§ 21. Арифметические действия с рациональными числами

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 2: Рациональные числа и действия над ними. Страницы 144–149.

Чему научишься

• Находить значение длинного выражения с отрицательными числами по действиям.
• Сначала искать «лёгкие пути»: противоположные числа, удобные пары, общий множитель.
• Подставлять отрицательные значения букв и не терять минусы.
• Решать уравнения и пропорции с отрицательными числами.

Разминка

Это задание № 658 из прошлого урока. Вспомни ответы.

• Сколько будет $0{,}5 \cdot 3\frac{2}{3} + 17{,}2$? $1\frac{5}{6} + 17\frac{1}{5} = $ $19\frac{1}{30}$.
• А $10\frac{7}{9} - 2{,}5 \cdot 1\frac{1}{6}$? $10\frac{7}{9} - 2\frac{11}{12} = $ $7\frac{31}{36}$.
• А $8\frac{1}{2} : 5\frac{2}{3} + 19{,}7$? $1{,}5 + 19{,}7 = $ 21,2.
• Какое действие в них выполняли первым? Умножение или деление, а потом сложение или вычитание.

💡 Порядок действий ты знаешь давно. С отрицательными числами он точно такой же. Новое только одно — следить за знаками.

Разбираемся

Те же правила, новые числа

Для рациональных чисел работают все старые правила:

📌 Сначала — действия в скобках. Потом — умножение и деление слева направо. В конце — сложение и вычитание слева направо.

⚠️ Частая ошибка. В записи $5 \cdot (-3)$ скобки — это не «действие в скобках». Они просто прячут минус числа. Внутри них ничего считать не нужно.

Сначала посмотри — потом считай

Возьмём $-\frac{15}{81} \cdot 16\frac{1}{5} + 1{,}65 : 0{,}33 - 8 - 165 : 33$.

Заметь: $1{,}65 : 0{,}33$ — то же самое, что $165 : 33$ (запятые сдвигаем на два знака). Одно стоит с плюсом, другое с минусом. Это противоположные числа — их сумма равна нулю! Вычёркиваем оба.

Остаётся $-\frac{15}{81} \cdot \frac{81}{5} - 8 = -3 - 8 = -11$.

💡 Перед счётом поищи: противоположные числа, пары вроде $0{,}25$ и $4$, общий множитель. Иногда пример «схлопывается» сам.

Подставляем отрицательные числа

Найдём $17{,}25 - a : (-10{,}4) + 6{,}12 : b$ при $a = 7{,}8$ и $b = -0{,}34$. Пройди решение по шагам:

Вынеси общий множитель

$10{,}4 \cdot 2{,}2 + 10{,}4a + 6{,}96 \cdot 47 - 6{,}96b$ при $a = 7{,}8$, $b = -53$. Множитель $10{,}4$ встречается дважды, $6{,}96$ — тоже. Выносим:

$10{,}4 \cdot (2{,}2 + a) + 6{,}96 \cdot (47 - b) = 10{,}4 \cdot 10 + 6{,}96 \cdot 100 = 104 + 696 = 800$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Длинные примеры лучше записывать «по действиям» в столбик: 1) …; 2) …; 3) … Так проще найти, где потерялся минус.

Проверь, как понял

Проверь себя

• В каком порядке выполняют действия, если есть только сложение и вычитание? По порядку, слева направо.
• А если только умножение и деление? Тоже слева направо.
• А если есть все четыре действия и нет скобок? Сначала умножение и деление слева направо, потом сложение и вычитание слева направо.
• Какие свойства помогают считать быстрее? Переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения, распределительное свойство, сумма противоположных чисел равна нулю, умножение на 1 и на 0.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 659

Выполни: 1) $-203 \cdot (-13) + 1350 : (-0{,}45)$; 2) $213{,}6 : (-8{,}9) - (-340) \cdot 0{,}25$; 3) $(30{,}8 + 5{,}6 \cdot (-8{,}4)) : (-0{,}28)$; 4) $(-250) \cdot (-159{,}8 : 4{,}7 + 29{,}5)$.

Решение.

