§ 25. Тождество. Тождественные преобразования выражений

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 3: Алгебраические выражения. Страницы 168–174.

Чему научишься

• Понимать, когда два выражения «тождественно равны», то есть совпадают при любых значениях букв.
• Отличать тождество от обычного равенства с переменной.
• Заменять выражение более простым и не терять при этом ни одного значения.
• Доказывать тождества: упрощать одну или обе части, пока они не совпадут.

Разминка

Это задания № 754 и 755 из прошлого урока. Посчитай в уме.

• Равны ли $2{,}5 \cdot 100 - 75$ и $52{,}5 : 0{,}03$? Нет: первое равно 175, второе 1750. Ноль «уехал».
• Равны ли $4\frac{1}{3} \cdot 0{,}15 + 0{,}37$ и $-17 + 10 + 18$? Нет: $0{,}65 + 0{,}37 = 1{,}02$, а справа 11.
• Верно ли $-20 + 30 - 40 - 60 = -90$? Да: $10 - 40 = -30$, $-30 - 60 = -90$.
• Верно ли $-20 - 30 + 40 - 60 = -150$? Нет, получится $-70$.
• Верно ли $-20 - 30 + 40 + 60 = 50$? Да.
• Верно ли $20 + 30 - 40 - 60 = 50$? Нет, получится $-50$: знак потеряли.

💡 Числовое равенство либо верное, либо нет. А с буквами интереснее: одно и то же равенство при одних числах верное, а при других — нет. Но есть равенства, которые верны всегда. О них и урок.

Разбираемся

Два выражения — один ответ

Возьмём $x + 8$ и $8 + x$. Подставим $x = 0$: оба дают 8. $x = -2$: оба 6. $x = 10$: оба 18. $x = -5$: оба 3.

Какое бы число ты ни взял, ответы совпадут: от перестановки слагаемых сумма не меняется. Такие выражения называются тождественно равными.

📌 Два выражения с переменными тождественно равны, если при любых значениях переменных их значения одинаковы.

Ещё примеры: $a \cdot 0$ и $0$; $a(b + c)$ и $ab + ac$; $-m \cdot (-n)$ и $mn$. А $2x^2 + 3xy$ и $x(2x + 3y)$? Раскрой скобки во втором: $x \cdot 2x + x \cdot 3y = 2x^2 + 3xy$. Совпало — значит, тоже тождественно равны.

Что такое тождество

Соедини два тождественно равных выражения знаком «=» — получится тождество. Например, $x + 8 = 8 + x$ или $x + y = y + x$. Подставляй любые числа — равенство останется верным.

📌 Тождество — равенство с переменными, которое верно при любых значениях переменных.

Все свойства действий, которые ты знаешь, — это тождества: $xy = yx$, $(x + y) + z = x + (y + z)$, $(x + y)z = xz + yz$, $a + 0 = a$, $a \cdot 1 = a$, $a \cdot 0 = 0$.

А вот $x + 5 = 8$ — не тождество. Оно верно только при $x = 3$. Это уравнение.

⚠️ Частая ошибка. Проверили одно число — и решили, что это тождество. Например, $x \cdot x = x$ верно при $x = 1$, но при $x = 2$ уже нет. Чтобы опровергнуть тождество, хватит одного числа, где равенство ломается. А чтобы доказать — нужны преобразования.

Преобразовать — значит заменить на «двойника»

Как посчитать $6 \cdot (100 + 70)$ в уме? Раскрыть скобки: $6 \cdot 100 + 6 \cdot 70 = 600 + 420 = 1020$. Мы заменили выражение на тождественно равное. Это и есть тождественное преобразование.

Ты уже делал такие преобразования в прошлых уроках: раскрывал скобки и приводил подобные слагаемые. Теперь у них появилось «официальное» имя.

📌 Тождественное преобразование — замена выражения другим, тождественно равным ему.

Как доказать тождество

Доказать тождество — показать, что левая и правая части тождественно равны. Есть три пути:

1. Упрощать левую часть, пока не получится правая.
2. Упрощать правую часть, пока не получится левая.
3. Упрощать обе части, пока не получится одно и то же.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка подставить в обе части, например, $a = 1$ и $a = -2$. Совпадение не доказывает тождество, но отлично ловит ошибки в преобразованиях. Это хорошая привычка для самопроверки.

⚠️ Частая ошибка. Заменили $-(a + b)$ на $-a + b$. Минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого: $-(a + b) = -a - b$. Проверь на числах: при $a = 1$, $b = 1$ получится $-2$, а в «ошибочном» варианте $0$.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какие из равенств $5 + x = 5$; $5 + x = 5 + x$; $x = 5$; $5 = 5$; $x = x$ — тождества? $5 + x = 5 + x$ и $x = x$ верны при любом $x$. $5 = 5$ — верное числовое равенство, его тоже относят к тождествам. А $5 + x = 5$ и $x = 5$ верны только при одном значении $x$.
• Какое выражение тождественно равно $m \cdot (-n)$? А $-(a - b)$? $m \cdot (-n) = -mn$; $-(a - b) = -a + b = b - a$.
• Почему замена $-(a + b)$ на $-a + b$ — не тождественное преобразование? Потому что $-(a + b) = -a - b$. При $a = 1$, $b = 2$ получаем $-3$ и $1$ — значения разные.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 756

Какие свойства действий показывают, что тождественно равны: 1) $a + 20$ и $20 + a$; 2) $bc + 7{,}1$ и $7{,}1 + bc$; 3) $19 + (a + b)$ и $(a + b) + 19$; 4) $9(c + d)$ и $9c + 9d$?

