§ 30. Линейное уравнение, содержащее переменную под знаком модуля

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 4: Линейные уравнения с одной переменной. Страницы 22–25.

Чему научишься

• Решать уравнения вида $|x| = a$ и понимать, почему у них бывает два корня, один или ни одного.
• Сводить уравнения вроде $15|x| = 30$ к простому $|x| = 2$.
• Записывать ответ множеством: ${-2; 2}$.
• Проверять, является ли число корнем уравнения с модулем.

Разминка

Это задания № 861 из прошлого урока. Вспомни: модуль числа — это расстояние от нуля, он никогда не бывает отрицательным.

• Чему равны $|7|$, $|-7|$ и $|0|$? $7$, $7$ и $0$.
• Найди $|a| + 2|b| - 3|a - b|$ при $a = -8{,}9$ и $b = -6{,}2$. $a - b = -2{,}7$. Тогда $8{,}9 + 12{,}4 - 3 \cdot 2{,}7 = 21{,}3 - 8{,}1 = $ 13,2.
• Найди $|-x| + |x| + |-x^2| + |-x^3|$ при $x = 0{,}5$. $0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}25 + 0{,}125 = $ 1,375.
• Какие два числа имеют модуль 4? $4$ и $-4$.

💡 Последний вопрос — это уже уравнение $|x| = 4$! Ты его только что решил в уме.

Разбираемся

Почему $|3| = 3$ и $|-3| = 3$

Модуль — это расстояние от числа до нуля на координатной прямой. Из точки 0 можно шагнуть на 3 вправо и на 3 влево. Расстояние одно и то же — 3. Поэтому модуль «стирает» знак минус.

Работает правило:

📌 Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Если $x < 0$, то $|x| = -x$ (минус на минус даёт плюс: $|-3| = -(-3) = 3$).

Уравнение с двумя ответами

Реши $|x| = 7$. Какие точки стоят на расстоянии 7 от нуля? Одну точку найти легко, а вторую поставь сам.

Разбираем два случая:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и уравнение превращается в $x = 7$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и получаем $-x = 7$, то есть $x = -7$.

Корней два. Их записывают в фигурных скобках: ${-7; 7}$. Это множество решений уравнения.

Сколько корней у $|x| = a$

• $a > 0$ — два корня: $a$ и $-a$. Например, $|x| = 5$ даёт ${-5; 5}$.
• $a = 0$ — один корень: $x = 0$.
• $a < 0$ — корней нет. Расстояние не бывает отрицательным!

⚠️ Частая ошибка. Решив $|x| = 2$, пишут только $x = 2$ и теряют $-2$. Каждый раз спрашивай себя: «А с минусом подходит?»

Когда модулей несколько

Пример: $-|x| + 12|x| - 24{,}3 = 5{,}7 - 4|x|$. Смотри на $|x|$ как на одну «коробочку». С ней можно делать всё то же, что с переменной в линейном уравнении.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка сначала довести уравнение до вида $|x| = \text{число}$ и только потом «раскрывать» модуль. Если число справа отрицательное, корней нет — это хорошая проверка внимательности.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Почему модуль отрицательного числа — положительное число? Модуль — это расстояние от точки до нуля, а расстояние всегда положительно (или 0). Например, $|-5| = 5$: до нуля 5 шагов.
• Для каких $x$ верно $|x| = x$? Для всех $x \ge 0$: нуля и положительных чисел.
• **Сколько решений у $|x| = a$ при $a > 0$, $a < 0$, $a = 0$?** При $a > 0$ — два ($a$ и $-a$), при $a < 0$ — ни одного, при $a = 0$ — одно ($x = 0$).

Решаем упражнения

Уровень A

№ 862

Из чисел 1; 1,7; 5,7; $-1{,}7$; $-5{,}7$; 2 выбери корни уравнений: 1) $|x| = 1{,}7$; 2) $|x + 2| = 3{,}7$.

Как думать. Подставляй каждое число и считай модуль.

Решение.

1. $|x| = 1{,}7$ — подходят $1{,}7$ и $-1{,}7$.
2. $|x + 2| = 3{,}7$: при $x = 1{,}7$ получаем $|3{,}7| = 3{,}7$ ✓; при $x = -5{,}7$ получаем $|-3{,}7| = 3{,}7$ ✓. Остальные не подходят: например, $|1 + 2| = 3$.

Ответ: 1) $1{,}7$ и $-1{,}7$; 2) $1{,}7$ и $-5{,}7$.

