§ 29. Линейное уравнение с одной переменной

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 4: Линейные уравнения с одной переменной. Страницы 14–21.

Чему научишься

• Узнавать линейное уравнение $ax = b$.
• Понимать, когда у него один корень, когда корней нет, а когда подходит любое число.
• Объяснять, какие уравнения равносильные.
• Сводить длинные уравнения к виду $ax = b$ и решать их.

Разминка

Это задания № 834–835 из прошлого урока.

• Сколько корней у $x(x - 5) = 0$? Два: 0 и 5.
• А у $2(y - 3)(y - 6) = 0$? Тоже два: 3 и 6.
• Реши $(x - 10) \cdot 13 = 52 \cdot (-27)$. $x - 10 = -108$, $x = $ −98.
• Реши $54(x - 50) = 26 \cdot 162$. $x - 50 = 78$, $x = $ 128.

Разбираемся

Самое простое уравнение на свете

Уравнение вида $ax = b$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — числа, называется линейным уравнением с одной переменной. Например: $-45,8x = 9,16$; $-x = 10,7$; $\frac{34}{35}x = \frac{17}{5}$.

В нём $x$ — неизвестный множитель. Значит, $x = b : a$. Но делить можно не всегда! Всё зависит от числа $a$.

Три судьбы уравнения $ax = b$

📌 Если корней нет, говорят: множество решений пустое. Пустое множество обозначают знаком $\varnothing$.

⚠️ Частая ошибка. Путают «корень равен нулю» и «корней нет». У $-2x = 0$ корень есть, и это число 0. А у $0 \cdot x = 5$ корней нет вовсе.

Длинное уравнение — тоже линейное внутри

Многие уравнения после упрощения превращаются в $ax = b$. Возьмём $(-14x + 0,55) : 0,5 = \frac{2}{3}x - 170,9$.

Равносильные уравнения

По дороге мы получили цепочку уравнений: $-28x + 1,1 = \frac{2}{3}x - 170,9$, потом $-28\frac{2}{3}x = -172$ и так далее. У всех один и тот же корень — 6. Такие уравнения называют равносильными.

📌 Уравнения равносильны, если у них одни и те же корни (или у обоих корней нет).

Например, $x + 8 = 18$ и $x + 8 - 6x = 18 - 6x$ равносильны: во втором просто вычли $6x$ из обеих частей, корень тот же — 10. А $|x| = 7$ и $(x - 7)(x + 7) = 0$ равносильны, потому что у обоих корни $7$ и $-7$.

Когда мы решаем уравнение, мы заменяем его на всё более простые равносильные. Можно:

1. переносить слагаемые со сменой знака;
2. прибавлять к обеим частям одно и то же число;
3. умножать или делить обе части на одно и то же число, не равное нулю;
4. упрощать части (раскрывать скобки, приводить подобные).

👨‍👩‍👧 Родителю. Предложите ребёнку игру: вы пишете уравнение, а он делает над ним одно «разрешённое» действие и показывает, что корень не изменился. Так быстро приходит понимание, зачем нужны эти правила.

Когда икс «исчезает»

Решим $-5x - 0,74 = -5x + 0,26$. Переносим: $-5x + 5x = 0,74 + 0,26$, то есть $0 \cdot x = 1$. Корней нет, ответ: $\varnothing$.

А в уравнении $(1,8x - 4,5) : 9 = -0,5 + 0,2x$ после деления получаем $0,2x - 0,5 = -0,5 + 0,2x$. Обе части одинаковые! Значит, $0 \cdot x = 0$, подходит любое число.

💡 Если иксы сократились, не пугайся. Посмотри, что осталось: неверное равенство вроде $0 = 1$ — корней нет; верное $0 = 0$ — подходит любое число.

