§ 32. Числовые неравенства и их свойства

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 5: Линейные неравенства с одной переменной и их системы. Страницы 32–39.

Чему научишься

• Отличать верные и неверные, строгие и нестрогие числовые неравенства.
• Прибавлять одно и то же число к обеим частям неравенства и переносить слагаемые.
• Умножать и делить неравенство на число и знать, когда знак меняется.
• Складывать и перемножать неравенства и оценивать значения выражений.

Разминка

Это задания № 910–911 из прошлого урока.

• Что больше: $-10$ или $-9$? $-9$: оно ближе к нулю, значит, правее на прямой.
• Сравни $-4\frac{1}{3}$ и $-4{,}5$. $4\frac{1}{3} < 4{,}5$, поэтому $-4\frac{1}{3} > -4{,}5$.
• Сравни $8 \cdot (-10) + (-20 : 4) + 100$ и $-200 - 10 \cdot (-20) + (-40) : 0{,}4$. Первое $= 15$, второе $= -100$. $15 > -100$.
• В ящиках $x$ и $y$ кг картофеля. Что значит $x + y < 40$? Вместе в двух ящиках меньше 40 кг.

💡 Неравенства встречаются везде: «до школы меньше 2 км», «за покупку не больше 1000 тг». Сегодня узнаем, по каким правилам с ними можно работать.

Разбираемся

Верные, неверные, строгие, нестрогие

Числовое неравенство — два числа или числовых выражения, соединённые знаком

• $2 + 3 > 4$ — верное: слева 5, а $5 > 4$.
• $24 - 4 < 10$ — неверное: слева 20, а $20 < 10$ — неправда.

Знаки

Свойство 1. Прибавляем одно и то же число

Возьмём $22 - 6 > 24 - 14$, то есть $16 > 10$. Прибавим 8: $24 > 18$ ✓. Прибавим $-4$: $12 > 6$ ✓. Сдвинуть обе точки на прямой на одно и то же расстояние — порядок не изменится.

📌 Если $a > b$, то $a + c > b + c$ при любом $c$.

Отсюда правило переноса: слагаемое можно перенести в другую часть неравенства, поменяв его знак. Например, из $3 < 2 + 5$ получаем $3 - 2 < 5$ и $3 - 5 < 2$ — все верные.

Свойство 2. Умножаем и делим — осторожно с минусом!

Возьмём $22 - 12 > 14 - 10$, то есть $10 > 4$.

• Умножим на 8: $80 > 32$ ✓. Знак тот же.
• Умножим на $-2$: $-20$ и $-8$. Но $-20 < -8$! Знак пришлось перевернуть.

📌 Умножаем или делим обе части на положительное число — знак остаётся. На отрицательное — знак меняется на противоположный.

⚠️ Частая ошибка. Делят $-2x < 6$ на $-2$ и пишут $x < -3$. Правильно: $x > -3$. Минус в множителе — сигнал «переверни знак».

Свойство 3. Цепочка

Если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$. Как в очереди: Арман выше Дины, Дина выше Ерлана — значит, Арман выше Ерлана. Пример: $5 > 3$ и $3 > 1$, значит $5 > 1$.

Свойства 4–6. Складываем, умножаем, делим неравенства

• Складывать можно неравенства одного знака: $7 > -4$ и $3 > 2$ дают $10 > -2$ ✓.
• Перемножать можно неравенства одного знака, если все части положительные: $7 > 6$ и $8 > 3$ дают $56 > 18$ ✓.
• Делить: если $a > b > 0$ и $c > d > 0$, то $\frac{a}{d} > \frac{b}{c}$ (делим «крест-накрест»). Пример: $10 > 6$ и $5 > 2$ дают $\frac{10}{2} > \frac{6}{5}$, то есть $5 > 1{,}2$ ✓.

⚠️ Частая ошибка. Неравенства нельзя вычитать «в лоб». $5 > 1$ и $4 > 0$, но $5 - 4 = 1$ и $1 - 0 = 1$ — получилось $1 > 1$, неверно! Вычитание делаем через сложение с противоположным: см. № 921.