1. $-203 \cdot (-13) = 2639$; $1350 : (-0{,}45) = -3000$; $2639 - 3000 = -361$.
2. $213{,}6 : (-8{,}9) = -24$; $(-340) \cdot 0{,}25 = -85$; $-24 - (-85) = 61$.
3. $5{,}6 \cdot (-8{,}4) = -47{,}04$; $30{,}8 - 47{,}04 = -16{,}24$; $-16{,}24 : (-0{,}28) = 58$.
4. $-159{,}8 : 4{,}7 = -34$; $-34 + 29{,}5 = -4{,}5$; $(-250) \cdot (-4{,}5) = 1125$.

Ответ: 1) $-361$; 2) 61; 3) 58; 4) 1125.

№ 660

Вычисли: 1) $-\frac{14}{15} \cdot \frac{25}{28} + \left(-\frac{36}{37}\right) : \left(-\frac{6}{37}\right)$; 2) $-\frac{30}{31} \cdot \frac{15}{124} + \left(-\frac{16}{21}\right) \cdot \left(-\frac{7}{8}\right)$; 3) $\frac{26}{27} \cdot \left(-\frac{9}{65}\right) + \left(-\frac{100}{101}\right) : \frac{50}{303}$; 4) $\left(-\frac{51}{58}\right) : \left(-\frac{17}{25}\right) - \frac{25}{27} \cdot \left(-\frac{81}{125}\right)$.

Как думать. В каждом примере два действия второй ступени и одно сложение. Сокращай до умножения.

Решение.

1. $-\frac{14 \cdot 25}{15 \cdot 28} = -\frac{5}{6}$; $\frac{36}{37} \cdot \frac{37}{6} = 6$; $6 - \frac{5}{6} = 5\frac{1}{6}$.
2. $-\frac{30 \cdot 15}{31 \cdot 124} = -\frac{225}{1922}$; $\frac{16}{21} \cdot \frac{7}{8} = \frac{2}{3}$; $\frac{2}{3} - \frac{225}{1922} = \frac{3844 - 675}{5766} = \frac{3169}{5766}$.
3. $-\frac{26 \cdot 9}{27 \cdot 65} = -\frac{2}{15}$; $-\frac{100}{101} \cdot \frac{303}{50} = -6$; $-6 - \frac{2}{15} = -6\frac{2}{15}$.
4. $\frac{51}{58} \cdot \frac{25}{17} = \frac{75}{58}$; $\frac{25}{27} \cdot \left(-\frac{81}{125}\right) = -\frac{3}{5}$; $\frac{75}{58} + \frac{3}{5} = \frac{375 + 174}{290} = \frac{549}{290} = 1\frac{259}{290}$.

Ответ: 1) $5\frac{1}{6}$; 2) $\frac{3169}{5766}$; 3) $-6\frac{2}{15}$; 4) $1\frac{259}{290}$.

№ 661

Вычисли: 1) $(-2{,}9 : 25 + 0{,}26) \cdot (-100)$; 2) $(-12 - 3{,}7 : (-0{,}4)) \cdot (-1{,}6)$; 3) $(-41 : 0{,}25 + 162{,}8) : (-0{,}06)$; 4) $(-20{,}5) \cdot (1821 - 73 : 0{,}04)$.

Решение.

1. $-2{,}9 : 25 = -0{,}116$; $-0{,}116 + 0{,}26 = 0{,}144$; $0{,}144 \cdot (-100) = -14{,}4$.
2. $3{,}7 : (-0{,}4) = -9{,}25$; $-12 + 9{,}25 = -2{,}75$; $-2{,}75 \cdot (-1{,}6) = 4{,}4$.
3. $-41 : 0{,}25 = -164$; $-164 + 162{,}8 = -1{,}2$; $-1{,}2 : (-0{,}06) = 20$.
4. $73 : 0{,}04 = 1825$; $1821 - 1825 = -4$; $(-20{,}5) \cdot (-4) = 82$.

Ответ: 1) $-14{,}4$; 2) 4,4; 3) 20; 4) 82.

№ 662

Найди значение: 1) $\dfrac{(-25) \cdot (-49{,}7) \cdot (-100) \cdot (-65)}{(-13) \cdot 71 \cdot 2500 \cdot (-0{,}7)}$; 2) $\dfrac{35 \cdot (-0{,}24) - (-12) : (-0{,}03)}{1{,}1 \cdot (-40) \cdot (-11)}$.

