§ 23. Распределительное свойство умножения рациональных чисел. Раскрытие скобок

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 3: Алгебраические выражения. Страницы 156–161.

Чему научишься

• Умножать число на сумму в скобках, даже если там отрицательные числа.
• Раскрывать скобки, перед которыми стоит «+» или «–».
• Выносить общий множитель за скобки.
• Считать в уме вроде $-9 \cdot 101$ за пару секунд.

Разминка

Это задания № 709 и 710 из прошлого урока. Ответь в уме, потом открой ответ.

• Сколько будет $25 \cdot 0,05 + 75 \cdot 0,05$? Множитель 0,05 общий: $0,05 \cdot 100 = 5$.
• А $6,27 \cdot 87 + 87 \cdot 3,73$? $87 \cdot (6,27 + 3,73) = 87 \cdot 10 = 870$.
• А $100,9 \cdot 483 - 383 \cdot 100,9$? $100,9 \cdot 100 = 10,090$.
• Реши $3x + 4x = 70,7$. $7x = 70,7$, $x = 10,1$.
• Реши $10x - 4x = 0,006$. $6x = 0,006$, $x = 0,001$.

💡 Во всех примерах мы «собирали» одинаковый множитель в одну кучку. Это и есть распределительное свойство. Сегодня проверим, что оно работает и с минусами.

Разбираемся

Работает ли свойство с минусами?

Ты знаешь: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$. Например, 3 пакета по 5 яблок и 2 груши: $3 \cdot (5 + 2) = 15 + 6$. А если числа отрицательные?

Проверим: $-10 \cdot (-9 + 7)$.

• Слева: $-10 \cdot (-2) = 20$.
• Справа: $-10 \cdot (-9) + (-10) \cdot 7 = 90 - 70 = 20$.

Совпало! Так будет для любых рациональных чисел.

📌 Для любых рациональных $a$, $b$, $c$: $c(a + b) = ca + cb$ и $(a + b)c = ac + bc$. Заменить $c(a + b)$ на $ca + cb$ — значит раскрыть скобки.

Слагаемых в скобках может быть и больше двух. Множитель достаётся каждому: $3(2a + 4b - 8c) = 6a + 12b - 24c$.

Минус перед скобкой — переключатель знаков

Что такое $-(52x - 94y + 70)$? Это $-1 \cdot (52x - 94y + 70)$. Умножаем каждое слагаемое на $-1$ — и каждое меняет знак.

А если перед скобкой «+»? Тогда скобки просто убираем, знаки не трогаем: $20 + (15x + 6y) = 20 + 15x + 6y$.

📌 Перед скобкой «–» — убираем скобки и меняем знак каждого слагаемого внутри. Перед скобкой «+» — убираем скобки, знаки оставляем.

⚠️ Частая ошибка. Меняют знак только у первого слагаемого: $-(a - b + c) = -a - b + c$. Неверно! Правильно: $-a + b - c$. Минус действует на всю скобку, до самого конца.

Попробуй сам: какие знаки получатся?

В обратную сторону: выносим за скобки

Равенство можно читать справа налево: $ac + bc = (a + b)c$. Если у слагаемых есть общий множитель, его можно вынести за скобки. В скобках останется то, что «осталось» от каждого слагаемого.

Пример: $5x + 50y - 15 = 5 \cdot x + 5 \cdot 10y - 5 \cdot 3 = 5(x + 10y - 3)$.

А вот как это помогает считать: $11 \cdot (-\frac{3}{7}) + 3 \cdot (-\frac{3}{7}) = (11 + 3) \cdot (-\frac{3}{7}) = 14 \cdot (-\frac{3}{7}) = -6$.

💡 Проверка после вынесения простая: раскрой скобки обратно. Должно получиться то, с чего начал.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка вслух проговаривать: «минус перед скобкой — меняю все знаки». Через несколько примеров ошибки почти исчезают.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какое свойство используют при раскрытии скобок? Распределительное свойство умножения: $c(a + b) = ca + cb$.
• Вместо какого множителя перед скобкой пишут просто «–»? Вместо множителя $-1$.
• Что происходит со знаками, когда раскрываешь скобки с «–» впереди? Знаки всех слагаемых в скобках меняются на противоположные.
• А если слагаемые, наоборот, заключить в скобки с «–» впереди? Тоже поменять все знаки: $a - b = -(-a + b)$.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 711

Раскрой скобки: 1) $5(2 + a)$; 2) $-(5 + b)$; 3) $-(c - 3)$; 4) $-0,4(6 - x)$; 5) $-1,3(y + z)$; 6) $9,1(10 + t)$.

