§ 33. Числовые промежутки

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 5: Линейные неравенства с одной переменной и их системы. Страницы 40–47.

Чему научишься

• Записывать все решения неравенства одной короткой записью вроде $(-\infty; 1]$.
• Различать отрезок, интервал, полуинтервал, луч и открытый луч.
• Понимать, когда точка на рисунке закрашена, а когда «выколота» кружком.
• Находить целые и натуральные числа внутри промежутка.

Разминка

Это задание № 930 из прошлого урока: отметь на прямой числа $-4$; 2; $-1{,}5$; 1; 7; $-6{,}5$.

• Какое из этих чисел самое маленькое? $-6{,}5$ — оно левее всех.
• Где лежит $-1{,}5$? Ровно посередине между $-2$ и $-1$.
• Какие числа из списка больше 1? Только 2 и 7. Сама единица больше 1 не бывает.
• Сколько чисел вообще больше 1? Бесконечно много: 1,1; 1,01; 2; 100; миллион… Вот о них и урок.

Разбираемся

Бесконечность в скобках

Неравенству $x > 1$ подходит и 2, и 1,5, и 1000. Перечислить все такие числа невозможно. Зато на прямой они выглядят просто: всё, что правее единицы.

Такой кусок прямой называют числовым промежутком и записывают коротко: $(1; +\infty)$. Знак $\infty$ — «бесконечность». Читается: «от единицы до плюс бесконечности».

📌 Скобки — это главный секрет. Квадратная $[\ ]$ — край входит в промежуток. Круглая $(\ )$ — край не входит. У бесконечности скобка всегда круглая: до неё не дойдёшь.

Закрашенная точка или кружок

На рисунке край, который входит, рисуют закрашенной точкой. Край, который не входит, — пустым кружком, его называют «выколотой» точкой. Сам промежуток показывают штриховкой над прямой или под ней.

💡 Запомни пару: закрашенная точка ↔ квадратная скобка ↔ знаки $\le$, $\ge$. Пустой кружок ↔ круглая скобка ↔ знаки

lt;$,

gt;$.

Семья промежутков

Возьмём числа $-3$ и 1 и посмотрим на все варианты.

Луч открытый, если его начало ему не принадлежит. Например, у $(-\infty; 1)$ сама единица «выколота».

⚠️ Частая ошибка. Пишут $[-\infty; 1]$. Так нельзя: бесконечность — не число, её нельзя «включить». У $\infty$ скобка всегда круглая.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка прочитать запись вслух: «от минус трёх до единицы, включая минус три». Если он произносит «включая» в нужном месте, он понял скобки.

💡 Говори правильно. $[-3; 1]$ — «числовой отрезок от минус трёх до единицы». $(-3; 1)$ — «числовой интервал от минус трёх до единицы». Где край входит, добавляй слово «включая».

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какой промежуток — решение $x > 7$? $x \le -2$? $-3 < x \le 9$? $(7; +\infty)$ — открытый луч; $(-\infty; -2]$ — луч; $(-3; 9]$ — полуинтервал.
• Приведи пример числового отрезка и открытого числового луча. Отрезок: $[0; 5]$. Открытый луч: $(-\infty; 3)$ или $(2; +\infty)$.
• Каким промежуткам принадлежит 8: $(8; +\infty)$, $(-1; +\infty)$, $(-\infty; 8]$, $[-3; 10]$? Трём последним. В $(8; +\infty)$ восьмёрка не входит: скобка круглая.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 931

Прочитай промежутки: $(-\infty; 3)$; $[-4; 5]$; $[-1{,}5; +\infty)$; $\left(-\frac{1}{3}; \frac{4}{7}\right)$; $[-8{,}7; 10)$; $\left(-\infty; \frac{13}{60}\right)$.

Как думать. Читаем «от … до …». Если скобка квадратная, добавляем «включая».

Решение.

1. $(-\infty; 3)$ — от минус бесконечности до трёх (открытый луч).
2. $[-4; 5]$ — от минус четырёх до пяти, включая оба края (отрезок).
3. $[-1{,}5; +\infty)$ — от минус одной целой пяти десятых до плюс бесконечности, включая $-1{,}5$ (луч).
4. $\left(-\frac{1}{3}; \frac{4}{7}\right)$ — от минус одной третьей до четырёх седьмых (интервал).
5. $[-8{,}7; 10)$ — от минус восьми целых семи десятых до десяти, включая $-8{,}7$ (полуинтервал).
6. $\left(-\infty; \frac{13}{60}\right)$ — от минус бесконечности до тринадцати шестидесятых (открытый луч).

