§ 4. Решение задач с помощью пропорций

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 1: Отношения и пропорции. Страницы 39–48.

Чему научишься

• Находить проценты от числа и число по его процентам с помощью пропорции.
• Делить число в заданном отношении, например 80 деталей в отношении $4 : 6$.
• Строить круговую диаграмму: считать градусы каждого сектора.
• Делить число на части, обратно пропорциональные данным числам.

Разминка

Это задания № 173–175 из прошлого урока. Ответь в уме.

• Сколько будет 25% от 160? $160 : 4 = 40$.
• Какое число, если 20% его равны 7? 20% — это пятая часть, значит, число $7 \cdot 5 = 35$.
• В человеке массой 50 кг около 64% воды. Сколько это килограммов? $50 \cdot 0{,}64 = 32$ кг.
• Можно ли разбить круг на секторы 160°, 120°, 50° и 30°? Да: $160 + 120 + 50 + 30 = 360^\circ$ — ровно весь круг.

💡 Весь круг — это 360°, или 100%. На этом сегодня построим круговые диаграммы.

Разбираемся

Проценты через пропорцию

Как найти 4% от 700? Ты уже знаешь два способа: $700 \cdot 0{,}04 = 28$ или $700 : 100 \cdot 4 = 28$. Вот третий — через пропорцию.

Обозначим ответ буквой $x$. Число 700 — это 100%, а $x$ — это 4%. На 1% приходится и $\frac{700}{100}$, и $\frac{x}{4}$. Значит:

$\frac{x}{4} = \frac{700}{100}$, откуда $100x = 4 \cdot 700$, $x = 28$.

Теперь наоборот: 5% числа равны 21. Само число $x$ — 100%. На 1% приходится $\frac{x}{100} = \frac{21}{5}$. Отсюда $5x = 2100$, $x = 420$.

📌 Как решать через пропорцию:

1. обозначь неизвестное буквой $x$;
2. пойми, какое число составляет 100%;
3. запиши, сколько приходится на 1%, двумя способами и приравняй;
4. найди $x$ по основному свойству пропорции.

⚠️ Частая ошибка. «Зарплату повысили на 20%, стало 54 000 тг — какой была?» Многие считают $54,000 - 20%$ от 54 000. Неверно! 100% — это старая зарплата, а 54 000 — это 120%. Всегда спрашивай себя: от чего считаем проценты?

Делим в заданном отношении

В классе 25 учеников, мальчиков и девочек в отношении $3 : 2$. Сколько тех и других?

1. Всего частей: $3 + 2 = 5$.
2. Одна часть: $25 : 5 = 5$ учеников.
3. Мальчиков $5 \cdot 3 = 15$, девочек $5 \cdot 2 = 10$.

📌 Чтобы разделить число в отношении $a : b$ (пропорционально числам $a$ и $b$), раздели его на $a + b$ и умножь результат на $a$ и на $b$.

Круговая диаграмма

Нужно показать на круге массы 40 ц, 8 ц и 32 ц. Делим круг, то есть 360°, в отношении $40 : 8 : 32 = 5 : 1 : 4$.

1. Частей: $5 + 1 + 4 = 10$.
2. Одна часть: $360^\circ : 10 = 36^\circ$.
3. Секторы: $36^\circ \cdot 5 = 180^\circ$, $36^\circ$ и $36^\circ \cdot 4 = 144^\circ$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Если дома есть транспортир, постройте с ребёнком диаграмму на бумаге: «кто сколько времени в день тратит на сон, школу, игры». Это закрепляет тему лучше десяти задач.

Обратно пропорциональное деление

15 человек пропалывают морковь двумя бригадами. Первая бригада сделала бы всю работу за 2 ч, вторая — за 3 ч. Сколько людей в каждой?

Чем быстрее бригада, тем больше в ней людей. За час первая делает $\frac{1}{2}$ работы, вторая — $\frac{1}{3}$. Делим 15 в отношении $\frac{1}{2} : \frac{1}{3} = 3 : 2$: одна часть — $15 : 5 = 3$, значит, 9 и 6 человек.

