§ 34. Объединение и пересечение числовых промежутков

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 5: Линейные неравенства с одной переменной и их системы. Страницы 48–53.

Чему научишься

• Находить объединение промежутков — числа, которые есть хотя бы в одном.
• Находить пересечение — числа, которые есть сразу в обоих.
• Пользоваться знаками $\cup$, $\cap$ и $\varnothing$.
• Решать такие задачи с помощью двух штриховок на одной прямой.

Разминка

Это задание № 950 из прошлого урока: $A = {1; 3; 9; 13}$, $B = {2; 9; 10; 13; 15}$.

• Что такое объединение $A$ и $B$? Все элементы обоих множеств без повторов: ${1; 2; 3; 9; 10; 13; 15}$.
• А пересечение? Только общие элементы: ${9; 13}$.
• Что значит $\varnothing$? Пустое множество — в нём нет ни одного элемента.
• Входит ли 3 в $[3; 5)$? А 5? 3 — да (квадратная скобка), 5 — нет (круглая).

💡 С промежутками всё то же самое, только чисел в них бесконечно много. Поэтому считаем не по списку, а по рисунку.

Разбираемся

Две штриховки на одной прямой

Вернёмся к футболу. Арман свободен в $[14; 18]$, Дана — в $[16; 20]$. Нарисуем одну прямую. Время Армана заштрихуем сверху, время Даны — снизу.

Там, где есть обе штриховки, — общее время: с 16 до 18. Это пересечение: $[14; 18] \cap [16; 20] = [16; 18]$.

Там, где есть хоть одна штриховка, — время, когда свободен хотя бы один: с 14 до 20. Это объединение: $[14; 18] \cup [16; 20] = [14; 20]$.

📌 Объединение ($\cup$) — числа, которые лежат хотя бы в одном промежутке. Пересечение ($\cap$) — числа, которые лежат в каждом промежутке сразу.

Когда общего нет

Пересечение может оказаться пустым. Например, $[-5; 2]$ и $[4; 9)$ на прямой не встречаются: между 2 и 4 дырка. Пишут $[-5; 2] \cap [4; 9) = \varnothing$ и говорят, что промежутки не пересекаются.

А объединение тогда так и остаётся из двух кусков: $[-5; 2] \cup [4; 9)$. Одной скобкой его не запишешь.

Когда общее — одна точка

$[-4; 1]$ и $[1; 2]$ касаются в точке 1. Объединение — целый отрезок $[-4; 2]$. А пересечение — одно-единственное число: $[-4; 1] \cap [1; 2] = {1}$. Фигурные скобки показывают, что это множество из одного числа.

⚠️ Частая ошибка. $[-4; 1)$ и $[1; 2]$ — уже другое дело. В первом единица не входит, поэтому пересечение пустое: $\varnothing$. Всегда смотри, какие скобки у общего края.

Примеры с бесконечностью

• $(-\infty; 1] \cup [-2; +\infty) = (-\infty; +\infty)$ — лучи накрывают всю прямую.
• $(-\infty; 6) \cap [-1; +\infty) = [-1; 6)$ — от лучей остаётся кусочек в середине.
• $[-6; 1] \cup (-2; 7] = [-6; 7]$; $[-4; 3) \cap [-1; 6) = [-1; 3)$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Предложите правило: «пересечение — это И (и там, и там), объединение — это ИЛИ (там или там)». Пусть ребёнок всегда рисует две штриховки разными цветами — ошибок становится в разы меньше.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Может ли объединение двух промежутков не содержать ни одного числа? Нет. В каждом промежутке есть числа, и все они попадают в объединение.
• Может ли объединение двух лучей быть отрезком? Лучом? Прямой? Отрезком — нет: лучи бесконечны, и объединение тоже. Лучом — да: $(-\infty; 1] \cup (-\infty; 3] = (-\infty; 3]$. Прямой — да: $(-\infty; 1] \cup [-2; +\infty) = (-\infty; +\infty)$.
• Может ли пересечение двух лучей быть отрезком? Лучом? Прямой? Отрезком — да: $[1; +\infty) \cap (-\infty; 5] = [1; 5]$. Лучом — да: $[1; +\infty) \cap [3; +\infty) = [3; +\infty)$. Прямой — нет: каждый луч уже меньше прямой.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 951

Запиши объединение промежутков по рисункам: 1) $[-6; 1]$ и луч правее 3 (кружок); 2) луч левее $-1$ (закрашена) и от 5 до 9 (кружки); 3) $[-2; 2]$ и от 0 до 4 (кружки); 4) от $-10$ до $-7$ (кружки) и от $-7$ (кружок) до 11 (закрашена).