👨‍👩‍👧 Родителю. Проверяйте каждое правило на простых числах, как в примерах выше. Если ребёнок сомневается, менять ли знак, пусть подставит конкретные числа — это лучшая проверка.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Известно, что $a > b$ и $am < bm$. Что можно сказать о числе $m$? Знак неравенства сменился, значит, $m$ — отрицательное число ($m < 0$).

Решаем упражнения

Уровень A

№ 912

Сравни: 1) 0,55 и $\frac{5}{12}$; 2) 0,6 и $\frac{1}{6}$; 3) 0,94 и $\frac{15}{16}$; 4) $-\frac{1}{3}$ и 0,3; 5) $-\frac{21}{25}$ и $-0{,}9$; 6) $\frac{41}{64}$ и 0,65.

Как думать. Переводим дробь в десятичную и сравниваем.

Решение.

1. $\frac{5}{12} = 0{,}41(6)$, значит $0{,}55 > \frac{5}{12}$.
2. $\frac{1}{6} = 0{,}1(6)$, значит $0{,}6 > \frac{1}{6}$.
3. $\frac{15}{16} = 0{,}9375$, значит $0{,}94 > \frac{15}{16}$.
4. Отрицательное меньше положительного: $-\frac{1}{3} < 0{,}3$.
5. $-\frac{21}{25} = -0{,}84$; оно ближе к нулю, чем $-0{,}9$: $-\frac{21}{25} > -0{,}9$.
6. $\frac{41}{64} = 0{,}640625 < 0{,}65$.

Ответ: 1)

№ 913

Сравни $x$ и $y$, если: 1) $x - y = 0$; 2) $x - y = 20$; 3) $y - x = 5{,}8$; 4) $x - y = -\frac{2}{13}$; 5) $y - x = -9{,}9$; 6) $x - y = 0{,}01$.

Как думать. Если разность $x - y$ положительна, то $x > y$; если отрицательна — $x < y$; если ноль — равны.

Решение.

1. $x = y$.
2. $x - y > 0$, $x > y$.
3. $y - x > 0$, значит $y > x$, то есть $x < y$.
4. $x - y < 0$, $x < y$.
5. $y - x < 0$, значит $y < x$, то есть $x > y$.
6. $x - y > 0$, $x > y$.

Ответ: 1) $x = y$; 2) $x > y$; 3) $x < y$; 4) $x < y$; 5) $x > y$; 6) $x > y$.

№ 914

К обеим частям $-8{,}5 < 1{,}7$ прибавь: 1) $-6$; 2) 10; 3) 2,8; 4) $-9{,}9$.

Как думать. Знак не меняется — прибавлять можно любое число.

Решение.

1. $-14{,}5 < -4{,}3$.
2. $1{,}5 < 11{,}7$.
3. $-5{,}7 < 4{,}5$.
4. $-18{,}4 < -8{,}2$.

Ответ: см. решение.

№ 915

Из обеих частей $-9\frac{1}{12} < 20$ вычти: 1) $-7$; 2) 16; 3) $4\frac{1}{6}$; 4) $-3\frac{2}{3}$.

Решение.

1. Вычесть $-7$ — значит прибавить 7: $-2\frac{1}{12} < 27$.
2. $-25\frac{1}{12} < 4$.
3. $-9\frac{1}{12} - 4\frac{2}{12} = -13\frac{3}{12} = -13\frac{1}{4}$; $20 - 4\frac{1}{6} = 15\frac{5}{6}$. Получаем $-13\frac{1}{4} < 15\frac{5}{6}$.
4. Прибавляем $3\frac{2}{3} = 3\frac{8}{12}$: $-9\frac{1}{12} + 3\frac{8}{12} = -5\frac{5}{12}$; $20 + 3\frac{2}{3} = 23\frac{2}{3}$. Получаем $-5\frac{5}{12} < 23\frac{2}{3}$.

Ответ: 1) $-2\frac{1}{12} < 27$; 2) $-25\frac{1}{12} < 4$; 3) $-13\frac{1}{4} < 15\frac{5}{6}$; 4) $-5\frac{5}{12} < 23\frac{2}{3}$.