📌 Чтобы разделить число на части, обратно пропорциональные числам $a$ и $b$, раздели его прямо пропорционально обратным числам $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Что обозначают буквой, когда находят проценты с помощью пропорции? Искомое число — то, которое надо найти: часть от числа или само число.
• Что стоит в левой и правой частях такой пропорции? Обе части показывают одно и то же — сколько приходится на 1%. Например, $\frac{x}{4} = \frac{700}{100}$.
• Как разделить 40 в отношении $2 : 5$? Частей $2 + 5 = 7$. Одна часть — $\frac{40}{7}$. Получаем $\frac{80}{7} = 11\frac{3}{7}$ и $\frac{200}{7} = 28\frac{4}{7}$.
• Как разделить 40 на части, прямо пропорциональные числам 2 и 5? Это то же самое, что разделить в отношении $2 : 5$: $11\frac{3}{7}$ и $28\frac{4}{7}$.
• А обратно пропорциональные числам 2 и 5? Берём обратные числа: $\frac{1}{2} : \frac{1}{5} = 5 : 2$. Части: $28\frac{4}{7}$ и $11\frac{3}{7}$ (большая часть достаётся числу 2).

Решаем упражнения

Уровень A

№ 176

Мука составляет 75% от массы выпеченного хлеба. Сколько хлеба выйдет из 15 кг; 480 кг; 5 т муки?

Как думать. 100% — это хлеб, мука — 75%. Ищем число по его процентам.

Решение. Пропорция $\frac{x}{100} = \frac{15}{75}$, то есть хлеб $= $ мука $: 0{,}75$.

1. $15 : 0{,}75 = 20$ кг.
2. $480 : 0{,}75 = 640$ кг.
3. $5 : 0{,}75 = 6\frac{2}{3}$ т $\approx 6667$ кг.

Ответ: 20 кг; 640 кг; $6\frac{2}{3}$ т.

№ 177

1) Одна сторона треугольника 5,5 см, две другие — по 75% от неё. Найди периметр. 2) Ширина прямоугольника 8 см, длина — 150% ширины. Найди периметр и площадь.

Решение.

1. $5{,}5 \cdot 0{,}75 = 4{,}125$ см. $P = 5{,}5 + 4{,}125 + 4{,}125 = 13{,}75$ см.
2. Длина $8 \cdot 1{,}5 = 12$ см. $P = 2 \cdot (12 + 8) = 40$ см, $S = 12 \cdot 8 = 96$ см².

Ответ: 1) 13,75 см; 2) 40 см; 96 см².

№ 178

За первую декаду завод выпустил 30 400 деталей — это 38% месячного плана. Каков план?

Решение. $\frac{x}{100} = \frac{30,400}{38}$, $x = 30,400 \cdot 100 : 38 = 80,000$.

Ответ: 80 000 деталей.

№ 179

Поезд проехал 760 км — это 79% всего пути. Какова длина всего пути?

Решение. $x = 760 \cdot 100 : 79 = 76,000 : 79 \approx 962{,}03$ км.

Ответ: около 962 км.

№ 180

После повышения зарплаты на 20% работник стал получать 54 000 тг. Какой была зарплата?

Как думать. Новая зарплата — это $100% + 20% = 120%$ старой.

Решение. $\frac{x}{100} = \frac{54,000}{120}$, $x = 54,000 : 1{,}2 = 45,000$ тг. Проверка: $45,000 \cdot 1{,}2 = 54,000$ ✓.

Ответ: 45 000 тг.

№ 181

Из 1800 учеников 75% ходят в кружки, из них 80% — в спортивные. Сколько учеников занимаются спортом?

Решение. В кружках: $1800 \cdot 0{,}75 = 1350$. Из них спортом: $1350 \cdot 0{,}8 = 1080$.

Ответ: 1080 учеников.

⚠️ Частая ошибка. 80% берём не от 1800, а от тех, кто ходит в кружки (1350).