Ответ: прочитано выше.

№ 932

Запиши промежуток: от 20 до 45; от $-7{,}8$ до 13, включая 13; от $-\infty$ до $14\frac{5}{9}$; от $\frac{6}{7}$ до $+\infty$, включая $\frac{6}{7}$; от $-9{,}1$ до 2,2, включая оба; от $-40$ до $-2\frac{19}{23}$.

Как думать. Слово «включая» — квадратная скобка у этого края. Нет слова — круглая.

Решение. 1) $(20; 45)$; 2) $(-7{,}8; 13]$; 3) $\left(-\infty; 14\frac{5}{9}\right)$; 4) $\left[\frac{6}{7}; +\infty\right)$; 5) $[-9{,}1; 2{,}2]$; 6) $\left(-40; -2\frac{19}{23}\right)$.

Ответ: $(20; 45)$; $(-7{,}8; 13]$; $\left(-\infty; 14\frac{5}{9}\right)$; $\left[\frac{6}{7}; +\infty\right)$; $[-9{,}1; 2{,}2]$; $\left(-40; -2\frac{19}{23}\right)$.

№ 933

Запиши промежутки по восьми рисункам: 1) штриховка левее 8, точка закрашена; 2) правее $-8$, кружок; 3) между 13 и 18,5, обе закрашены; 4) между $-7$ (закрашена) и $-4$ (кружок); 5) между $-9$ (кружок) и 4 (закрашена); 6) правее $3\frac{2}{3}$, закрашена; 7) левее $-2\frac{1}{6}$, кружок; 8) между $-6$ и 6, обе кружки.

Как думать. Закрашенная точка — квадратная скобка, кружок — круглая. Штриховка уходит влево — значит, от $-\infty$; вправо — до $+\infty$.

Решение. 1) $(-\infty; 8]$; 2) $(-8; +\infty)$; 3) $[13; 18{,}5]$; 4) $[-7; -4)$; 5) $(-9; 4]$; 6) $\left[3\frac{2}{3}; +\infty\right)$; 7) $\left(-\infty; -2\frac{1}{6}\right)$; 8) $(-6; 6)$.

Ответ: $(-\infty; 8]$; $(-8; +\infty)$; $[13; 18{,}5]$; $[-7; -4)$; $(-9; 4]$; $\left[3\frac{2}{3}; +\infty\right)$; $\left(-\infty; -2\frac{1}{6}\right)$; $(-6; 6)$.

№ 934

Изобрази на прямой: $[6; 10]$; $[-5; -1]$; $[-9; 3)$; $(-1; 7]$; $(-\infty; 15)$; $(8; +\infty)$; $(-\infty; 2]$; $[-3; +\infty)$.

Как думать. Отмечаем края: квадратная скобка — закрашенная точка, круглая — кружок. Затем штрихуем часть прямой между краями (или до бесконечности).

Решение.

1. $[6; 10]$: точки 6 и 10 закрашены, штриховка между ними.
2. $[-5; -1]$: обе точки закрашены, штриховка между.
3. $[-9; 3)$: $-9$ закрашена, 3 — кружок, штриховка между.
4. $(-1; 7]$: $-1$ — кружок, 7 закрашена.
5. $(-\infty; 15)$: кружок в 15, штриховка влево.
6. $(8; +\infty)$: кружок в 8, штриховка вправо.
7. $(-\infty; 2]$: закрашенная 2, штриховка влево.
8. $[-3; +\infty)$: закрашенная $-3$, штриховка вправо.

Ответ: рисунки описаны выше.

№ 935

Изобрази точки, расстояние от которых до 1) $A(5)$; 2) $B(-5)$: а) не больше 3; б) больше 3. Какие промежутки вышли?

Как думать. Отходим от точки на 3 влево и вправо. Внутри — расстояние меньше 3, на краях — ровно 3, снаружи — больше 3.

Решение.

1. $A(5)$: $5 - 3 = 2$, $5 + 3 = 8$. а) $[2; 8]$ — отрезок; б) всё, что левее 2 и правее 8: $(-\infty; 2)$ и $(8; +\infty)$.
2. $B(-5)$: $-5 - 3 = -8$, $-5 + 3 = -2$. а) $[-8; -2]$; б) $(-\infty; -8)$ и $(-2; +\infty)$.