Как думать. Сначала переводим каждый рисунок в запись со скобками. Потом смотрим, сливаются ли куски в один.

Решение.

1. $[-6; 1] \cup (3; +\infty)$ — куски не касаются, ответ из двух частей.
2. $(-\infty; -1] \cup (5; 9)$ — тоже два куска.
3. $[-2; 2] \cup (0; 4) = [-2; 4)$: куски накладываются. Слева край $-2$ входит, справа 4 — нет.
4. $(-10; -7) \cup (-7; 11]$: куски сходятся в $-7$, но эта точка выколота в обоих. Поэтому единым промежутком не записать.

Ответ: 1) $[-6; 1] \cup (3; +\infty)$; 2) $(-\infty; -1] \cup (5; 9)$; 3) $[-2; 4)$; 4) $(-10; -7) \cup (-7; 11]$.

⚠️ Частая ошибка. В № 951.4 пишут $(-10; 11]$. Но число $-7$ не входит ни в один кусок, значит, и в объединение тоже.

№ 952

Запиши пересечение по рисункам: 1) $(-\infty; 6]$ и $(-8; +\infty)$; 2) $[-11; 5]$ и $(-5; +\infty)$; 3) $(-6; 0]$ и $(3; 9]$; 4) $[-7; 4]$ и $(-5; 0)$.

Как думать. Ищем место, где лежат обе штриховки. Левый край общей части — правее из двух левых краёв. Правый — левее из двух правых.

Решение.

1. Общее: от $-8$ (не входит) до 6 (входит) — $(-8; 6]$.
2. От $-5$ (не входит) до 5 (входит) — $(-5; 5]$.
3. Первый кончается в 0, второй начинается после 3 — общего нет: $\varnothing$.
4. Второй целиком внутри первого — $(-5; 0)$.

Ответ: 1) $(-8; 6]$; 2) $(-5; 5]$; 3) $\varnothing$; 4) $(-5; 0)$.

№ 953

Найди объединение: 1) $(-\infty; 7)$ и $(6; +\infty)$; 2) $(-\infty; -4]$ и $(-5; 2)$; 3) $\left[-\frac{2}{3}; 10\right)$ и $[0; 8)$; 4) $\left(15\frac{1}{14}; 20\right]$ и $(0; +\infty)$.

Решение.

1. Лучи накладываются на $(6; 7)$ и вместе накрывают всё: $(-\infty; +\infty)$.
2. Слева бесконечность, справа край 2 (не входит): $(-\infty; 2)$.
3. $[0; 8)$ целиком внутри первого: $\left[-\frac{2}{3}; 10\right)$.
4. Первый целиком внутри луча: $(0; +\infty)$.

Ответ: 1) $(-\infty; +\infty)$; 2) $(-\infty; 2)$; 3) $\left[-\frac{2}{3}; 10\right)$; 4) $(0; +\infty)$.

№ 954

Найди объединение: 1) $(-\infty; 10)$ и $(-3; 6)$; 2) $(-\infty; 8]$ и $[7; +\infty)$; 3) $[2{,}4; 5)$ и $(4; 11]$; 4) $[-1{,}8; 0)$ и $[-1; 14]$.

Решение.

1. Второй внутри первого: $(-\infty; 10)$.
2. Лучи перекрываются на $[7; 8]$: $(-\infty; +\infty)$.
3. Перекрываются на $(4; 5)$: $[2{,}4; 11]$.
4. Перекрываются на $[-1; 0)$: $[-1{,}8; 14]$.

Ответ: 1) $(-\infty; 10)$; 2) $(-\infty; +\infty)$; 3) $[2{,}4; 11]$; 4) $[-1{,}8; 14]$.