№ 182

Двое рабочих сделали 80 деталей в отношении $4 : 6$. Сколько сделал каждый?

Решение. Частей $4 + 6 = 10$, одна — $80 : 10 = 8$. Первый: $8 \cdot 4 = 32$, второй: $8 \cdot 6 = 48$.

Ответ: 32 и 48 деталей.

№ 183

В первый день машина проехала 640 км, во второй — 60% от этого. Сколько всего за два дня?

Решение. Второй день: $640 \cdot 0{,}6 = 384$ км. Всего $640 + 384 = 1024$ км.

Ответ: 1024 км.

№ 184

Угол $AOB = 150^\circ$, угол $BCM$ — 30% от него. Найди сумму углов.

Решение. $150 \cdot 0{,}3 = 45^\circ$. Сумма $150 + 45 = 195^\circ$.

Ответ: 195°.

№ 185

Какая пропорция получится: 1) при нахождении 7% от 300; 2) при нахождении числа, 3% которого равны 75?

Решение.

1. $\frac{x}{7} = \frac{300}{100}$, отсюда $x = 21$.
2. $\frac{x}{100} = \frac{75}{3}$, отсюда $x = 2500$.

Ответ: 1) $\frac{x}{7} = \frac{300}{100}$ ($x = 21$); 2) $\frac{x}{100} = \frac{75}{3}$ ($x = 2500$).

№ 186

1) Построй круговую диаграмму мальчиков и девочек своего класса. 2) Изобрази на круговой диаграмме массы: а) 25 ц, 40 ц, 15 ц; б) 16 кг, 54 кг, 20 кг; в) 60 т, 90 т, 60 т, 50 т.

Как думать. Делим 360° пропорционально данным числам: 360° делим на сумму и умножаем на каждое число.

Решение.

1. У каждого свои числа. Например, в классе 14 мальчиков и 11 девочек, всего 25. На одного ученика — $360 : 25 = 14{,}4^\circ$. Мальчики: $14{,}4 \cdot 14 = 201{,}6^\circ$, девочки: $14{,}4 \cdot 11 = 158{,}4^\circ$.
2. а) Сумма 80 ц, на 1 ц — $360 : 80 = 4{,}5^\circ$: $112{,}5^\circ$, $180^\circ$, $67{,}5^\circ$. б) Сумма 90 кг, на 1 кг — $4^\circ$: $64^\circ$, $216^\circ$, $80^\circ$. в) Сумма 260 т, на 1 т — $360 : 260 \approx 1{,}385^\circ$: примерно $83^\circ$, $125^\circ$, $83^\circ$, $69^\circ$.

Ответ: а) 112,5°, 180°, 67,5°; б) 64°, 216°, 80°; в) ≈ 83°, 125°, 83°, 69°.

№ 187

Каналы на юге Казахстана: Чу — 39 км, Лепсы — 70 км, Шыршык — 86 км. Округли до десятков и построй круговую диаграмму.

Решение. Округляем: 40 км, 70 км, 90 км. Сумма 200 км, на 1 км — $360 : 200 = 1{,}8^\circ$. Секторы: $40 \cdot 1{,}8 = 72^\circ$, $70 \cdot 1{,}8 = 126^\circ$, $90 \cdot 1{,}8 = 162^\circ$. Проверка: $72 + 126 + 162 = 360$ ✓.

Ответ: 72°, 126°, 162°.

№ 188

Турист за два дня прошёл 30 км, пути по дням относятся как $5 : 6$. Сколько он прошёл каждый день?

Решение. Частей $5 + 6 = 11$, одна — $\frac{30}{11}$ км. Первый день: $\frac{150}{11} = 13\frac{7}{11}$ км, второй: $\frac{180}{11} = 16\frac{4}{11}$ км.

Ответ: $13\frac{7}{11}$ км и $16\frac{4}{11}$ км.

№ 189

Озёра: Кыпшак — 54,7 км², Тенгиз — 159 км², Керей — 62,8 км². Округли до десятков и построй круговую диаграмму.