Проверь себя

• Какие из уравнений $\frac{x}{7} = 5$; $\frac{7}{x} = 5$; $x - 7 = 2x$; $x + 7 = 0$; $(x - 7)(x + 7) = 0$; $x^2 - 7 = 0$ линейные? $\frac{x}{7} = 5$ (это $\frac{1}{7}x = 5$), $x - 7 = 2x$ (сводится к $-x = 7$) и $x + 7 = 0$ (это $x = -7$). В $\frac{7}{x}$ икс стоит в знаменателе, а в двух последних есть $x \cdot x$ — они не линейные.
• Может ли линейное уравнение иметь ровно два решения? Нет. У него либо один корень, либо ни одного, либо бесконечно много.
• Почему равносильны $x - 7 = 2x$; $x = 2x + 7$; $x - 7 + 7 = 2x + 7$; $3x - 21 = 6x$? Второе получено из первого переносом $-7$ вправо. Третье — прибавлением 7 к обеим частям. Четвёртое — умножением обеих частей первого на 3. У всех один корень: $x = -7$.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 836

Какие уравнения линейные с одной переменной: 1) $1,5x = 2$; 2) $7x = -1,1$; 3) $2\frac{1}{9}y = 0$; 4) $18x - 4 = 0$; 5) $2x - y = 5$; 6) $x + x^2 = 6$?

Как думать. Нужна ровно одна переменная, и только в первой степени. Уравнение должно сводиться к $ax = b$.

Решение. 1)–3) уже имеют вид $ax = b$. 4) переносом даёт $18x = 4$. 5) — две переменные, $x$ и $y$. 6) — есть $x^2$.

Ответ: линейные 1), 2), 3), 4).

№ 837

Семь чудес света. Реши уравнения: 1) $x \cdot 10^3 = 2 \cdot 10^6$ (сколько лет назад построены пирамиды); 2) $8280 : x = 2070$ (век, в середине которого построен мавзолей в Галикарнасе); 3) $x + 450 = 1000$ (год храма Артемиды); 4) $1000 - x = 570$ (год статуи Зевса); 5) $99x = 693$ (век садов Семирамиды); 6) $x : 73 = 4$ (год статуи Гелиоса); 7) $x - 188 = 92$ (год маяка в Александрии). Везде — до нашей эры.

Решение.

1. $x = 2,000,000 : 1000 = 2000$ — по ключу учебника: около 2 тыс. лет до н. э.
2. $x = 8280 : 2070 = 4$ — середина IV века до н. э.
3. $x = 1000 - 450 = 550$ — около 550 г. до н. э.
4. $x = 1000 - 570 = 430$ — около 430 г. до н. э.
5. $x = 693 : 99 = 7$ — VII век до н. э.
6. $x = 4 \cdot 73 = 292$ — около 292 г. до н. э.
7. $x = 92 + 188 = 280$ — около 280 г. до н. э.

Ответ: 1) 2000; 2) IV в.; 3) 550 г.; 4) 430 г.; 5) VII в.; 6) 292 г.; 7) 280 г. (всё — до н. э.).

🌟 Из семи чудес света до наших дней дожили только египетские пирамиды. Остальные шесть разрушены землетрясениями, пожарами и войнами.

№ 838

При каком $x$ выражение $5x + 4$ равно: 1) 20; 2) $-30$; 3) $-3,8$; 4) $3\frac{1}{3}$?

Как думать. Составляем уравнение $5x + 4 = \ldots$ и решаем.

Решение.

1. $5x = 16$; $x = 3,2$.
2. $5x = -34$; $x = -6,8$.
3. $5x = -7,8$; $x = -1,56$.
4. $5x = 3\frac{1}{3} - 4 = -\frac{2}{3}$; $x = -\frac{2}{15}$.

Ответ: 1) 3,2; 2) $-6,8$; 3) $-1,56$; 4) $-\frac{2}{15}$.

№ 839

При каком $y$ выражение $13 - 2y$ равно: 1) 40; 2) $-25$; 3) $-25,12$; 4) $15\frac{5}{7}$?

Решение.

1. $-2y = 27$; $y = -13,5$.
2. $-2y = -38$; $y = 19$.
3. $-2y = -38,12$; $y = 19,06$.
4. $-2y = 2\frac{5}{7} = \frac{19}{7}$; $y = -\frac{19}{14} = -1\frac{5}{14}$.