Как думать. Смотри, что поменялось: слагаемые местами или скобки раскрыли умножением.

Решение.

1. Слагаемые поменялись местами — переместительное свойство сложения.
2. То же: $bc$ и $7{,}1$ поменялись местами — переместительное свойство сложения.
3. Сумма $(a + b)$ — одно слагаемое, оно поменялось местами с 19 — переместительное свойство сложения.
4. 9 умножили на каждое слагаемое — распределительное свойство умножения.

Ответ: 1)–3) переместительное свойство сложения; 4) распределительное свойство умножения относительно сложения.

№ 757

Тождественно ли равны: 1) $15 + 2a - 3$ и $12 + 2a$; 2) $4{,}7 - a$ и $a - 4{,}7$; 3) $(1{,}5a) \cdot (2b)$ и $30ab$; 4) $(40x) \cdot y$ и $(5x) \cdot (8y)$?

Как думать. Упрости оба выражения. Если сомневаешься — найди число, при котором значения разные.

Решение.

1. $15 - 3 = 12$, значит, $15 + 2a - 3 = 12 + 2a$. Да.
2. При $a = 0$: $4{,}7$ и $-4{,}7$. Разные. Нет.
3. $1{,}5 \cdot 2 = 3$, то есть $(1{,}5a)(2b) = 3ab$, а не $30ab$. Нет.
4. $5 \cdot 8 = 40$, то есть $(5x)(8y) = 40xy = (40x)y$. Да.

Ответ: 1) да; 2) нет; 3) нет; 4) да.

№ 758

Упрости: 1) $31a \cdot (-6)$; 2) $\frac{5}{9} \cdot (-45c)$; 3) $0{,}36x \cdot (-y)$; 4) $-20 \cdot (0{,}7b)$; 5) $\frac{7}{11} \cdot \left(\frac{3}{7}d\right)$; 6) $-1{,}2 \cdot (-5z)$.

Как думать. Перемножаем числа отдельно, буквы оставляем. Знак: «плюс на минус» — минус, «минус на минус» — плюс.

Решение.

1. $31 \cdot (-6) = -186$ → $-186a$.
2. $\frac{5}{9} \cdot (-45) = -25$ → $-25c$.
3. $0{,}36 \cdot (-1) = -0{,}36$ → $-0{,}36xy$.
4. $-20 \cdot 0{,}7 = -14$ → $-14b$.
5. $\frac{7}{11} \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{11}$ → $\frac{3}{11}d$.
6. $-1{,}2 \cdot (-5) = 6$ → $6z$.

Ответ: 1) $-186a$; 2) $-25c$; 3) $-0{,}36xy$; 4) $-14b$; 5) $\frac{3}{11}d$; 6) $6z$.

№ 759

Упрости: 1) $6x \cdot (-10y)$; 2) $-3{,}4a \cdot (80b)$; 3) $7\frac{1}{12}c \cdot 1\frac{5}{7}d$; 4) $2{,}7mn \cdot \left(2\frac{1}{9}t\right)$; 5) $-1{,}1(50a - c)$; 6) $\left(23{,}5x - \frac{1}{6}y\right) \cdot (-6)$.

Как думать. В 1)–4) перемножаем коэффициенты, буквы пишем рядом. В 5)–6) раскрываем скобки: умножаем на каждое слагаемое.

Решение.

1. $6 \cdot (-10) = -60$ → $-60xy$.
2. $-3{,}4 \cdot 80 = -272$ → $-272ab$.
3. $\frac{85}{12} \cdot \frac{12}{7} = \frac{85}{7} = 12\frac{1}{7}$ → $12\frac{1}{7}cd$.
4. $\frac{27}{10} \cdot \frac{19}{9} = \frac{57}{10} = 5{,}7$ → $5{,}7mnt$.
5. $-1{,}1 \cdot 50a = -55a$, $-1{,}1 \cdot (-c) = 1{,}1c$ → $-55a + 1{,}1c$.
6. $23{,}5x \cdot (-6) = -141x$, $-\frac{1}{6}y \cdot (-6) = y$ → $-141x + y$.

Ответ: 1) $-60xy$; 2) $-272ab$; 3) $12\frac{1}{7}cd$; 4) $5{,}7mnt$; 5) $-55a + 1{,}1c$; 6) $-141x + y$.

№ 760

Приведи подобные: 1) $245x - 100{,}1 + 265x + 99{,}9$; 2) $\frac{2}{3}y + 48 + 2\frac{1}{7}y - 51$; 3) $-0{,}09a - 1{,}01b + 0{,}9a + 0{,}9b$; 4) $41\frac{3}{11}n + m - 8\frac{4}{11}n - 22{,}2m$.

