§ 27. Числовые равенства и их свойства

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 4: Линейные уравнения с одной переменной. Страницы 4–7.

Чему научишься

• Отличать верное числовое равенство от неверного.
• Проверять равенство: считать левую и правую часть отдельно.
• Пользоваться пятью свойствами верных равенств.
• Подбирать пропущенное число и расставлять скобки так, чтобы равенство стало верным.

Разминка

Это задания № 798 из прошлого урока. Реши в уме.

• Какое равенство верное: $5 \cdot 0,05 = 0,25$; $5 \cdot 0,02 = 10$; $5 \cdot 0,4 = 2$? Первое и третье. А $5 \cdot 0,02 = 0,1$, а не 10.
• Сколько будет $7,4 : 0,2$? 37.
• А $-80 + 20 : 2$? Сначала деление: $-80 + 10 = $ −70.
• А $90 : 2 - 50$? $45 - 50 = $ −5.

💡 Заметил? В разминке ты уже проверял, верно ли равенство. Для этого просто считаешь обе части и сравниваешь. Это и есть главный приём урока.

Разбираемся

Что такое числовое равенство

Числовое равенство — это два числовых выражения, соединённые знаком «=». Например: $2 + 3 = 5$, $(-0,3 - 0,7) \cdot 3 = -3$, $4,5 + 6,3 = 6,3 + 4,5$ и даже $7,01 = 7,01$. Букв в нём нет, только числа, знаки действий и, может быть, скобки.

Равенство бывает верным и неверным. Чтобы узнать, какое перед тобой, посчитай левую часть, потом правую.

• $7 - 6 = 101 - 100$: слева 1, справа 1. Верное.
• $7 - 6 = 24 - 8$: слева 1, справа 16. Неверное, хотя записано по всем правилам.

⚠️ Частая ошибка. Думают, что раз стоит знак «=», значит, всё верно. Нет! Записать можно что угодно. Верно ли — решает только подсчёт.

Пять «безопасных» действий с равенством

Представь весы в равновесии. Что можно сделать, чтобы они так и остались ровными? Проверим на примере $22 - 6 = 24 - 8$ (обе части равны 16).

📌 1. Если $a = b$, то $a + c = b + c$. К обеим частям можно прибавить (или вычесть) одно и то же число.

📌 2. Если $a = b$, то $a \cdot c = b \cdot c$ и $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$ (делить можно только на $c \ne 0$). Обе части можно умножить или разделить на одно и то же число.

📌 3. Если $a = b$ и $b = c$, то $a = c$. Например, $22 - 9 = 24 - 11$ и $24 - 11 = 45 - 32$, значит, $22 - 9 = 45 - 32$ (везде 13).

📌 4. Если $a = b$ и $c = d$, то $a + c = b + d$. Верные равенства можно складывать «столбиком»: левую часть с левой, правую с правой.

📌 5. Если $a = b$ и $c = d$, то $a \cdot c = b \cdot d$. Так же их можно перемножать.

Проверим 4-е и 5-е на равенствах $67 - 62 = 5$ и $12 - 7 = 13 - 8$. Обе части первого равны 5, второго — тоже 5. Сложим: $(67 - 62) + (12 - 7) = 5 + (13 - 8)$, то есть $10 = 10$. Перемножим: $5 \cdot 5 = 5 \cdot 5$, то есть $25 = 25$. Всё верно.

👨‍👩‍👧 Родителю. Эти свойства — фундамент всей темы «Уравнения». Попросите ребёнка объяснить на кухонных весах: «Что будет, если на одну чашу добавить яблоко, а на другую — нет?» Если ответ уверенный, тема усвоена.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какие действия можно делать с двумя верными числовыми равенствами? Складывать их почленно (левую с левой, правую с правой) и перемножать почленно. Получится верное равенство.
• Какие действия можно делать с левой и правой частями одного верного равенства? Прибавлять или вычитать одно и то же число; умножать на одно и то же число; делить на одно и то же число, не равное нулю.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 799

Верно ли: 1) $101 - 98 = 3$; 2) $202 : 2 = 100$; 3) $86 + 87 = 173$; 4) $106 \cdot 5 = 530$?

Как думать. Считаем левую часть и сравниваем с правой.

Решение.

1. $101 - 98 = 3$ — верно.
2. $202 : 2 = 101$, а не 100 — неверно.
3. $86 + 87 = 173$ — верно.
4. $106 \cdot 5 = 530$ — верно.