№ 863

Будет ли 5 корнем уравнения: 1) $|x| = 5$; 2) $|x| = 0{,}5$; 3) $|x| = \frac{1}{5}$; 4) $|x + 3| = 8$; 5) $|11 - x| = 6$; 6) $|x + 1| = 5$?

Как думать. Подставь $x = 5$ и сравни левую часть с правой.

Решение.

1. $|5| = 5$ — да.
2. $5 \ne 0{,}5$ — нет.
3. $5 \ne \frac{1}{5}$ — нет.
4. $|5 + 3| = 8$ — да.
5. $|11 - 5| = 6$ — да.
6. $|5 + 1| = 6 \ne 5$ — нет.

Ответ: да — в 1), 4), 5); нет — в 2), 3), 6).

№ 864

Будет ли $-\frac{8}{11}$ корнем уравнения: 1) $|x| = \frac{8}{11}$; 2) $|x| = \frac{11}{8}$; 3) $\left|x - \frac{3}{11}\right| = 1$; 4) $|11x| = 8$; 5) $|x + 1| = \frac{3}{11}$; 6) $|x - 1| = \frac{3}{11}$?

Решение.

1. $\left|-\frac{8}{11}\right| = \frac{8}{11}$ — да.
2. $\frac{8}{11} \ne \frac{11}{8}$ — нет.
3. $-\frac{8}{11} - \frac{3}{11} = -1$, $|-1| = 1$ — да.
4. $11 \cdot \left(-\frac{8}{11}\right) = -8$, $|-8| = 8$ — да.
5. $-\frac{8}{11} + 1 = \frac{3}{11}$ — да.
6. $-\frac{8}{11} - 1 = -1\frac{8}{11}$, модуль $1\frac{8}{11} \ne \frac{3}{11}$ — нет.

Ответ: да — 1), 3), 4), 5); нет — 2), 6).

№ 865

Реши: 1) $|x| = 53$; 2) $|x| = 300{,}7$; 3) $|x| = 19\frac{7}{17}$.

Как думать. Справа положительное число — значит, два корня, отличаются только знаком.

Решение и ответ: 1) ${-53; 53}$; 2) ${-300{,}7; 300{,}7}$; 3) $\left{-19\frac{7}{17}; 19\frac{7}{17}\right}$.

Ответ: 1) $\pm 53$; 2) $\pm 300{,}7$; 3) $\pm 19\frac{7}{17}$.

№ 866

Есть ли решения у уравнений: 1) $|x| = 3\frac{11}{18}$; 2) $|x| - 19{,}2 = 0$; 3) $|x| + 45 = 0$?

Как думать. Сначала оставь $|x|$ один, потом посмотри на знак числа справа.

Решение.

1. Число справа положительное — два решения: $\pm 3\frac{11}{18}$.
2. $|x| = 19{,}2$ — два решения: $\pm 19{,}2$.
3. $|x| = -45$ — модуль не бывает отрицательным, решений нет.

Ответ: 1) да; 2) да; 3) нет.

№ 867

Найди корни: 1) $|x| + 20{,}9 = 22$; 2) $315 - |x| = 288$; 3) $|x| - 74{,}6 = 9{,}4$; 4) $15\frac{2}{15} - |x| = 7\frac{1}{12}$; 5) $|x| - 21{,}9 = 6\frac{2}{3}$; 6) $100{,}3 + |x| = 101\frac{8}{9}$.

Как думать. $|x|$ — неизвестное слагаемое или вычитаемое. Находим его, а потом пишем два корня.

Решение.

1. $|x| = 22 - 20{,}9 = 1{,}1$; $x = \pm 1{,}1$.
2. $|x| = 315 - 288 = 27$; $x = \pm 27$.
3. $|x| = 9{,}4 + 74{,}6 = 84$; $x = \pm 84$.
4. $|x| = 15\frac{2}{15} - 7\frac{1}{12} = 15\frac{8}{60} - 7\frac{5}{60} = 8\frac{3}{60} = 8\frac{1}{20} = 8{,}05$; $x = \pm 8{,}05$.
5. $|x| = 21\frac{9}{10} + 6\frac{2}{3} = 27\frac{47}{30} = 28\frac{17}{30}$; $x = \pm 28\frac{17}{30}$.
6. $|x| = 101\frac{8}{9} - 100\frac{3}{10} = 1\frac{80 - 27}{90} = 1\frac{53}{90}$; $x = \pm 1\frac{53}{90}$.

Ответ: 1) $\pm 1{,}1$; 2) $\pm 27$; 3) $\pm 84$; 4) $\pm 8{,}05$; 5) $\pm 28\frac{17}{30}$; 6) $\pm 1\frac{53}{90}$.