Как думать. Собираем «своих со своими»: слагаемые с одинаковыми буквами вместе, числа — вместе.

Решение.

1. $245x + 265x = 510x$; $-100{,}1 + 99{,}9 = -0{,}2$ → $510x - 0{,}2$.
2. $\frac{14}{21}y + 2\frac{3}{21}y = 2\frac{17}{21}y$; $48 - 51 = -3$ → $2\frac{17}{21}y - 3$.
3. $-0{,}09a + 0{,}9a = 0{,}81a$; $-1{,}01b + 0{,}9b = -0{,}11b$ → $0{,}81a - 0{,}11b$.
4. $41\frac{3}{11}n - 8\frac{4}{11}n = 32\frac{10}{11}n$; $m - 22{,}2m = -21{,}2m$ → $32\frac{10}{11}n - 21{,}2m$.

Ответ: 1) $510x - 0{,}2$; 2) $2\frac{17}{21}y - 3$; 3) $0{,}81a - 0{,}11b$; 4) $32\frac{10}{11}n - 21{,}2m$.

№ 761

Приведи подобные: 1) $9\frac{1}{9}a - 20c + \frac{1}{3}a + 18{,}1c$; 2) $6{,}5x - 7{,}1x - 19 + 8\frac{1}{4}x$; 3) $-1{,}6y + 2\frac{3}{7}y - 3y + 2{,}6$; 4) $-4\frac{1}{6}z + 2\frac{1}{3}c - 3c + 5{,}5z$.

Как думать. Где смешаны десятичные и обыкновенные дроби, переведи всё в один вид.

Решение.

1. $9\frac{1}{9}a + \frac{3}{9}a = 9\frac{4}{9}a$; $-20c + 18{,}1c = -1{,}9c$ → $9\frac{4}{9}a - 1{,}9c$.
2. $8\frac{1}{4} = 8{,}25$; $6{,}5 - 7{,}1 + 8{,}25 = 7{,}65$ → $7{,}65x - 19$.
3. $-1{,}6 - 3 = -4{,}6 = -\frac{23}{5}$; $\frac{17}{7} - \frac{23}{5} = \frac{85 - 161}{35} = -\frac{76}{35} = -2\frac{6}{35}$ → $-2\frac{6}{35}y + 2{,}6$.
4. $-\frac{25}{6}z + \frac{33}{6}z = \frac{8}{6}z = 1\frac{1}{3}z$; $2\frac{1}{3}c - 3c = -\frac{2}{3}c$ → $1\frac{1}{3}z - \frac{2}{3}c$.

Ответ: 1) $9\frac{4}{9}a - 1{,}9c$; 2) $7{,}65x - 19$; 3) $-2\frac{6}{35}y + 2{,}6$; 4) $1\frac{1}{3}z - \frac{2}{3}c$.

№ 762

Запиши без скобок: 1) $3 + (x + y) + t$; 2) $4 + a - (b + c)$; 3) $n - (4 - m + d)$; 4) $-(8 + z) + (s - k)$.

Как думать. Плюс перед скобкой — скобку просто убираем. Минус — убираем и меняем знак у каждого слагаемого внутри.

Решение.

1. $3 + x + y + t$.
2. $4 + a - b - c$.
3. $n - 4 + m - d$.
4. $-8 - z + s - k$.

Ответ: 1) $3 + x + y + t$; 2) $4 + a - b - c$; 3) $n - 4 + m - d$; 4) $-8 - z + s - k$.

№ 763

Раскрой скобки и упрости: 1) $10 - (x - 20) + 8x$; 2) $-(15 + 4y) + (2y - 17)$; 3) $9a - (21 - 8a) + 18$; 4) $-(6b - 40) - (38 + 7b)$.

Решение.

1. $10 - x + 20 + 8x = 7x + 30$.
2. $-15 - 4y + 2y - 17 = -2y - 32$.
3. $9a - 21 + 8a + 18 = 17a - 3$.
4. $-6b + 40 - 38 - 7b = -13b + 2$.

Ответ: 1) $7x + 30$; 2) $-2y - 32$; 3) $17a - 3$; 4) $-13b + 2$.

№ 764

Упрости: 1) $79 - (20 + 9a) + (11a - 122)$; 2) $-(b + 40) + (28 - 19b) + 11b$.

Решение.

1. $79 - 20 - 9a + 11a - 122 = 2a - 63$.
2. $-b - 40 + 28 - 19b + 11b = -9b - 12$.

Ответ: 1) $2a - 63$; 2) $-9b - 12$.

№ 765

Докажи тождество: 1) $-\left(8\frac{1}{3}a - 9b\right) + 7{,}5a - 10\frac{1}{7}b = \left(\frac{5}{6}a + 1\frac{1}{7}b\right)$; 2) $2009{,}1x + 38{,}2y - (210{,}09x + 40{,}1y) = (179,901x - 190y) \cdot 0{,}01$.

Как думать. Упрощаем обе части и сравниваем.

