§ 36. Решение линейных неравенств с одной переменной — Математика 6 класс, Абылкасымова: разбор и ответы
ААқыл · разбор уроков

Разберём любой номер вместе!

§ 36. Решение линейных неравенств с одной переменной

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 5: Линейные неравенства с одной переменной и их системы. Страницы 58–63.

Чему научишься

  • Решать неравенство почти как уравнение: переносить слагаемые, раскрывать скобки, избавляться от дробей.
  • Помнить главное правило: делишь на отрицательное число — переворачивай знак.
  • Записывать ответ числовым промежутком и рисовать его на прямой.
  • Узнавать неравенства без решений ($\varnothing$) и неравенства, где подходит любое число.

Разминка

Это задания № 985 из прошлого урока: там мы решали уравнения, а сегодня те же приёмы понадобятся для неравенств.

  • Реши уравнение $16{,}8x - 41 = 17x + 19$. Переносим: $16{,}8x - 17x = 19 + 41$, то есть $-0{,}2x = 60$, $x = 60 : (-0{,}2) = $ $-300$.
  • Реши уравнение $31{,}6y + 93 = 32{,}1y - 2$. $31{,}6y - 32{,}1y = -2 - 93$, $-0{,}5y = -95$, $y = $ 190.
  • Верно ли $-5 < -2$? А $5 < 2$? Первое верно, второе нет. Умножили обе части на $-1$ — и неравенство «сломалось». Запомни это.
  • Как записать промежуток «все числа меньше 4»? $(-\infty; 4)$. Скобка круглая: 4 не входит.

💡 Уравнение и неравенство решаются почти одинаково. Отличие всего одно, но очень коварное — про него весь урок.

Разбираемся

Как уравнение, только со «стрелкой»

Возьмём $-4x + 17 > 15 + 6x$. Делаем то же, что с уравнением: буквы — налево, числа — направо, при переносе меняем знак слагаемого.

$-4x - 6x > 15 - 17$, то есть $-10x > -2$.

Теперь делим на $-10$. Число отрицательное — значит, знак переворачиваем: $x < 0{,}2$.

📌 Можно переносить слагаемые из одной части в другую со сменой знака. Можно умножать и делить обе части на положительное число — знак остаётся. На отрицательное — знак меняется на противоположный.

⚠️ Частая ошибка. Из $-10x > -2$ пишут $x > 0{,}2$. Проверь: возьми $x = 1$. Тогда $-10 > -2$ — неправда! Значит, знак надо было перевернуть.

Ответ записываем промежутком: $(-\infty; 0{,}2)$. Посмотри на прямой: подходят все числа левее 0,2, а сама точка 0,2 «выколота».

Когда $x$ «исчезает»

Иногда после переноса буквы сокращаются полностью. Например, $9(-2x + 4) - 7(x + 3) < 15x - (40x - 7)$.

Раскроем скобки: слева $-18x + 36 - 7x - 21 = -25x + 15$, справа $15x - 40x + 7 = -25x + 7$. Переносим: $-25x + 25x < 7 - 15$, то есть $0 \cdot x < -8$.

Слева всегда нуль. А $0 < -8$ — неправда при любом $x$. Значит, решений нет, пишем $\varnothing$ (пустое множество).

А если получилось, например, $0 \cdot x < 8$? Тогда $0 < 8$ верно всегда. Подходит любое число: $(-\infty; +\infty)$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка после решения подставить одно число из ответа и одно не из ответа. Если первое даёт верное неравенство, а второе — неверное, ответ скорее всего правильный. Это лучшая самопроверка в теме.

Дроби — долой

Если в неравенстве дроби, умножь обе части на общий знаменатель. Он положительный, поэтому знак не меняется.