Решение. Округляем: 50, 160, 60 км². Сумма 270, на 1 км² — $360 : 270 = \frac{4}{3}^\circ$. Секторы: $50 \cdot \frac{4}{3} = 66\frac{2}{3}^\circ$, $160 \cdot \frac{4}{3} = 213\frac{1}{3}^\circ$, $60 \cdot \frac{4}{3} = 80^\circ$.

Ответ: около 67°, 213°, 80°.

№ 190

Озёра Акмолинской области: Кожаколь — 60 км², Шолакшалкар — 58,1 км², Балыктыколь — 18,3 км², Шалкар — 16,1 км². Округли до десятков и построй круговую диаграмму.

Решение. Округляем: 60, 60, 20, 20 км². Сумма 160, на 1 км² — $360 : 160 = 2{,}25^\circ$. Секторы: $135^\circ$, $135^\circ$, $45^\circ$, $45^\circ$.

Ответ: 135°, 135°, 45°, 45°.

Уровень B

№ 191

4 рабочих делают работу за 32 ч. Сколько часов нужно, если рабочих: 1) уменьшить в 2 раза; 2) увеличить в 2 раза; 3) увеличить в 4 раза?

Как думать. Число рабочих и время — обратно пропорциональны.

Решение. 1) Рабочих вдвое меньше — времени вдвое больше: 64 ч. 2) Вдвое больше — 16 ч. 3) Вчетверо больше — 8 ч.

Ответ: 64 ч; 16 ч; 8 ч.

№ 192

1) 190 т овса обменяли на кукурузу: за 100 кг овса дают 78 кг кукурузы. Сколько кукурузы получили? 2) В 10 кг кукурузы 13,4 кг кормовых единиц. Сколько центнеров кормовых единиц в 23,5 ц кукурузы?

Решение.

1. 100 кг овса → 78 кг кукурузы, значит, каждая тонна овса даёт 0,78 т. $190 \cdot 0{,}78 = 148{,}2$ т.
2. 1 ц кукурузы содержит $13{,}4 : 10 = 1{,}34$ ц единиц. $23{,}5 \cdot 1{,}34 = 31{,}49$ ц.

Ответ: 1) 148,2 т; 2) 31,49 ц.

№ 193

На 3 части ягод берут 2 части сахара. При варке масса уменьшается в 1,5 раза. Сколько ягод и сахара нужно на 10 кг варенья?

Решение.

1. До варки масса была $10 \cdot 1{,}5 = 15$ кг.
2. Частей $3 + 2 = 5$, одна — $15 : 5 = 3$ кг.
3. Ягод $3 \cdot 3 = 9$ кг, сахара $3 \cdot 2 = 6$ кг.

Ответ: 9 кг ягод и 6 кг сахара.

№ 194

Какой процент числа $a$ составляет $c$? 1) $a = 17\frac{5}{6} : 15\frac{2}{7} : \frac{7}{90} + 25$, $c = 29\frac{2}{9} : 20\frac{3}{13} \cdot 0{,}45 + 3{,}35$; 2) $a = 5^3 : \frac{5}{19} \cdot 0{,}06 + 31{,}5$, $c = 4^5 : 146\frac{2}{7} \cdot 9{,}6 - 148{,}8 \cdot 0{,}25$.

Как думать. Сначала аккуратно считаем $a$ и $c$, потом находим $\frac{c}{a} \cdot 100%$. Смешанные числа удобно превращать в неправильные дроби — числители часто совпадают.

Решение.

1. $a = 40$, $c = 4$ (по шагам выше). $4 : 40 \cdot 100% = 10%$.
2. $a$: $125 : \frac{5}{19} = 125 \cdot \frac{19}{5} = 475$; $475 \cdot 0{,}06 = 28{,}5$; $a = 28{,}5 + 31{,}5 = 60$. $c$: $4^5 = 1024$, $146\frac{2}{7} = \frac{1024}{7}$, $1024 : \frac{1024}{7} = 7$; $7 \cdot 9{,}6 = 67{,}2$; $148{,}8 \cdot 0{,}25 = 37{,}2$; $c = 67{,}2 - 37{,}2 = 30$. $30 : 60 \cdot 100% = 50%$.

