§ 35. Линейные неравенства с одной переменной

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 5: Линейные неравенства с одной переменной и их системы. Страницы 54–57.

Чему научишься

• Узнавать линейное неравенство с одной переменной среди других записей.
• Понимать, что такое решение неравенства и что значит «решить неравенство».
• Проверять, равносильны ли два неравенства.
• Пользоваться четырьмя правилами, которые не портят неравенство.

Разминка

Это задание № 971 из прошлого урока: отметь на прямой числа больше 3 и числа меньше $-2$.

• Какой промежуток у чисел больше 3? $(3; +\infty)$ — открытый луч.
• А у чисел меньше $-2$? $(-\infty; -2)$.
• Реши уравнение $x + 5 = 12$. $x = 7$.
• Реши $-2x = 8$. $x = -4$.

Разбираемся

Неравенство с «иксом»

Батыр копит на мяч за 4000 тг. У него уже 1500 тг. Сколько ещё нужно накопить? Не меньше 2500. Это записывается так: $1500 + x \ge 4000$.

Здесь $x$ — переменная, неизвестное число. Неравенства вида $ax < b$, $ax > b$, $ax \le b$, $ax \ge b$ называют линейными неравенствами с одной переменной. Например: $7x > -2$, $x \ge -4$, $0{,}5x \le 3$.

📌 «Линейное» значит, что $x$ стоит в первой степени: без квадратов, без деления на $x$ и без второй буквы.

Части и члены

То, что слева от знака, — левая часть, справа — правая. Каждое слагаемое — член неравенства. В $0{,}8x - 1{,}6 > 3{,}5 + 7x$ члены такие: $0{,}8x$, $-1{,}6$, $3{,}5$, $7x$.

Что значит «решить»

Решение неравенства — число, которое после подстановки даёт верное числовое неравенство. Для $20 + x > 24$ решение, например, 8: $20 + 8 = 28 > 24$ ✓. А 3 — не решение: $23 > 24$ неверно.

Решить неравенство — найти все решения или показать, что их нет. Обычно решений бесконечно много, поэтому ответ пишут промежутком. Для $20 + x > 24$ это $(4; +\infty)$.

Равносильные неравенства

Два неравенства равносильны, если у них одни и те же решения (или у обоих решений нет). $x + 3 > 5$ и $x > 2$ равносильны: оба верны ровно при $x$ больше 2.

Из такого простого неравенства, как $x > 2$, ответ виден сразу. Поэтому сложное неравенство шаг за шагом заменяют равносильным, более простым. Делать это можно по четырём правилам.

📌 Четыре правила.

1. К обеим частям можно прибавить одно и то же число.
2. Слагаемое можно перенести в другую часть, сменив его знак.
3. Обе части можно умножить или разделить на одно и то же положительное число.
4. Обе части можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, но знак неравенства надо перевернуть.

⚠️ Частая ошибка. Правило 4 забывают. $-2x < 6$ делят на $-2$ и пишут $x < -3$. Проверь: $x = 0$ подходит в $-2x < 6$ ($0 < 6$), а в $x < -3$ — нет. Правильно: $x > -3$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Правило 4 удобно проверять «подстановкой нуля» или любого простого числа: подставьте его в неравенство до и после преобразования. Если в одном верно, а в другом нет — где-то потерян переворот знака.

Проверь, как понял

Проверь себя

• **Какие из неравенств $\frac{x}{7} > 5$; $\frac{7}{x} > 5$; $x - 7 \le 2x$; $x + 7 < 0$; $(x - 7)(x + 7) < 0$; $x^2 - 7 < 0$ линейные?** Линейные: $\frac{x}{7} > 5$, $x - 7 \le 2x$ (переносом сводится к $-x \le 7$) и $x + 7 < 0$ (это $x < -7$). Не линейные: в $\frac{7}{x}$ делят на $x$, а в двух последних появляется $x^2$.
• Почему равносильны $x - 7 > 2x$; $x > 2x + 7$; $x - 7 + 7 > 2x + 7$; $3x - 21 > 6x$? Второе получается из первого переносом $-7$ вправо (правило 2). Третье — прибавлением 7 к обеим частям первого (правило 1), оно и есть второе после упрощения. Четвёртое — умножением первого на 3 (правило 3).

Решаем упражнения

Уровень A

№ 972

Линейное ли это неравенство с одной переменной: $x \ge -4$; $y < 2{,}5$; $x + 1 \ge y$; $3 + 15 < 20$; $xy \le \frac{1}{3}$; $7x > -2$?

Как думать. Нужна ровно одна буква, и она в первой степени.

Решение.

1. $x \ge -4$ — да ($1 \cdot x \ge -4$).
2. $y < 2{,}5$ — да.
3. $x + 1 \ge y$ — нет: две переменные.
4. $3 + 15 < 20$ — нет: переменной нет, это числовое неравенство.
5. $xy \le \frac{1}{3}$ — нет: две переменные.
6. $7x > -2$ — да.