Проверь, как понял

Проверь себя

  • Какие преобразования можно делать при решении неравенства? Переносить слагаемые из части в часть со сменой знака. Умножать или делить обе части на одно и то же положительное число (знак тот же) или на отрицательное (знак меняется на противоположный).
  • Какие из чисел $-4$; 0; 6 — решения неравенства $-9x > 0$? Делим на $-9$: $x < 0$. Подходит только **$-4$**. Проверка: $-9 \cdot (-4) = 36 > 0$.
  • Какой промежуток — решение $-2x > 8$; $-2x > -8$; $-2x < 8$; $2x < -8$? $x < -4$, то есть $(-\infty; -4)$; $x < 4$ — $(-\infty; 4)$; $x > -4$ — $(-4; +\infty)$; $x < -4$ — $(-\infty; -4)$.
  • Сколько решений у $0 \cdot x < -1$; $0 \cdot x < 1$; $0 \cdot x > -1$; $0 \cdot x > 1$? $0 < -1$ неверно — решений нет. $0 < 1$ верно — бесконечно много (любое число). $0 > -1$ верно — бесконечно много. $0 > 1$ неверно — решений нет.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 986

Нарисуй на координатной прямой решения: 1) $y > 0$; 2) $y \le -3$; 3) $x < 3{,}5$; 4) $x \ge 4\frac{1}{2}$; 5) $z < 10$; 6) $z \ge -13\frac{2}{19}$.

Как думать. Знак

lt;$ или
gt;$ — точка пустая (выколотая), скобка круглая. Знак $\le$ или $\ge$ — точка закрашенная, скобка квадратная. «Больше» — штрихуем вправо, «меньше» — влево.

Решение.

  1. $y > 0$: пустая точка 0, штриховка вправо — $(0; +\infty)$.
  2. $y \le -3$: закрашенная точка $-3$, штриховка влево — $(-\infty; -3]$.
  3. $x < 3{,}5$: пустая точка 3,5, влево — $(-\infty; 3{,}5)$.
  4. $x \ge 4\frac{1}{2}$: закрашенная точка 4,5, вправо — $[4{,}5; +\infty)$.
  5. $z < 10$: пустая точка 10, влево — $(-\infty; 10)$.
  6. $z \ge -13\frac{2}{19}$: закрашенная точка, вправо — $\left[-13\frac{2}{19}; +\infty\right)$.

Ответ: $(0; +\infty)$; $(-\infty; -3]$; $(-\infty; 3{,}5)$; $[4{,}5; +\infty)$; $(-\infty; 10)$; $\left[-13\frac{2}{19}; +\infty\right)$.

№ 987

Нарисуй решения: 1) $t \ge -8$; 2) $z < 5{,}5$; 3) $k < -9\frac{1}{3}$; 4) $x > 10{,}7$; 5) $y \le 2\frac{1}{7}$; 6) $z < -11{,}1$.

Решение.

  1. Закрашенная точка $-8$, вправо: $[-8; +\infty)$.
  2. Пустая точка 5,5, влево: $(-\infty; 5{,}5)$.
  3. Пустая точка $-9\frac{1}{3}$, влево: $\left(-\infty; -9\frac{1}{3}\right)$.
  4. Пустая точка 10,7, вправо: $(10{,}7; +\infty)$.
  5. Закрашенная точка $2\frac{1}{7}$, влево: $\left(-\infty; 2\frac{1}{7}\right]$.
  6. Пустая точка $-11{,}1$, влево: $(-\infty; -11{,}1)$.

Ответ: промежутки выше.

№ 988

По рисунку назови неравенство. На четырёх прямых: 1) закрашенная точка $4\frac{1}{7}$, штриховка влево; 2) закрашенная точка $-9\frac{2}{3}$, штриховка вправо; 3) пустая точка $25\frac{3}{8}$, штриховка вправо; 4) пустая точка $-6\frac{5}{11}$, штриховка влево.

Как думать. Читаем рисунок «наоборот»: закрашенная точка — знак с чертой ($\le$, $\ge$), пустая — строгий знак.

Решение. 1) $x \le 4\frac{1}{7}$; 2) $x \ge -9\frac{2}{3}$; 3) $x > 25\frac{3}{8}$; 4) $x < -6\frac{5}{11}$.

Ответ: $x \le 4\frac{1}{7}$; $x \ge -9\frac{2}{3}$; $x > 25\frac{3}{8}$; $x < -6\frac{5}{11}$.

№ 989

Реши: 1) $x - 3 < 10$; 2) $7 + x > 2$; 3) $x + 41 \le 10$; 4) $3x + 1 \ge -14$; 5) $8x - 5 \le 11$; 6) $1{,}2x + 2 > 0{,}4$.

Решение.