Ответ: 1) 10%; 2) 50%.

№ 195

Вклад под 15% годовых через год дал доход 9090 тг. Сколько положили?

Решение. $\frac{x}{100} = \frac{9090}{15}$, $x = 9090 : 0{,}15 = 60,600$ тг.

Ответ: 60 600 тг.

№ 196

Одна сторона треугольника 5 см, вторая — 80% первой, третья — 60% первой. Найди периметр.

Решение. $5 \cdot 0{,}8 = 4$ см, $5 \cdot 0{,}6 = 3$ см. $P = 5 + 4 + 3 = 12$ см.

Ответ: 12 см.

🌟 Стороны 3, 4 и 5 см — это знаменитый «египетский треугольник». У него один угол прямой, и строители древности размечали так прямые углы верёвкой с узлами.

№ 197

В 2007 г. промышленное производство Казахстана — 7703,8 млрд тг, это на 4,5% больше, чем в 2006 г. Сколько было в 2006 г.?

Как думать. 2006 год — 100%, 2007 год — 104,5%.

Решение. $x = 7703{,}8 : 1{,}045 \approx 7372{,}1$ млрд тг.

Ответ: около 7372,1 млрд тг.

№ 198

Сельхозпродукция: 2006 г. — 979,7536 млрд тг, 2007 г. — 1069,6 млрд тг. На сколько процентов выросли: 1) сельское хозяйство; 2) растениеводство, если его рост на 4,3% больше; 3) животноводство, если его рост на 4,4% меньше?

Как думать. Рост в процентах: прибавку делим на прошлогоднее значение и умножаем на 100%. «На 4,3% больше» понимаем так: прирост на 4,3 процентного пункта больше.

Решение.

1. Прибавка $1069{,}6 - 979{,}7536 = 89{,}8464$ млрд тг. $89{,}8464 : 979{,}7536 \cdot 100% \approx 9{,}17% \approx 9{,}2%$.
2. $9{,}17 + 4{,}3 \approx 13{,}5%$.
3. $9{,}17 - 4{,}4 \approx 4{,}8%$.

Ответ: 1) ≈ 9,2%; 2) ≈ 13,5%; 3) ≈ 4,8%.

№ 199

В 2007 г. урожай зерна — 20,1 млн т при урожайности 13,3 ц/га, это на 3,6 млн т и 1,6 ц/га больше, чем в 2006 г. На сколько процентов выросли урожай и урожайность?

Решение.

1. Урожай 2006 г.: $20{,}1 - 3{,}6 = 16{,}5$ млн т. Рост: $3{,}6 : 16{,}5 \cdot 100% \approx 21{,}8%$.
2. Урожайность 2006 г.: $13{,}3 - 1{,}6 = 11{,}7$ ц/га. Рост: $1{,}6 : 11{,}7 \cdot 100% \approx 13{,}7%$.

Ответ: урожай ≈ на 21,8%, урожайность ≈ на 13,7%.

⚠️ Частая ошибка. Делить прибавку на значение 2007 года. Проценты роста считают от прошлого года — он 100%.

№ 200

Экспорт 2007 г.: зерно — 6,8 млн т, мука — 1,5 млн т. По сравнению с 2006 г. он вырос на 2,2 млн т и 339,9 тыс. т. На сколько процентов вырос экспорт зерна и муки?

Решение.

1. Зерно 2006 г.: $6{,}8 - 2{,}2 = 4{,}6$ млн т. $2{,}2 : 4{,}6 \cdot 100% \approx 47{,}8%$.
2. Мука: $1{,}5$ млн т $= 1500$ тыс. т. В 2006 г.: $1500 - 339{,}9 = 1160{,}1$ тыс. т. $339{,}9 : 1160{,}1 \cdot 100% \approx 29{,}3%$.

Ответ: зерно ≈ на 47,8%, мука ≈ на 29,3%.