Как думать. Множитель перед скобкой умножаем на каждое слагаемое. Следим за знаками.

Решение.

1. $5 \cdot 2 + 5a = 10 + 5a$.
2. $-5 - b$.
3. $-c + 3$.
4. $-0,4 \cdot 6 - 0,4 \cdot (-x) = -2,4 + 0,4x$.
5. $-1,3y - 1,3z$.
6. $91 + 9,1t$.

Ответ: 1) $10 + 5a$; 2) $-5 - b$; 3) $-c + 3$; 4) $-2,4 + 0,4x$; 5) $-1,3y - 1,3z$; 6) $91 + 9,1t$.

№ 712

Раскрой скобки: 1) $\frac{2}{3}(6a - 9b + 2,7)$; 2) $-\frac{2}{7}(7x + 28y - 0,7)$; 3) $-1,5(2 - 4a + 20b)$; 4) $2,3(3x - 4y + 5)$.

Решение.

1. $\frac{2}{3} \cdot 6a = 4a$; $\frac{2}{3} \cdot (-9b) = -6b$; $\frac{2}{3} \cdot 2,7 = 1,8$. Итого $4a - 6b + 1,8$.
2. $-2x - 8y + 0,2$.
3. $-3 + 6a - 30b$.
4. $6,9x - 9,2y + 11,5$.

Ответ: 1) $4a - 6b + 1,8$; 2) $-2x - 8y + 0,2$; 3) $-3 + 6a - 30b$; 4) $6,9x - 9,2y + 11,5$.

№ 713

Вынеси общий множитель за скобки: 1) $6a + 18$; 2) $-7b + 35$; 3) $8 - 24c$; 4) $\frac{2}{3}x - \frac{4}{9}$; 5) $-1,2 - 2,4y$; 6) $-10 + 80k$.

Как думать. Ищем число, на которое делится каждое слагаемое. Делим на него каждое — это и пишем в скобках.

Решение.

1. $6(a + 3)$.
2. $7(-b + 5) = 7(5 - b)$.
3. $8(1 - 3c)$.
4. $\frac{4}{9} = \frac{2}{9} \cdot 2$, $\frac{2}{3} = \frac{2}{9} \cdot 3$. Получаем $\frac{2}{9}(3x - 2)$.
5. $-1,2(1 + 2y)$.
6. $10(-1 + 8k) = 10(8k - 1)$.

Ответ: 1) $6(a + 3)$; 2) $7(5 - b)$; 3) $8(1 - 3c)$; 4) $\frac{2}{9}(3x - 2)$; 5) $-1,2(1 + 2y)$; 6) $10(8k - 1)$.

💡 Во 2) можно вынести и $-7$: $-7(b - 5)$. Тоже верно — раскрой скобки и проверь.

№ 714

Вынеси общий множитель: 1) $8x + 8y$; 2) $-3a + 3b$; 3) $15t - 15k$; 4) $16a - 20b$; 5) $-35x + 42y$; 6) $-\frac{5}{6}c + \frac{5}{6}d$.

Решение.

1. $8(x + y)$.
2. $3(b - a)$.
3. $15(t - k)$.
4. Общий делитель 16 и 20 — это 4: $4(4a - 5b)$.
5. Общий делитель 35 и 42 — 7: $7(6y - 5x)$.
6. $\frac{5}{6}(d - c)$.

Ответ: 1) $8(x + y)$; 2) $3(b - a)$; 3) $15(t - k)$; 4) $4(4a - 5b)$; 5) $7(6y - 5x)$; 6) $\frac{5}{6}(d - c)$.