Ответ: линейные 1, 2, 6.

№ 973

Запиши неравенством: $x$ меньше 10; $x$ не меньше 4,9; $x$ не больше $-15\frac{2}{13}$; $x$ больше $-7{,}191$.

Решение. 1) $x < 10$; 2) $x \ge 4{,}9$; 3) $x \le -15\frac{2}{13}$; 4) $x > -7{,}191$.

Ответ: $x < 10$; $x \ge 4{,}9$; $x \le -15\frac{2}{13}$; $x > -7{,}191$.

№ 974

Назови по три значения $y$, при которых верно: $y < 25{,}4$; $y > -\frac{5}{17}$; $y \le -1{,}8$; $y \ge 33$; $y > 0{,}19$; $y < 10{,}1$.

Как думать. Подходит любое число нужной стороны от границы. Если знак нестрогий, можно взять и саму границу.

Решение. Примеры:

1. $y < 25{,}4$: 0; 10; 25.
2. $y > -\frac{5}{17}$: 0; 1; 5.
3. $y \le -1{,}8$: $-1{,}8$; $-2$; $-10$.
4. $y \ge 33$: 33; 34; 100.
5. $y > 0{,}19$: 0,2; 1; 7.
6. $y < 10{,}1$: 10; 0; $-5$.

Ответ: у каждого свои; пример выше.

№ 975

Равносильны ли: 1) $x \ge -8$ и $x + 3 \ge -5$; 2) $y \le 10$ и $y - 1 \le 9$; 3) $x > 5$ и $5x > 25$; 4) $x < 3$ и $-3x > -9$; 5) $x < 20$ и $\frac{1}{2}x + 3 > 10$; 6) $y \ge -16$ и $-\frac{1}{4}y \le 4$?

Как думать. Упрощаем второе неравенство по правилам и сравниваем с первым.

Решение.

1. $x + 3 \ge -5 \Rightarrow x \ge -8$ — да.
2. $y - 1 \le 9 \Rightarrow y \le 10$ — да.
3. $5x > 25 \Rightarrow x > 5$ — да.
4. $-3x > -9$, делим на $-3$ и переворачиваем: $x < 3$ — да.
5. $\frac{1}{2}x > 7 \Rightarrow x > 14$. А первое $x < 20$. Например, $x = 0$ подходит в первое, но не во второе — нет.
6. $-\frac{1}{4}y \le 4$, умножаем на $-4$ и переворачиваем: $y \ge -16$ — да.

Ответ: равносильны 1, 2, 3, 4, 6; не равносильны 5.

№ 976

Укажи равносильные пары: 1) $x < 12$ и $x - 5 < 7$; 2) $y \ge -4$ и $x + 7 \ge -11$; 3) $x - 4 > 9$ и $x > 13$; 4) $13 + x \le 10$ и $x \ge -3$.

Решение.

1. $x - 5 < 7 \Rightarrow x < 12$ — равносильны.
2. $x + 7 \ge -11 \Rightarrow x \ge -18$. Решения — числа от $-18$, а у первого — от $-4$. Число $-10$ подходит во второе, но не в первое. Не равносильны.
3. $x - 4 > 9 \Rightarrow x > 13$ — равносильны.
4. $13 + x \le 10 \Rightarrow x \le -3$, а не $x \ge -3$. Не равносильны.

Ответ: равносильны пары 1 и 3.

№ 977

Равносильны ли: 1) $x + 4 > 5$ и $x > 1$; 2) $9 - x \le 10$ и $-x \le 1$; 3) $6y > -12$ и $y > -2$; 4) $-7x < 21$ и $x > -3$?

Решение.

1. Переносим 4: $x > 1$ — да.
2. Переносим 9: $-x \le 1$ — да.
3. Делим на 6: $y > -2$ — да.
4. Делим на $-7$ с переворотом знака: $x > -3$ — да.

Ответ: все четыре пары равносильны.

Уровень B

№ 978

Запиши неравенством: 1) сумма $x$ и $-18{,}5$ не больше 18,7; 2) разность 20 и $9x$ больше $-41{,}2$; 3) сумма 61 и $-y$ не меньше $-0{,}01$; 4) разность 13 и $7y$ меньше суммы 2,2 и $-11y$.

Решение.

1. $x + (-18{,}5) \le 18{,}7$.
2. $20 - 9x > -41{,}2$.
3. $61 + (-y) \ge -0{,}01$.
4. $13 - 7y < 2{,}2 + (-11y)$.

Ответ: см. выше.

№ 979

Придумай неравенство, равносильное данному: 1) $7x - 4 \ge 0$; 2) $10 - 3x < 1{,}5$; 3) $4\frac{2}{3}x + 7{,}8 < -2{,}9$; 4) $20x - 3\frac{1}{7} \le 8\frac{2}{5}$.