Решение.

1. Слева: $-8\frac{1}{3}a + 9b + 7\frac{1}{2}a - 10\frac{1}{7}b$. Слагаемые с $a$: $-8\frac{2}{6} + 7\frac{3}{6} = -\frac{5}{6}$. С $b$: $9 - 10\frac{1}{7} = -1\frac{1}{7}$. Слева получилось $-\frac{5}{6}a - 1\frac{1}{7}b = -\left(\frac{5}{6}a + 1\frac{1}{7}b\right)$. Значит, справа перед скобкой должен стоять минус — тогда тождество верно.
2. Слева: $2009{,}1x - 210{,}09x + 38{,}2y - 40{,}1y = 1799{,}01x - 1{,}9y$. Справа: $179,901 \cdot 0{,}01 = 1799{,}01$ и $190 \cdot 0{,}01 = 1{,}9$, то есть $1799{,}01x - 1{,}9y$. Совпало.

Ответ: 1) обе части равны $-\frac{5}{6}a - 1\frac{1}{7}b$ (в правой части перед скобкой нужен минус); 2) обе части равны $1799{,}01x - 1{,}9y$.

№ 766

Упрости: 1) $1{,}3(x + 20y) - 40(0{,}9y - x) + 63y$; 2) $77(1{,}1a - 3b) - 3{,}2(4{,}5b - 50a) + 99a$.

Решение.

1. $1{,}3x + 26y - 36y + 40x + 63y = 41{,}3x + 53y$.
2. $84{,}7a - 231b - 14{,}4b + 160a + 99a = 343{,}7a - 245{,}4b$.

Ответ: 1) $41{,}3x + 53y$; 2) $343{,}7a - 245{,}4b$.

№ 767

Докажи, что при любых $x$ и $y$ значение — натуральное число: 1) $25(x + 2) - 4(y - 3) - (25x - 4y + 61)$; 2) $7{,}8(3x - 5) + (80 - 39y) - 0{,}3(10 + 78x - 130y)$.

Как думать. Раскрываем скобки. Если все буквы «съедят» друг друга, останется одно число.

Решение.

1. $25x + 50 - 4y + 12 - 25x + 4y - 61 = 1$.
2. $23{,}4x - 39 + 80 - 39y - 3 - 23{,}4x + 39y = 38$.

Букв не осталось, а 1 и 38 — натуральные числа.

Ответ: 1) всегда 1; 2) всегда 38.

№ 768

При некотором $a$ выражение $-1{,}5a$ равно 5. Чему при том же $a$ равны: 1) $-4{,}5a$; 2) $7{,}5a$; 3) $-3a$; 4) $-15a$; 5) $60a$; 6) $-0{,}15a$?

Как думать. Само $a$ искать не нужно. Узнай, во сколько раз новое выражение больше $-1{,}5a$ и с каким знаком.

Решение.

1. $-4{,}5a = 3 \cdot (-1{,}5a) = 3 \cdot 5 = 15$.
2. $7{,}5a = -5 \cdot (-1{,}5a) = -25$.
3. $-3a = 2 \cdot (-1{,}5a) = 10$.
4. $-15a = 10 \cdot (-1{,}5a) = 50$.
5. $60a = -40 \cdot (-1{,}5a) = -200$.
6. $-0{,}15a = 0{,}1 \cdot (-1{,}5a) = 0{,}5$.

Ответ: 1) 15; 2) $-25$; 3) 10; 4) 50; 5) $-200$; 6) 0,5.

№ 769

Докажи, что значение не зависит от переменной: 1) $50a - (70 - 100a) + (90 - 75a) \cdot 2$; 2) $-\frac{5}{18} \cdot (9c + 4) + 4c - 0{,}5\left(3c - \frac{7}{9}\right)$.

Решение.

1. $50a - 70 + 100a + 180 - 150a = 110$.
2. $-2{,}5c - \frac{10}{9} + 4c - 1{,}5c + \frac{7}{18}$. Слагаемые с $c$: $-2{,}5 + 4 - 1{,}5 = 0$. Числа: $-\frac{20}{18} + \frac{7}{18} = -\frac{13}{18}$.

Ответ: 1) всегда 110; 2) всегда $-\frac{13}{18}$.

Уровень B

№ 770

Тождественно ли равны: 1) $(5a - 6a)c$ и $-ac$; 2) $(11x - 11x)y$ и $xy$; 3) $\left(7\frac{2}{3}n - 8n\right)m$ и $\frac{1}{3}nm$; 4) $\frac{5}{6}x^3\left(x + \frac{1}{5}x\right)$ и $x^4$?

Решение.

1. $5a - 6a = -a$, $(-a)c = -ac$. Да.
2. $11x - 11x = 0$, $0 \cdot y = 0$, а не $xy$. Нет.
3. $7\frac{2}{3}n - 8n = -\frac{1}{3}n$, получаем $-\frac{1}{3}nm$. Знак другой. Нет.
4. $x + \frac{1}{5}x = \frac{6}{5}x$; $\frac{5}{6}x^3 \cdot \frac{6}{5}x = x^4$. Да.