Как думать. В первом не перемножай всё подряд — сокращай. $25 \cdot 100 = 2500$, $65 = 5 \cdot 13$, $49{,}7 = 0{,}7 \cdot 71$.

Решение.

1. Минусов сверху 4, снизу 2 — ответ положительный. $\frac{2500 \cdot 0{,}7 \cdot 71 \cdot 5 \cdot 13}{13 \cdot 71 \cdot 2500 \cdot 0{,}7} = 5$.
2. Числитель: $35 \cdot (-0{,}24) = -8{,}4$; $(-12) : (-0{,}03) = 400$; $-8{,}4 - 400 = -408{,}4$. Знаменатель: $1{,}1 \cdot 40 \cdot 11 = 484$. Частное: $-\frac{408{,}4}{484} = -\frac{1021}{1210}$.

Ответ: 1) 5; 2) $-\frac{1021}{1210}$.

№ 663

Найди корни: 1) $-0{,}5x + 13{,}8 = 12{,}4$; 2) $x : (-3) - 20{,}1 = -21{,}9$; 3) $2{,}5 : x + 2{,}812 = -7{,}188$; 4) $-91{,}2 + (-2x) = -100{,}7$.

Как думать. Распутываем с конца: сначала неизвестное слагаемое, потом неизвестный множитель или делитель.

Решение.

1. $-0{,}5x = 12{,}4 - 13{,}8 = -1{,}4$; $x = 2{,}8$.
2. $x : (-3) = -21{,}9 + 20{,}1 = -1{,}8$; $x = -1{,}8 \cdot (-3) = 5{,}4$.
3. $2{,}5 : x = -10$; $x = 2{,}5 : (-10) = -0{,}25$.
4. $-2x = -100{,}7 + 91{,}2 = -9{,}5$; $x = 4{,}75$.

Ответ: 1) 2,8; 2) 5,4; 3) $-0{,}25$; 4) 4,75.

№ 664

Задуманное число умножили на 4, прибавили $-21{,}3$, разделили на 3, вычли 17,19 и получили $-200{,}29$. Какое число задумали?

Как думать. Каждое действие отменяем обратным, двигаясь от ответа к началу.

Решение. См. шаги. Проверка: $-132 \cdot 4 = -528$; $-528 - 21{,}3 = -549{,}3$; $: 3 = -183{,}1$; $-183{,}1 - 17{,}19 = -200{,}29$ ✓.

Ответ: $-132$.

№ 665

Найди неизвестный член пропорции: 1) $\frac{x}{-405} = \frac{-3}{0{,}5}$; 2) $\frac{-78{,}1}{y} = \frac{1{,}1}{-2}$; 3) $\frac{100{,}2}{-15} = \frac{-33{,}4}{z}$.

Как думать. Произведение крайних членов равно произведению средних.

Решение.

1. $x = \frac{-405 \cdot (-3)}{0{,}5} = \frac{1215}{0{,}5} = 2430$.
2. $y = \frac{-78{,}1 \cdot (-2)}{1{,}1} = \frac{156{,}2}{1{,}1} = 142$.
3. $z = \frac{-15 \cdot (-33{,}4)}{100{,}2} = \frac{501}{100{,}2} = 5$.

Ответ: 1) 2430; 2) 142; 3) 5.

№ 666

Найди $a$: 1) $\frac{a + 18}{-2{,}73} = \frac{-9}{9{,}1}$; 2) $\frac{-35{,}2}{40 - a} = \frac{1{,}1}{3}$; 3) $\frac{6{,}7}{-4} = \frac{134}{a + 29}$.

Как думать. Сначала находим всю скобку как неизвестный член пропорции, потом — $a$.

Решение.

1. $a + 18 = \frac{-2{,}73 \cdot (-9)}{9{,}1} = \frac{24{,}57}{9{,}1} = 2{,}7$; $a = 2{,}7 - 18 = -15{,}3$.
2. $40 - a = \frac{-35{,}2 \cdot 3}{1{,}1} = -96$; $a = 40 + 96 = 136$.
3. $a + 29 = \frac{134 \cdot (-4)}{6{,}7} = -80$; $a = -80 - 29 = -109$.

Ответ: 1) $-15{,}3$; 2) 136; 3) $-109$.