Ответ: 1) $-13,5$; 2) 19; 3) 19,06; 4) $-1\frac{5}{14}$.

№ 840

Составь линейное уравнение, у которого корень равен значению выражения: 1) $\frac{9 \cdot 17^2}{51}$; 2) $-72$; 3) $-\frac{1}{3^2}$; 4) $0,33 \cdot 10 + 6$.

Как думать. Сначала найди число. Потом придумай любое $ax = b$, где $b : a$ равно этому числу.

Решение.

1. $\frac{9 \cdot 289}{51} = \frac{2601}{51} = 51$. Уравнение, например, $2x = 102$.
2. Число $-72$. Например, $3x = -216$.
3. $-\frac{1}{9}$. Например, $9x = -1$.
4. $3,3 + 6 = 9,3$. Например, $10x = 93$.

Ответ: например, $2x = 102$; $3x = -216$; $9x = -1$; $10x = 93$ (вариантов много).

№ 841

Является ли $-\frac{3}{7}$ корнем: 1) $x + 1 = \frac{4}{7}$; 2) $10 - x = 10\frac{3}{7}$; 3) $-2\frac{1}{3}x = 1$; 4) $2\frac{1}{7} : x = -5$; 5) $2x - 1 = \frac{1}{7}$; 6) $\frac{7}{9}x + 24,5 = 24\frac{5}{6}$?

Решение.

1. $-\frac{3}{7} + 1 = \frac{4}{7}$ — да.
2. $10 + \frac{3}{7} = 10\frac{3}{7}$ — да.
3. $-\frac{7}{3} \cdot \left(-\frac{3}{7}\right) = 1$ — да.
4. $\frac{15}{7} : \left(-\frac{3}{7}\right) = -5$ — да.
5. $-\frac{6}{7} - 1 = -1\frac{6}{7} \ne \frac{1}{7}$ — нет.
6. $\frac{7}{9} \cdot \left(-\frac{3}{7}\right) = -\frac{1}{3}$; $24\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = 24\frac{1}{6} \ne 24\frac{5}{6}$ — нет.

Ответ: да в 1)–4); нет в 5) и 6).

№ 842

Подбери $b$ так, чтобы корень уравнения 1) $b + y = 20$; 2) $b \cdot z = 1,8$; 3) $t - 1,1 = b$; 4) $x : b = -5$ был: а) положительным; б) отрицательным. Можно ли получить корень 0?

Как думать. Вырази корень через $b$ и посмотри, как он зависит от $b$.

Решение.

1. $y = 20 - b$. а) $b = 5$, $y = 15$; б) $b = 25$, $y = -5$. Корень 0 — при $b = 20$.
2. $z = 1,8 : b$. а) $b = 0,9$, $z = 2$; б) $b = -0,9$, $z = -2$. Корень 0 невозможен: $b \cdot 0 = 0$, а не 1,8.
3. $t = b + 1,1$. а) $b = 1$, $t = 2,1$; б) $b = -2$, $t = -0,9$. Корень 0 — при $b = -1,1$.
4. $x = -5b$. а) $b = -1$, $x = 5$; б) $b = 1$, $x = -5$. Корень 0 был бы при $b = 0$, но делить на нуль нельзя — невозможно.

Ответ: например, как выше; корень 0 можно получить в 1) ($b = 20$) и 3) ($b = -1,1$), в 2) и 4) нельзя.

№ 843

При каких $x$ верно: 1) $10 - x = -8$; 2) $21 + x = 6$; 3) $4 - 5x = 0$; 4) $0,5x + 20,1 = 0,1$; 5) $\frac{x + 3}{2} = -7$; 6) $\frac{9 - x}{7} = -1$?

Решение.

1. $x = 18$.
2. $x = -15$.
3. $5x = 4$; $x = 0,8$.
4. $0,5x = -20$; $x = -40$.
5. $x + 3 = -14$; $x = -17$.
6. $9 - x = -7$; $x = 16$.

