§ 31. Решение текстовых задач с помощью уравнений

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 4: Линейные уравнения с одной переменной. Страницы 26–31.

Чему научишься

• Выбирать, какую величину обозначить через $x$.
• Выражать остальные величины через $x$ («на 5 больше», «в 3 раза меньше»).
• Составлять уравнение по условию и решать его.
• Проверять ответ по условию задачи.

Разминка

Это задания № 876 из прошлого урока — там мы уже переводили слова на язык выражений.

• Первый рабочий сделал $x$ деталей, второй — на 7 больше. Сколько сделал второй? $x + 7$.
• Третий сделал на 10 меньше, чем первые двое вместе. Сколько это? $x + (x + 7) - 10 = 2x - 3$.
• Машины едут навстречу со скоростями $a$ и $b$ км/ч, между ними 200 км. Что значит $200 : (a + b)$? Через сколько часов они встретятся.
• Старшей сестре $x$ конфет, средней вдвое больше, младшей втрое больше, всего 12. Сколько у старшей? $6x = 12$, $x = $ 2.

💡 Последний вопрос — уже маленькая задача, решённая уравнением. Сегодня научимся делать так с любыми задачами.

Разбираемся

Три шага к ответу

Любую такую задачу решаем по плану:

1. Обозначаем одну неизвестную величину через $x$. Остальные выражаем через $x$.
2. Составляем уравнение: ищем в условии, что чему равно.
3. Решаем уравнение и отвечаем на вопрос задачи (иногда $x$ — это ещё не ответ!).

Задача про молнии

Сумма длин самой короткой и самой длинной молнии — 158 км. Короткая на 140 км меньше длинной. Найди обе длины.

А если за $x$ взять длинную молнию? Тогда короткая — $(x - 140)$ км, и $x + (x - 140) = 158$, $2x = 298$, $x = 149$. Ответ тот же!

📌 Если в задаче две неизвестные величины, за $x$ можно взять любую. Удобнее брать ту, через которую другую выразить проще (обычно меньшую).

Задача про лодку и течение

Собственная скорость моторной лодки 16 км/ч. По течению она плывёт на 6 км/ч быстрее, чем против течения. Какова скорость течения?

Пусть течение — $x$ км/ч. По течению река «помогает»: $(16 + x)$ км/ч. Против — «мешает»: $(16 - x)$ км/ч. Разница 6 км/ч:

$(16 + x) - (16 - x) = 6$, $;16 + x - 16 + x = 6$, $;2x = 6$, $;x = 3$.

Скорость течения — 3 км/ч.

⚠️ Частая ошибка. Забывают поменять знак при раскрытии скобок после минуса: $-(16 - x) = -16 + x$, а не $-16 - x$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Самое трудное — первая строчка «Пусть … — $x$». Попросите ребёнка вслух сказать, что обозначено через $x$ и в каких единицах. Потом — проверить ответ, подставив его в условие, а не в уравнение.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какую величину удобно принять за $x$? Ту, через которую проще всего выразить остальные. Часто это самая маленькая величина или та, о которой спрашивают.
• Если нужно найти две величины, можно ли за $x$ взять любую? Да. Уравнения получатся разные, а ответ — один и тот же (смотри задачу про молнии).

Решаем упражнения

Уровень A

№ 877

$AB$ на 2 см длиннее $CD$. Если $AB$ увеличить на 10 см, а $CD$ — в 3 раза, отрезки станут равными. Найди $AB$ и $CD$.

Как думать. Меньший отрезок $CD$ берём за $x$.

Решение.

1. $CD = x$ см, $AB = (x + 2)$ см.
2. После изменений: $x + 2 + 10 = 3x$.
3. $12 = 2x$, $x = 6$.
4. $CD = 6$ см, $AB = 8$ см. Проверка: $8 + 10 = 18 = 3 \cdot 6$ ✓.

Ответ: $AB = 8$ см, $CD = 6$ см.

№ 878

На одной полке книг в 3 раза больше, чем на другой. С первой убрали 8 книг, на вторую положили 32 — стало поровну. Сколько было на каждой?

Решение.