№ 201

Средняя зарплата в 2004 г. — 28 329 тг, к 2007 г. выросла на 80,384%. Какой она стала (округли до целых)?

Решение. $28,329 \cdot 1{,}80384 \approx 51,100{,}98 \approx 51,101$ тг.

Ответ: 51 101 тг.

№ 202

В 2007 г. страховкой было охвачено около 12 млн га посевов (80% площади), это на 32% больше, чем в 2006 г. Сколько млн га было застраховано в 2006 г.?

Как думать. 80% здесь — лишнее данное. Важно: 2006 г. — 100%, 2007 г. — 132%.

Решение. $12 : 1{,}32 \approx 9{,}09$ млн га.

Ответ: около 9,1 млн га.

Уровень C

№ 203

Мотоциклист за 1,5 ч проехал 40% пути. Через какое время ему останется проехать треть пути, если скорость не меняется?

Как думать. Когда останется $\frac{1}{3}$ пути, будет пройдено $\frac{2}{3}$, то есть $66\frac{2}{3}%$. Время и путь прямо пропорциональны.

Решение.

1. Ещё нужно проехать $66\frac{2}{3}% - 40% = 26\frac{2}{3}%$.
2. $26\frac{2}{3} : 40 = \frac{80}{3} \cdot \frac{1}{40} = \frac{2}{3}$ — это $\frac{2}{3}$ того, что он уже проехал.
3. Время: $1{,}5 \cdot \frac{2}{3} = 1$ ч.

Ответ: через 1 ч.

№ 204

Пик Тастау — 2950 м. Саур ниже Бесбакана на 806 м, выше Тастау на 0,856 км, а с Хан-Тенгри различается на 3 км 179 м. Найди высоты Саура, Бесбакана, Хан-Тенгри, вырази в км, округли до целых и построй круговую диаграмму.

Как думать. Переводим всё в метры: 0,856 км = 856 м, 3 км 179 м = 3179 м. Хан-Тенгри — одна из самых высоких гор Казахстана, значит, он выше Саура на 3179 м.

Решение.

1. Саур: $2950 + 856 = 3806$ м $\approx 4$ км.
2. Бесбакан: $3806 + 806 = 4612$ м $\approx 5$ км.
3. Хан-Тенгри: $3806 + 3179 = 6985$ м $\approx 7$ км.
4. Диаграмма: $4 + 5 + 7 = 16$, на 1 км — $360 : 16 = 22{,}5^\circ$. Секторы: $90^\circ$, $112{,}5^\circ$, $157{,}5^\circ$.

Ответ: Саур 3806 м ≈ 4 км; Бесбакан 4612 м ≈ 5 км; Хан-Тенгри 6985 м ≈ 7 км; секторы 90°, 112,5°, 157,5°.

🌟 Хан-Тенгри в переводе — «Властелин неба». На закате его вершина из мрамора светится розовым.

№ 205

Измерь углы секторов на рисунке 8 и найди, сколько процентов полного угла составляет каждый. Сделай проверку.

Как думать. Полный угол 360° — это 100%. Процент сектора: угол : 360 · 100%.

Решение. На рисунке радиус $OB$ направлен вправо, $C$ — вверху справа, $D$ — слева вверху, $A$ — внизу справа. Измерения (примерно):

1. $\angle BOC \approx 60^\circ$ → $60 : 360 \cdot 100% \approx 16{,}7%$.
2. $\angle COD \approx 95^\circ$ → $\approx 26{,}4%$.
3. $\angle DOA \approx 160^\circ$ → $\approx 44{,}4%$.
4. $\angle AOB \approx 45^\circ$ → $12{,}5%$.

Проверка: $60 + 95 + 160 + 45 = 360^\circ$; $16{,}7 + 26{,}4 + 44{,}4 + 12{,}5 = 100%$ ✓.

Ответ: ≈ 16,7%; 26,4%; 44,4%; 12,5% (зависит от точности измерения).