№ 955

Найди пересечение: 1) $(-5; 1]$ и $[-6; 0)$; 2) $\left[-7\frac{1}{3}; 11\right)$ и $[-3; 5)$; 3) $\left(-\infty; 4\frac{2}{3}\right)$ и $[4; +\infty)$; 4) $(-19{,}2; 0)$ и $[-8; 8)$.

Как думать. Левый край — правее из левых, правый край — левее из правых. Скобку берём у того промежутка, чей край выбрали.

Решение.

1. Левые края $-5$ и $-6$ → $-5$ (круглая). Правые 1 и 0 → 0 (круглая). $(-5; 0)$.
2. $[-3; 5)$ лежит внутри первого — он и есть ответ.
3. От 4 (входит) до $4\frac{2}{3}$ (не входит): $\left[4; 4\frac{2}{3}\right)$.
4. От $-8$ (входит) до 0 (не входит): $[-8; 0)$.

Ответ: 1) $(-5; 0)$; 2) $[-3; 5)$; 3) $\left[4; 4\frac{2}{3}\right)$; 4) $[-8; 0)$.

№ 956

Найди пересечение: 1) $(-\infty; -7{,}9)$ и $(-12; 3)$; 2) $(-20; 1]$ и $[-1{,}9; +\infty)$; 3) $\left[8\frac{1}{9}; 35\right)$ и $(-7{,}5; 10]$; 4) $\left(\frac{7}{15}; 9\right]$ и $\left[-6; 5\frac{1}{2}\right)$.

Решение.

1. От $-12$ до $-7{,}9$, оба не входят: $(-12; -7{,}9)$.
2. От $-1{,}9$ (входит) до 1 (входит): $[-1{,}9; 1]$.
3. От $8\frac{1}{9}$ (входит) до 10 (входит): $\left[8\frac{1}{9}; 10\right]$.
4. От $\frac{7}{15}$ (не входит) до $5\frac{1}{2}$ (не входит): $\left(\frac{7}{15}; 5\frac{1}{2}\right)$.

Ответ: 1) $(-12; -7{,}9)$; 2) $[-1{,}9; 1]$; 3) $\left[8\frac{1}{9}; 10\right]$; 4) $\left(\frac{7}{15}; 5\frac{1}{2}\right)$.

№ 957

Найди пересечение: 1) $(-8; 13)$ и $(-3{,}7; 5)$; 2) $\left[-6\frac{2}{3}; 17{,}3\right]$ и $(-1; 0)$; 3) $\left(9\frac{3}{5}; 18\right]$ и $\left[-12; 4\frac{1}{2}\right)$; 4) $[-13; 5)$ и $[6; 12)$.

Решение.

1. Второй внутри первого: $(-3{,}7; 5)$.
2. Второй внутри первого: $(-1; 0)$.
3. Первый начинается после $9\frac{3}{5}$, второй кончается до $4\frac{1}{2}$ — общего нет: $\varnothing$.
4. Первый кончается до 5, второй начинается с 6: $\varnothing$.

Ответ: 1) $(-3{,}7; 5)$; 2) $(-1; 0)$; 3) $\varnothing$; 4) $\varnothing$.

№ 958

Найди пересечение и объединение: 1) $(-\infty; 3]$ и $[1; +\infty)$; 2) $(-4; 0]$ и $[4; 7)$; 3) $\left(-16\frac{3}{7}; 16\right]$ и $[-6; 6)$; 4) $\left(-\infty; \frac{1}{2}\right]$ и $\left(\frac{1}{2}; +\infty\right)$.

Решение.

1. Пересечение $[1; 3]$; объединение $(-\infty; +\infty)$.
2. Не касаются: пересечение $\varnothing$; объединение $(-4; 0] \cup [4; 7)$.
3. Второй внутри первого: пересечение $[-6; 6)$; объединение $\left(-16\frac{3}{7}; 16\right]$.
4. Число $\frac{1}{2}$ есть только в первом. Общих чисел нет: $\varnothing$. Вместе они накрывают всю прямую: $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: 1) $[1; 3]$ и $(-\infty; +\infty)$; 2) $\varnothing$ и $(-4; 0] \cup [4; 7)$; 3) $[-6; 6)$ и $\left(-16\frac{3}{7}; 16\right]$; 4) $\varnothing$ и $(-\infty; +\infty)$.