№ 667

Найди: 1) 35% от $x$, где $x = \dfrac{400 + 8{,}5 \cdot (-46)}{24{,}5 - (-70) \cdot (-0{,}25)}$; 2) 12% от $x$, где $x = \dfrac{47{,}3 : (-11) - 4{,}7}{-23{,}23 : (-0{,}23) - 110}$.

Решение.

1. Числитель: $400 - 391 = 9$. Знаменатель: $(-70) \cdot (-0{,}25) = 17{,}5$; $24{,}5 - 17{,}5 = 7$. $x = \frac{9}{7}$. 35% от $x$: $0{,}35 \cdot \frac{9}{7} = 0{,}45$.
2. Числитель: $-4{,}3 - 4{,}7 = -9$. Знаменатель: $101 - 110 = -9$. $x = 1$. 12% от 1: $0{,}12$.

Ответ: 1) 0,45; 2) 0,12.

№ 668

Проверь равенства: 1) $\dfrac{\frac{49}{50} \cdot \left(-\frac{25}{28}\right) : 1\frac{5}{16} - 6\frac{1}{3}}{-0{,}24 - (-25) - 34} = 0{,}25$; 2) $\dfrac{-102 : (-0{,}4) \cdot (-0{,}2) + 73}{-\frac{63}{80} : \frac{9}{40} : (-1{,}75) - 5{,}2} = -4{,}4$.

Как думать. Отдельно считаем числитель и знаменатель, потом делим и сравниваем с правой частью.

Решение.

1. Числитель: $\frac{49}{50} \cdot \left(-\frac{25}{28}\right) = -\frac{7}{8}$; $-\frac{7}{8} : \frac{21}{16} = -\frac{2}{3}$; $-\frac{2}{3} - 6\frac{1}{3} = -7$. Знаменатель: $-0{,}24 + 25 - 34 = -9{,}24$. Частное: $\frac{7}{9{,}24} = \frac{25}{33} = 0{,}(75)$. Это не 0,25.
2. Числитель: $-102 : (-0{,}4) = 255$; $255 \cdot (-0{,}2) = -51$; $-51 + 73 = 22$. Знаменатель: $-\frac{63}{80} \cdot \frac{40}{9} = -3{,}5$; $-3{,}5 : (-1{,}75) = 2$; $2 - 5{,}2 = -3{,}2$. Частное: $22 : (-3{,}2) = -6{,}875$. Это не $-4{,}4$.

Ответ: 1) неверно (слева $\frac{25}{33}$); 2) неверно (слева $-6{,}875$).

№ 669

Убедись, что $\left(\frac{24}{59} \cdot 7\frac{13}{15} - 4{,}6\right) : \frac{14}{45} + 39{,}5$ в 10 раз больше, чем $\frac{20}{27} \cdot 16{,}2 - 17 : (-100) \cdot (-50)$.

Решение.

1. $\frac{24}{59} \cdot \frac{118}{15} = \frac{48}{15} = 3{,}2$; $3{,}2 - 4{,}6 = -1{,}4$; $-1{,}4 \cdot \frac{45}{14} = -4{,}5$; $-4{,}5 + 39{,}5 = 35$.
2. $\frac{20}{27} \cdot 16{,}2 = 12$; $17 : (-100) = -0{,}17$; $-0{,}17 \cdot (-50) = 8{,}5$; $12 - 8{,}5 = 3{,}5$.
3. $35 : 3{,}5 = 10$ ✓.

Ответ: 35 и 3,5 — первое в 10 раз больше.

№ 670

Докажи, что значение — целое отрицательное число: 1) $0{,}57 \cdot (-100) : (-8{,}35 + (-227) \cdot (-0{,}05))$; 2) $(-53{,}75) \cdot (-4) : (170 \cdot (-0{,}11) + 13{,}7)$.

Решение.

1. Скобка: $(-227) \cdot (-0{,}05) = 11{,}35$; $-8{,}35 + 11{,}35 = 3$. Дальше $0{,}57 \cdot (-100) = -57$; $-57 : 3 = -19$.
2. Скобка: $170 \cdot (-0{,}11) = -18{,}7$; $-18{,}7 + 13{,}7 = -5$. Дальше $(-53{,}75) \cdot (-4) = 215$; $215 : (-5) = -43$.