№ 916

Умножь обе части $-5{,}6 < \frac{7}{24}$ на 3; $-2$; 0,5; $-\frac{6}{7}$.

Как думать. На положительное — знак тот же, на отрицательное — переворачиваем.

Решение.

1. $\cdot 3$: $-16{,}8 < \frac{7}{8}$.
2. $\cdot (-2)$: $11{,}2 > -\frac{7}{12}$.
3. $\cdot 0{,}5$: $-2{,}8 < \frac{7}{48}$.
4. $\cdot \left(-\frac{6}{7}\right)$: $-5{,}6 \cdot \left(-\frac{6}{7}\right) = 4{,}8$; $\frac{7}{24} \cdot \left(-\frac{6}{7}\right) = -\frac{1}{4}$. Получаем $4{,}8 > -\frac{1}{4}$.

Ответ: $-16{,}8 < \frac{7}{8}$; $11{,}2 > -\frac{7}{12}$; $-2{,}8 < \frac{7}{48}$; $4{,}8 > -\frac{1}{4}$.

№ 917

Раздели обе части $-\frac{5}{36} < 4{,}8$ на 5; $-\frac{1}{9}$; 1,6; $-100$.

Решение.

1. $: 5$: $-\frac{1}{36} < 0{,}96$.
2. $: \left(-\frac{1}{9}\right)$ — это умножение на $-9$: $\frac{45}{36} = 1\frac{1}{4}$ и $-43{,}2$. Знак меняется: $1\frac{1}{4} > -43{,}2$.
3. $: 1{,}6$: $-\frac{5}{36} \cdot \frac{5}{8} = -\frac{25}{288}$; $4{,}8 : 1{,}6 = 3$. Получаем $-\frac{25}{288} < 3$.
4. $: (-100)$: $\frac{5}{3600} = \frac{1}{720}$ и $-0{,}048$. Знак меняется: $\frac{1}{720} > -0{,}048$.

Ответ: $-\frac{1}{36} < 0{,}96$; $1\frac{1}{4} > -43{,}2$; $-\frac{25}{288} < 3$; $\frac{1}{720} > -0{,}048$.

№ 918

Сложи неравенства: 1) $-10 < 3$ и $1{,}1 < 5$; 2) $\frac{4}{15} < 4{,}5$ и $3 < 3{,}2$; 3) $9{,}8 > 0{,}7$ и $8\frac{1}{3} > -\frac{1}{7}$; 4) $-6\frac{9}{13} > -11\frac{2}{3}$ и $4\frac{1}{3} > \frac{69}{70}$.

Как думать. Знаки одинаковые — складываем левые части с левыми, правые с правыми.

Решение.

1. $-10 + 1{,}1 = -8{,}9$; $3 + 5 = 8$. Получаем $-8{,}9 < 8$.
2. $\frac{4}{15} + 3 = 3\frac{4}{15}$; $4{,}5 + 3{,}2 = 7{,}7$. Получаем $3\frac{4}{15} < 7{,}7$.
3. $9\frac{4}{5} + 8\frac{1}{3} = 17\frac{17}{15} = 18\frac{2}{15}$; $\frac{7}{10} - \frac{1}{7} = \frac{49 - 10}{70} = \frac{39}{70}$. Получаем $18\frac{2}{15} > \frac{39}{70}$.
4. $-6\frac{9}{13} + 4\frac{1}{3} = -\left(6\frac{27}{39} - 4\frac{13}{39}\right) = -2\frac{14}{39}$; $-11\frac{2}{3} + \frac{69}{70} = -\left(11\frac{140}{210} - \frac{207}{210}\right) = -10\frac{143}{210}$. Получаем $-2\frac{14}{39} > -10\frac{143}{210}$.

Ответ: 1) $-8{,}9 < 8$; 2) $3\frac{4}{15} < 7{,}7$; 3) $18\frac{2}{15} > \frac{39}{70}$; 4) $-2\frac{14}{39} > -10\frac{143}{210}$.