№ 959

Найди пересечение и объединение: 1) $(-5; 15)$ и $[4; 13)$; 2) $(-\infty; 4{,}5]$ и $[-4{,}5; +\infty)$; 3) $\left[-8\frac{3}{5}; 11\right]$ и $(-9; 2)$; 4) $\left[\frac{2}{3}; 5\right)$ и $(2; 6{,}7)$.

Как думать. В пункте 3 сравни $-8\frac{3}{5} = -8{,}6$ и $-9$: $-9$ левее.

Решение.

1. Пересечение $[4; 13)$; объединение $(-5; 15)$.
2. Пересечение $[-4{,}5; 4{,}5]$; объединение $(-\infty; +\infty)$.
3. Пересечение $\left[-8\frac{3}{5}; 2\right)$; объединение $(-9; 11]$.
4. Пересечение $(2; 5)$; объединение $\left[\frac{2}{3}; 6{,}7\right)$.

Ответ: 1) $[4; 13)$ и $(-5; 15)$; 2) $[-4{,}5; 4{,}5]$ и $(-\infty; +\infty)$; 3) $\left[-8\frac{3}{5}; 2\right)$ и $(-9; 11]$; 4) $(2; 5)$ и $\left[\frac{2}{3}; 6{,}7\right)$.

№ 960

Какие из чисел $-6$; $-4$; 8; $-8$; 0; 13 лежат в пересечении промежутков по рисункам: 1) $(-\infty; 7]$ и $(-9; +\infty)$; 2) $[-6; 6]$ и $(-11; 11)$; 3) $(-\infty; 13]$ и $(-\infty; -4)$; 4) $(-20; 8]$ и $(-11; 14)$?

Как думать. Сначала находим пересечение, потом проверяем числа.

Решение.

1. Пересечение $(-9; 7]$: $-6$, $-4$, $-8$, 0.
2. Пересечение $[-6; 6]$: $-6$, $-4$, 0.
3. Пересечение $(-\infty; -4)$: $-6$, $-8$. Число $-4$ не входит.
4. Пересечение $(-11; 8]$: $-6$, $-4$, 8, $-8$, 0.

Ответ: 1) $-6$, $-4$, $-8$, 0; 2) $-6$, $-4$, 0; 3) $-6$, $-8$; 4) $-6$, $-4$, 8, $-8$, 0.

Уровень B

№ 961

Нарисуй на одной прямой: 1) интервал и луч; 2) отрезок и открытый луч. Разбери все случаи расположения и найди объединение и пересечение.

Как думать. Луч может «не дотянуться» до интервала, задеть его частично или накрыть целиком. Разберём на примерах с интервалом $(2; 6)$ и лучом вправо.

Решение.

1. Интервал $(2; 6)$ и луч $[a; +\infty)$:
   • $[8; +\infty)$ — луч правее: $\cap = \varnothing$, $\cup = (2; 6) \cup [8; +\infty)$;
   • $[6; +\infty)$ — касаются, но 6 нет в интервале: $\cap = \varnothing$, $\cup = (2; +\infty)$;
   • $[4; +\infty)$ — частично: $\cap = [4; 6)$, $\cup = (2; +\infty)$;
   • $[1; +\infty)$ — луч накрывает интервал: $\cap = (2; 6)$, $\cup = [1; +\infty)$. С лучом влево всё так же, только зеркально.
2. Отрезок $[2; 6]$ и открытый луч $(a; +\infty)$:
   • $(8; +\infty)$: $\cap = \varnothing$, $\cup = [2; 6] \cup (8; +\infty)$;
   • $(6; +\infty)$: $\cap = \varnothing$, $\cup = [2; +\infty)$;
   • $(4; +\infty)$: $\cap = (4; 6]$, $\cup = [2; +\infty)$;
   • $(1; +\infty)$: $\cap = [2; 6]$, $\cup = (1; +\infty)$.

Ответ: случаи и ответы — в списке выше.

№ 962

Даны: 1) $[-3; 3]$; 2) $\left(-\infty; 9\frac{1}{3}\right]$; 3) $\left[1\frac{2}{3}; 10\right)$. Подбери интервал, чтобы пересечение с данным было полуинтервалом.

