§ 26. Решение текстовых задач

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 3: Алгебраические выражения. Страницы 175–176.

Чему научишься

• Решать задачи, где данные обозначены буквами.
• Записывать ответ выражением, например $(10 + 6b)$ см.
• Самому придумывать вопросы к условию задачи.
• Составлять задачу по готовому выражению.

Разминка

Это задания № 785 и 786 из прошлого урока. Реши в уме или на черновике.

• Марат купил 5 тетрадей по 78 тг и краски, всего заплатил 510 тг. Сколько стоят краски? Тетради: $5 \cdot 78 = 390$ тг. Краски: $510 - 390 = 120$ тг.
• Лодка прошла по озеру 13,8 км за 2,3 ч. Какая у неё собственная скорость? $13{,}8 : 2{,}3 = 6$ км/ч.
• Плот проходит те же 13,8 км по реке за 6 ч. Какая скорость течения? $13{,}8 : 6 = 2{,}3$ км/ч.
• За сколько часов лодка пройдёт 14,8 км против течения? $6 - 2{,}3 = 3{,}7$ км/ч, $14{,}8 : 3{,}7 = 4$ ч.

💡 А теперь представь: Марат купил не 5 тетрадей, а $n$ штук, и заплатил не 510 тг, а $S$ тг. Задачу всё равно можно решить: краски стоят $(S - 78n)$ тг. Это и есть решение задачи с буквами.

Разбираемся

Задача, в которой вместо чисел буквы

Решаем такую задачу так же, как обычную: те же действия, те же рассуждения. Только вместо готового числа в ответе получается выражение. Подставишь в него любые числа — получишь ответ для конкретного случая.

Пример. Есть числа $a$ и $b$. Их сумма $a + b$, разность $a - b$ (или $b - a$), произведение $a \cdot b$, частное $a : b$ (или $b : a$). Вот и всё решение!

Ещё пример. У коробки (прямоугольного параллелепипеда) измерения 5 см, $a$ см и $c$ см. Объём — произведение трёх измерений: $V = 5 \cdot a \cdot c = 5ac$ см³.

📌 Если в условии данные обозначены буквами, ответ записывают выражением с этими буквами. Единицы измерения ставят после выражения, взятого в скобки: $(10 + 6b)$ см.

Разберём по шагам

Длина прямоугольника 10 см, ширина $b$ см. У второго прямоугольника длина в 2 раза меньше, а ширина в 3 раза больше. Какой у второго периметр?

Проверим на числах. Пусть $b = 2$. Тогда второй прямоугольник 5 см на 6 см, его периметр $2 \cdot (5 + 6) = 22$ см. По формуле: $10 + 6 \cdot 2 = 22$ см. Совпало!

👨‍👩‍👧 Родителю. Если ребёнок теряется в задаче с буквами, предложите сначала подставить вместо буквы понятное число (например, $b = 2$) и решить. Потом повторить те же действия, но с буквой. Это мостик от арифметики к алгебре.

⚠️ Частая ошибка. Пишут ответ без скобок: «$10 + 6b$ см». Получается, что сантиметры относятся только к $6b$. Правильно: $(10 + 6b)$ см.

Сам придумай вопрос

В некоторых задачах вопроса нет — его нужно придумать. Например: «В корзине $a$ яблок, в пакете $b$ яблок». Вопросы могут быть такие:

• Сколько яблок всего? — $a + b$.
• На сколько в корзине больше, чем в пакете? — $a - b$ (если $a > b$).
• Во сколько раз в корзине больше? — $a : b$.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как решать текстовые задачи, в которых данные обозначены буквами? Так же, как обычные: разбираемся, что известно и что нужно найти, выбираем действия. Только вместо числа в ответе получается выражение с буквами.
• Как проверить такое решение? Подставить вместо букв удобные числа, решить задачу «по-обычному» и сравнить с тем, что даёт выражение.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 787

Бригада собрала в первый день $a$ кг овощей, во второй — $b$ кг. Придумай вопросы и ответь на них.

Как думать. Что можно узнать о двух количествах? Их сумму, разницу и во сколько раз одно больше другого.

Решение. Примеры вопросов:

1. Сколько килограммов овощей собрали за два дня? — $(a + b)$ кг.
2. На сколько килограммов больше собрали в первый день, чем во второй (если $a > b$)? — $(a - b)$ кг.
3. Во сколько раз больше собрали в первый день, чем во второй? — в $a : b$ раз.
4. Сколько в среднем собирали за день? — $(a + b) : 2$ кг.

Ответ: например: $(a + b)$ кг; $(a - b)$ кг; $a : b$ раз; $(a + b) : 2$ кг.