Ответ: 1) верно; 2) неверно; 3) верно; 4) верно.

№ 800

Какое число поставить вместо звёздочки: 1) $ + 69 = 190$; 2) $503 - * = 377$; 3) $4422 : * = 402$; 4) $25 \cdot * = 900$?*

Как думать. Звёздочка — неизвестный компонент действия. Вспоминаем правила из 5 класса.

Решение.

1. Неизвестное слагаемое: $190 - 69 = 121$.
2. Неизвестное вычитаемое: $503 - 377 = 126$.
3. Неизвестный делитель: $4422 : 402 = 11$.
4. Неизвестный множитель: $900 : 25 = 36$.

Ответ: 1) 121; 2) 126; 3) 11; 4) 36.

№ 801

Верно ли: 1) $41 + 59 = 50 \cdot 2$; 2) $79 - 57 = 66 : 2$; 3) $600 - 480 = 15 \cdot 8$; 4) $909 : 3 = 199 + 104$?

Решение.

1. $100 = 100$ — верно.
2. $22 \ne 33$ — неверно.
3. $120 = 120$ — верно.
4. $303 = 303$ — верно.

Ответ: верны 1), 3), 4); неверно 2).

№ 802

Придумай верное равенство: 1) с тремя знаками действий; 2) с двумя знаками действий и скобками.

Как думать. Сначала придумай выражение, посчитай его и поставь результат после «=».

Решение. Например:

1. $2 + 3 \cdot 4 - 5 = 9$ (знаки +, ·, −).
2. $(8 - 2) \cdot 3 = 18$ (знаки −, · и скобки).

Ответ: например, $2 + 3 \cdot 4 - 5 = 9$; $(8 - 2) \cdot 3 = 18$.

Уровень B

№ 803

Верно ли: 1) $999 + 434 - 829 + 77 - 666 = -15$; 2) $2000 : 0,2 - 0,654 \cdot 1000 = 364$?

Решение.

1. $999 + 434 = 1433$; $1433 - 829 = 604$; $604 + 77 = 681$; $681 - 666 = 15$. Получилось 15, а не −15 — неверно.
2. $2000 : 0,2 = 10,000$; $0,654 \cdot 1000 = 654$; $10,000 - 654 = 9346 \ne 364$ — неверно.

Ответ: оба равенства неверные.

⚠️ Частая ошибка. В первом примере легко «потерять» знак. Ответ 15 и −15 — это разные числа!

№ 804

Найди звёздочку: 1) $\frac{13}{15} \cdot \frac{75}{91} + * = 2$; 2) $\frac{25}{33} : \frac{5}{33} - 3\frac{11}{15} = $; 3) $-0,45 \cdot \frac{8}{9} + 0,31 = $; 4) $ - \frac{20}{77} \cdot \frac{77}{80} = 3,5$; 5) $\frac{2^5}{343} \cdot \frac{7^3}{96} + * = 1$; 6) $\frac{448}{3^4} \cdot \frac{81}{4^3} + * = 10$; 7) $\frac{5^3}{216} : \frac{1000}{6^3} + * = -\frac{1}{8}$; 8) $ - \frac{2^{10}}{4^4} \cdot \frac{16^2}{4^5} = 1\frac{2}{7}$.

Как думать. Сначала считаем произведение или частное — получится простое число. Потом звёздочку находим как неизвестное слагаемое, уменьшаемое или разность.

Решение.

1. $\frac{13 \cdot 75}{15 \cdot 91} = \frac{5}{7}$; $* = 2 - \frac{5}{7} = 1\frac{2}{7}$.
2. $\frac{25}{33} : \frac{5}{33} = 5$; $* = 5 - 3\frac{11}{15} = 1\frac{4}{15}$.
3. $-0,45 \cdot \frac{8}{9} = -0,4$; $* = -0,4 + 0,31 = -0,09$.
4. $\frac{20}{77} \cdot \frac{77}{80} = \frac{1}{4}$; $* = 3,5 + 0,25 = 3,75$.
5. $\frac{32}{343} \cdot \frac{343}{96} = \frac{1}{3}$; $* = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
6. $\frac{448}{81} \cdot \frac{81}{64} = 7$; $* = 10 - 7 = 3$.
7. $\frac{125}{216} : \frac{1000}{216} = \frac{1}{8}$; $* = -\frac{1}{8} - \frac{1}{8} = -\frac{1}{4}$.
8. $\frac{1024}{256} \cdot \frac{256}{1024} = 1$; $* = 1\frac{2}{7} + 1 = 2\frac{2}{7}$.