№ 919

Перемножь неравенства: 1) $0{,}8 < 9$ и $5 < 2{,}02$; 2) $5\frac{3}{11} < 10{,}55$ и $11 < 16$; 3) $1\frac{4}{17} > \frac{9}{13}$ и $\frac{17}{21} > \frac{13}{18}$; 4) $0{,}025 > 0{,}008$ и $1002 > 125$.

Как думать. Все части положительные, знаки одинаковые — перемножаем левые части между собой и правые между собой.

Решение.

1. Внимание: «$5 < 2{,}02$» — неверное неравенство, перемножать его нельзя. Похоже на опечатку; скорее всего, имелось в виду $0{,}5 < 2{,}02$. Тогда $0{,}8 \cdot 0{,}5 = 0{,}4$, $9 \cdot 2{,}02 = 18{,}18$: $0{,}4 < 18{,}18$.
2. $\frac{58}{11} \cdot 11 = 58$; $10{,}55 \cdot 16 = 168{,}8$. Получаем $58 < 168{,}8$.
3. $\frac{21}{17} \cdot \frac{17}{21} = 1$; $\frac{9}{13} \cdot \frac{13}{18} = \frac{1}{2}$. Получаем $1 > \frac{1}{2}$.
4. $0{,}025 \cdot 1002 = 25{,}05$; $0{,}008 \cdot 125 = 1$. Получаем $25{,}05 > 1$.

Ответ: 1) $0{,}4 < 18{,}18$ (если второе неравенство $0{,}5 < 2{,}02$); 2) $58 < 168{,}8$; 3) $1 > \frac{1}{2}$; 4) $25{,}05 > 1$.

№ 920

Известно, что $6 < x \le 11$. Оцени: 1) $x + 5$; 2) $x - 7$; 3) $0{,}4x$; 4) $\frac{1}{6}x$.

Как думать. «Найти значение» здесь — значит указать, между какими числами оно лежит. Делаем действие со всеми тремя частями двойного неравенства.

Решение.

1. $6 + 5 < x + 5 \le 11 + 5$: $11 < x + 5 \le 16$.
2. $6 - 7 < x - 7 \le 11 - 7$: $-1 < x - 7 \le 4$.
3. $0{,}4 \cdot 6 < 0{,}4x \le 0{,}4 \cdot 11$: $2{,}4 < 0{,}4x \le 4{,}4$.
4. $1 < \frac{1}{6}x \le \frac{11}{6}$: $1 < \frac{1}{6}x \le 1\frac{5}{6}$.

Ответ: 1) $11 < x + 5 \le 16$; 2) $-1 < x - 7 \le 4$; 3) $2{,}4 < 0{,}4x \le 4{,}4$; 4) $1 < \frac{1}{6}x \le 1\frac{5}{6}$.

№ 921

Известно: $4 < a < 9$ и $1 < b < 7$. Оцени: 1) $a + b$; 2) $ab$; 3) $a - b$; 4) $\frac{a}{b}$.

Решение.

1. Складываем: $5 < a + b < 16$.
2. Все части положительные — перемножаем: $4 < ab < 63$.
3. Смотри шаги: $-3 < a - b < 8$.
4. Из $1 < b < 7$ следует $\frac{1}{7} < \frac{1}{b} < 1$. Перемножаем с $4 < a < 9$: $\frac{4}{7} < \frac{a}{b} < 9$.

Ответ: 1) $5 < a + b < 16$; 2) $4 < ab < 63$; 3) $-3 < a - b < 8$; 4) $\frac{4}{7} < \frac{a}{b} < 9$.

№ 922

Оцени $n + m$, $n - m$, $nm$, $n : m$, если $0{,}5 < n < 5\frac{1}{3}$ и $\frac{8}{9} < m < 4{,}5$.

Как думать. Как в № 921: разность — через $-m$, частное — через $\frac{1}{m}$.

Решение.