№ 788

Числа 16, $-5$ и $c$. Найди их сумму и произведение.

Решение.

1. Сумма: $16 + (-5) + c = 11 + c$.
2. Произведение: $16 \cdot (-5) \cdot c = -80c$.

Ответ: сумма $11 + c$; произведение $-80c$.

№ 789

Сторона квадрата $x$ см. Найди периметр и площадь.

Решение.

1. Периметр: четыре равные стороны, $P = 4x$ см.
2. Площадь: сторона на сторону, $S = x \cdot x = x^2$ см².

Ответ: $P = 4x$ см; $S = x^2$ см².

№ 790

В двух ящиках вместе $a$ кг овощей, в первом 5 кг. Сколько во втором?

Как думать. Целое минус известная часть — неизвестная часть.

Решение. $a - 5$ (кг).

Ответ: $(a - 5)$ кг.

№ 791

Длина окружности $x$ см. Придумай вопросы и ответь на них.

Как думать. Вспомни § 6: $C = 2\pi r = \pi d$, площадь круга $S = \pi r^2$. Зная длину окружности, можно найти диаметр, радиус и площадь круга.

Решение. Примеры вопросов:

1. Чему равен диаметр? — $d = C : \pi = \frac{x}{\pi}$ см (примерно $\frac{x}{3{,}14}$ см).
2. Чему равен радиус? — $r = \frac{x}{2\pi}$ см.
3. Какова площадь круга? — $S = \pi r^2 = \pi \cdot \frac{x}{2\pi} \cdot \frac{x}{2\pi} = \frac{x^2}{4\pi}$ см².
4. Какова длина окружности, радиус которой в 3 раза больше? — $3x$ см.

Ответ: например: $d = \frac{x}{\pi}$ см; $r = \frac{x}{2\pi}$ см; $S = \frac{x^2}{4\pi}$ см²; $3x$ см.

№ 792

Скорость первого автомобиля $a$ км/ч, второго — $b$ км/ч, ехали 3 ч. Придумай вопросы и ответь на них.

Как думать. Путь = скорость · время. Можно спросить про путь каждого, про общий путь, про разницу.

Решение. Примеры вопросов:

1. Какой путь проехал первый автомобиль? — $3a$ км.
2. Какой путь проехал второй? — $3b$ км.
3. Сколько километров проехали оба вместе? — $3a + 3b = 3(a + b)$ км.
4. На сколько километров больше проехал первый (если $a > b$)? — $3(a - b)$ км.
5. Они выехали одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 ч. Каково расстояние между пунктами? — $3(a + b)$ км.

Ответ: например: $3a$ км; $3b$ км; $3(a + b)$ км; $3(a - b)$ км.

№ 793

Составь задачу по выражению: 1) $a + 2b$; 2) $a \cdot b + c$; 3) $3a - b : c$.

Как думать. Подумай, что в жизни складывают, умножают и делят. Удобно взять покупки в магазине.

Решение. Примеры задач:

1. Ручка стоит $a$ тг, тетрадь $b$ тг. Сколько стоят 1 ручка и 2 тетради? — $(a + 2b)$ тг.
2. Айдос купил $a$ пачек сока по $b$ тг и булочку за $c$ тг. Сколько он заплатил? — $(a \cdot b + c)$ тг.
3. У Даны 3 коробки, в каждой $a$ конфет. Её подруга Алия разделила $b$ конфет поровну между $c$ друзьями. На сколько у Даны конфет больше, чем досталось одному другу Алии? — $3a - b : c$.

Ответ: примеры задач даны выше; у каждого могут быть свои.

Уровень B

№ 794

Площадь круга $4\pi$ см². Найди площадь круга, диаметр которого в 2 раза меньше.

Как думать. Диаметр меньше в 2 раза — значит, и радиус меньше в 2 раза.

Решение.

1. $S = \pi r^2 = 4\pi$, значит, $r^2 = 4$, $r = 2$ см.
2. Радиус второго круга: $2 : 2 = 1$ см.
3. Площадь второго: $\pi \cdot 1^2 = \pi$ см² (примерно 3,14 см²).

Ответ: $\pi$ см².

⚠️ Частая ошибка. Думают, что площадь тоже уменьшится в 2 раза ($2\pi$). Но радиус в формуле стоит в квадрате, поэтому площадь уменьшается в $2 \cdot 2 = 4$ раза.

№ 795

Первый рабочий за час делает $a$ деталей, второй — $b$ деталей. Придумай вопросы и ответь на них.