1. На второй полке $x$ книг, на первой $3x$.
2. $3x - 8 = x + 32$.
3. $2x = 40$, $x = 20$; на первой $60$.
4. Проверка: $60 - 8 = 52$, $20 + 32 = 52$ ✓.

Ответ: 60 и 20 книг.

№ 879

Если раздавать детям по 5 яблок, последнему достаётся 3. Если по 4 — остаётся 15 яблок. Сколько детей и яблок?

Как думать. Обозначим через $x$ число детей и двумя способами посчитаем яблоки.

Решение.

1. По 5 яблок: $(x - 1)$ ребёнок получил по 5, последний — 3. Яблок $5(x - 1) + 3$.
2. По 4 яблока: $4x + 15$.
3. $5x - 5 + 3 = 4x + 15$, $5x - 2 = 4x + 15$, $x = 17$.
4. Яблок: $4 \cdot 17 + 15 = 83$. Проверка: $5 \cdot 16 + 3 = 83$ ✓.

Ответ: 17 детей, 83 яблока.

№ 880

Одно число в 4,5 раза больше другого. Если из большего вычесть 54, а к меньшему прибавить 72, числа сравняются. Найди их.

Решение.

1. Меньшее $x$, большее $4{,}5x$.
2. $4{,}5x - 54 = x + 72$.
3. $3{,}5x = 126$, $x = 36$; большее $4{,}5 \cdot 36 = 162$.
4. Проверка: $162 - 54 = 108 = 36 + 72$ ✓.

Ответ: 36 и 162.

№ 881

Велосипедист ехал 10 км/ч. Будь скорость на 20% больше, он приехал бы на 4 ч раньше. Найди расстояние.

Как думать. На 20% больше: $10 \cdot 1{,}2 = 12$ км/ч. Обозначим через $x$ время в пути.

Решение.

1. Путь со скоростью 10 км/ч: $10x$ км. Со скоростью 12 км/ч: $12(x - 4)$ км.
2. Путь один и тот же: $10x = 12(x - 4)$.
3. $10x = 12x - 48$, $2x = 48$, $x = 24$ ч.
4. Расстояние: $10 \cdot 24 = 240$ км. Проверка: $240 : 12 = 20$ ч — на 4 ч меньше ✓.

Ответ: 240 км.

№ 882

На двух полках 72 книги, на первой в 3 раза больше, чем на второй. Сколько на первой?

Решение. Вторая — $x$, первая — $3x$. $4x = 72$, $x = 18$. На первой $3 \cdot 18 = 54$.

Ответ: 54 книги.

№ 883

В двух пачках 48 тетрадей, в первой вдвое больше, чем во второй. Сколько в первой?

Решение. Вторая — $x$, первая — $2x$. $3x = 48$, $x = 16$. В первой $32$.

Ответ: 32 тетради.

№ 884

Кур и цыплят 20, кур в 4 раза меньше, чем цыплят. Сколько цыплят?

Как думать. «Кур в 4 раза меньше» — значит, цыплят в 4 раза больше. Кур берём за $x$.

Решение. Кур $x$, цыплят $4x$. $5x = 20$, $x = 4$. Цыплят $16$.

Ответ: 16 цыплят.

№ 885

Уток и утят 16, уток в 3 раза меньше, чем утят. Сколько утят?

Решение. Уток $x$, утят $3x$. $4x = 16$, $x = 4$. Утят $12$.

Ответ: 12 утят.

№ 886

Полотно 124 м разрезать на две части, одна на 12 м длиннее другой. Какие части?

Решение. Меньшая $x$ м, большая $(x + 12)$ м. $2x + 12 = 124$, $2x = 112$, $x = 56$. Большая $68$ м.

Ответ: 56 м и 68 м.

№ 887

Леску 8,6 м разрезать на две части, одна на 1 м длиннее другой. Какие части?

Решение. $x + (x + 1) = 8{,}6$, $2x = 7{,}6$, $x = 3{,}8$. Большая $4{,}8$ м.

Ответ: 3,8 м и 4,8 м.