1. $0{,}5 + \frac{8}{9} = 1\frac{7}{18}$; $5\frac{1}{3} + 4\frac{1}{2} = 9\frac{5}{6}$. Получаем $1\frac{7}{18} < n + m < 9\frac{5}{6}$.
2. $-4{,}5 < -m < -\frac{8}{9}$. Складываем: $0{,}5 - 4{,}5 = -4$; $5\frac{1}{3} - \frac{8}{9} = 4\frac{4}{9}$. Получаем $-4 < n - m < 4\frac{4}{9}$.
3. $0{,}5 \cdot \frac{8}{9} = \frac{4}{9}$; $\frac{16}{3} \cdot \frac{9}{2} = 24$. Получаем $\frac{4}{9} < nm < 24$.
4. $\frac{2}{9} < \frac{1}{m} < \frac{9}{8}$. Перемножаем: $0{,}5 \cdot \frac{2}{9} = \frac{1}{9}$; $\frac{16}{3} \cdot \frac{9}{8} = 6$. Получаем $\frac{1}{9} < n : m < 6$.

Ответ: 1) $1\frac{7}{18} < n + m < 9\frac{5}{6}$; 2) $-4 < n - m < 4\frac{4}{9}$; 3) $\frac{4}{9} < nm < 24$; 4) $\frac{1}{9} < n : m < 6$.

Уровень B

№ 923

Известно: а) $a > b$; б) $a < b$. Сравни: 1) $6a$ и $6b$; 2) $-3\frac{4}{9}a$ и $-3\frac{4}{9}b$; 3) $8{,}1a$ и $8{,}1b$; 4) $6a + \frac{3}{5}$ и $6b + \frac{3}{5}$; 5) $5(a + 9)$ и $5(b + 9)$; 6) $-\frac{1}{15}(a - 1)$ и $-\frac{1}{15}(b - 1)$.

Как думать. Смотрим на множитель: положительный — знак сохраняется, отрицательный — меняется. Прибавление числа знак не меняет.

Решение. Случай а) $a > b$:

1. $6a > 6b$.
2. $-3\frac{4}{9}a < -3\frac{4}{9}b$.
3. $8{,}1a > 8{,}1b$.
4. $6a > 6b$, прибавим $\frac{3}{5}$: $6a + \frac{3}{5} > 6b + \frac{3}{5}$.
5. $a + 9 > b + 9$, умножим на 5: $5(a + 9) > 5(b + 9)$.
6. $a - 1 > b - 1$, умножим на $-\frac{1}{15}$: $-\frac{1}{15}(a - 1) < -\frac{1}{15}(b - 1)$.

Случай б) $a < b$ — все знаки противоположные.

Ответ: а)

Уровень C

№ 924

Докажи, что при $a > 1{,}5$ и $b > 10$: 1) $6a + 5b > 49$; 2) $ab + 4{,}4 > 19{,}38$; 3) $4a + b^2 > 105{,}02$.

Как думать. Задача повышенной трудности. Оцениваем каждое слагаемое, складываем и сравниваем с нужным числом по цепочке (свойство 3).

Решение.

1. $6a > 9$, $5b > 50$. Складываем: $6a + 5b > 59$. А $59 > 49$, значит $6a + 5b > 49$.
2. Числа положительные: $ab > 1{,}5 \cdot 10 = 15$. Тогда $ab + 4{,}4 > 19{,}4 > 19{,}38$.
3. $4a > 6$; $b > 10 > 0$, поэтому $b^2 = b \cdot b > 100$. Складываем: $4a + b^2 > 106 > 105{,}02$.

Ответ: все три неравенства доказаны.

№ 925

Докажи: 1) если $0{,}89c - 2d < 13d - 14{,}11c$, то $c < d$; 2) если $x + 8y < 4x + 5y$, то $x > y$; 3) если $\frac{6}{7}n - 6 > m - \frac{1}{7}m - 6$, то $n > m$; 4) если $1{,}2s + 5{,}1t > 2s + 4{,}3t$, то $s < t$.

Как думать. Переносим слагаемые, как в уравнении, приводим подобные и делим на положительное число.

Решение.