№ 715

С помощью распределительного свойства вычисли: 1) $-5 \cdot (-107)$; 2) $-9 \cdot 101$; 3) $(-8) \cdot 103$; 4) $13 \cdot (-101)$; 5) $(-98) \cdot (-21)$; 6) $(-17) \cdot 105$.

Как думать. Неудобное число разбиваем на круглое и маленькое: $107 = 100 + 7$, $98 = 100 - 2$.

Решение.

1. $-5 \cdot (-100 - 7) = 500 + 35 = 535$.
2. $-9 \cdot (100 + 1) = -900 - 9 = -909$.
3. $-8 \cdot (100 + 3) = -800 - 24 = -824$.
4. $13 \cdot (-100 - 1) = -1300 - 13 = -1313$.
5. $98 \cdot 21 = (100 - 2) \cdot 21 = 2100 - 42 = 2058$.
6. $-17 \cdot (100 + 5) = -1700 - 85 = -1785$.

Ответ: 1) 535; 2) $-909$; 3) $-824$; 4) $-1313$; 5) 2058; 6) $-1785$.

№ 716

Раскрой скобки и посчитай: 1) $103 + (-3 + 24)$; 2) $-96 + (-4 + 82)$; 3) $(-105 + 89) + 5$; 4) $(97 - 111) + 11$.

Как думать. Перед скобками «+», знаки не меняются. Ищем пары, которые дают круглые числа.

Решение.

1. $103 - 3 + 24 = 100 + 24 = 124$.
2. $-96 - 4 + 82 = -100 + 82 = -18$.
3. $-105 + 89 + 5 = -100 + 89 = -11$.
4. $97 - 111 + 11 = 97 - 100 = -3$.

Ответ: 1) 124; 2) $-18$; 3) $-11$; 4) $-3$.

№ 717

Раскрой скобки и посчитай: 1) $8,4 + (-67,2 + 1,6)$; 2) $93,18 - (-5,9 - 6,82)$; 3) $-(24,17 - 25,3) + 74,7$; 4) $-118,12 + (-58,1 + 18,12)$.

Решение.

1. $8,4 - 67,2 + 1,6 = 10 - 67,2 = -57,2$.
2. $93,18 + 5,9 + 6,82 = 100 + 5,9 = 105,9$.
3. $-24,17 + 25,3 + 74,7 = -24,17 + 100 = 75,83$.
4. $-118,12 - 58,1 + 18,12 = -100 - 58,1 = -158,1$.

Ответ: 1) $-57,2$; 2) 105,9; 3) 75,83; 4) $-158,1$.

№ 718

Раскрой скобки и посчитай: 1) $(\frac{27}{28} - \frac{5}{9}) - (-\frac{1}{28} + 8\frac{4}{9})$; 2) $-(-\frac{20}{27} + \frac{3}{8}) + (-5\frac{5}{8} + 4\frac{7}{27})$; 3) $(10,8 - 49\frac{2}{7}) - (-9,2 + 3\frac{5}{7})$; 4) $-(81,3 - 3\frac{11}{16}) - (9,9 - 11\frac{5}{16})$.

Как думать. После раскрытия скобок собираем «родственников»: дроби с одинаковыми знаменателями, десятичные с десятичными.

Решение.

1. $\frac{27}{28} - \frac{5}{9} + \frac{1}{28} - 8\frac{4}{9} = (\frac{27}{28} + \frac{1}{28}) - (\frac{5}{9} + 8\frac{4}{9}) = 1 - 9 = -8$.
2. $\frac{20}{27} - \frac{3}{8} - 5\frac{5}{8} + 4\frac{7}{27} = (\frac{20}{27} + 4\frac{7}{27}) - (\frac{3}{8} + 5\frac{5}{8}) = 5 - 6 = -1$.
3. $10,8 - 49\frac{2}{7} + 9,2 - 3\frac{5}{7} = (10,8 + 9,2) - (49\frac{2}{7} + 3\frac{5}{7}) = 20 - 53 = -33$.
4. $-81,3 + 3\frac{11}{16} - 9,9 + 11\frac{5}{16} = -(81,3 + 9,9) + (3\frac{11}{16} + 11\frac{5}{16}) = -91,2 + 15 = -76,2$.