Ответ: 1) а) $[2; 8]$, б) $(-\infty; 2)$ и $(8; +\infty)$; 2) а) $[-8; -2]$, б) $(-\infty; -8)$ и $(-2; +\infty)$.

№ 936

Найди среди промежутков из № 932–933 отрезки, открытые лучи и интервалы.

Как думать. Отрезок — две квадратные скобки. Интервал — две круглые и два числа. Открытый луч — бесконечность и круглая скобка у числа.

Решение.

1. Отрезки: $[-9{,}1; 2{,}2]$ (932.5), $[13; 18{,}5]$ (933.3).
2. Открытые лучи: $\left(-\infty; 14\frac{5}{9}\right)$ (932.3), $(-8; +\infty)$ (933.2), $\left(-\infty; -2\frac{1}{6}\right)$ (933.7).
3. Интервалы: $(20; 45)$ (932.1), $\left(-40; -2\frac{19}{23}\right)$ (932.6), $(-6; 6)$ (933.8).

Ответ: см. список выше.

№ 937

Нарисуй на прямой луч, открытый луч, отрезок, интервал и полуинтервал и запиши их.

Как думать. Выбери любые числа. Важно правильно нарисовать края.

Решение. Пример:

1. Луч: закрашенная точка 2, штриховка вправо — $[2; +\infty)$.
2. Открытый луч: кружок в $-1$, штриховка влево — $(-\infty; -1)$.
3. Отрезок: закрашенные 0 и 4 — $[0; 4]$.
4. Интервал: кружки в $-3$ и 3 — $(-3; 3)$.
5. Полуинтервал: закрашенная 1, кружок в 6 — $[1; 6)$.

Ответ: например, $[2; +\infty)$; $(-\infty; -1)$; $[0; 4]$; $(-3; 3)$; $[1; 6)$.

№ 938

Напиши по три промежутка каждого вида: луч, открытый луч, отрезок, интервал, полуинтервал.

Решение. Пример:

1. Лучи: $[0; +\infty)$, $(-\infty; 5]$, $[-2{,}5; +\infty)$.
2. Открытые лучи: $(3; +\infty)$, $(-\infty; 0)$, $(-\infty; -7)$.
3. Отрезки: $[1; 2]$, $[-4; 4]$, $[0{,}5; 10]$.
4. Интервалы: $(0; 1)$, $(-6; -2)$, $(10; 20)$.
5. Полуинтервалы: $[0; 3)$, $(-5; 5]$, $[-1; 8)$.

Ответ: у каждого свои; пример выше.

№ 939

Из чисел 5; $-9$; 14; $-12$; 9; 13; 1; $-19$ выбери те, что лежат в промежутке: $[-12; 9)$; $(-13; 13)$; $(1; 15]$; $[-20; 20]$.

Как думать. Проверяем каждое число: больше ли оно левого края и меньше ли правого. Не забываем про скобки.

Решение.

1. $[-12; 9)$: 5; $-9$; $-12$; 1. Девятка не входит.
2. $(-13; 13)$: 5; $-9$; $-12$; 9; 1. Тринадцать не входит.
3. $(1; 15]$: 5; 14; 9; 13. Единица не входит.
4. $[-20; 20]$: все восемь чисел.

Ответ: 1) 5, $-9$, $-12$, 1; 2) 5, $-9$, $-12$, 9, 1; 3) 5, 14, 9, 13; 4) все числа.

№ 940

Промежутки: $[-7; 4]$; $(-17; 5)$; $(-9; 5]$; $[-1; 11)$. Каким из них принадлежит число 5; $-8$; $4\frac{1}{9}$; $-0{,}5$; 10,2; $-16{,}9$?

Как думать. Берём число и по очереди сверяем с каждым промежутком.

Решение.

1. 5: $(-9; 5]$ и $[-1; 11)$. В $(-17; 5)$ пятёрка не входит.
2. $-8$: $(-17; 5)$ и $(-9; 5]$.
3. $4\frac{1}{9}$: $(-17; 5)$, $(-9; 5]$, $[-1; 11)$. В $[-7; 4]$ не входит — оно больше 4.
4. $-0{,}5$: всем четырём.
5. 10,2: только $[-1; 11)$.
6. $-16{,}9$: только $(-17; 5)$.