1. $0{,}89c + 14{,}11c < 13d + 2d$, $15c < 15d$, делим на 15: $c < d$.
2. $8y - 5y < 4x - x$, $3y < 3x$, $y < x$, то есть $x > y$.
3. Прибавим 6: $\frac{6}{7}n > \frac{6}{7}m$; умножим на $\frac{7}{6}$: $n > m$.
4. $5{,}1t - 4{,}3t > 2s - 1{,}2s$, $0{,}8t > 0{,}8s$, $t > s$, то есть $s < t$.

Ответ: доказано.

Повторение

№ 926

1) Машина ехала 2 ч со скоростью $a$ км/ч и 3 ч — со скоростью $b$ км/ч. Найди путь при $a = 90$, $b = 110$. 2) Купили 50 шаров по $n$ тг и 60 цветов по $m$ тг. Найди стоимость при $n = 70$, $m = 90$.

Решение.

1. $2a + 3b = 2 \cdot 90 + 3 \cdot 110 = 180 + 330 = 510$ км.
2. $50n + 60m = 3500 + 5400 = 8900$ тг.

Ответ: 1) 510 км; 2) 8900 тг.

№ 927

Найди: 1) $0{,}85a - 79\frac{1}{3}$ при $a = 100$; 2) $26\frac{3}{7} + b : \frac{49}{60}$ при $b = 7$.

Решение.

1. $85 - 79\frac{1}{3} = 5\frac{2}{3}$.
2. $7 : \frac{49}{60} = \frac{7 \cdot 60}{49} = \frac{60}{7} = 8\frac{4}{7}$; $26\frac{3}{7} + 8\frac{4}{7} = 35$.

Ответ: 1) $5\frac{2}{3}$; 2) 35.

№ 928

Сравни: 1) $|87{,}98 - 90|$ и $|4{,}1 - 6{,}12|$; 2) $\left|\frac{2^3}{3^3}\right| \cdot \left|\frac{3}{4}\right|$ и $\left|-\frac{20}{21}\right| : \left|2\frac{6}{7}\right|$.

Решение.

1. $|-2{,}02| = 2{,}02$ и $|-2{,}02| = 2{,}02$ — равны.
2. $\frac{8}{27} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2}{9}$; $\frac{20}{21} : \frac{20}{7} = \frac{1}{3} = \frac{3}{9}$. Значит, $\frac{2}{9} < \frac{1}{3}$.

Ответ: 1) равны; 2) первое меньше.

№ 929

Собственная скорость лодки — $\frac{4}{9}$ собственной скорости катера. По течению катер быстрее лодки на 16 км/ч. Найди собственную скорость катера.

Как думать. Течение добавляет обоим одно и то же, поэтому разница скоростей по течению равна разнице собственных скоростей.

Решение.

1. Катер $x$ км/ч, лодка $\frac{4}{9}x$ км/ч, течение $u$ км/ч.
2. $(x + u) - \left(\frac{4}{9}x + u\right) = 16$, $\frac{5}{9}x = 16$.
3. $x = 16 \cdot \frac{9}{5} = 28{,}8$.

Ответ: 28,8 км/ч.

Готовимся к следующей теме

№ 930

Отметь на числовой прямой числа $-4$; 2; $-1{,}5$; 1; 7; $-6{,}5$.

Как думать. Удобно взять единичный отрезок в 2 клетки: тогда половинки попадают на клетки.

Решение. Отрицательные — левее нуля: $-6{,}5$ (13 клеток), $-4$ (8 клеток), $-1{,}5$ (3 клетки). Положительные — правее: 1 (2 клетки), 2 (4 клетки), 7 (14 клеток). Порядок слева направо: $-6{,}5$; $-4$; $-1{,}5$; 1; 2; 7.

Ответ: см. рисунок; $-6{,}5 < -4 < -1{,}5 < 1 < 2 < 7$.

Шпаргалка

• Слагаемое переносим в другую часть с противоположным знаком.
• На отрицательное число умножаем или делим — знак меняем.
• Если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$.
• Складывать можно неравенства одного знака, вычитать — нельзя (заменяем на сложение с $-b$).
• Перемножать можно только неравенства одного знака с положительными частями.

Мини-тест