№ 868

Реши: 1) $12|x| = 1{,}2$; 2) $225 : |x| = 1{,}5$; 3) $-4{,}84 : |x| = -4{,}4$; 4) $5|x| + 6\frac{11}{26} = 7$; 5) $3|x| : 13{,}2 = \frac{1}{33}$; 6) $79 + 4 : |x| = 81{,}8$.

Как думать. Действуем как с обычным неизвестным множителем или делителем.

Решение.

1. $|x| = 1{,}2 : 12 = 0{,}1$.
2. $|x| = 225 : 1{,}5 = 150$.
3. $|x| = -4{,}84 : (-4{,}4) = 1{,}1$.
4. $5|x| = 7 - 6\frac{11}{26} = \frac{15}{26}$, $|x| = \frac{15}{26} : 5 = \frac{3}{26}$.
5. $3|x| = 13{,}2 \cdot \frac{1}{33} = 0{,}4$, $|x| = \frac{0{,}4}{3} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}$.
6. $4 : |x| = 81{,}8 - 79 = 2{,}8$, $|x| = 4 : 2{,}8 = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7}$.

Ответ: 1) ${-0{,}1; 0{,}1}$; 2) ${-150; 150}$; 3) ${-1{,}1; 1{,}1}$; 4) $\left{-\frac{3}{26}; \frac{3}{26}\right}$; 5) $\left{-\frac{2}{15}; \frac{2}{15}\right}$; 6) $\left{-1\frac{3}{7}; 1\frac{3}{7}\right}$.

Уровень B

№ 869

Реши: 1) $3|x| + |x| = 20$; 2) $5|x| - 3|x| = 33$; 3) $19|x| - 17 = 16|x|$; 4) $42 - 63|x| = 65|x|$.

Как думать. Приводим подобные: $|x|$ ведёт себя как обычная переменная.

Решение.

1. $4|x| = 20$, $|x| = 5$.
2. $2|x| = 33$, $|x| = 16{,}5$.
3. $19|x| - 16|x| = 17$, $3|x| = 17$, $|x| = 5\frac{2}{3}$.
4. $42 = 65|x| + 63|x|$, $128|x| = 42$, $|x| = \frac{42}{128} = \frac{21}{64}$.

Ответ: 1) ${-5; 5}$; 2) ${-16{,}5; 16{,}5}$; 3) $\left{-5\frac{2}{3}; 5\frac{2}{3}\right}$; 4) $\left{-\frac{21}{64}; \frac{21}{64}\right}$.

№ 870

Найди множество корней: 1) $|x| + 5|x| - 40 = 4|x|$; 2) $100 - |x| = -49|x| + 124$; 3) $6|x| - 2|x| = 35 - 16|x|$; 4) $29|x| - |x| - 13 = -22|x|$.

Решение.

1. $6|x| - 4|x| = 40$, $2|x| = 40$, $|x| = 20$.
2. $48|x| = 24$, $|x| = \frac{1}{2}$.
3. $4|x| + 16|x| = 35$, $20|x| = 35$, $|x| = 1{,}75$.
4. $28|x| + 22|x| = 13$, $50|x| = 13$, $|x| = 0{,}26$.

Ответ: 1) ${-20; 20}$; 2) $\left{-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right}$; 3) ${-1{,}75; 1{,}75}$; 4) ${-0{,}26; 0{,}26}$.

№ 871

При каких $x$ верно: 1) $|x + 1| = x + 1$; 2) $|2 - x| = 2 - x$?

Как думать. $|A| = A$ только тогда, когда $A \ge 0$ (смотри правило в начале урока).

Решение.

1. Нужно $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.
2. Нужно $2 - x \ge 0$, то есть $x \le 2$.

Ответ: 1) при $x \ge -1$; 2) при $x \le 2$.

Уровень C

№ 872

При каких $a$ уравнение $|10 - x| = a$: 1) имеет корни; 2) не имеет корней; 3) имеет корень 0; 4) имеет корень 10?

Как думать. Задача повышенной трудности. $|10 - x|$ — это расстояние между точками $x$ и $10$. Оно не бывает отрицательным.

Решение.

1. Корни есть, когда $a \ge 0$ (при $a > 0$ — два, при $a = 0$ — один).
2. Корней нет, когда $a < 0$.
3. Подставим $x = 0$: $|10 - 0| = 10$, значит $a = 10$. (Второй корень тогда 20.)
4. Подставим $x = 10$: $|10 - 10| = 0$, значит $a = 0$. Корень единственный.

Ответ: 1) $a \ge 0$; 2) $a < 0$; 3) $a = 10$; 4) $a = 0$.