Ответ: 1) $-8$; 2) $-1$; 3) $-33$; 4) $-76,2$.

Уровень B

№ 719

Упрости: 1) $-8,9 + (z - 1,9)$; 2) $-(2,4 - a) - 10,4$; 3) $-(-5,5 - b)$; 4) $-13,8 - (c + 20,2)$.

Решение.

1. $-8,9 + z - 1,9 = z - 10,8$.
2. $-2,4 + a - 10,4 = a - 12,8$.
3. $5,5 + b$.
4. $-13,8 - c - 20,2 = -c - 34$.

Ответ: 1) $z - 10,8$; 2) $a - 12,8$; 3) $b + 5,5$; 4) $-c - 34$.

№ 720

Упрости: 1) $-8,4 + a + b - 9,6$; 2) $-x - 18 - 19\frac{2}{7} + y$; 3) $b - 73\frac{6}{7} - 100 + c$; 4) $-61\frac{2}{9} - k + t - 68\frac{1}{6}$.

Как думать. Буквы оставляем, а числа складываем между собой.

Решение.

1. $-8,4 - 9,6 = -18$: получаем $a + b - 18$.
2. $-18 - 19\frac{2}{7} = -37\frac{2}{7}$: получаем $-x + y - 37\frac{2}{7}$.
3. $-73\frac{6}{7} - 100 = -173\frac{6}{7}$: получаем $b + c - 173\frac{6}{7}$.
4. $-61\frac{4}{18} - 68\frac{3}{18} = -129\frac{7}{18}$: получаем $-k + t - 129\frac{7}{18}$.

Ответ: 1) $a + b - 18$; 2) $y - x - 37\frac{2}{7}$; 3) $b + c - 173\frac{6}{7}$; 4) $t - k - 129\frac{7}{18}$.

№ 721

Запиши разность выражений и упрости: 1) $-17,8 - x$ и $y - 100,4$; 2) $k - 57,4$ и $d - 60\frac{2}{3}$; 3) $-t + 30,1$ и $-k + 310\frac{2}{9}$; 4) $-90,7 - a$ и $81,4 - b$.

Как думать. Каждое выражение берём в скобки, между ними ставим «–». Потом раскрываем: у второй скобки знаки меняются.

Решение.

1. $(-17,8 - x) - (y - 100,4) = -17,8 - x - y + 100,4 = 82,6 - x - y$.
2. $(k - 57,4) - (d - 60\frac{2}{3}) = k - d - 57\frac{2}{5} + 60\frac{2}{3} = k - d + 3\frac{4}{15}$.
3. $(-t + 30,1) - (-k + 310\frac{2}{9}) = -t + k + 30\frac{1}{10} - 310\frac{2}{9} = k - t - 280\frac{11}{90}$.
4. $(-90,7 - a) - (81,4 - b) = -90,7 - a - 81,4 + b = b - a - 172,1$.

Ответ: 1) $82,6 - x - y$; 2) $k - d + 3\frac{4}{15}$; 3) $k - t - 280\frac{11}{90}$; 4) $b - a - 172,1$.

⚠️ Частая ошибка. Пишут разность без скобок: $-17,8 - x - y - 100,4$. Минус должен действовать на всё второе выражение, поэтому сначала скобки!

№ 722

Раскрой скобки и посчитай: 1) $38,267 - 5\frac{17}{18} - (1,074 - 3\frac{1}{6}) - (37,193 - 2\frac{8}{9})$; 2) $-(19\frac{4}{15} - 21,095) + (8\frac{1}{5} - 18,975) - (-11\frac{2}{3} + 2,12)$.

Как думать. Не считай по порядку! Сначала раскрой скобки, потом сгруппируй десятичные дроби отдельно, обыкновенные — отдельно.

Решение.

1. По шагам выше: $0 + \frac{1}{9} = \frac{1}{9}$.
2. Раскрываем: $-19\frac{4}{15} + 21,095 + 8\frac{1}{5} - 18,975 + 11\frac{2}{3} - 2,12$. Десятичные: $21,095 - 18,975 - 2,12 = 0$. Дроби: $-19\frac{4}{15} + 8\frac{3}{15} + 11\frac{10}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$.