Математика в бизнесе

№ 206

Три компаньона вложили 100 000, 160 000 и 140 000 тг. Прибыль 960 000 тг делят пропорционально вкладам. Сколько получит каждый?

Решение.

1. Отношение вкладов: $100 : 160 : 140 = 5 : 8 : 7$. Частей $5 + 8 + 7 = 20$.
2. Одна часть: $960,000 : 20 = 48,000$ тг.
3. $48,000 \cdot 5 = 240,000$; $48,000 \cdot 8 = 384,000$; $48,000 \cdot 7 = 336,000$ тг.

Ответ: 240 000 тг; 384 000 тг; 336 000 тг.

№ 207

Две бригады получили 261 000 тг. В первой 8 человек работали 4 дня, во второй 11 человек — 5 дней. Как поделить деньги?

Как думать. Все работали одинаково, значит, деньги делим пропорционально «человеко-дням».

Решение.

1. Первая: $8 \cdot 4 = 32$ человеко-дня, вторая: $11 \cdot 5 = 55$.
2. Всего 87, на один человеко-день: $261,000 : 87 = 3000$ тг.
3. Первой: $3000 \cdot 32 = 96,000$ тг, второй: $3000 \cdot 55 = 165,000$ тг.

Ответ: 96 000 тг и 165 000 тг.

Повторение

№ 208

Трое рабочих сделают работу за 3 дня. Пригласили ещё двоих. За сколько дней закончат все вместе?

Решение. Работа — $3 \cdot 3 = 9$ человеко-дней. Рабочих стало 5: $9 : 5 = 1{,}8$ дня.

Ответ: за 1,8 дня.

№ 209

Реши уравнения: 1) $\frac{y}{2{,}3 - 0{,}48} = \frac{7}{5{,}52}$; 2) $\frac{2{,}58}{13} = \frac{1{,}076 - 0{,}56}{z}$.

Решение.

1. $2{,}3 - 0{,}48 = 1{,}82$. $y = \frac{1{,}82 \cdot 7}{5{,}52} = \frac{12{,}74}{5{,}52} = \frac{637}{276} = 2\frac{85}{276} \approx 2{,}31$.
2. $1{,}076 - 0{,}56 = 0{,}516$. $2{,}58 \cdot z = 13 \cdot 0{,}516 = 6{,}708$, $z = 6{,}708 : 2{,}58 = 2{,}6$.

Ответ: 1) $y = 2\frac{85}{276} \approx 2{,}31$; 2) $z = 2{,}6$.

№ 210

Что больше: 125% от 188 или 50% от 470?

Решение. $188 \cdot 1{,}25 = 235$; $470 \cdot 0{,}5 = 235$.

Ответ: они равны (по 235).

№ 211

Вычисли: $89 : 1000$; $0{,}2356 \cdot 1000$; $78{,}3247 \cdot 1,000,000$.

Как думать. Умножаем на 1000 — запятая уходит на 3 знака вправо, делим — на 3 знака влево.

Решение. $0{,}089$; $235{,}6$; $78,324,700$.

Ответ: 0,089; 235,6; 78 324 700.

№ 212

Сравни: 1) 3,785 и $3\frac{7}{8}$; 2) 8,7 и $8\frac{2}{15}$.

Решение.

1. $\frac{7}{8} = 0{,}875$, значит, $3\frac{7}{8} = 3{,}875 > 3{,}785$.
2. $\frac{2}{15} \approx 0{,}13 < 0{,}7$, значит, $8{,}7 > 8\frac{2}{15}$.

Ответ: 1) $3{,}785 < 3\frac{7}{8}$; 2) $8{,}7 > 8\frac{2}{15}$.

№ 213

Периметр квадрата в 3 раза меньше периметра прямоугольника 18 см × 24 см. Найди площадь квадрата.

Решение. $P_{пр} = 2 \cdot (18 + 24) = 84$ см. $P_{кв} = 84 : 3 = 28$ см, сторона $28 : 4 = 7$ см, $S = 7 \cdot 7 = 49$ см².

Ответ: 49 см².