  1. $x < 10 + 3$, $x < 13$.
  2. $x > 2 - 7$, $x > -5$.
  3. $x \le 10 - 41$, $x \le -31$.
  4. $3x \ge -15$, $x \ge -5$.
  5. $8x \le 16$, $x \le 2$.
  6. $1{,}2x > -1{,}6$, $x > -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}$.

Ответ: $(-\infty; 13)$; $(-5; +\infty)$; $(-\infty; -31]$; $[-5; +\infty)$; $(-\infty; 2]$; $\left(-1\frac{1}{3}; +\infty\right)$.

№ 990

Реши: 1) $-y > 5$; 2) $-y \le -3$; 3) $-y < \frac{1}{7}$; 4) $-y \ge 6{,}1$; 5) $1 - 2y \ge 16$; 6) $29 > y - 27$.

Как думать. $-y$ — это $(-1) \cdot y$. Умножаем обе части на $-1$ и переворачиваем знак.

Решение.

  1. $y < -5$.
  2. $y \ge 3$.
  3. $y > -\frac{1}{7}$.
  4. $y \le -6{,}1$.
  5. $-2y \ge 15$, делим на $-2$: $y \le -7{,}5$.
  6. $y - 27 < 29$, $y < 56$.

Ответ: $(-\infty; -5)$; $[3; +\infty)$; $\left(-\frac{1}{7}; +\infty\right)$; $(-\infty; -6{,}1]$; $(-\infty; -7{,}5]$; $(-\infty; 56)$.

№ 991

Реши: 1) $\frac{x}{5} < 21$; 2) $\frac{x}{4} > 10$; 3) $\frac{y}{3} \le -19$; 4) $8 - \frac{1}{2}y > 8$; 5) $11 + \frac{1}{9}z \ge 5$; 6) $0{,}5 - 10z < 1$.

Решение.

  1. Умножаем на 5: $x < 105$.
  2. Умножаем на 4: $x > 40$.
  3. Умножаем на 3: $y \le -57$.
  4. $-\frac{1}{2}y > 0$, умножаем на $-2$: $y < 0$.
  5. $\frac{1}{9}z \ge -6$, $z \ge -54$.
  6. $-10z < 0{,}5$, делим на $-10$: $z > -0{,}05$.

Ответ: $(-\infty; 105)$; $(40; +\infty)$; $(-\infty; -57]$; $(-\infty; 0)$; $[-54; +\infty)$; $(-0{,}05; +\infty)$.

№ 992

Реши и нарисуй на прямой: 1) $20 + 2x > 0$; 2) $35 - 5x < 0$; 3) $81x + 9 \ge 0$; 4) $45 \le 4x + 1$; 5) $60 \ge 5 - 13x$; 6) $23x + 2 \le -21$.

Решение.

  1. $2x > -20$, $x > -10$ — пустая точка $-10$, вправо.
  2. $-5x < -35$, $x > 7$ — пустая точка 7, вправо.
  3. $81x \ge -9$, $x \ge -\frac{1}{9}$ — закрашенная точка, вправо.
  4. $44 \le 4x$, $x \ge 11$ — закрашенная точка 11, вправо.
  5. $13x \ge 5 - 60 = -55$, $x \ge -\frac{55}{13} = -4\frac{3}{13}$ — закрашенная точка, вправо.
  6. $23x \le -23$, $x \le -1$ — закрашенная точка $-1$, влево.

Ответ: $(-10; +\infty)$; $(7; +\infty)$; $\left[-\frac{1}{9}; +\infty\right)$; $[11; +\infty)$; $\left[-4\frac{3}{13}; +\infty\right)$; $(-\infty; -1]$.

№ 993

Реши: 1) $0{,}7x + 8 > 0{,}8x - 1$; 2) $9{,}5x - 11 \le 11{,}5x + 3$; 3) $\frac{2}{9}x - 3 < 3\frac{2}{9}x + 4$; 4) $29x + 4\frac{1}{4} \ge 33x + 3\frac{1}{3}$.

Решение.

  1. $0{,}7x - 0{,}8x > -1 - 8$, $-0{,}1x > -9$, $x < 90$.
  2. $9{,}5x - 11{,}5x \le 3 + 11$, $-2x \le 14$, $x \ge -7$.
  3. $\frac{2}{9}x - 3\frac{2}{9}x < 4 + 3$, $-3x < 7$, $x > -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3}$.
  4. $29x - 33x \ge 3\frac{1}{3} - 4\frac{1}{4}$, $-4x \ge -\frac{11}{12}$, $x \le \frac{11}{48}$.