Ответ: 1) 18; 2) $-15$; 3) 0,8; 4) $-40$; 5) $-17$; 6) 16.

№ 844

Реши: 1) $40 + 2x = 3x - 15$; 2) $16x - 33 = 1 + 13x$; 3) $23,8y - 80 - 24,3y = 2$; 4) $95y - 4,9 = 98y - 1$.

Решение.

1. $-x = -55$; $x = 55$.
2. $3x = 34$; $x = 11\frac{1}{3}$.
3. $-0,5y = 82$; $y = -164$.
4. $-3y = 3,9$; $y = -1,3$.

Ответ: 1) 55; 2) $11\frac{1}{3}$; 3) $-164$; 4) $-1,3$.

№ 845

Реши: 1) $16,05x + 1,8x = 3,63 - 0,3x$; 2) $1,09 + 5,8y = 38,29 + 15,1y$; 3) $\frac{5}{7}x + 2\frac{1}{7} = 3\frac{3}{28} - \frac{4}{7}x$; 4) $5\frac{1}{6} + \frac{4}{15}t = -\frac{2}{5}t - \frac{2}{3}$.

Решение.

1. $18,15x = 3,63$; $x = 0,2$.
2. $-9,3y = 37,2$; $y = -4$.
3. $\frac{5}{7}x + \frac{4}{7}x = 3\frac{3}{28} - 2\frac{4}{28}$; $\frac{9}{7}x = \frac{27}{28}$; $x = \frac{27}{28} \cdot \frac{7}{9} = \frac{3}{4}$. Проверка: слева $\frac{15}{28} + \frac{60}{28} = \frac{75}{28}$, справа $\frac{87}{28} - \frac{12}{28} = \frac{75}{28}$ ✓.
4. $\frac{4}{15}t + \frac{6}{15}t = -\frac{2}{3} - 5\frac{1}{6}$; $\frac{2}{3}t = -\frac{35}{6}$; $t = -\frac{35}{4} = -8\frac{3}{4}$.

Ответ: 1) 0,2; 2) $-4$; 3) $\frac{3}{4}$; 4) $-8\frac{3}{4}$.

№ 846

Реши: 1) $17x - 2,6 = 3(0,8 + 3x)$; 2) $8 + 5,1x = 49(1 + 0,1x)$; 3) $38(0,1x + 1) = 40 - 3,2x$; 4) $63x - 13,7 = 13(0,1 + 5x)$.

Решение.

1. $17x - 2,6 = 2,4 + 9x$; $8x = 5$; $x = 0,625$.
2. $8 + 5,1x = 49 + 4,9x$; $0,2x = 41$; $x = 205$.
3. $3,8x + 38 = 40 - 3,2x$; $7x = 2$; $x = \frac{2}{7}$.
4. $63x - 13,7 = 1,3 + 65x$; $-2x = 15$; $x = -7,5$.

Ответ: 1) 0,625; 2) 205; 3) $\frac{2}{7}$; 4) $-7,5$.

№ 847

Реши: 1) $\frac{4}{7}(x - 1) = \frac{2}{7} + x$; 2) $4\frac{5}{9} - \frac{1}{6}x = 5(1 + 0,1x)$; 3) $5(x - 1,5) = 4\frac{2}{3}x - 8\frac{3}{14}$; 4) $1\frac{7}{9}x - 1\frac{1}{9} = 4\frac{2}{9}(1 - x)$.

Решение.

1. $\frac{4}{7}x - \frac{4}{7} = \frac{2}{7} + x$; $-\frac{3}{7}x = \frac{6}{7}$; $x = -2$.
2. $4\frac{5}{9} - \frac{1}{6}x = 5 + \frac{1}{2}x$; $-\frac{2}{3}x = \frac{4}{9}$; $x = -\frac{2}{3}$.
3. $5x - 7,5 = 4\frac{2}{3}x - 8\frac{3}{14}$; $\frac{1}{3}x = 7\frac{7}{14} - 8\frac{3}{14} = -\frac{5}{7}$; $x = -\frac{15}{7} = -2\frac{1}{7}$.
4. $\frac{16}{9}x - \frac{10}{9} = \frac{38}{9} - \frac{38}{9}x$; $\frac{54}{9}x = \frac{48}{9}$; $6x = \frac{16}{3}$; $x = \frac{8}{9}$.