№ 888

1) Отец в 8 раз старше дочери, а дочь на 28 лет моложе отца. Сколько лет отцу? 2) Мать в 6 раз старше сына, сын на 25 лет моложе. Сколько лет матери?

Как думать. Разница возрастов — это «лишние» части: у отца $8x$, у дочери $x$, разница $7x$.

Решение.

1. $8x - x = 28$, $7x = 28$, $x = 4$. Отцу $32$ года.
2. $6x - x = 25$, $5x = 25$, $x = 5$. Матери $30$ лет.

Ответ: 1) 32 года; 2) 30 лет.

№ 889

1) Число увеличили на 28, и оно стало в 3 раза больше. Найди число. 2) Число увеличили на 35, и оно стало в 6 раз больше.

Решение.

1. $x + 28 = 3x$, $2x = 28$, $x = 14$.
2. $x + 35 = 6x$, $5x = 35$, $x = 7$.

Ответ: 1) 14; 2) 7.

№ 890

$\frac{1}{12}$ туристов поселили в гостинице, $\frac{1}{6}$ — в домиках, остальные 72 — в палатках. Сколько всего туристов?

Как думать. Сначала поймём, какую часть составляют 72 туриста.

Решение.

1. Всего $x$ туристов. В палатках: $x - \frac{1}{12}x - \frac{1}{6}x = x - \frac{3}{12}x = \frac{3}{4}x$.
2. $\frac{3}{4}x = 72$, $x = 72 : \frac{3}{4} = 96$.
3. Проверка: $8 + 16 + 72 = 96$ ✓.

Ответ: 96 туристов.

№ 891

Первая канава — $\frac{3}{13}$, вторая — $\frac{4}{13}$ длины всех трёх. Третья — 4,8 км. Найди первую и вторую.

Решение.

1. Все три — $x$ км. Третья: $x - \frac{7}{13}x = \frac{6}{13}x$.
2. $\frac{6}{13}x = 4{,}8$, $x = 4{,}8 \cdot \frac{13}{6} = 10{,}4$ км.
3. Первая: $\frac{3}{13} \cdot 10{,}4 = 2{,}4$ км; вторая: $\frac{4}{13} \cdot 10{,}4 = 3{,}2$ км.

Ответ: 2,4 км и 3,2 км.

Уровень B

№ 892

Автобус едет до села 1,8 ч, легковушка — 0,8 ч. Скорость автобуса на 50 км/ч меньше. Найди скорость автобуса.

Как думать. Путь у обоих один, значит, приравниваем пути.

Решение.

1. Автобус $x$ км/ч, машина $(x + 50)$ км/ч.
2. $1{,}8x = 0{,}8(x + 50)$, $1{,}8x = 0{,}8x + 40$, $x = 40$.
3. Проверка: $1{,}8 \cdot 40 = 72$ км и $0{,}8 \cdot 90 = 72$ км ✓.

Ответ: 40 км/ч.

№ 893

На первую машину погрузили на 0,6 т больше, чем на вторую. Если бы на первую погрузили в 1,2 раза больше, а на вторую — в 1,4 раза больше, груза было бы поровну. Сколько на каждой?

Решение.

1. Вторая — $x$ т, первая — $(x + 0{,}6)$ т.
2. $1{,}2(x + 0{,}6) = 1{,}4x$, $1{,}2x + 0{,}72 = 1{,}4x$.
3. $0{,}2x = 0{,}72$, $x = 3{,}6$; первая $4{,}2$ т.

Ответ: 4,2 т и 3,6 т.

№ 894

В первом бидоне молока в 3 раза больше, чем во втором. Если перелить 20 л из первого во второй, станет поровну. Сколько было?

Как думать. Переливание: в первом становится на 20 меньше, во втором — на 20 больше.

Решение. $3x - 20 = x + 20$, $2x = 40$, $x = 20$. Во втором 20 л, в первом 60 л. Проверка: $40 = 40$ ✓.

Ответ: 60 л и 20 л.

№ 895

В двух бочках 725 л бензина. Из первой отлили $\frac{1}{3}$, из второй $\frac{2}{7}$ — стало поровну. Сколько было в каждой?