Ответ: 1) $-19$; 2) $-43$ — оба целые отрицательные.

№ 671

Вычисли: 1) $-6\frac{3}{4} \cdot 5\frac{1}{3} - 4\frac{1}{3} \cdot 3\frac{3}{13}$; 2) $\left(-2\frac{1}{6} + \frac{1}{4}\right) \cdot \left(-2\frac{2}{11}\right)$; 3) $3\frac{6}{7} \cdot \left(-2\frac{1}{3}\right) - \frac{8}{9} \cdot \left(-1\frac{7}{8}\right)$; 4) $\left(-8\frac{3}{8} + 7\frac{1}{6}\right) \cdot \left(-2\frac{14}{29}\right)$.

Решение.

1. $-\frac{27}{4} \cdot \frac{16}{3} = -36$; $\frac{13}{3} \cdot \frac{42}{13} = 14$; $-36 - 14 = -50$.
2. $-\frac{26}{12} + \frac{3}{12} = -\frac{23}{12}$; $-\frac{23}{12} \cdot \left(-\frac{24}{11}\right) = \frac{46}{11} = 4\frac{2}{11}$.
3. $\frac{27}{7} \cdot \left(-\frac{7}{3}\right) = -9$; $\frac{8}{9} \cdot \left(-\frac{15}{8}\right) = -\frac{5}{3}$; $-9 + \frac{5}{3} = -7\frac{1}{3}$.
4. $-\frac{201}{24} + \frac{172}{24} = -\frac{29}{24}$; $-\frac{29}{24} \cdot \left(-\frac{72}{29}\right) = 3$.

Ответ: 1) $-50$; 2) $4\frac{2}{11}$; 3) $-7\frac{1}{3}$; 4) 3.

№ 672

Найди значение: 1) $\dfrac{-\frac{8}{15} \cdot \left(-\frac{14}{15}\right)}{-\frac{16}{25}}$; 2) $\dfrac{-\frac{3}{8} \cdot \left(-\frac{9}{10}\right)}{-\frac{27}{32}}$.

Решение.

1. Сверху $\frac{112}{225}$; делим на $-\frac{16}{25}$: $-\frac{112}{225} \cdot \frac{25}{16} = -\frac{7}{9}$.
2. Сверху $\frac{27}{80}$; $-\frac{27}{80} \cdot \frac{32}{27} = -\frac{2}{5}$.

Ответ: 1) $-\frac{7}{9}$; 2) $-0{,}4$.

№ 673

Найди значение: 1) $-\left(\frac{1}{3}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1$; 2) $\left(\frac{1}{2}\right)^3 + \left(\frac{1}{4}\right)^2 - 1$.

⚠️ Частая ошибка. $-\left(\frac{1}{3}\right)^2 = -\frac{1}{9}$, а не $+\frac{1}{9}$. Минус стоит вне скобки, в квадрат он не попадает.

Решение.

1. $-\frac{1}{9} - \frac{1}{4} + 1 = \frac{-4 - 9 + 36}{36} = \frac{23}{36}$.
2. $\frac{1}{8} + \frac{1}{16} - 1 = \frac{2 + 1 - 16}{16} = -\frac{13}{16}$.

Ответ: 1) $\frac{23}{36}$; 2) $-\frac{13}{16}$.

Уровень B

№ 674

Выполни: 1) $\left(-3\frac{1}{4} + 2\frac{1}{6}\right) \cdot \left(-2\frac{2}{11}\right) - \left(-\frac{5}{6} + 1\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5} - 1{,}2\right)$; 2) $\left(-2\frac{2}{5} - 1\frac{1}{3}\right) \cdot \left(-1\frac{17}{28}\right) + \left(5\frac{2}{3} - 8\frac{3}{4}\right) \cdot \left(-8\frac{3}{4} + 5\frac{2}{3}\right)$.

Как думать. Во втором примере присмотрись: $5\frac{2}{3} - 8\frac{3}{4}$ и $-8\frac{3}{4} + 5\frac{2}{3}$ — это одно и то же число. Значит, второе произведение — квадрат.

Решение.