Ответ: 1) $-2$; 2) $-\frac{2}{3}$; 3) $-2\frac{1}{7}$; 4) $\frac{8}{9}$.

№ 848

Реши: 1) $\frac{23}{40}(8t + 5) - t = 2,6t - \left(3t - \frac{3}{4}\right)$; 2) $10\frac{2}{3}(9 - k) + 81 = 107 - \frac{1}{3}(k - 60)$.

Решение.

1. $4,6t + 2,875 - t = 2,6t - 3t + 0,75$; $3,6t + 2,875 = -0,4t + 0,75$; $4t = -2,125$; $t = -0,53125 = -\frac{17}{32}$.
2. $\frac{32}{3} \cdot 9 = 96$, поэтому $96 - \frac{32}{3}k + 81 = 107 - \frac{1}{3}k + 20$; $177 - 127 = \frac{32}{3}k - \frac{1}{3}k$; $50 = \frac{31}{3}k$; $k = \frac{150}{31} = 4\frac{26}{31}$.

Ответ: 1) $-\frac{17}{32}$; 2) $4\frac{26}{31}$.

№ 849

Маркакольский заповедник. 1) $x + 0,24 = 20 + 0,99x$ — год создания; 2) $3y - 2(169,9 + y) = 150 - (y + 339,8)$ — площадь, тыс. га; 3) $50z + (z + 6,2) = 200$ — площадь леса, тыс. га.

Решение.

1. $0,01x = 19,76$; $x = 1976$.
2. $3y - 339,8 - 2y = 150 - y - 339,8$; $y - 339,8 = -189,8 - y$; $2y = 150$; $y = 75$.
3. $51z + 6,2 = 200$; $51z = 193,8$; $z = 3,8$.

Ответ: 1) 1976 год; 2) 75 тыс. га; 3) 3,8 тыс. га.

🌟 Маркакольский заповедник находится в горах Алтая, вокруг озера Маркаколь. Оно знаменито своей прозрачной водой и рыбой ускучем, который водится только здесь.

№ 850

Температура на высоте: 1) $3x + (x + 2) = 2(3x + 12)$ — на 4000 м; 2) $-3(2,5 - y) = 28,5 + 4,5y$ — на 6000 м; 3) $25,8z - 4,3(6z + 300) = 25,8z$ — на 10 000 м.

Решение.

1. $4x + 2 = 6x + 24$; $-2x = 22$; $x = -11$.
2. $-7,5 + 3y = 28,5 + 4,5y$; $-1,5y = 36$; $y = -24$.
3. $25,8z - 25,8z - 1290 = 25,8z$; $25,8z = -1290$; $z = -50$.

Ответ: 1) $-11$ °C; 2) $-24$ °C; 3) $-50$ °C.

💡 Чем выше в горы, тем холоднее: примерно на 6 градусов на каждый километр. Поэтому на вершинах Заилийского Алатау снег лежит даже летом, когда в Алматы жара.

№ 851

Сколько живут животные: 1) $12,5 - (16x - 28,3) = -71,2$ — муравей; 2) $31,8 - \left(\frac{1}{7} + \frac{4}{7}y\right) = 1\frac{2}{3}y + 4,8$ — ящерица; 3) $\frac{13}{15}z - \left(\frac{7}{9} + \frac{1}{3}z\right) = 7\frac{2}{9}$ — белка.

Решение.

1. $12,5 - 16x + 28,3 = -71,2$; $40,8 + 71,2 = 16x$; $x = 112 : 16 = 7$.
2. $31,8 - 4,8 - \frac{1}{7} = \frac{5}{3}y + \frac{4}{7}y$; $\frac{188}{7} = \frac{47}{21}y$; $y = \frac{188}{7} \cdot \frac{21}{47} = 12$.
3. $\frac{13}{15}z - \frac{5}{15}z = 7\frac{2}{9} + \frac{7}{9}$; $\frac{8}{15}z = 8$; $z = 15$.

