. $7 : 20 \cdot 100 = 35$; $40 : 40 \cdot 100 = 100$; $87 : 50 \cdot 100 = 174$; $43 : 25 \cdot 100 = 172$; $36 : 60 \cdot 100 = 60$; $27 : 150 \cdot 100 = 18$.

Ответ: 1) 5; 16; 40; 315; 120; 750. 2) 35; 100; 174; 172; 60; 18.

💡 Математика в повседневной жизни — задачи № 174 и 175 про проценты и круговые секторы. Они пригодятся в следующем параграфе.

№ 174

1) В организме человека около 64% воды. Сколько воды в человеке массой 50 кг? 2) В рисе 75% крахмала. Сколько крахмала в 120 кг риса? 3) В ячмене 60% крахмала. Сколько его в 40 кг ячменя?

Решение.

1. $50 \cdot 0{,}64 = 32$ кг.
2. $120 \cdot 0{,}75 = 90$ кг.
3. $40 \cdot 0{,}6 = 24$ кг.

Ответ: 32 кг; 90 кг; 24 кг.

🌟 Ты почти на две трети состоишь из воды! Поэтому так важно пить воду, особенно летом в Шымкенте.

№ 175

1) Измерь углы $AOB$, $BOM$, $MOT$, $AOT$ секторов на рисунках 4–5. 2) Раздели круг на четыре сектора с углами 160°, 120°, 50° и 30°.

Как думать. Транспортир прикладываем центром к точке $O$, ноль — на один радиус. Проверка: сумма углов всех секторов круга — 360°.

Решение.

1. Рисунок 4: $\angle AOB \approx 40^\circ$, $\angle BOM \approx 130^\circ$, $\angle MOT \approx 115^\circ$, $\angle AOT \approx 75^\circ$. Сумма $40 + 130 + 115 + 75 = 360^\circ$ ✓. Рисунок 5: $\angle BOM \approx 30^\circ$, $\angle MOT \approx 115^\circ$, $\angle AOT \approx 80^\circ$, $\angle AOB \approx 135^\circ$. Сумма $360^\circ$ ✓.
2. Проверяем: $160 + 120 + 50 + 30 = 360^\circ$ — весь круг. Проводим радиус, от него откладываем 160°, от нового радиуса — 120°, затем 50°. Оставшийся сектор сам получится 30°.

Ответ: 1) примерно 40°, 130°, 115°, 75° и 30°, 115°, 80°, 135° (измерение может отличаться на 1–2°); 2) круг на диаграмме.

Шпаргалка

• Прямо пропорциональные: $y = kx$. Проверка по таблице — делим $y$ на $x$.
• Обратно пропорциональные: $y = \frac{k}{x}$. Проверка — умножаем $x$ на $y$.
• «Обе растут» — ещё не прямая пропорциональность. Нужно «во столько же раз».
• Задачи на работу удобно решать через «общий объём»: бульдозеры · часы, люди · дни.
• Площадь квадрата не пропорциональна стороне: сторона ×2 — площадь ×4.

Мини-тест