1. $-\frac{39}{12} + \frac{26}{12} = -\frac{13}{12}$; $-\frac{13}{12} \cdot \left(-\frac{24}{11}\right) = \frac{26}{11}$. Вторая часть: $-\frac{25}{30} + \frac{48}{30} = \frac{23}{30}$; $-0{,}8 - 1{,}2 = -2$; $\frac{23}{30} \cdot (-2) = -\frac{23}{15}$. Итог: $\frac{26}{11} + \frac{23}{15} = \frac{390 + 253}{165} = \frac{643}{165} = 3\frac{148}{165}$.
2. $-\frac{36}{15} - \frac{20}{15} = -\frac{56}{15}$; $-\frac{56}{15} \cdot \left(-\frac{45}{28}\right) = 6$. Скобки: $\frac{68 - 105}{12} = -\frac{37}{12}$; $\left(-\frac{37}{12}\right)^2 = \frac{1369}{144}$. Итог: $6 + \frac{1369}{144} = \frac{2233}{144} = 15\frac{73}{144}$.

Ответ: 1) $3\frac{148}{165}$; 2) $15\frac{73}{144}$.

№ 675

Найди значение: 1) $-\frac{4}{5} \cdot 3\frac{7}{9} : \left(-2\frac{3}{7}\right) \cdot 5\frac{7}{8} : \left(-6\frac{5}{7}\right)$; 2) $-42 \cdot 5\frac{1}{4} : 3\frac{3}{8} : \left(-2\frac{4}{5}\right) \cdot \left(-3\frac{3}{8}\right)$; 3) $\dfrac{6\frac{3}{5} \cdot (-5{,}4) \cdot 3\frac{1}{3}}{7{,}2 \cdot 3\frac{3}{8} \cdot \left(-\frac{4}{9}\right)}$; 4) $\dfrac{-28\frac{4}{5} : 13\frac{5}{7} - 6\frac{3}{5} : \frac{2}{3}}{-3\frac{3}{11} : \left(-\frac{9}{11}\right)}$.

Как думать. В цепочке умножений и делений превращай каждое деление в умножение на обратное число. Потом — знак по числу минусов и сокращение.

Решение.

1. Три минуса — ответ отрицательный. $\frac{4}{5} \cdot \frac{34}{9} \cdot \frac{7}{17} \cdot \frac{47}{8} \cdot \frac{7}{47} = \frac{4 \cdot 2 \cdot 49}{5 \cdot 9 \cdot 8} = \frac{49}{45}$. Ответ $-1\frac{4}{45}$.
2. Три минуса. $42 \cdot \frac{21}{4} \cdot \frac{8}{27} \cdot \frac{5}{14} \cdot \frac{27}{8} = \frac{42 \cdot 21 \cdot 5}{4 \cdot 14} = \frac{315}{4} = 78{,}75$. Ответ $-78{,}75$.
3. Числитель: $\frac{33}{5} \cdot \frac{10}{3} = 22$; $22 \cdot (-5{,}4) = -118{,}8$. Знаменатель: $7{,}2 \cdot 3{,}375 = 24{,}3$; $24{,}3 \cdot \left(-\frac{4}{9}\right) = -10{,}8$. Частное: $11$.
4. Числитель: $-\frac{144}{5} \cdot \frac{7}{96} = -2{,}1$; $\frac{33}{5} \cdot \frac{3}{2} = 9{,}9$; $-2{,}1 - 9{,}9 = -12$. Знаменатель: $\frac{36}{11} \cdot \frac{11}{9} = 4$. Частное: $-3$.

Ответ: 1) $-1\frac{4}{45}$; 2) $-78{,}75$; 3) 11; 4) $-3$.

№ 676

Найди значение: 1) $\left(\frac{3}{4} - \frac{4}{5}\right) \cdot 7{,}8 - \left(\frac{2}{3} + \frac{4}{7}\right) \cdot \left(-\frac{7}{13}\right)$; 2) $\left(\frac{3}{7} - \frac{16}{21}\right) \cdot \left(-2\frac{2}{7}\right) + \left(\frac{11}{15} + 0{,}3\right) : \left(-12\frac{2}{5}\right)$.

Решение.