Ответ: 1) 7 лет; 2) 12 лет; 3) 15 лет.

Уровень B

№ 852

Сколько корней: 1) $(x - 5)\left(x + \frac{3}{23}\right) = 0$; 2) $5x + 10 = 5x$; 3) $1,1y - 0,9y + 4 = 4 + 0,2y$; 4) $x\left(x + 3\frac{8}{15}\right)(x - 10,2) = 0$?

Решение.

1. Каждая скобка может быть нулём: $x = 5$ или $x = -\frac{3}{23}$ — два корня.
2. $0 \cdot x = -10$ — корней нет.
3. $0,2y + 4 = 4 + 0,2y$ — части одинаковые, любое число.
4. $x = 0$, $x = -3\frac{8}{15}$, $x = 10,2$ — три корня.

Ответ: 1) два; 2) ни одного; 3) бесконечно много; 4) три.

💡 Уравнения 1) и 4) не линейные: в них после раскрытия скобок появится $x^2$. Поэтому у них и бывает больше одного корня.

№ 853

При каком значении переменной равны выражения: 1) $6\frac{1}{3}z + 4\frac{1}{7}$ и $3\frac{1}{6} + 5\frac{1}{6}z$; 2) $4,05t - \frac{17}{24}$ и $2\frac{5}{12} + 3,97t$; 3) $0,32x - 0,09$ и $0,3 - 0,2^2x$; 4) $0,52 \cdot 10x + 1$ и $0,42 \cdot 10x + 0,1$?

Как думать. Приравниваем выражения и решаем уравнение.

Решение.

1. $6\frac{2}{6}z - 5\frac{1}{6}z = 3\frac{1}{6} - 4\frac{1}{7}$; $\frac{7}{6}z = \frac{133 - 174}{42} = -\frac{41}{42}$; $z = -\frac{41}{42} \cdot \frac{6}{7} = -\frac{41}{49}$.
2. $0,08t = \frac{58}{24} + \frac{17}{24} = \frac{25}{8} = 3,125$; $t = 3,125 : 0,08 = 39,0625 = 39\frac{1}{16}$.
3. $0,2^2 = 0,04$: $0,32x + 0,04x = 0,39$; $0,36x = 0,39$; $x = \frac{13}{12} = 1\frac{1}{12}$.
4. $5,2x + 1 = 4,2x + 0,1$; $x = -0,9$.

Ответ: 1) $-\frac{41}{49}$; 2) $39\frac{1}{16}$; 3) $1\frac{1}{12}$; 4) $-0,9$.

№ 854

При каком значении переменной: 1) $2x - 0,5$ на 7 больше, чем $x + 1,2$; 2) $\frac{4}{11}y + 11,5$ на 2,3 меньше, чем $y - 1,2$; 3) $2\frac{2}{3}t - 10,5$ в 6 раз меньше, чем $2t + 9,8$; 4) $42,2x - 3$ в 5 раз меньше, чем $x + 10$?

Как думать. «На 7 больше» — разность равна 7. «В 6 раз меньше» — меньшее, умноженное на 6, равно большему.

Решение.

1. $(2x - 0,5) - (x + 1,2) = 7$; $x - 1,7 = 7$; $x = 8,7$.
2. $\frac{4}{11}y + 11,5 + 2,3 = y - 1,2$; $15 = \frac{7}{11}y$; $y = \frac{165}{7} = 23\frac{4}{7}$.
3. $t = 5,2$ (по шагам выше).
4. $5(42,2x - 3) = x + 10$; $211x - 15 = x + 10$; $210x = 25$; $x = \frac{5}{42}$.

Ответ: 1) 8,7; 2) $23\frac{4}{7}$; 3) 5,2; 4) $\frac{5}{42}$.