№ 214

Сравни: $26{,}34 \cdot 12{,}5 + 80{,}75$ и $45\frac{2}{3} : 10\frac{7}{13} \cdot 95\frac{8}{13}$.

Решение.

1. $26{,}34 \cdot 12{,}5 = 329{,}25$; $329{,}25 + 80{,}75 = 410$.
2. $45\frac{2}{3} = \frac{137}{3}$, $10\frac{7}{13} = \frac{137}{13}$. Частное $\frac{137}{3} \cdot \frac{13}{137} = \frac{13}{3}$.
3. $95\frac{8}{13} = \frac{1243}{13}$. $\frac{13}{3} \cdot \frac{1243}{13} = \frac{1243}{3} = 414\frac{1}{3}$.

Ответ: $410 < 414\frac{1}{3}$ — первое выражение меньше.

№ 215

Реши: 1) $\frac{x}{1{,}21} = \frac{5}{242}$; 2) $\frac{16{,}9}{y + 1} = \frac{13}{10}$.

Решение.

1. $x = \frac{1{,}21 \cdot 5}{242} = \frac{6{,}05}{242} = 0{,}025$.
2. $13(y + 1) = 169$, $y + 1 = 13$, $y = 12$.

Ответ: 1) $x = 0{,}025$; 2) $y = 12$.

Готовимся к следующей теме

№ 216

Вырази в сантиметрах и дециметрах: 3 м; 21 мм; 0,2 м; 400 мм.

Как думать. 1 м = 100 см = 10 дм; 1 см = 10 мм; 1 дм = 100 мм.

Решение.

Ответ: в таблице.

№ 217

Даны числа: 1) 5, 12, 20; 2) 4, 9, 12. Составь с ними все возможные пропорции.

Как думать. В пропорции четыре члена, а чисел три. Значит, четвёртый член нужно найти. Произведение крайних равно произведению средних, поэтому четвёртое число — это произведение двух данных, делённое на третье.

Решение.

1. Возможные четвёртые числа: $12 \cdot 20 : 5 = 48$; $5 \cdot 20 : 12 = 8\frac{1}{3}$; $5 \cdot 12 : 20 = 3$. Пропорции с целыми числами: $5 : 12 = 20 : 48$, $5 : 20 = 12 : 48$, $5 : 20 = 3 : 12$, $3 : 5 = 12 : 20$.
2. $9 \cdot 12 : 4 = 27$; $4 \cdot 12 : 9 = 5\frac{1}{3}$; $4 \cdot 9 : 12 = 3$. Пропорции: $4 : 9 = 12 : 27$, $4 : 12 = 9 : 27$, $4 : 12 = 3 : 9$, $3 : 4 = 9 : 12$.

Каждую пропорцию можно переставить: поменять местами крайние, средние члены или обе части, — она останется верной.

Ответ: например, $5 : 12 = 20 : 48$, $5 : 20 = 3 : 12$; $4 : 9 = 12 : 27$, $4 : 12 = 3 : 9$.

№ 218

Найди одну десятую и одну сотую часть чисел 300 и 888.

Решение. $300 : 10 = 30$, $300 : 100 = 3$; $888 : 10 = 88{,}8$, $888 : 100 = 8{,}88$.

Ответ: 30 и 3; 88,8 и 8,88.

№ 219

Участок-прямоугольник 0,3 км × 500 м. Найди периметр и площадь.

Решение. $0{,}3$ км $= 300$ м. $P = 2 \cdot (300 + 500) = 1600$ м. $S = 300 \cdot 500 = 150,000$ м² $= 15$ га.

Ответ: 1600 м; 150 000 м² (15 га).

Шпаргалка

• Через пропорцию: обозначь $x$, найди, что 100%, приравняй «сколько на 1%».
• Делим в отношении: складываем части, находим одну часть, умножаем.
• Сектор диаграммы: $360^\circ$ : сумма · число. Сумма всех секторов — 360°.
• Обратно пропорциональное деление — через обратные числа.
• Рост в процентах считают от прежнего значения.

Мини-тест