1. $\frac{3}{4} - \frac{4}{5} = -\frac{1}{20} = -0{,}05$; $-0{,}05 \cdot 7{,}8 = -0{,}39$. $\frac{2}{3} + \frac{4}{7} = \frac{26}{21}$; $\frac{26}{21} \cdot \left(-\frac{7}{13}\right) = -\frac{2}{3}$. Итог: $-0{,}39 + \frac{2}{3} = -\frac{39}{100} + \frac{2}{3} = \frac{-117 + 200}{300} = \frac{83}{300}$.
2. $\frac{9}{21} - \frac{16}{21} = -\frac{1}{3}$; $-\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{16}{7}\right) = \frac{16}{21}$. $\frac{11}{15} + \frac{3}{10} = \frac{31}{30}$; $\frac{31}{30} : \left(-\frac{62}{5}\right) = -\frac{1}{12}$. Итог: $\frac{16}{21} - \frac{1}{12} = \frac{64 - 7}{84} = \frac{19}{28}$.

Ответ: 1) $\frac{83}{300}$; 2) $\frac{19}{28}$.

№ 677

Найди корни: 1) $\left(\frac{2}{7}x\right) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot (-21) = -5$; 2) $x + \left(\frac{16}{25} - \frac{4}{5}\right) = -3\frac{2}{5} : \frac{5}{6}$; 3) $-\frac{3}{7}y = -\frac{6}{7} \cdot 2{,}5$; 4) $x - \left(1\frac{5}{7} - \frac{1}{3}\right) = -1\frac{2}{7} : 0{,}5$.

Как думать. Сначала упрости всё, что можно посчитать: числовые скобки и правую часть. Получится простое уравнение.

Решение.

1. $\frac{2}{7} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot (-21) = 2$, так что $2x = -5$, $x = -2{,}5$.
2. Скобка: $\frac{16}{25} - \frac{20}{25} = -\frac{4}{25}$. Справа: $-\frac{17}{5} \cdot \frac{6}{5} = -\frac{102}{25}$. $x = -\frac{102}{25} + \frac{4}{25} = -\frac{98}{25} = -3{,}92$.
3. Справа $-\frac{15}{7}$; $y = -\frac{15}{7} : \left(-\frac{3}{7}\right) = 5$.
4. Скобка: $\frac{36}{21} - \frac{7}{21} = \frac{29}{21}$. Справа: $-\frac{9}{7} \cdot 2 = -\frac{18}{7} = -\frac{54}{21}$. $x = -\frac{54}{21} + \frac{29}{21} = -\frac{25}{21} = -1\frac{4}{21}$.

Ответ: 1) $-2{,}5$; 2) $-3{,}92$; 3) 5; 4) $-1\frac{4}{21}$.

№ 678

Найди корни: 1) $-2x \cdot (-0{,}6) = -1{,}44$; 2) $6{,}6 - (4{,}2 + x) = -2{,}2$; 3) $0{,}24x \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 0{,}08$; 4) $-12y \cdot 0{,}06 = 1{,}44$.

Решение.

1. $1{,}2x = -1{,}44$; $x = -1{,}2$.
2. $4{,}2 + x = 6{,}6 + 2{,}2 = 8{,}8$; $x = 4{,}6$.
3. $-0{,}08x = 0{,}08$; $x = -1$.
4. $-0{,}72y = 1{,}44$; $y = -2$.

Ответ: 1) $-1{,}2$; 2) 4,6; 3) $-1$; 4) $-2$.

Уровень C

№ 679

Найди значения — получишь годы открытия вузов: 1) $(-10 + (-0{,}05) \cdot (-7{,}1)) : (0{,}095 : (-19)) - 1$ — КазНПУ им. Абая; 2) $(-12{,}5 \cdot (-0{,}8) - 50) \cdot (29{,}4 : 6{,}25 - 80) - 1074$ — КазНУ им. аль-Фараби; 3) $(-70 - 11{,}25 \cdot 0{,}8) \cdot (-30 + (-0{,}8) \cdot (-6{,}25)) - 37$ — Карагандинский университет им. Е. Букетова.

Решение.