Решение. Примеры вопросов:

1. Сколько деталей оба делают за час вместе? — $a + b$.
2. На сколько больше деталей делает первый за час (если $a > b$)? — $a - b$.
3. Сколько деталей сделает первый за 8 часов? — $8a$.
4. Сколько деталей сделают оба за 8 часов? — $8(a + b)$.
5. Во сколько раз первый работает быстрее второго? — в $a : b$ раз.

Ответ: например: $a + b$; $a - b$; $8a$; $8(a + b)$; $a : b$.

Уровень C

№ 796

1) В первый день продали $a$ кг овощей, во второй — $b$ кг, а за следующие два дня — в 2 раза больше, чем за первые два вместе. Сколько продали за 4 дня? 2) Между посёлками 40 км. Одновременно выехали велосипедист со скоростью $a$ км/ч и пешеход, чья скорость — 50% скорости велосипедиста. Какое расстояние будет между ними через полчаса?

Как думать. В пункте 1 сначала найди продажу за первые два дня. В пункте 2 в условии не сказано, куда они движутся. Самый естественный вариант — навстречу друг другу; разберём и вариант «в разные стороны».

Решение.

1. За первые два дня: $a + b$ кг. За следующие два: $2(a + b)$ кг. Всего: $(a + b) + 2(a + b) = 3(a + b)$ кг.
2. Скорость пешехода $0{,}5a$ км/ч. Навстречу: сближаются на $1{,}5a \cdot 0{,}5 = 0{,}75a$ км, расстояние станет $40 - 0{,}75a$ км (пока они не встретились). В противоположные стороны: удаляются на $0{,}75a$ км, расстояние станет $40 + 0{,}75a$ км.

Ответ: 1) $3(a + b)$ кг; 2) навстречу — $(40 - 0{,}75a)$ км, в разные стороны — $(40 + 0{,}75a)$ км.

👨‍👩‍👧 Родителю. Проверьте с ребёнком на числах: пусть велосипедист едет 12 км/ч. Пешеход идёт 6 км/ч. За полчаса они проедут 6 км и 3 км, вместе 9 км. По формуле $0{,}75 \cdot 12 = 9$. Значит, между ними останется $40 - 9 = 31$ км.

Повторение

№ 797

1) Вычисли $|-5| \cdot \left(10{,}8 - \frac{2}{7} \cdot \left|-\frac{21}{30}\right|\right) + 7{,}25 \cdot |-8|$. 2) Что больше: 20% от $a$ или 40% от $b$, если $a = \frac{9{,}812 + 4{,}188}{-27{,}5 + 28{,}2}$, $b = \frac{-18{,}347 - 8{,}653}{-31{,}1 + 30{,}2}$?

Решение.

1. $\left|-\frac{21}{30}\right| = \frac{7}{10} = 0{,}7$; $\frac{2}{7} \cdot 0{,}7 = 0{,}2$; $10{,}8 - 0{,}2 = 10{,}6$; $5 \cdot 10{,}6 = 53$; $7{,}25 \cdot 8 = 58$; $53 + 58 = 111$.
2. $a = \frac{14}{0{,}7} = 20$; $b = \frac{-27}{-0{,}9} = 30$. 20% от 20: $0{,}2 \cdot 20 = 4$. 40% от 30: $0{,}4 \cdot 30 = 12$. $4 < 12$.

Ответ: 1) 111; 2) 40% от $b$ больше: $12 > 4$.

Готовимся к следующей теме

№ 798

1) Какие равенства верные: $5 \cdot 0{,}05 = 0{,}25$; $5 \cdot 0{,}02 = 10$; $5 \cdot 0{,}4 = 2$? 2) Сопоставь: 1) $7{,}4 : 0{,}2$; 2) $-80 + 20 : 2$; 3) $90 : 2 - 50$ с ответами A. $-5$; B. 37; C. $-70$.

Как думать. Во втором пункте помни порядок действий: сначала деление, потом сложение и вычитание.

Решение.

1. $5 \cdot 0{,}05 = 0{,}25$ — верно. $5 \cdot 0{,}02 = 0{,}1$, а не 10 — неверно. $5 \cdot 0{,}4 = 2$ — верно.
2. $7{,}4 : 0{,}2 = 74 : 2 = 37$ → B. $-80 + 20 : 2 = -80 + 10 = -70$ → C. $90 : 2 - 50 = 45 - 50 = -5$ → A.

Ответ: 1) верны первое и третье; 2) 1 — B, 2 — C, 3 — A.

Шпаргалка

• Вместо чисел в условии буквы — в ответе выражение.
• Действия выбираем так же, как в задаче с числами.
• Единицы измерения ставим после скобок: $(a - 5)$ кг.
• Проверяем решение, подставив конкретные числа.
• По любому выражению можно придумать свою задачу.

Мини-тест