Ответ: 1) да; 2) нет; 3) нет; 4) да.

№ 771

Какие из выражений $3(0{,}5a - 9b)$; $27b - 1{,}5a$; $5(0{,}5a - 5{,}4b)$; $-(27b - 1{,}5a)$; $10(0{,}15a - 2{,}7b)$; $-3(9b - 0{,}5a)$; $\frac{1}{3}(4{,}5a - 81b)$ тождественно равны $1{,}5a - 27b$?

Как думать. Раскрой скобки в каждом и сравни с $1{,}5a - 27b$.

Решение.

• $3(0{,}5a - 9b) = 1{,}5a - 27b$ ✓
• $27b - 1{,}5a$ — знаки противоположные ✗
• $5(0{,}5a - 5{,}4b) = 2{,}5a - 27b$ ✗
• $-(27b - 1{,}5a) = -27b + 1{,}5a$ ✓
• $10(0{,}15a - 2{,}7b) = 1{,}5a - 27b$ ✓
• $-3(9b - 0{,}5a) = -27b + 1{,}5a$ ✓
• $\frac{1}{3}(4{,}5a - 81b) = 1{,}5a - 27b$ ✓

Ответ: $3(0{,}5a - 9b)$; $-(27b - 1{,}5a)$; $10(0{,}15a - 2{,}7b)$; $-3(9b - 0{,}5a)$; $\frac{1}{3}(4{,}5a - 81b)$.

№ 772

При некоторых $c$ и $d$ выражение $20(5c - 0{,}7d)$ равно 11. Чему равны: 1) $100c - 14d$; 2) $14d - 100c$; 3) $10(10c - d) - 4d$; 4) $60(0{,}7d - 5c)$?

Как думать. Раскрой скобки: $20(5c - 0{,}7d) = 100c - 14d = 11$. Дальше вырази каждое выражение через $100c - 14d$.

Решение.

1. $100c - 14d = 11$.
2. $14d - 100c = -(100c - 14d) = -11$.
3. $100c - 10d - 4d = 100c - 14d = 11$.
4. $42d - 300c = -3(100c - 14d) = -33$.

Ответ: 1) 11; 2) $-11$; 3) 11; 4) $-33$.

№ 773

Произведение $a$ и $b$ равно 24,4, а разность равна $-2{,}5$. Найди: 1) $a \cdot b + (a - b)$; 2) $b - a + ab$; 3) $(a - b)ab$; 4) $(b - a + 1{,}5)ab$.

Как думать. Сами $a$ и $b$ не нужны. Подставляем $ab = 24{,}4$ и $a - b = -2{,}5$. Заметь: $b - a = -(a - b) = 2{,}5$.

Решение.

1. $24{,}4 + (-2{,}5) = 21{,}9$.
2. $2{,}5 + 24{,}4 = 26{,}9$.
3. $-2{,}5 \cdot 24{,}4 = -61$.
4. $(2{,}5 + 1{,}5) \cdot 24{,}4 = 4 \cdot 24{,}4 = 97{,}6$.

Ответ: 1) 21,9; 2) 26,9; 3) $-61$; 4) 97,6.

№ 774

Упрости: 1) $10a - (5a - 3(4x + 7(8a - x)) - 19x) - 9x$; 2) $33b - (-80b + 5(5b - 6(11a - 3b)) + 300a) - 30a$.

Как думать. Много скобок — как матрёшка. Открываем с самой маленькой, внутренней.

Решение.

1. Смотри шаги выше: $173a + x$.
2. $6(11a - 3b) = 66a - 18b$; $5b - 66a + 18b = 23b - 66a$; $5(23b - 66a) = 115b - 330a$; в большой скобке $-80b + 115b - 330a + 300a = 35b - 30a$; итог: $33b - 35b + 30a - 30a = -2b$.

Ответ: 1) $173a + x$; 2) $-2b$.

№ 775

Упрости: 1) $\frac{1}{24}x - \left(\frac{1}{3}x + \left(-\frac{2}{9}x - \left(-\frac{4}{9}x + \left(-\frac{5}{12}x\right)\right)\right)\right)$; 2) $-16\frac{11}{36}y + \left(-5\frac{4}{9}y - \left(-7\frac{3}{8}y + \left(-10\frac{5}{18}y\right)\right)\right)$.

Как думать. Все слагаемые подобные, поэтому считаем только коэффициенты, двигаясь изнутри. Удобные знаменатели — 36 и 72.

Решение.

1. $-\frac{16}{36} - \frac{15}{36} = -\frac{31}{36}$; $-\frac{8}{36} + \frac{31}{36} = \frac{23}{36}$; $\frac{12}{36} + \frac{23}{36} = \frac{35}{36}$; $\frac{3}{72} - \frac{70}{72} = -\frac{67}{72}$. Итог: $-\frac{67}{72}x$.
2. $-7\frac{27}{72} - 10\frac{20}{72} = -17\frac{47}{72}$; $-5\frac{32}{72} + 17\frac{47}{72} = 12\frac{15}{72}$; $-16\frac{22}{72} + 12\frac{15}{72} = -4\frac{7}{72}$. Итог: $-4\frac{7}{72}y$.