Ответ: см. список выше.

Уровень B

№ 941

Найди все натуральные числа в промежутке: $[3{,}5; 10)$; $[0{,}9; 4{,}9]$; $(101; 105)$; $[0; 5)$; $[-5; 2)$; $[-101; 1{,}2]$.

Как думать. Натуральные — это 1, 2, 3… Ноль и отрицательные не берём.

Решение. 1) 4, 5, 6, 7, 8, 9; 2) 1, 2, 3, 4; 3) 102, 103, 104; 4) 1, 2, 3, 4; 5) 1; 6) 1.

Ответ: 1) 4–9; 2) 1, 2, 3, 4; 3) 102, 103, 104; 4) 1, 2, 3, 4; 5) 1; 6) 1.

№ 942

Найди все целые числа в промежутке: $(2; 7{,}5]$; $[-3{,}2; 3)$; $[-21; -17)$; $[12{,}3; 13{,}1]$; $\left[-7\frac{1}{3}; -2{,}99\right]$; $(-1; 4)$.

Как думать. Целые — это и отрицательные, и ноль. Ищем ближайшее целое внутри у каждого края.

Решение.

1. $(2; 7{,}5]$: 3, 4, 5, 6, 7.
2. $[-3{,}2; 3)$: $-3$, $-2$, $-1$, 0, 1, 2.
3. $[-21; -17)$: $-21$, $-20$, $-19$, $-18$.
4. $[12{,}3; 13{,}1]$: 13.
5. $\left[-7\frac{1}{3}; -2{,}99\right]$: $-7$, $-6$, $-5$, $-4$, $-3$.
6. $(-1; 4)$: 0, 1, 2, 3.

Ответ: 1) 3, 4, 5, 6, 7; 2) $-3$, $-2$, $-1$, 0, 1, 2; 3) $-21$, $-20$, $-19$, $-18$; 4) 13; 5) $-7$, $-6$, $-5$, $-4$, $-3$; 6) 0, 1, 2, 3.

⚠️ Частая ошибка. В $\left[-7\frac{1}{3}; -2{,}99\right]$ забывают, что $-3$ меньше $-2{,}99$, и пропускают его. Нарисуй прямую: $-3$ левее $-2{,}99$, значит, оно внутри.

№ 943

Найди наименьшее и наибольшее натуральное число в промежутке: $(-3; 6]$; $[-5; 2)$; $[0{,}7; 9{,}9]$; $\left[1\frac{11}{12}; 20\frac{1}{3}\right]$.

Решение.

1. $(-3; 6]$: наименьшее 1, наибольшее 6.
2. $[-5; 2)$: только 1 — оно и наименьшее, и наибольшее.
3. $[0{,}7; 9{,}9]$: 1 и 9.
4. $\left[1\frac{11}{12}; 20\frac{1}{3}\right]$: 2 и 20.

Ответ: 1) 1 и 6; 2) 1 и 1; 3) 1 и 9; 4) 2 и 20.

№ 944

Найди наименьшее и наибольшее целое число в промежутке: $[-100{,}1; 98)$; $\left[-2\frac{1}{3}; 5\right)$; $(1; 8{,}1]$; $\left(-35; \frac{11}{19}\right]$.

Как думать. Наименьшее целое — первое целое справа от левого края. Наибольшее — первое целое слева от правого края. Круглая скобка у целого края его выбрасывает.

Решение.

1. $[-100{,}1; 98)$: $-100$ и 97 (98 не входит).
2. $\left[-2\frac{1}{3}; 5\right)$: $-2$ и 4.
3. $(1; 8{,}1]$: 2 и 8.
4. $\left(-35; \frac{11}{19}\right]$: $-34$ и 0.

Ответ: 1) $-100$ и 97; 2) $-2$ и 4; 3) 2 и 8; 4) $-34$ и 0.

Уровень C

№ 945

Найди сумму всех целых чисел в промежутке: $(-9; 4]$; $\left[-4\frac{3}{7}; 3\frac{1}{9}\right]$; $[-6; 8]$; $(-1{,}25; 11{,}7]$.

Как думать. Задача на смекалку. Противоположные числа ($-3$ и 3) в сумме дают 0. Вычёркиваем их парами — считать остаётся совсем немного.