Ответ: $(-\infty; 90)$; $[-7; +\infty)$; $\left(-2\frac{1}{3}; +\infty\right)$; $\left(-\infty; \frac{11}{48}\right]$.

№ 994

Реши: 1) $4y + 10 \ge 2(1 - y) + 24$; 2) $49 - 3(3 - 2z) \le 1 - 4z$; 3) $7(6 - 5t) - 5 < 1 - 41t$; 4) $-0{,}5(8x + 9) - 0{,}9 > 4x - 3$.

Как думать. Сначала раскрываем скобки, потом всё как обычно.

Решение.

  1. $4y + 10 \ge 2 - 2y + 24$, $6y \ge 16$, $y \ge \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$.
  2. $49 - 9 + 6z \le 1 - 4z$, $10z \le -39$, $z \le -3{,}9$.
  3. $42 - 35t - 5 < 1 - 41t$, $6t < -36$, $t < -6$.
  4. $-4x - 4{,}5 - 0{,}9 > 4x - 3$, $-8x > 2{,}4$, $x < -0{,}3$.

Ответ: $\left[2\frac{2}{3}; +\infty\right)$; $(-\infty; -3{,}9]$; $(-\infty; -6)$; $(-\infty; -0{,}3)$.

№ 995

Реши: 1) $\frac{3x - 4}{2} > \frac{6 - 2x}{3}$; 2) $\frac{10 - x}{6} \ge \frac{x + 7}{5}$; 3) $\frac{3 + 2x}{12} \le \frac{3x - 2}{15}$; 4) $\frac{y - 5}{18} > \frac{6 - y}{24}$.

Как думать. Умножаем на общий знаменатель: 6, 30, 60, 72. Он положительный — знак не трогаем. Пункт 1 разобран по шагам в «Разбираемся».

Решение.

  1. $9x - 12 > 12 - 4x$, $13x > 24$, $x > 1\frac{11}{13}$.
  2. Умножаем на 30: $5(10 - x) \ge 6(x + 7)$, $50 - 5x \ge 6x + 42$, $-11x \ge -8$, $x \le \frac{8}{11}$.
  3. Умножаем на 60: $5(3 + 2x) \le 4(3x - 2)$, $15 + 10x \le 12x - 8$, $-2x \le -23$, $x \ge 11{,}5$.
  4. Умножаем на 72: $4(y - 5) > 3(6 - y)$, $4y - 20 > 18 - 3y$, $7y > 38$, $y > 5\frac{3}{7}$.

Ответ: $\left(1\frac{11}{13}; +\infty\right)$; $\left(-\infty; \frac{8}{11}\right]$; $[11{,}5; +\infty)$; $\left(5\frac{3}{7}; +\infty\right)$.

№ 996

При каких $a$ выражение положительно: 1) $8\frac{2}{7} - 5a$; 2) $9{,}3 + 4a$; 3) $11\frac{3}{11} - 31a$; 4) $11{,}11 + 11a$?

Как думать. «Положительно» значит

gt; 0$. Составляем неравенство и решаем.

Решение.

  1. $8\frac{2}{7} - 5a > 0$, $5a < \frac{58}{7}$, $a < \frac{58}{35} = 1\frac{23}{35}$.
  2. $4a > -9{,}3$, $a > -2{,}325$.
  3. $31a < \frac{124}{11}$, $a < \frac{4}{11}$.
  4. $11a > -11{,}11$, $a > -1{,}01$.

Ответ: $a < 1\frac{23}{35}$; $a > -2{,}325$; $a < \frac{4}{11}$; $a > -1{,}01$.

№ 997

При каких $b$ выражение отрицательно: 1) $19{,}2 + \frac{1}{3}b$; 2) $\frac{4}{7} - 3\frac{1}{2}b$; 3) $0{,}05 - 0{,}2b$; 4) $202 + 50b$?

Решение. Составляем «

lt; 0$».