Как думать. Интервал должен «зайти» внутрь промежутка одним концом, а другим выйти за край. Тогда один край пересечения достанется от интервала (круглая скобка), другой — от данного промежутка.

Решение. Примеры:

1. $(0; 5)$: $[-3; 3] \cap (0; 5) = (0; 3]$.
2. $(5; 12)$: $\left(-\infty; 9\frac{1}{3}\right] \cap (5; 12) = \left(5; 9\frac{1}{3}\right]$.
3. $(0; 5)$: $\left[1\frac{2}{3}; 10\right) \cap (0; 5) = \left[1\frac{2}{3}; 5\right)$.

Ответ: например, $(0; 5)$; $(5; 12)$; $(0; 5)$.

№ 963

Перечисли натуральные числа в пересечении: 1) $(1; 8)$ и $(-5; 7]$; 2) $[-2; 3]$ и $(-1; 5)$; 3) $(-\infty; 6]$ и $[4; +\infty)$; 4) $(-10; -2]$ и $[-7; 1)$.

Решение.

1. $(1; 7]$: 2, 3, 4, 5, 6, 7.
2. $(-1; 3]$: 1, 2, 3.
3. $[4; 6]$: 4, 5, 6.
4. $[-7; -2]$: натуральных нет.

Ответ: 1) 2, 3, 4, 5, 6, 7; 2) 1, 2, 3; 3) 4, 5, 6; 4) $\varnothing$.

№ 964

Назови целые числа в пересечении: 1) $(-3{,}4; 3]$ и $[-4; 5)$; 2) $(-9; 11]$ и $[-4; 3{,}1]$; 3) $(-\infty; 7{,}9]$ и $[-0{,}5; +\infty)$; 4) $\left(-6\frac{11}{12}; 0\right]$ и $[-8; 1)$.

Решение.

1. $(-3{,}4; 3]$: $-3$, $-2$, $-1$, 0, 1, 2, 3.
2. $[-4; 3{,}1]$: $-4$, $-3$, $-2$, $-1$, 0, 1, 2, 3.
3. $[-0{,}5; 7{,}9]$: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
4. $\left(-6\frac{11}{12}; 0\right]$: $-6$, $-5$, $-4$, $-3$, $-2$, $-1$, 0.

Ответ: см. списки выше.

№ 965

Найди наибольшее (наименьшее) натуральное число в пересечении: 1) $(-10; 6)$ и $(1; +\infty)$; 2) $[5; 29]$ и $[20; +\infty)$; 3) $(-3; 13]$ и $[-4; +\infty)$; 4) $(21; +\infty)$ и $(-20; 21]$.

Решение.

1. $(1; 6)$: наибольшее 5, наименьшее 2.
2. $[20; 29]$: 29 и 20.
3. $(-3; 13]$: 13 и 1.
4. Первый — числа больше 21, второй — не больше 21. Общих нет: $\varnothing$, натуральных чисел нет.

Ответ: 1) 5 и 2; 2) 29 и 20; 3) 13 и 1; 4) таких чисел нет.

Уровень C

№ 966

Найди наибольшее (наименьшее) целое число в пересечении: 1) $[3{,}5; 7{,}1]$ и $(1; 4{,}9)$; 2) $\left(-\infty; \frac{3}{7}\right]$ и $\left[-\frac{8}{9}; +\infty\right)$; 3) $(-\infty; +\infty)$ и $\left[-7\frac{1}{3}; 8\frac{1}{3}\right]$; 4) $(-5{,}1; 9{,}1)$ и $(-\infty; +\infty)$.

Как думать. Пересечение с целой прямой — это сам промежуток.

Решение.

1. $[3{,}5; 4{,}9)$: целое только 4 — оно и наибольшее, и наименьшее.
2. $\left[-\frac{8}{9}; \frac{3}{7}\right]$: только 0.
3. $\left[-7\frac{1}{3}; 8\frac{1}{3}\right]$: наибольшее 8, наименьшее $-7$.
4. $(-5{,}1; 9{,}1)$: наибольшее 9, наименьшее $-5$.