Уровень C

№ 855

При каком $x$ выражение $19\frac{7}{8} - (7x + 0,125)$ равно $49,75 + 8(x - 37,5)$?

Решение. $19,875 - 7x - 0,125 = 49,75 + 8x - 300$; $19,75 - 7x = -250,25 + 8x$; $270 = 15x$; $x = 18$.

Ответ: 18.

№ 856

Коргалжынский заповедник. 1) $(16x - 170) + 2(7x - 165) = 85x + 1400 - (56x - 58)$ — год создания; 2) $1350 + 5(y + 100) = 15(y - 10) - 589$ — площадь, тыс. га; 3) $9(z - 73) - 8(z + 375) = 238 - 11(z - 7)$ — видов растений; 4) $17(x + 13) - 19(x - 21) + 249 = 25(5x - 53) - 3(7x + 576)$ — видов млекопитающих; 5) $8(y - 325) - 17(y + 940) = 6(1096 - y) - 94(y - 17)$ — видов птиц; 6) $85z - 27 - 19(1 + z) = 43(1 - z) + 91 + 91z$ — видов рыб.

Как думать. Длинно, но всё по плану. Помогает здравый смысл: год должен быть похож на год, а число видов — на целое число.

Решение.

1. $30x - 500 = 29x + 1458$; $x = 1958$.
2. $1850 + 5y = 15y - 739$; $2589 = 10y$; $y = 258,9$.
3. $z - 3657 = 315 - 11z$; $12z = 3972$; $z = 331$.
4. $-2x + 869 = 104x - 3053$; $3922 = 106x$; $x = 37$.
5. $-9y - 18,580 = -100y + 8174$; $91y = 26,754$; $y = 294$.
6. $66z - 46 = 48z + 134$; $18z = 180$; $z = 10$.

Ответ: 1) 1958 г.; 2) 258,9 тыс. га; 3) 331 вид растений; 4) 37 видов млекопитающих; 5) 294 вида птиц; 6) 10 видов рыб.

🌟 Коргалжын — самое северное в мире место, где гнездится розовый фламинго. Заповедник вместе с соседним Наурзумом входит в список Всемирного наследия ЮНЕСКО «Сарыарка».

№ 857

Есть ли корни при данном $a$: 1) $8x - a = 8x - 9$, $a = 9,5$; 2) $3,6t + a = 0,6t + 10$, $a = 10$; 3) $ax + 41,3 = x + 0,3$, $a = 1$; 4) $x(x - a) = 0$, $a = 4$? Если корней нет, подбери $a$, при котором они появятся.

Как думать. Подставляем $a$ и смотрим, что останется после переноса.

Решение.

1. $8x - 9,5 = 8x - 9$; $0 \cdot x = 0,5$ — корней нет. При $a = 9$ получим $0 \cdot x = 0$ — подходит любое $x$.
2. $3,6t + 10 = 0,6t + 10$; $3t = 0$; $t = 0$ — корень есть.
3. $x + 41,3 = x + 0,3$; $0 \cdot x = -41$ — корней нет. При любом $a \ne 1$ корень есть; например, $a = 2$: $2x - x = 0,3 - 41,3$, $x = -41$.
4. $x(x - 4) = 0$; корни 0 и 4 — есть.

Ответ: 1) нет, корни будут при $a = 9$; 2) есть ($t = 0$); 3) нет, корни будут при любом $a \ne 1$, например $a = 2$; 4) есть (0 и 4).

№ 858

Подготовь сообщение о линейных уравнениях с одной неизвестной. Их умели решать в Древнем Вавилоне и Египте больше 4 тысяч лет назад.

Как думать. Найди 2–3 интересных факта и одну старинную задачу.

Решение. Пример сообщения: «Около 1650 года до н. э. египетский писец Ахмес переписал папирус с задачами (папирус Ринда). Неизвестное там называли словом "хау" — "куча". Вот задача оттуда: "Куча и её седьмая часть дают 19. Найди кучу". Сегодня мы запишем: $x + \frac{1}{7}x = 19$, откуда $\frac{8}{7}x = 19$ и $x = 16\frac{5}{8}$. Вавилоняне решали такие задачи на глиняных табличках. А буквы для неизвестных ввели только в XVI–XVII веках».