  1. $\frac{1}{3}b < -19{,}2$, $b < -57{,}6$.
  2. $-\frac{7}{2}b < -\frac{4}{7}$, делим на $-\frac{7}{2}$: $b > \frac{4}{7} \cdot \frac{2}{7} = \frac{8}{49}$.
  3. $-0{,}2b < -0{,}05$, $b > 0{,}25$.
  4. $50b < -202$, $b < -4{,}04$.

Ответ: $b < -57{,}6$; $b > \frac{8}{49}$; $b > 0{,}25$; $b < -4{,}04$.

№ 998

При каких $x$: 1) $421 - 0{,}2x$ больше 420; 2) $\frac{4}{13}x + 8{,}91$ меньше 0,09; 3) $15{,}5x - 10\frac{1}{3}$ не больше $9\frac{2}{3}$; 4) $1000 - 500x$ не меньше 1001?

Решение.

  1. $-0{,}2x > -1$, $x < 5$.
  2. $\frac{4}{13}x < -8{,}82$, $x < -8{,}82 \cdot \frac{13}{4} = -28{,}665$.
  3. $15{,}5x \le 20$, $x \le \frac{20}{15{,}5} = \frac{40}{31} = 1\frac{9}{31}$.
  4. $-500x \ge 1$, $x \le -0{,}002$.

Ответ: $x < 5$; $x < -28{,}665$; $x \le 1\frac{9}{31}$; $x \le -0{,}002$.

№ 999

Найди наименьшее натуральное решение: 1) $10 + 7x > 24$; 2) $19 - 6x < -5$; 3) $43x + 2 \le 45$; 4) $60 - 17x > -19$; 5) $83 + x < 84x$; 6) $-7 - 30x \le 5x$.

Как думать. Сначала решаем, потом ищем самое маленькое натуральное число (1, 2, 3, …) в ответе.

Решение.

  1. $7x > 14$, $x > 2$ → 3.
  2. $-6x < -24$, $x > 4$ → 5.
  3. $43x \le 43$, $x \le 1$ → 1.
  4. $-17x > -79$, $x < 4\frac{11}{17}$ → подходят 1, 2, 3, 4; наименьшее 1.
  5. $83 < 83x$, $x > 1$ → 2.
  6. $-7 \le 35x$, $x \ge -0{,}2$ → 1.

Ответ: 3; 5; 1; 1; 2; 1.

№ 1000

Найди наибольшее целое решение: 1) $0{,}5x + 41{,}5 \le 42$; 2) $90 - \frac{1}{3}x > 91$; 3) $\frac{2}{3}x - 15 < 20$; 4) $18\frac{1}{9} \ge 0{,}2x + 18$; 5) $31 - 4\frac{1}{7}x > 2$; 6) $30{,}08 < -\frac{8}{9}x - 1{,}92$.

Решение.

  1. $0{,}5x \le 0{,}5$, $x \le 1$ → 1.
  2. $-\frac{1}{3}x > 1$, $x < -3$ → $-4$.
  3. $\frac{2}{3}x < 35$, $x < 52{,}5$ → 52.
  4. $\frac{1}{9} \ge 0{,}2x$, $x \le \frac{5}{9}$ → 0.
  5. $-\frac{29}{7}x > -29$, $x < 7$ → 6.
  6. $32 < -\frac{8}{9}x$, $x < -36$ → $-37$.

Ответ: 1; $-4$; 52; 0; 6; $-37$.

⚠️ Частая ошибка. В п. 2 отвечают «$-3$». Но $x < -3$ — строгий знак, $-3$ не годится. Наибольшее целое — $-4$.

Уровень B

№ 1001

Реши: 1) $3{,}3x - 0{,}4(4 - 3x) \le 9{,}3 + 5(0{,}7 - x)$; 2) $9(0{,}5y + 1) - 3{,}1(1 - y) > 5{,}9 + 7{,}2y$; 3) $0{,}6(a - 2) - 0{,}2 \ge 0{,}8(a + 2) + 3{,}5$; 4) $-1{,}4 + 0{,}5(11b - 2) < -5{,}5b + 1{,}6$; 5) $5\frac{2}{3} + \frac{7}{3}(14x - 3) > \frac{4}{9}(18x - 2)$; 6) $\frac{5}{6}(7 + 9y) \le 14\frac{2}{3} - \frac{7}{8}(5y - 8)$.

Решение.