Решение. Смотри шаги выше: $x = 375$ л, во второй $350$ л.

Ответ: 375 л и 350 л.

№ 896

На трёх полках 165 книг. На первой втрое больше, чем на второй, на третьей — на 15 больше, чем на второй. Сколько на второй?

Решение. Вторая $x$, первая $3x$, третья $x + 15$. $5x + 15 = 165$, $5x = 150$, $x = 30$.

Ответ: 30 книг.

№ 897

Скорый поезд на 30 км/ч быстрее товарного. За 6 ч скорый прошёл на 60 км больше, чем товарный за 8 ч. Найди скорость товарного.

Решение.

1. Товарный $x$ км/ч, скорый $(x + 30)$ км/ч.
2. $6(x + 30) - 8x = 60$, $6x + 180 - 8x = 60$.
3. $-2x = -120$, $x = 60$.
4. Проверка: $6 \cdot 90 = 540$, $8 \cdot 60 = 480$, разница 60 ✓.

Ответ: 60 км/ч.

№ 898

Сумма трёх чисел 94. Первое на 18 меньше второго, третье на 4 больше второго. Найди числа.

Решение. Второе $x$: $(x - 18) + x + (x + 4) = 94$, $3x - 14 = 94$, $3x = 108$, $x = 36$. Числа: 18, 36, 40.

Ответ: 18; 36; 40.

№ 899

Коля на 2 года старше Даурена, Сауле на 3 года младше Коли. Всем вместе 37 лет. Сколько лет Даурену?

Решение. Даурен $x$, Коля $x + 2$, Сауле $x + 2 - 3 = x - 1$. $3x + 1 = 37$, $x = 12$.

Ответ: 12 лет.

№ 900

Отцу, дочери и сыну вместе 47 лет. Отец в 5 раз старше сына, сестра на 2 года младше брата. Сколько лет сыну?

Решение. Сын $x$, отец $5x$, дочь $x - 2$. $7x - 2 = 47$, $7x = 49$, $x = 7$. Проверка: $35 + 5 + 7 = 47$ ✓.

Ответ: 7 лет.

№ 901

У 15 треугольников и четырёхугольников вместе 53 угла. Сколько тех и других?

Решение. Треугольников $x$, четырёхугольников $15 - x$. $3x + 4(15 - x) = 53$, $60 - x = 53$, $x = 7$. Четырёхугольников 8. Проверка: $21 + 32 = 53$ ✓.

Ответ: 7 треугольников, 8 четырёхугольников.

№ 902

8 телят и 5 овец съели 835 кг корма. Каждый телёнок съел на 28 кг больше овцы. Сколько съел каждый?

Решение. Овца $x$ кг, телёнок $(x + 28)$ кг. $8(x + 28) + 5x = 835$, $13x + 224 = 835$, $13x = 611$, $x = 47$. Телёнок $75$ кг.

Ответ: телёнок — 75 кг, овца — 47 кг.

Уровень C

№ 903

Между пунктами 120 км. Навстречу выехали мотоциклист и велосипедист, мотоциклист на 20 км/ч быстрее. Встретились через 3 ч. Сколько проехал каждый?

Как думать. Вместе за 3 ч они проезжают все 120 км. Значит, скорость сближения $120 : 3 = 40$ км/ч.

Решение.

1. Велосипедист $x$ км/ч, мотоциклист $(x + 20)$ км/ч.
2. $3x + 3(x + 20) = 120$, $6x + 60 = 120$, $x = 10$.
3. Велосипедист проехал $30$ км, мотоциклист — $3 \cdot 30 = 90$ км. На графике линии встречаются в точке 90 км.

Ответ: 90 км и 30 км.

№ 904

Между пунктами 132 км. Навстречу выехали мотоциклист и велосипедист. Скорость велосипедиста — 25% скорости мотоциклиста. Встретились через 2,2 ч. Сколько проехал каждый?

Решение.

1. Мотоциклист $x$ км/ч, велосипедист $0{,}25x$ км/ч.
2. $2{,}2(x + 0{,}25x) = 132$, $2{,}75x = 132$, $x = 48$.
3. Мотоциклист: $2{,}2 \cdot 48 = 105{,}6$ км; велосипедист: $132 - 105{,}6 = 26{,}4$ км.