Ответ: пример сообщения выше.

Повторяем

№ 859

Запиши координаты точек на координатной прямой (рис. 56). 1) Какая точка ближе всех к началу отсчёта? 2) Какая дальше всех? 3) Какие точки на одинаковом расстоянии от начала?

На рисунке единичный отрезок — 3 клетки (от 0 до 3 ровно 9 клеток). Значит, одна клетка — это $\frac{1}{3}$. Нажми на любое деление и проверь координату.

Как думать. Считаем клетки от точки $O$ и делим на 3. Расстояние до начала — это модуль координаты.

Решение. $K\left(-2\frac{2}{3}\right)$, $F\left(-2\frac{1}{3}\right)$, $E\left(-1\frac{1}{3}\right)$, $T\left(-\frac{1}{3}\right)$, $O(0)$, $B\left(\frac{2}{3}\right)$, $C(1)$, $D(2)$, $A\left(3\frac{2}{3}\right)$.

1. Ближе всех к началу (кроме самой $O$) — точка $T$: до неё $\frac{1}{3}$.
2. Дальше всех — точка $A$: до неё $3\frac{2}{3}$.
3. Сравниваем модули: $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{3}$, 1, $1\frac{1}{3}$, 2, $2\frac{1}{3}$, $2\frac{2}{3}$, $3\frac{2}{3}$. Одинаковых нет, значит, таких точек на рисунке нет. Пары были бы, если бы точки стояли симметрично относительно 0, например $\frac{2}{3}$ и $-\frac{2}{3}$.

Ответ: $K\left(-2\frac{2}{3}\right)$, $F\left(-2\frac{1}{3}\right)$, $E\left(-1\frac{1}{3}\right)$, $T\left(-\frac{1}{3}\right)$, $O(0)$, $B\left(\frac{2}{3}\right)$, $C(1)$, $D(2)$, $A\left(3\frac{2}{3}\right)$; 1) $T$; 2) $A$; 3) таких точек нет.

№ 860

1) Площадь прямоугольника 128 см², ширина — 50% длины. Найди длину. 2) Периметр $11\frac{3}{7}$ см, ширина — $\frac{1}{7}$ длины. Найди длину.

Как думать. Обозначь длину буквой — получится уравнение.

Решение.

1. Длина $a$, ширина $0,5a$. $a \cdot 0,5a = 128$, $a \cdot a = 256$, $a = 16$ см (ведь $16 \cdot 16 = 256$).
2. Длина $a$, ширина $\frac{1}{7}a$. $2\left(a + \frac{1}{7}a\right) = \frac{80}{7}$; $\frac{16}{7}a = \frac{80}{7}$; $a = 5$ см.

Ответ: 1) 16 см; 2) 5 см.

Готовимся к следующей теме

№ 861

Найди значение: 1) $|a| + 2|b| - 3|a - b|$ при $a = -8,9$, $b = -6,2$; 2) $|-x| + |x| + |-x^2| + |-x^3|$ при $x = 0,5$.

Как думать. Модуль — расстояние до нуля, он всегда не меньше нуля. Сначала считаем выражение внутри, потом убираем минус.

Решение.

1. $|a| = 8,9$; $2|b| = 12,4$; $a - b = -8,9 + 6,2 = -2,7$, $3 \cdot 2,7 = 8,1$. Итог: $8,9 + 12,4 - 8,1 = 13,2$.
2. $0,5 + 0,5 + 0,25 + 0,125 = 1,375$.

Ответ: 1) 13,2; 2) 1,375.

Шпаргалка

• Линейное уравнение: $ax = b$.
• У линейного уравнения не бывает ровно двух корней.
• Иксы сократились? Смотри на остаток: $0 = 0$ — любое число, $0 = 5$ — корней нет.
• $\varnothing$ — пустое множество, «корней нет».

Мини-тест