Ответ: 1) $-\frac{67}{72}x$; 2) $-4\frac{7}{72}y$.

№ 776

Упрости: 1) $8{,}4 - 2{,}7(7b - 1{,}3(10 - 11b)) - 15{,}7b$; 2) $15{,}1c + 0{,}9(4c - 2{,}8(1{,}4 + 0{,}2)) - 20c$.

Решение.

1. $1{,}3(10 - 11b) = 13 - 14{,}3b$; $7b - 13 + 14{,}3b = 21{,}3b - 13$; $-2{,}7(21{,}3b - 13) = -57{,}51b + 35{,}1$; итог: $8{,}4 + 35{,}1 - 57{,}51b - 15{,}7b = 43{,}5 - 73{,}21b$.
2. $2{,}8 \cdot 1{,}6 = 4{,}48$; $0{,}9(4c - 4{,}48) = 3{,}6c - 4{,}032$; итог: $15{,}1c + 3{,}6c - 20c - 4{,}032 = -1{,}3c - 4{,}032$.

Ответ: 1) $43{,}5 - 73{,}21b$; 2) $-1{,}3c - 4{,}032$.

№ 777

Упрости: 1) $-\frac{3}{40}\left(-2a - \left(\frac{1}{3} + 12y\right)\right) - \frac{1}{7}\left(-14a - \left(7 + \frac{2}{3}a\right)\right)$; 2) $\frac{2}{15}\left(\frac{3}{4}b + \frac{2}{3}\left(21b - 0{,}5\left(\frac{3}{5} - 4b\right)\right)\right)$.

Решение.

1. Первая часть: $-\frac{3}{40}\left(-2a - \frac{1}{3} - 12y\right) = \frac{3}{20}a + \frac{1}{40} + \frac{9}{10}y$. Вторая: $-14a - 7 - \frac{2}{3}a = -14\frac{2}{3}a - 7$; умножаем на $-\frac{1}{7}$: $\frac{44}{21}a + 1$. Складываем: $\frac{63}{420}a + \frac{880}{420}a = \frac{943}{420}a = 2\frac{103}{420}a$; числа $\frac{1}{40} + 1 = 1\frac{1}{40}$. Итог: $2\frac{103}{420}a + 0{,}9y + 1\frac{1}{40}$.
2. $0{,}5\left(\frac{3}{5} - 4b\right) = 0{,}3 - 2b$; $21b - 0{,}3 + 2b = 23b - 0{,}3$; $\frac{2}{3}(23b - 0{,}3) = \frac{46}{3}b - 0{,}2$; $\frac{3}{4}b + \frac{46}{3}b = \frac{9 + 184}{12}b = \frac{193}{12}b$; $\frac{2}{15} \cdot \frac{193}{12}b = \frac{193}{90}b = 2\frac{13}{90}b$; $\frac{2}{15} \cdot (-0{,}2) = -\frac{2}{75}$.

Ответ: 1) $2\frac{103}{420}a + 0{,}9y + 1\frac{1}{40}$; 2) $2\frac{13}{90}b - \frac{2}{75}$.

№ 778

Докажи, что значение не зависит от переменной: 1) $0{,}9\left(-2{,}5 + 5\frac{2}{3} : 8{,}5a\right) - \frac{2}{3} \cdot 4{,}5(2{,}5 + 0{,}2a)$; 2) $6{,}75 \cdot 4\frac{8}{9}(1 - 5b) + 68(1 + 2b) + 12\frac{3}{7} : \frac{3}{14} \cdot 0{,}5b$.

Как думать. Сначала посчитай числовые множители, потом раскрывай скобки.

Решение.

1. $5\frac{2}{3} : 8{,}5 = \frac{17}{3} \cdot \frac{2}{17} = \frac{2}{3}$, значит, в скобке $-2{,}5 + \frac{2}{3}a$; умножаем на 0,9: $-2{,}25 + 0{,}6a$. Далее $\frac{2}{3} \cdot 4{,}5 = 3$; $3(2{,}5 + 0{,}2a) = 7{,}5 + 0{,}6a$. Итог: $-2{,}25 + 0{,}6a - 7{,}5 - 0{,}6a = -9{,}75$.
2. $6{,}75 \cdot 4\frac{8}{9} = \frac{27}{4} \cdot \frac{44}{9} = 33$; $33(1 - 5b) = 33 - 165b$; $68(1 + 2b) = 68 + 136b$; $12\frac{3}{7} : \frac{3}{14} = \frac{87}{7} \cdot \frac{14}{3} = 58$, $58 \cdot 0{,}5b = 29b$. Слагаемые с $b$: $-165 + 136 + 29 = 0$. Числа: $33 + 68 = 101$.

Ответ: 1) всегда $-9{,}75$; 2) всегда 101.

№ 779

Докажи, что при любом значении переменной получается натуральное число: 1) $1\frac{23}{27}\left(0{,}36a + \frac{3}{5}\right) - \frac{1}{3}\left(2a - \frac{5}{18}\right) + \frac{43}{54}$; 2) $1\frac{1}{3}(1 - 15b) + 4\frac{2}{3} + 2\frac{36}{37}\left(6\frac{8}{11}b + 1{,}85\right) - 5{,}5$.