Ответ: 1) $\frac{1}{9}$; 2) $\frac{3}{5}$.

Уровень C

№ 723

Раскрой скобки: 1) $(-x - y) - (z - t) + (a + b)$; 2) $-(x - a) + (-b - y) - (c + d)$.

Решение.

1. Первая скобка с «+» (его просто не пишут) — знаки те же. Вторая с «–» — меняем. Третья с «+». Получаем $-x - y - z + t + a + b$.
2. $-x + a - b - y - c - d$.

Ответ: 1) $-x - y - z + t + a + b$; 2) $-x + a - b - y - c - d$.

№ 724

Проверь раскрытие скобок: 1) $-(-a - (-b + (-c))) = a - b - c$; 2) $-(a - (-b - (-c))) = -a - b + c$.

Как думать. Скобки внутри скобок раскрываем изнутри наружу, по одной.

Решение.

1. $-b + (-c) = -b - c$. Затем $-a - (-b - c) = -a + b + c$. Затем $-(-a + b + c) = a - b - c$. Совпало.
2. $-b - (-c) = -b + c$. Затем $a - (-b + c) = a + b - c$. Затем $-(a + b - c) = -a - b + c$. Совпало.

Ответ: оба раскрытия верные.

№ 725

Впиши вместо квадратиков «+» или «–»: 1) $-(a - b) + (-d + t) = -a \square b \square d \square t$; 2) $\square(-x + y) \square (z - k) = -x + y - z + k$.

Решение.

1. $-(a - b) = -a + b$, а $+(-d + t) = -d + t$. Знаки: «+», «–», «+».
2. В правой части $-x + y$ — знаки как в первой скобке, значит, перед ней «+» (его можно не писать). Дальше $-z + k$ — знаки сменились, значит, перед второй скобкой «–».

Ответ: 1) $-a + b - d + t$; 2) $+(-x + y) - (z - k)$.

Повторение

№ 726

Первая бригада сделает работу за 8 дней, вторая — за 4 дня. За сколько дней они сделают её вместе?

Как думать. Всю работу примем за 1. За день первая делает $\frac{1}{8}$ работы, вторая — $\frac{1}{4}$.

Решение.

1. Вместе за день: $\frac{1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{3}{8}$ работы.
2. Вся работа: $1 : \frac{3}{8} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$ дня.

Ответ: за $2\frac{2}{3}$ дня.

№ 727

Найди $x$ из пропорции $\frac{x - 98,4}{-52} = \frac{-2,5}{1,3}$.

Решение.

1. По основному свойству пропорции: $(x - 98,4) \cdot 1,3 = -52 \cdot (-2,5) = 130$.
2. $x - 98,4 = 130 : 1,3 = 100$.
3. $x = 198,4$.

Ответ: 198,4.

Готовимся к следующей теме

№ 728

Выполни действия: 1) $17\frac{1}{4} : 3\frac{12}{19} - 7,25$; 2) $\frac{37}{60} : \frac{74}{125} \cdot \frac{12}{25} + 3\frac{1}{3}$.

Решение.

1. $\frac{69}{4} : \frac{69}{19} = \frac{19}{4} = 4,75$; $4,75 - 7,25 = -2,5$.
2. $\frac{37}{60} \cdot \frac{125}{74} = \frac{125}{120} = \frac{25}{24}$; $\frac{25}{24} \cdot \frac{12}{25} = \frac{1}{2}$; $\frac{1}{2} + 3\frac{1}{3} = 3\frac{5}{6}$.

Ответ: 1) $-2,5$; 2) $3\frac{5}{6}$.

№ 729

Найди значение $3a - 4b + 1$ при $a = 0,09$ и $b = -0,25$.

Решение. $3 \cdot 0,09 - 4 \cdot (-0,25) + 1 = 0,27 + 1 + 1 = 2,27$.

Ответ: 2,27.

Шпаргалка

• Распределительное свойство работает для любых рациональных чисел.
• Минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого.
• Плюс перед скобкой ничего не меняет.
• Скобки в скобках раскрывай изнутри наружу.
• Разбивай неудобные числа: $-9 \cdot 101 = -900 - 9$.

Мини-тест