  1. $3{,}3x - 1{,}6 + 1{,}2x \le 9{,}3 + 3{,}5 - 5x$; $9{,}5x \le 14{,}4$; $x \le \frac{144}{95} = 1\frac{49}{95}$.
  2. $4{,}5y + 9 - 3{,}1 + 3{,}1y > 5{,}9 + 7{,}2y$; $7{,}6y + 5{,}9 > 5{,}9 + 7{,}2y$; $0{,}4y > 0$; $y > 0$.
  3. $0{,}6a - 1{,}4 \ge 0{,}8a + 5{,}1$; $-0{,}2a \ge 6{,}5$; $a \le -32{,}5$.
  4. $-1{,}4 + 5{,}5b - 1 < -5{,}5b + 1{,}6$; $11b < 4$; $b < \frac{4}{11}$.
  5. Умножаем на 9: $51 + 21(14x - 3) > 4(18x - 2)$; $51 + 294x - 63 > 72x - 8$; $222x > 4$; $x > \frac{2}{111}$.
  6. Умножаем на 24: $20(7 + 9y) \le 352 - 21(5y - 8)$; $140 + 180y \le 352 - 105y + 168$; $285y \le 380$; $y \le 1\frac{1}{3}$.

Ответ: $\left(-\infty; 1\frac{49}{95}\right]$; $(0; +\infty)$; $(-\infty; -32{,}5]$; $\left(-\infty; \frac{4}{11}\right)$; $\left(\frac{2}{111}; +\infty\right)$; $\left(-\infty; 1\frac{1}{3}\right]$.

№ 1002

Сколько процентов снега задерживают кроны деревьев? Береза: $1{,}6 \le \frac{2}{5}x \le 2$. Сосна: $-12 \le 9 - \frac{3}{5}x \le -3$.

Как думать. Двойное неравенство решаем сразу во всех трёх частях: что делаем с серединой, то же — с краями.

Решение.

  1. Делим все части на $\frac{2}{5}$ (умножаем на 2,5): $4 \le x \le 5$.
  2. Вычитаем 9: $-21 \le -\frac{3}{5}x \le -12$. Умножаем на $-\frac{5}{3}$ и переворачиваем оба знака: $35 \ge x \ge 20$, то есть $20 \le x \le 35$.

Ответ: береза — от 4% до 5% снега, сосна — от 20% до 35%.

💡 Сравни: сосна держит в кроне в несколько раз больше снега, чем береза. Хвоя зимой остаётся на ветках, а береза стоит голая.

№ 1003

При каких значениях переменной: 1) сумма $10x - 7$ и $7x + 8$ больше 13; 2) разность $29y + 31$ и $25y + 5$ больше 4; 3) сумма $51 - 17t$ и $39 + 23t$ меньше $4t$; 4) разность $67z - 11$ и $19 + 69z$ меньше $6z$?

Как думать. Разность бери в скобки: $(67z - 11) - (19 + 69z)$, иначе потеряешь минус.

Решение.

  1. $17x + 1 > 13$, $x > \frac{12}{17}$.
  2. $4y + 26 > 4$, $y > -5{,}5$.
  3. $90 + 6t < 4t$, $2t < -90$, $t < -45$.
  4. $-2z - 30 < 6z$, $-8z < 30$, $z > -3{,}75$.

Ответ: $x > \frac{12}{17}$; $y > -5{,}5$; $t < -45$; $z > -3{,}75$.

№ 1004

При каких $y$: 1) $27 - 28y$ больше, чем $(2{,}5 - 2y) \cdot 6$; 2) $4{,}7 - 0{,}85y$ больше, чем $(y - 1) \cdot 3$; 3) $5(y + 2)$ меньше, чем $6{,}8 - y$?

Решение.

  1. $27 - 28y > 15 - 12y$, $-16y > -12$, $y < \frac{3}{4}$.
  2. $4{,}7 - 0{,}85y > 3y - 3$, $-3{,}85y > -7{,}7$, $y < 2$.
  3. $5y + 10 < 6{,}8 - y$, $6y < -3{,}2$, $y < -\frac{8}{15}$.

Ответ: $\left(-\infty; \frac{3}{4}\right)$; $(-\infty; 2)$; $\left(-\infty; -\frac{8}{15}\right)$.