1. $(-0{,}05) \cdot (-7{,}1) = 0{,}355$; $-10 + 0{,}355 = -9{,}645$. $0{,}095 : (-19) = -0{,}005$. $-9{,}645 : (-0{,}005) = 1929$; $1929 - 1 = 1928$.
2. $-12{,}5 \cdot (-0{,}8) = 10$; $10 - 50 = -40$. $29{,}4 : 6{,}25 = 4{,}704$; $4{,}704 - 80 = -75{,}296$. $-40 \cdot (-75{,}296) = 3011{,}84$; $3011{,}84 - 1074 = 1937{,}84$. Год так не получается — похоже, в условии опечатка. На самом деле КазНУ открыт в 1934 году.
3. $11{,}25 \cdot 0{,}8 = 9$; $-70 - 9 = -79$. $(-0{,}8) \cdot (-6{,}25) = 5$; $-30 + 5 = -25$. $-79 \cdot (-25) = 1975$; $1975 - 37 = 1938$.

Ответ: 1) 1928 г.; 2) по условию выходит 1937,84, верный год — 1934; 3) 1938 г.

🌟 КазНПУ им. Абая — самый старый вуз Казахстана. Он открылся в Алматы в 1928 году как первый казахский педагогический институт.

№ 680

Одна мастерская выполняет заказ за 4 ч, другая — за 6 ч. За сколько они сделают его вместе?

Как думать. Весь заказ — 1. Складываем, сколько обе делают за час.

Решение.

1. За 1 ч вместе: $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$ заказа.
2. Время: $1 : \frac{5}{12} = \frac{12}{5} = 2{,}4$ ч.
3. $0{,}4$ ч $= 24$ мин.

Ответ: 2,4 ч, то есть 2 ч 24 мин.

№ 681

С помощью распределительного свойства вычисли: 1) $(2{,}5 + 200) \cdot |-4|$; 2) $(100 + 1{,}6) \cdot |50|$; 3) $(1{,}5 + 300) \cdot |-60|$; 4) $(100 + 1{,}8) \cdot |-50|$.

Как думать. Модуль сначала превращаем в положительное число, потом умножаем каждое слагаемое.

Решение.

1. $2{,}5 \cdot 4 + 200 \cdot 4 = 10 + 800 = 810$.
2. $100 \cdot 50 + 1{,}6 \cdot 50 = 5000 + 80 = 5080$.
3. $1{,}5 \cdot 60 + 300 \cdot 60 = 90 + 18,000 = 18,090$.
4. $100 \cdot 50 + 1{,}8 \cdot 50 = 5000 + 90 = 5090$.

Ответ: 1) 810; 2) 5080; 3) 18 090; 4) 5090.

№ 682

Найди неизвестное вычитаемое: 1) $|-8765{,}4| - x = \left|-700\frac{2}{5}\right| + |8050|$; 2) $|783| - x = |-27|$.

Решение.

1. $8765{,}4 - x = 700{,}4 + 8050 = 8750{,}4$; $x = 8765{,}4 - 8750{,}4 = 15$.
2. $783 - x = 27$; $x = 756$.

Ответ: 1) 15; 2) 756.

Готовимся к следующей теме

№ 683

Назови два значения $a$, при которых $a + 24$: 1) отрицательно; 2) положительно.

Как думать. $a + 24 = 0$ при $a = -24$. Если $a$ левее $-24$ — сумма отрицательная, правее — положительная.

Решение.

1. Например, $a = -30$: $-30 + 24 = -6$; $a = -25$: $-1$.
2. Например, $a = 0$: $24$; $a = -20$: $4$.

Ответ: 1) например, $-30$ и $-25$ (любое $a < -24$); 2) например, $0$ и $-20$ (любое $a > -24$).

№ 684

Найди значение: 1) $813{,}7a + 186{,}3a - 100$ при $a = 0{,}01$; 2) $179{,}8b + 820{,}2b - 9010$ при $b = 10$.

Как думать. Сначала сложи коэффициенты: получится ровно 1000. Это и будет темой следующей главы.

Решение.

1. $(813{,}7 + 186{,}3)a = 1000a$; $1000 \cdot 0{,}01 - 100 = 10 - 100 = -90$.
2. $(179{,}8 + 820{,}2)b = 1000b$; $1000 \cdot 10 - 9010 = 990$.

Ответ: 1) $-90$; 2) 990.

Шпаргалка

• Порядок действий для рациональных чисел тот же, что и для натуральных.
• Перед счётом ищи упрощения: нули, единицы, общий множитель.
• Длинный пример записывай по действиям: 1) …; 2) …; 3) …
• Знак каждого действия ставь сразу, не откладывай «на потом».

Мини-тест