Повторение

№ 873

Вычисли: $\left(4\frac{5}{12} : 44\frac{1}{6} - 2{,}6\right) : 7{,}5 - 2{,}25 \cdot 2\frac{4}{9}$.

Решение.

1. $4\frac{5}{12} : 44\frac{1}{6} = \frac{53}{12} \cdot \frac{6}{265} = \frac{53}{530} = 0{,}1$.
2. $0{,}1 - 2{,}6 = -2{,}5$.
3. $-2{,}5 : 7{,}5 = -\frac{1}{3}$.
4. $2{,}25 \cdot 2\frac{4}{9} = \frac{9}{4} \cdot \frac{22}{9} = \frac{22}{4} = 5{,}5$.
5. $-\frac{1}{3} - 5\frac{1}{2} = -\frac{2}{6} - 5\frac{3}{6} = -5\frac{5}{6}$.

Ответ: $-5\frac{5}{6}$.

№ 874

Выпиши все натуральные, чётные и нечётные $x$, для которых верно $8{,}13 < x \le 13{,}909$.

Как думать. Целые числа строго больше 8,13 начинаются с 9, а не больше 13,909 — заканчиваются на 13.

Решение. Натуральные: 9, 10, 11, 12, 13. Из них чётные: 10, 12. Нечётные: 9, 11, 13.

Ответ: 1) 9; 10; 11; 12; 13; 2) 10; 12; 3) 9; 11; 13.

№ 875

Найди координаты точек на рисунке 57 и назови по две точки: 1) между $A$ и $D$; 2) левее $B$; 3) правее $C$.

На рисунке единичный отрезок — 2 клетки. $A$ — на 6 клеток левее нуля, $B$ — на 3 клетки левее, $D$ — на 6 клеток правее, $C$ — на 9 клеток правее.

Как думать. Делим число клеток на 2 — получаем координату.

Решение. $A(-3)$, $B(-1{,}5)$, $O(0)$, $D(3)$, $C(4{,}5)$. Примеры точек:

1. Между $A$ и $D$: $-1$ и $2$.
2. Левее $B$: $-2$ и $-4$.
3. Правее $C$: $5$ и $6$.

Ответ: $A(-3)$, $B(-1{,}5)$, $D(3)$, $C(4{,}5)$; например, 1) $-1$; $2$; 2) $-2$; $-4$; 3) $5$; $6$.

Готовимся к следующей теме

№ 876

1) Жамбылская область в 2007 г. дала 302 433,231 т сахара — это 77,1% всего сахара республики. Сколько сахара произвели в республике? 2) Три сестры разделили 12 конфет: младшей в 3 раза, средней в 2 раза больше, чем старшей. Сколько у каждой? 3) Между пунктами 200 км, машины едут навстречу со скоростями $a$ и $b$ км/ч. Что значат $3a$, $2b$, $a + b$, $200 : a$, $200 : b$, $200 : (a + b)$? 4) Первый рабочий сделал $x$ деталей, второй — на 7 больше, третий — на 10 меньше, чем первые двое вместе. Запиши выражения для второго, третьего и для всех троих.

Как думать. Это разминка к следующему уроку: как переводить слова задачи на язык выражений.

Решение.

1. Всё количество — 100%. Находим число по его проценту: $302,433{,}231 : 0{,}771 = 392,261$ т.
2. Старшая — $x$, средняя — $2x$, младшая — $3x$: $x + 2x + 3x = 12$, $6x = 12$, $x = 2$. Старшая — 2, средняя — 4, младшая — 6 конфет.
3. а) $3a$ — путь первой машины за 3 ч; б) $2b$ — путь второй за 2 ч; в) $a + b$ — скорость сближения; г) $200 : a$ — за сколько часов первая машина проедет все 200 км; д) $200 : b$ — то же для второй; е) $200 : (a + b)$ — через сколько часов машины встретятся.
4. а) $x + 7$; б) $x + (x + 7) - 10 = 2x - 3$; в) $x + (x + 7) + (2x - 3) = 4x + 4$.

Ответ: 1) 392 261 т; 2) 2, 4 и 6 конфет; 3) см. решение; 4) $x + 7$; $2x - 3$; $4x + 4$.

Шпаргалка

• Сначала приводим уравнение к виду $|x| = \text{число}$, обращаясь с $|x|$ как с переменной.
• Число справа положительное — два корня, ноль — один, отрицательное — ни одного.
• Ответ пишем множеством в фигурных скобках: ${-2; 2}$.
• $|A| = A$ верно только при $A \ge 0$.

Мини-тест