Решение.

1. $\frac{50}{27} \cdot 0{,}36a = \frac{18}{27}a = \frac{2}{3}a$; $\frac{50}{27} \cdot \frac{3}{5} = \frac{10}{9}$; $-\frac{1}{3}\left(2a - \frac{5}{18}\right) = -\frac{2}{3}a + \frac{5}{54}$. Буквы сокращаются. Числа: $\frac{60}{54} + \frac{5}{54} + \frac{43}{54} = \frac{108}{54} = 2$.
2. $\frac{4}{3}(1 - 15b) = \frac{4}{3} - 20b$; $\frac{110}{37} \cdot \frac{74}{11}b = 20b$; $\frac{110}{37} \cdot 1{,}85 = 5{,}5$. Буквы: $-20b + 20b = 0$. Числа: $\frac{4}{3} + 4\frac{2}{3} + 5{,}5 - 5{,}5 = 6$.

Ответ: 1) всегда 2; 2) всегда 6.

Уровень C

№ 780

Докажи, что значение всегда равно нулю: 1) $a - (b - (c - (a - b))) + (-c - (a - (a + c))) - c$; 2) $x + (y - (x - (z - y))) - (z - (-x - (x - y))) - y$.

Как думать. Раскрываем скобки изнутри, шаг за шагом, следя за каждым минусом.

Решение.

1. $c - (a - b) = c - a + b$; $b - (c - a + b) = a - c$; $a - (a - c) = c$. Вторая скобка: $a - (a + c) = -c$; $-c - (-c) = 0$. Итог: $c + 0 - c = 0$. ✓
2. Первая часть: $x - (z - y) = x - z + y$; $y - (x - z + y) = z - x$; $x + (z - x) = z$. Вторая скобка: $-x - (x - y) = -2x + y$; $z - (-2x + y) = z + 2x - y$. Итог: $z - (z + 2x - y) - y = -2x$.

Получилось $-2x$, а не 0. Если бы во второй скобке стояло $(x - (x - y))$ без минуса перед $x$, вышло бы $z - (z - y) - y = 0$. Похоже на опечатку.

Ответ: 1) всегда 0; 2) по напечатанному условию получается $-2x$ (нулю равно только при $x = 0$); с исправлением $(z - (x - (x - y)))$ — всегда 0.

№ 781

Докажи тождества: 1) $2{,}5 \cdot 0{,}016 \cdot 12{,}5 \cdot 0{,}04 \cdot 700 : 0{,}35 = 40$; 2) $3{,}2 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}075 \cdot 1100 : 0{,}132 = 500$; 3) $4{,}9 \cdot 0{,}02 \cdot 45 : 0{,}5 = 4\frac{8}{23} \cdot 1{,}84 + 0{,}82$; 4) $139{,}25 - 16\frac{8}{21} : \frac{8}{21} = 2{,}3 \cdot 0{,}55 \cdot 60 : 0{,}88$.

Как думать. Здесь нет букв — просто считаем обе части по порядку.

Решение.

1. $2{,}5 \cdot 0{,}016 = 0{,}04$; $\cdot 12{,}5 = 0{,}5$; $\cdot 0{,}04 = 0{,}02$; $\cdot 700 = 14$; $: 0{,}35 = 40$. ✓
2. $3{,}2 \cdot 0{,}25 = 0{,}8$; $\cdot 0{,}075 = 0{,}06$; $\cdot 1100 = 66$; $: 0{,}132 = 500$. ✓
3. Слева: $4{,}9 \cdot 0{,}02 = 0{,}098$; $\cdot 45 = 4{,}41$; $: 0{,}5 = 8{,}82$. Справа: $\frac{100}{23} \cdot 1{,}84 = \frac{184}{23} = 8$; $8 + 0{,}82 = 8{,}82$. ✓
4. Слева: $16\frac{8}{21} : \frac{8}{21} = \frac{344}{21} \cdot \frac{21}{8} = 43$; $139{,}25 - 43 = 96{,}25$. Справа: $2{,}3 \cdot 0{,}55 = 1{,}265$; $\cdot 60 = 75{,}9$; $: 0{,}88 = 86{,}25$. Разница ровно 10.

Ответ: 1)–3) верно; 4) по напечатанным числам слева 96,25, справа 86,25 — равенство не выполняется (вероятно, опечатка: при 129,25 вместо 139,25 было бы верно).

№ 782

Докажи тождества: 1) $4{,}8(5x - 7y) - \frac{2}{21} \cdot 4{,}9x + \frac{5}{18} \cdot 4{,}5y - 23\frac{8}{15}x = -32{,}35y$; 2) $\frac{8}{15} \cdot 2{,}5a - 1\frac{1}{4} \cdot 4{,}4b - 5{,}6(5a + b) + 26\frac{2}{3}a = -11{,}1b$.

Решение.