Ответ: 1) $1\frac{2}{7}$; 2) $1\frac{4}{15}$; 3) $-0,09$; 4) 3,75; 5) $\frac{2}{3}$; 6) 3; 7) $-\frac{1}{4}$; 8) $2\frac{2}{7}$.

Уровень C

№ 805

Расставь скобки, чтобы было верно: 1) $600 - 400 - 500 = 700$; 2) $20 \cdot 3 - 404 : 4 = -1960$; 3) $200 \cdot 3 - 404 : 4 = 49$; 4) $555 : 5 + 39 \cdot 4 = 600$.

Как думать. Скобки меняют порядок действий. Пробуем варианты и идём «от ответа».

Решение.

1. $600 - (400 - 500) = 600 - (-100) = 700$.
2. $20 \cdot (3 - 404 : 4) = 20 \cdot (-98) = -1960$.
3. $(200 \cdot 3 - 404) : 4 = 196 : 4 = 49$.
4. $(555 : 5 + 39) \cdot 4 = (111 + 39) \cdot 4 = 600$.

Ответ: 1) $600 - (400 - 500)$; 2) $20 \cdot (3 - 404 : 4)$; 3) $(200 \cdot 3 - 404) : 4$; 4) $(555 : 5 + 39) \cdot 4$.

Повторяем

№ 806

Вычисли: 1) $\left(19 - 18\frac{1}{3}\right) \cdot (7,13 - 8,03) + 8\frac{1}{4}$; 2) $\left(0,8 + \frac{1}{20}\right) : \left(21\frac{1}{3} - 19\frac{1}{15}\right) - 4,1$.

Решение.

1. $19 - 18\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$; $7,13 - 8,03 = -0,9$; $\frac{2}{3} \cdot (-0,9) = -0,6$; $-0,6 + 8,25 = 7,65$.
2. $0,8 + 0,05 = 0,85 = \frac{17}{20}$; $21\frac{5}{15} - 19\frac{1}{15} = 2\frac{4}{15} = \frac{34}{15}$; $\frac{17}{20} \cdot \frac{15}{34} = \frac{3}{8} = 0,375$; $0,375 - 4,1 = -3,725$.

Ответ: 1) 7,65; 2) $-3,725$.

№ 807

Золотой человек. 1) Золотых деталей на одежде больше, чем $2^2 \cdot 10^3$. Сколько их? 2) Высота головного убора $5 \cdot (2^2 \cdot 3 + 1)$ см, на нём больше $2^3 \cdot 5^2$ золотых предметов. Найди высоту и число предметов.

🌟 Золотой человек найден в 1969 году в кургане Иссык под Алматы. Его костюм был расшит тысячами золотых пластинок. Сегодня он — символ независимого Казахстана, его можно увидеть на монументе Независимости в Алматы.

Решение.

1. $2^2 \cdot 10^3 = 4 \cdot 1000 = 4000$. Деталей — более 4000.
2. $5 \cdot (4 \cdot 3 + 1) = 5 \cdot 13 = 65$ см. $2^3 \cdot 5^2 = 8 \cdot 25 = 200$ — предметов более 200.

Ответ: 1) более 4000 деталей; 2) высота 65 см, предметов более 200.

Готовимся к следующей теме

№ 808

Для каких уравнений число 3 — корень: 1) $x : 7 = 21$; 2) $-10 \cdot x = -30$; 3) $x - 40 = -37$?

Как думать. Подставляем 3 вместо $x$ и смотрим, получилось ли верное равенство.

Решение.

1. $3 : 7 \ne 21$ — нет (корень тут 147).
2. $-10 \cdot 3 = -30$ — да.
3. $3 - 40 = -37$ — да.

Ответ: для уравнений 2) и 3).

№ 809

Найди корни уравнения $(x + 4)(x - 5)(x - 7) = 0$.

Как думать. Произведение равно нулю, когда один из множителей — нуль. Приравниваем каждую скобку к нулю.

Решение. $x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$; $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$; $x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7$. Проверка для 7: $(11) \cdot 2 \cdot 0 = 0$ ✓.

Ответ: $-4$; 5; 7.

Шпаргалка

• Равенство верное, если обе части дают одно и то же число.
• К обеим частям можно прибавить одно и то же число.
• Обе части можно умножить или разделить на одно и то же число (не на нуль).
• Два верных равенства можно сложить или перемножить почленно.

Мини-тест