№ 1005

Реши: 1) $\frac{x - 3}{14} - \frac{x - 7}{35} + \frac{2x + 3}{5} \ge 0{,}1$; 2) $\frac{5 - 3y}{11} + \frac{y - 4}{10} - \frac{2 + 3y}{2} < \frac{2}{11}$.

Решение.

  1. См. шаги: $x \ge -1\frac{3}{31}$.
  2. Умножаем на 110: $10(5 - 3y) + 11(y - 4) - 55(2 + 3y) < 20$; $50 - 30y + 11y - 44 - 110 - 165y < 20$; $-184y - 104 < 20$; $-184y < 124$; $y > -\frac{31}{46}$.

Ответ: $\left[-1\frac{3}{31}; +\infty\right)$; $\left(-\frac{31}{46}; +\infty\right)$.

№ 1006

При каких $b$ выражение $\frac{5b + 3}{2} - 1$ не меньше $\frac{7 - 5b}{2}$?

Решение. $\frac{5b + 3}{2} - 1 \ge \frac{7 - 5b}{2}$. Умножаем на 2: $5b + 3 - 2 \ge 7 - 5b$; $10b \ge 6$; $b \ge 0{,}6$.

Ответ: $[0{,}6; +\infty)$.

№ 1007

При каких $b$ выражение $\frac{b + 4}{2} - 2$ не больше $\frac{b}{2}$?

Решение. Умножаем на 2: $b + 4 - 4 \le b$, то есть $b \le b$, или $0 \cdot b \le 0$. Это верно всегда.

Ответ: при любом $b$: $(-\infty; +\infty)$.

№ 1008

При каких $a$: 1) сумма $\frac{3a - 2}{4}$ и $\frac{5a + 4}{3}$ не больше $\frac{a - 49}{6}$; 2) разность $\frac{a + 1}{4}$ и $\frac{a - 2}{3}$ не меньше $\frac{5a}{2}$?

Решение.

  1. Умножаем на 12: $3(3a - 2) + 4(5a + 4) \le 2(a - 49)$; $29a + 10 \le 2a - 98$; $27a \le -108$; $a \le -4$.
  2. Умножаем на 12: $3(a + 1) - 4(a - 2) \ge 30a$; $-a + 11 \ge 30a$; $31a \le 11$; $a \le \frac{11}{31}$.

Ответ: $(-\infty; -4]$; $\left(-\infty; \frac{11}{31}\right]$.

Уровень C

№ 1009

1) Сумма трёх последовательных натуральных чисел больше 74 — найди наименьшее первое число. 2) Сумма трёх последовательных целых не меньше нуля — наименьшее первое. 3) Сумма чётного и следующего чётного меньше 59 — наибольшее первое. 4) Сумма нечётного и двух следующих нечётных больше 95 — наименьшее первое.

Как думать. Обозначим первое число $n$. Следующее натуральное — $n + 1$, следующее чётное или нечётное — $n + 2$.

Решение.

  1. $3n + 3 > 74$, $n > 23\frac{2}{3}$ → 24 (проверка: $24 + 25 + 26 = 75 > 74$).
  2. $3n + 3 \ge 0$, $n \ge -1$ → $-1$ ($-1 + 0 + 1 = 0$).
  3. $n + (n + 2) < 59$, $n < 28{,}5$; наибольшее чётное → 28 ($28 + 30 = 58$).
  4. $n + (n + 2) + (n + 4) > 95$, $n > 29\frac{2}{3}$; наименьшее нечётное → 31 ($31 + 33 + 35 = 99$).

Ответ: 24; $-1$; 28; 31.

№ 1010

1) Бригада по плану кладёт 50 м дороги в день. Сколько надо проложить, чтобы перевыполнить план более чем на 10%? 2) Рабочий должен сделать 45 деталей. Сколько надо сделать, чтобы перевыполнить план более чем на 9%?

Решение.

  1. 10% от 50 м — это 5 м. Нужно $x > 50 + 5 = 55$ м.
  2. 9% от 45 — это $4{,}05$. Нужно $x > 49{,}05$. Детали целые, значит, не меньше 50.

Ответ: больше 55 м; не меньше 50 деталей.

№ 1011

Длина прямоугольника 7 см. На какое наименьшее целое число сантиметров увеличить ширину, чтобы периметр вырос больше чем на 18 см?

Как думать. Ширина входит в периметр дважды. Увеличили ширину на $x$ — периметр вырос на $2x$.