1. $24x - 33{,}6y - \frac{7}{15}x + 1{,}25y - 23\frac{8}{15}x$. Слагаемые с $x$: $24 - \frac{7}{15} - \frac{353}{15} = 24 - 24 = 0$. С $y$: $-33{,}6 + 1{,}25 = -32{,}35$. Слева $-32{,}35y$. ✓
2. $\frac{4}{3}a - 5{,}5b - 28a - 5{,}6b + \frac{80}{3}a$. С $a$: $\frac{4}{3} + \frac{80}{3} - 28 = 28 - 28 = 0$. С $b$: $-5{,}5 - 5{,}6 = -11{,}1$. Слева $-11{,}1b$. ✓

Ответ: обе левые части после упрощения совпадают с правыми — тождества доказаны.

Повторение

№ 783

По карте температур 6 февраля 2010 г.: 1) найди среднюю дневную и ночную температуру в Астане, Алматы и областных центрах; 2) сравни дневную температуру Петропавловска и Шымкента, Атырау и Усть-Каменогорска; 3) на сколько градусов днём в Астане холоднее, чем в Алматы, и на сколько ночью в Алматы теплее, чем в Астане?

На карте у каждого города два числа: днём и ночью (°C).

Как думать. Средняя температура = сумма температур : число городов. Городов 16: Астана, Алматы и 14 областных центров. Семей на карте есть, но областным центром в 2010 г. он не был.

Решение.

1. Сумма дневных: $-261$. Средняя: $-261 : 16 \approx -16{,}3$ °C. Сумма ночных: $-349$. Средняя: $-349 : 16 \approx -21{,}8$ °C.
2. Петропавловск $-23$ °C
   lt;$ Шымкент $+2$ °C. Атырау $-17$ °C
   gt;$ Усть-Каменогорск $-24$ °C.
3. Днём: $-3 - (-25) = 22$, в Астане на 22° холоднее. Ночью: $-6 - (-31) = 25$, в Алматы на 25° теплее.

Ответ: 1) днём около $-16{,}3$ °C, ночью около $-21{,}8$ °C; 2) в Петропавловске холоднее, чем в Шымкенте; в Атырау теплее, чем в Усть-Каменогорске; 3) на 22° и на 25°.

🌟 Шымкент и Костанай в тот день разделяли 33 градуса! Пока на юге почти весна, на севере настоящая сибирская зима.

№ 784

Узнай о Баянаульском национальном парке, решив уравнения: 1) $10x = 2^3 \cdot 5^3$ (км от Екибастуза); 2) $15 + x = 2 \cdot 10^3$ (год основания); 3) $7 \cdot 10^4 - x = 1547$ (площадь, га); 4) $x - 10^3 = 3^3$ (высота горы Акбет, м); 5) $30^2 - x = 21^2 - 1$ (видов флоры); 6) $20x = 10^3$ (реликтовых растений); 7) $5000 : x = 10^2$ (видов птиц); 8) $x : 10 = 2^2$ (видов зверей).

Решение.

1. $10x = 8 \cdot 125 = 1000$, $x = 100$.
2. $x = 2000 - 15 = 1985$.
3. $x = 70,000 - 1547 = 68,453$.
4. $x = 1000 + 27 = 1027$.
5. $900 - x = 441 - 1 = 440$, $x = 460$.
6. $x = 1000 : 20 = 50$.
7. $x = 5000 : 100 = 50$.
8. $x = 4 \cdot 10 = 40$.

Ответ: 100 км; 1985 г.; 68 453 га; 1027 м; около 460 видов; 50 видов; около 50 видов птиц; 40 видов зверей.

🌟 В Баянауле живёт архар — горный баран с огромными закрученными рогами. Он занесён в Красную книгу, охотиться на него запрещено.

Готовимся к следующей теме

№ 785

Марат купил 5 тетрадей по 78 тг и акварельные краски, всего заплатил 510 тг. Сколько стоят краски?

Решение.

1. Тетради: $5 \cdot 78 = 390$ (тг).
2. Краски: $510 - 390 = 120$ (тг).

Ответ: 120 тг.

№ 786

Лодка проплыла по озеру 13,8 км за 2,3 ч. Плот проплывает такой же путь по реке за 6 ч. За сколько часов лодка пройдёт 14,8 км против течения?

Как думать. В озере течения нет — там видна собственная скорость лодки. Плот плывёт со скоростью течения.

Решение.

1. Собственная скорость лодки: $13{,}8 : 2{,}3 = 6$ (км/ч).
2. Скорость течения: $13{,}8 : 6 = 2{,}3$ (км/ч).
3. Против течения: $6 - 2{,}3 = 3{,}7$ (км/ч).
4. Время: $14{,}8 : 3{,}7 = 4$ (ч).

Ответ: 4 ч.

Шпаргалка

• Тождество верно при любых значениях букв; уравнение — только при некоторых.
• Все свойства действий — тождества.
• Тождественные преобразования: раскрытие скобок, приведение подобных.
• Доказываем тождество: упрощаем части, пока не совпадут.
• Если все буквы сократились — значение выражения от переменной не зависит.

Мини-тест