Ответ: 105,6 км и 26,4 км.

№ 905

В первой вазе роз в 3 раза больше, чем во второй, в третьей — на 5 больше, чем во второй. Всего 45 роз. Сколько в первой?

Решение. Вторая $x$: $3x + x + (x + 5) = 45$, $5x = 40$, $x = 8$. В первой $24$.

Ответ: 24 розы.

№ 906

В первой вазе конфет вдвое больше, чем в третьей, во второй — на 4 больше, чем в третьей. Всего 164. Сколько в первой?

Решение. Третья $x$: $2x + (x + 4) + x = 164$, $4x = 160$, $x = 40$. В первой $80$.

Ответ: 80 конфет.

№ 907

Найди три числа с суммой 480: первое на 40, второе на 80 больше третьего.

Решение. Третье $x$: $(x + 40) + (x + 80) + x = 480$, $3x = 360$, $x = 120$. Числа: 160, 200, 120.

Ответ: 160; 200; 120.

Повторение

№ 908

В треугольнике $ABC$ $\angle A = 72°$ — это 80% от $\angle C$, а $\angle B$ — 20% от $\angle C$. Найди $\angle B$ и $\angle C$.

Решение.

1. $\angle C = 72 : 0{,}8 = 90°$.
2. $\angle B = 0{,}2 \cdot 90 = 18°$.
3. Проверка: $72 + 18 + 90 = 180°$ ✓.

Ответ: $\angle B = 18°$, $\angle C = 90°$.

№ 909

Реши: 1) $\frac{7}{9} = \frac{315}{x + 400}$; 2) $\frac{3}{11} = \frac{x + 140}{517}$; 3) $\frac{444}{x - 480} = -\frac{12}{13}$.

Как думать. Это пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.

Решение.

1. $7(x + 400) = 9 \cdot 315 = 2835$, $x + 400 = 405$, $x = 5$.
2. $11(x + 140) = 3 \cdot 517 = 1551$, $x + 140 = 141$, $x = 1$.
3. $-12(x - 480) = 444 \cdot 13 = 5772$, $x - 480 = -481$, $x = -1$.

Ответ: 1) 5; 2) 1; 3) $-1$.

Готовимся к следующей теме

№ 910

1. Сравни: 1) 7,8 и 7,08; 2) $-10$ и $-9$; 3) $-4\frac{1}{3}$ и $-4{,}5$; 4) 8,05 и $|-8{,}05|$. 2. Сравни $8 \cdot (-10) + (-20 : 4) + 100$ и $-200 - 10 \cdot (-20) + (-40) : 0{,}4$.

Как думать. Из двух отрицательных больше то, что ближе к нулю.

Решение.

1. $7{,}8 > 7{,}08$; $-10 < -9$; $-4\frac{1}{3} > -4{,}5$ (ведь $4\frac{1}{3} < 4{,}5$); $8{,}05 = |-8{,}05|$.
2. Первое: $-80 - 5 + 100 = 15$. Второе: $-200 + 200 - 100 = -100$. $15 > -100$.

Ответ: 1)

№ 911

В первом ящике $x$ кг картофеля, во втором $y$ кг. Что значат неравенства: 1) $x > y$; 2) $x + y > 30$; 3) $x + y < 40$; 4) $x - y > 3$?

Решение.

1. В первом ящике картофеля больше, чем во втором.
2. В двух ящиках вместе больше 30 кг.
3. В двух ящиках вместе меньше 40 кг.
4. В первом ящике больше, чем во втором, и разница больше 3 кг.

Ответ: см. решение.

Шпаргалка

• За $x$ удобно брать меньшую величину: остальные выражаются сложением и умножением.
• «В 4 раза меньше» значит, что другая величина в 4 раза больше.
• Переливание: у одного $-20$, у другого $+20$.
• Найденный $x$ — не всегда ответ. Перечитай вопрос.
• Проверяй ответ по условию задачи.

Мини-тест