Как думать. Достаточно один раз применить правило — например, перенести число вправо.

Решение. Примеры:

1. $7x \ge 4$.
2. $-3x < -8{,}5$ (или $3x > 8{,}5$ после умножения на $-1$).
3. $4\frac{2}{3}x < -10{,}7$.
4. $20x \le 8\frac{2}{5} + 3\frac{1}{7} = 11\frac{19}{35}$.

Ответ: например, $7x \ge 4$; $3x > 8{,}5$; $4\frac{2}{3}x < -10{,}7$; $20x \le 11\frac{19}{35}$.

№ 980

Докажи, что равносильны: 1) $20x - 11 \ge 19x + 18$ и $13x - 2 \ge 12x + 27$; 2) $35y - 12{,}8 < 1{,}2$ и $5y < 2$.

Как думать. Упрощаем оба неравенства до вида «$x$ … число». Если вышло одно и то же — они равносильны.

Решение.

1. Первое: $20x - 19x \ge 18 + 11$, $x \ge 29$. Второе: $13x - 12x \ge 27 + 2$, $x \ge 29$. Одинаково.
2. Первое: $35y < 14$, $y < 0{,}4$. Второе: $y < 0{,}4$. Одинаково.

Ответ: в обоих случаях неравенства сводятся к одному и тому же: $x \ge 29$ и $y < 0{,}4$.

Уровень C

№ 981

При каком $a$ равносильны: 1) $15 + 5x \le x$ и $4x \le a$; 2) $-9y + 27 > 3$ и $3y < a$; 3) $14z + 40 < 41$ и $7z < a$; 4) $63 - 10t \ge 65$ и $5t \le a$?

Как думать. Приводим первое неравенство к виду второго — с тем же коэффициентом при букве. Тогда $a$ видно сразу.

Решение.

1. $5x - x \le -15$, $4x \le -15$. Значит, $a = -15$.
2. $-9y > -24$, делим на $-3$ с переворотом: $3y < 8$. $a = 8$.
3. $14z < 1$, делим на 2: $7z < 0{,}5$. $a = 0{,}5$.
4. $-10t \ge 2$, делим на $-2$ с переворотом: $5t \le -1$. $a = -1$.

Ответ: 1) $-15$; 2) 8; 3) 0,5; 4) $-1$.

№ 982

При каком $a$ равносильны: 1) $\frac{4}{7} + 13x \ge 10x + 3\frac{4}{7}$ и $2{,}5x + a \ge 1 - 0{,}5x$; 2) $19\frac{2}{9}y - 40 < 20y - 55$ и $\frac{2}{9}y + 7 < y + a$?

Как думать. Приводим оба неравенства к виду «одинаковая часть с буквой … число». Потом приравниваем числа.

Решение.

1. Первое: $13x - 10x \ge 3\frac{4}{7} - \frac{4}{7}$, $3x \ge 3$, $x \ge 1$. Второе: $2{,}5x + 0{,}5x \ge 1 - a$, $3x \ge 1 - a$. Нужно $1 - a = 3$, $a = -2$.
2. По шагам выше: $a = -8$.

Ответ: 1) $-2$; 2) $-8$.

Повторение

№ 983

Своя скорость лодки 7 км/ч, течение 2,5 км/ч. Лодка шла по течению 2 ч. Какой путь она прошла?

Как думать. По течению скорость лодки и реки складываются.

Решение.

1. Скорость по течению: $7 + 2{,}5 = 9{,}5$ км/ч.
2. Путь: $9{,}5 \cdot 2 = 19$ км.

Ответ: 19 км.

№ 984

Вычисли урожайность картофеля и овощей (ц/га) по годам из таблицы.

Как думать. Считаем степени, потом складываем или вычитаем.

Решение.

Ответ: картофель — 139, 134, 150, 154, 159, 144 ц/га; овощи — 177, 186, 196, 201, 211, 188 ц/га.

Готовимся к следующей теме

№ 985

Найди корень: 1) $16{,}8x - 41 = 17x + 19$; 2) $31{,}6y + 93 = 32{,}1y - 2$.

Как думать. Буквы — влево, числа — вправо, со сменой знака. Так же скоро будем решать неравенства.

Решение.

1. $16{,}8x - 17x = 19 + 41$; $-0{,}2x = 60$; $x = -300$.
2. $31{,}6y - 32{,}1y = -2 - 93$; $-0{,}5y = -95$; $y = 190$.

Ответ: 1) $-300$; 2) 190.

Шпаргалка

• В линейном неравенстве одна переменная и она в первой степени.
• Прибавлять, переносить, умножать на плюс — знак не меняется.
• Умножать или делить на отрицательное — знак переворачивается.
• Ответ обычно — промежуток.

Мини-тест