Ответ: 1) 4 и 4; 2) 0 и 0; 3) 8 и $-7$; 4) 9 и $-5$.

№ 967

Найди наибольшее натуральное и наименьшее целое число в пересечении: 1) $(-10; 5]$ и $(-3; 7]$; 2) $[-11; 9]$ и $[-2{,}5; 6{,}1)$; 3) $(-\infty; 4{,}8]$ и $[3{,}9; +\infty)$; 4) $(-\infty; -5{,}7)$ и $(-6{,}8; +\infty)$.

Решение.

1. $(-3; 5]$: натуральное 5, целое $-2$.
2. $[-2{,}5; 6{,}1)$: натуральное 6, целое $-2$.
3. $[3{,}9; 4{,}8]$: 4 и 4.
4. $(-6{,}8; -5{,}7)$: натуральных нет, целое $-6$.

Ответ: 1) 5 и $-2$; 2) 6 и $-2$; 3) 4 и 4; 4) натуральных нет, $-6$.

Повторение

№ 968

Отметь точки, расстояние от которых до 1) $O(0)$; 2) $A(-1)$; 3) $B(3)$: а) равно 2; б) меньше 2; в) больше 2. Когда получается интервал?

Решение.

1. $O(0)$: а) $-2$ и 2; б) $(-2; 2)$; в) $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.
2. $A(-1)$: а) $-3$ и 1; б) $(-3; 1)$; в) $(-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$.
3. $B(3)$: а) 1 и 5; б) $(1; 5)$; в) $(-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$.

Ответ: интервал получается в случае б): $(-2; 2)$, $(-3; 1)$, $(1; 5)$.

№ 969

Упрости: 1) $37{,}6x - (10 - 41{,}2x) + 7{,}13$; 2) $8{,}8 + 13{,}19y - (15{,}1y + 20{,}02)$; 3) $\frac{0{,}3^2 + 0{,}4^2}{0{,}5^3} \cdot x - (200x + 8) \cdot \frac{1}{2^3}$; 4) $\frac{y \cdot (0{,}5^3 - 0{,}1)}{0{,}5^2} - (9y + 0{,}1)$.

Как думать. Раскрываем скобки (минус перед скобкой меняет знаки), приводим подобные.

Решение.

1. $37{,}6x - 10 + 41{,}2x + 7{,}13 = 78{,}8x - 2{,}87$.
2. $8{,}8 + 13{,}19y - 15{,}1y - 20{,}02 = -1{,}91y - 11{,}22$.
3. $\frac{0{,}09 + 0{,}16}{0{,}125} = \frac{0{,}25}{0{,}125} = 2$. Дальше $2x - (25x + 1) = -23x - 1$.
4. $\frac{0{,}125 - 0{,}1}{0{,}25} = \frac{0{,}025}{0{,}25} = 0{,}1$. Дальше $0{,}1y - 9y - 0{,}1 = -8{,}9y - 0{,}1$.

Ответ: 1) $78{,}8x - 2{,}87$; 2) $-1{,}91y - 11{,}22$; 3) $-23x - 1$; 4) $-8{,}9y - 0{,}1$.

№ 970

В 2007 г. Кызылординская область дала 91,6% всего риса республики. Какой процент дали остальные области?

Решение. $100% - 91{,}6% = 8{,}4%$.

Ответ: 8,4%.

🌟 Кызылординская область — главный «рисовый край» Казахстана: поля орошают водой Сырдарьи.

Готовимся к следующей теме

№ 971

Изобрази на прямой числа: 1) больше 3; 2) меньше $-2$.

Как думать. Это открытые лучи: края не входят, ставим кружки.

Решение.

1. Кружок в 3, штриховка вправо — $(3; +\infty)$.
2. Кружок в $-2$, штриховка влево — $(-\infty; -2)$.

Ответ: $(3; +\infty)$ и $(-\infty; -2)$.

Шпаргалка

• Рисуй один промежуток штриховкой сверху, другой — снизу.
• Пересечение — где обе штриховки. Объединение — где хотя бы одна.
• У общего края смотри на скобки обоих промежутков.
• Если промежутки не касаются, объединение пишут из двух кусков через $\cup$.

Мини-тест