Решение.

1. $(-9; 4]$: от $-8$ до 4. Остаются $-8-7-6-5 = -26$.
2. $\left[-4\frac{3}{7}; 3\frac{1}{9}\right]$: от $-4$ до 3. Остаётся $-4$.
3. $[-6; 8]$: от $-6$ до 8. Остаются $7 + 8 = 15$.
4. $(-1{,}25; 11{,}7]$: от $-1$ до 11. Пара $-1$ и 1 даёт 0, остаются $2 + 3 + \dots + 11 = 65$.

Ответ: 1) $-26$; 2) $-4$; 3) 15; 4) 65.

№ 946

Найди отрезок с неотрицательными концами, в котором сумма всех натуральных чисел равна: 1) 6; 2) 9. Рассмотри все варианты.

Как думать. Натуральные числа в отрезке идут подряд. Ищем подряд идущие натуральные числа с нужной суммой. Концы берём целыми.

Решение.

1. Сумма 6: $1 + 2 + 3 = 6$. Подходят $[1; 3]$ и $[0; 3]$ — ноль натуральным не считается, поэтому сумма та же.
2. Сумма 9: $2 + 3 + 4 = 9$ — отрезок $[2; 4]$; $4 + 5 = 9$ — отрезок $[4; 5]$.

Ответ: 1) $[0; 3]$ и $[1; 3]$; 2) $[2; 4]$ и $[4; 5]$.

Повторение

№ 947

Найди значение: 1) $2{,}15a + b + 1\frac{7}{15}c + \frac{11}{150}$ при $a = 6\frac{6}{15}$, $b = -5{,}5$, $c = 2{,}5$; 2) $100a^2 + 10b^2 + c$ при $a = 0{,}3$, $b = 0{,}4$, $c = 0{,}4$.

Решение.

1. $a = 6\frac{6}{15} = 6{,}4$. $2{,}15 \cdot 6{,}4 = 13{,}76$; $13{,}76 - 5{,}5 = 8{,}26 = \frac{1239}{150}$.
2. $1\frac{7}{15} \cdot 2{,}5 = \frac{22}{15} \cdot \frac{5}{2} = \frac{11}{3} = \frac{550}{150}$.
3. $\frac{1239}{150} + \frac{550}{150} + \frac{11}{150} = \frac{1800}{150} = 12$.
4. Второе: $100 \cdot 0{,}09 + 10 \cdot 0{,}16 + 0{,}4 = 9 + 1{,}6 + 0{,}4 = 11$.

Ответ: 1) 12; 2) 11.

№ 948

Катер прошёл 60 км со скоростью 45 км/ч. Сколько времени он был в пути?

Решение. $t = 60 : 45 = \frac{4}{3}$ ч $= 1\frac{1}{3}$ ч. Треть часа — 20 минут.

Ответ: 1 ч 20 мин.

№ 949

Одна сторона треугольника вдвое больше второй, а третья на 1,5 см меньше первой. Периметр 12,5 см. Найди стороны.

Как думать. Пусть вторая сторона $x$. Тогда первая $2x$, третья $2x - 1{,}5$.

Решение.

1. $x + 2x + 2x - 1{,}5 = 12{,}5$.
2. $5x = 14$, $x = 2{,}8$.
3. Первая: $5{,}6$ см; третья: $5{,}6 - 1{,}5 = 4{,}1$ см. Проверка: $5{,}6 + 2{,}8 + 4{,}1 = 12{,}5$ ✓.

Ответ: 5,6 см, 2,8 см, 4,1 см.

Готовимся к следующей теме

№ 950

$A = {1; 3; 9; 13}$, $B = {2; 9; 10; 13; 15}$. Найди объединение и пересечение.

Как думать. Объединение — все элементы обоих множеств без повторов. Пересечение — только общие.

Решение. $A \cup B = {1; 2; 3; 9; 10; 13; 15}$. $A \cap B = {9; 13}$.

Ответ: объединение ${1; 2; 3; 9; 10; 13; 15}$; пересечение ${9; 13}$.

Шпаргалка

• Квадратная скобка — край входит (на рисунке закрашенная точка).
• Круглая скобка — край не входит (на рисунке кружок).
• У $\infty$ скобка всегда круглая.
• $\le$, $\ge$ → квадратная скобка;
  lt;$,
  gt;$ → круглая.

Мини-тест