Решение. $2x > 18$, $x > 9$. Наименьшее целое — 10. Длина 7 см на ответ не влияет.

Ответ: на 10 см.

№ 1012

При каких $x$ верно: 1) $|6 - 3x| = 3x - 6$; 2) $|7x + 1{,}4| = 7x + 1{,}4$; 3) $\left|\frac{3}{4}x - 15\right| = 15 - \frac{3}{4}x$; 4) $\left|12 - \frac{6}{7}x\right| = 12 - \frac{6}{7}x$?

Как думать. $|a| = a$, когда $a \ge 0$. $|a| = -a$, когда $a \le 0$. Значит, равенство превращается в неравенство.

Решение.

  1. $3x - 6 = -(6 - 3x)$, значит, нужно $6 - 3x \le 0$: $x \ge 2$.
  2. Нужно $7x + 1{,}4 \ge 0$: $x \ge -0{,}2$.
  3. $15 - \frac{3}{4}x = -\left(\frac{3}{4}x - 15\right)$, нужно $\frac{3}{4}x - 15 \le 0$: $x \le 20$.
  4. Нужно $12 - \frac{6}{7}x \ge 0$: $x \le 14$.

Ответ: $x \ge 2$; $x \ge -0{,}2$; $x \le 20$; $x \le 14$.

№ 1013

При каких $c$: 1) у уравнения $4x + c = 5c - 2$ корень отрицательный; 2) у уравнения $6x - 7 = 3 - 5c$ корень положительный?

Как думать. Сначала находим корень через $c$, потом ставим условие на знак.

Решение.

  1. $4x = 4c - 2$, $x = c - 0{,}5$. Нужно $c - 0{,}5 < 0$: $c < 0{,}5$.
  2. $6x = 10 - 5c$, $x = \frac{10 - 5c}{6}$. Нужно $10 - 5c > 0$: $c < 2$.

Ответ: $(-\infty; 0{,}5)$; $(-\infty; 2)$.

Повторение

№ 1014

Вычисли: 1) $\left(\left(22{,}22 : 110 - \frac{2^{6} \cdot 3}{10^{3}}\right) \cdot 5^{4} \cdot 2^{3} - 48\frac{7}{9}\right) : 3\frac{2}{3}$; 2) $7^{4} : 49 - 576 : \left(3 : \frac{1}{2^{3}}\right) - 2^{5}$.

Решение.

  1. $22{,}22 : 110 = 0{,}202$; $\frac{64 \cdot 3}{1000} = 0{,}192$; разность $0{,}01$. Дальше $0{,}01 \cdot 625 \cdot 8 = 50$; $50 - 48\frac{7}{9} = 1\frac{2}{9}$; $\frac{11}{9} : \frac{11}{3} = \frac{1}{3}$.
  2. $49 - 24 - 32 = -7$.

Ответ: $\frac{1}{3}$; $-7$.

Готовимся к следующей теме

№ 1015

Найди пересечение промежутков: 1) $(-3; 2{,}5]$ и $[0; 4)$; 2) $[0{,}7; 5)$ и $[1; 6)$; 3) $(-\infty; -15]$ и $[-14{,}9; 3]$; 4) $[-6; 11)$ и $[-3; +\infty)$.

Как думать. Пересечение — общая часть. Левая граница — бóльшая из левых, правая — меньшая из правых.

Решение.

  1. Слева берём 0, справа 2,5: $[0; 2{,}5]$.
  2. $[1; 5)$.
  3. Первый кончается на $-15$, второй начинается с $-14{,}9$ — общих точек нет: $\varnothing$.
  4. $[-3; 11)$.

Ответ: $[0; 2{,}5]$; $[1; 5)$; $\varnothing$; $[-3; 11)$.

Шпаргалка

  • Решаем как уравнение: скобки, перенос, подобные, деление.
  • Делим на отрицательное — переворачиваем знак.
  • Ответ — промежуток: $x < 0{,}2$ → $(-\infty; 0{,}2)$.
  • Пропал $x$: смотри, верно ли получившееся числовое неравенство.
  • Самопроверка: подставь число из ответа и число не из ответа.

Мини-тест

← § 35. Линейные неравенства с одной переменной · § 37. Решение систем линейных неравенств с одной переменной →