§ 38. Линейное неравенство, содержащее переменную под знаком модуля

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 5: Линейные неравенства с одной переменной и их системы. Страницы 71–75.

Чему научишься

• Читать $|x| \le 7$ как «точка не дальше 7 от нуля».
• Заменять $|x| < b$ двойным неравенством $-b < x < b$.
• Заменять $|x| > b$ парой лучей: $x < -b$ или $x > b$.
• Сразу видеть, когда у неравенства с модулем нет решений, а когда подходит любое число.

Разминка

Начнём с задания № 1042 из прошлого урока и пары вопросов про модуль.

• Сколько будет $|-30| \cdot 5$? Модуль убирает минус: $30 \cdot 5 = $ 150.
• Найди $-6{,}6 : |-20| - |-8{,}4| \cdot (-5)$. $-0{,}33 - 8{,}4 \cdot (-5) = -0{,}33 + 42 = $ 41,67.
• Чему равны $|3|$, $|0|$, $|-10|$? 3, 0, 10. Модуль не бывает отрицательным.
• Какие числа имеют модуль 7? 7 и $-7$. Обе точки стоят на расстоянии 7 от нуля.

💡 Модуль числа — это расстояние от нуля до точки на прямой. Расстояние не бывает отрицательным. Это главная подсказка урока.

Разбираемся

Модуль — это расстояние

$|3|$ — расстояние от 0 до точки 3. $|-3|$ — расстояние от 0 до точки $-3$. Оба равны 3: точки стоят по разные стороны, но одинаково далеко.

Значит, $|x|$ — это расстояние от нуля до точки $x$.

$|x| \le 7$ — «не дальше 7»

Какие точки стоят от нуля не дальше чем на 7? Все от $-7$ до 7. Получаем отрезок $[-7; 7]$.

📌 $|x| \le b$ (при $b > 0$) — то же, что $-b \le x \le b$. $|x| < b$ — то же, что $-b < x < b$.

То же самое можно записать системой: $\begin{cases} x \le 7, \ x \ge -7. \end{cases}$

Почему так? Разберём два случая. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и получаем $0 \le x \le 7$. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и $-x \le 7$ даёт $-7 \le x < 0$. Вместе — как раз $[-7; 7]$.

$|x| \ge 4$ — «не ближе 4»

Теперь наоборот: точки должны быть от нуля не ближе чем на 4. Это всё левее $-4$ и всё правее 4. Посередине — «запретная зона».

Ответ: $(-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$. Значок $\cup$ значит «объединение»: подходит и то, и другое.

📌 $|x| \ge a$ (при $a > 0$) — это $x \le -a$ или $x \ge a$. $|x| > a$ — это $x < -a$ **или** $x > a$.

⚠️ Частая ошибка. Пишут $|x| > 4$ как $-4 > x > 4$. Такого числа нет! Число не может быть одновременно меньше $-4$ и больше 4. Тут два отдельных луча, а не двойное неравенство.

Странные случаи

Модуль — расстояние, оно всегда $\ge 0$. Отсюда:

• $|x| < -2$ и $|x| \le -2$ — решений нет: расстояние не бывает отрицательным.
• $|x| \le 0$ — одно решение, $x = 0$.
• $|x| \ge -2$ и $|x| > -2$ — подходит любое число: $(-\infty; +\infty)$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Хорошая проверка понимания: «Что значит $|x| < 3$ словами?» Если ребёнок говорит «точка ближе трёх к нулю» — тема понята. Если только «минус три меньше икс меньше трёх» — попросите показать это на линейке.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Являются ли $-4$ и $-9$ решениями $|x| \le 8$? $|-4| = 4 \le 8$ — да. $|-9| = 9 > 8$ — нет.
• А решениями $|x| \ge 8$? $-4$ — нет (4 меньше 8). $-9$ — да (9 больше 8).
• Какому двойному неравенству равносильно $|x| \le 8$? $-8 \le x \le 8$.
• **Какой системе равносильно $-8 < x \le 8$?** $\begin{cases} x > -8, \ x \le 8. \end{cases}$

Решаем упражнения

Уровень A

№ 1043

Какие из чисел $-20$; $-9$; $-6$; 0; 4; 8; 15 — решения: 1) $|x| < 7$; 2) $|x| \le 11$; 3) $|x| > 1$; 4) $|x| \ge 5$?

Как думать. Смотрим на модули: 20, 9, 6, 0, 4, 8, 15. Сравниваем их с числом справа.

Решение.

1. Модуль меньше 7: $-6$; 0; 4.
2. Модуль не больше 11: $-9$; $-6$; 0; 4; 8.
3. Модуль больше 1: $-20$; $-9$; $-6$; 4; 8; 15 (все, кроме 0).
4. Модуль не меньше 5: $-20$; $-9$; $-6$; 8; 15.

Ответ: 1) $-6$, 0, 4; 2) $-9$, $-6$, 0, 4, 8; 3) все, кроме 0; 4) $-20$, $-9$, $-6$, 8, 15.

№ 1044

Запиши неравенством с модулем промежутки с рисунка: 1) отрезок между закрашенными точками $-6$ и 6; 2) промежуток между пустыми точками $-3{,}8$ и 3,8; 3) лучи влево от $-\frac{2}{9}$ и вправо от $\frac{2}{9}$, точки пустые; 4) лучи влево от $-7\frac{1}{3}$ и вправо от $7\frac{1}{3}$, точки закрашены.

Как думать. Штриховка между точками — «модуль меньше». Штриховка наружу — «модуль больше». Закрашенные точки — знак с чертой.

Решение. 1) $|x| \le 6$; 2) $|x| < 3{,}8$; 3) $|x| > \frac{2}{9}$; 4) $|x| \ge 7\frac{1}{3}$.

Ответ: $|x| \le 6$; $|x| < 3{,}8$; $|x| > \frac{2}{9}$; $|x| \ge 7\frac{1}{3}$.

№ 1045

Нарисуй решения: 1) $|x| \le 5{,}6$; 2) $|x| < 17$; 3) $|x| > 4\frac{3}{16}$; 4) $|x| \ge 9$.

Решение.

1. Отрезок между закрашенными точками $-5{,}6$ и 5,6: $[-5{,}6; 5{,}6]$.
2. Между пустыми точками $-17$ и 17: $(-17; 17)$.
3. Два луча наружу от пустых точек: $\left(-\infty; -4\frac{3}{16}\right) \cup \left(4\frac{3}{16}; +\infty\right)$.
4. Два луча наружу от закрашенных точек: $(-\infty; -9] \cup [9; +\infty)$.

Ответ: промежутки выше.

№ 1046

Нарисуй решения: 1) $|x| > 10$; 2) $|x| \le 8{,}14$; 3) $|x| < 3\frac{5}{6}$; 4) $|x| \ge 20$.

Решение.

1. $(-\infty; -10) \cup (10; +\infty)$, точки пустые.
2. $[-8{,}14; 8{,}14]$, точки закрашены.
3. $\left(-3\frac{5}{6}; 3\frac{5}{6}\right)$, точки пустые.
4. $(-\infty; -20] \cup [20; +\infty)$, точки закрашены.

Ответ: промежутки выше.

№ 1047

Нарисуй решения: 1) $|x| \le 10$; 2) $|x| > 5$; 3) $|x| < 8{,}7$; 4) $|x| \ge 6{,}2$.

Решение.

1. $[-10; 10]$.
2. $(-\infty; -5) \cup (5; +\infty)$.
3. $(-8{,}7; 8{,}7)$.
4. $(-\infty; -6{,}2] \cup [6{,}2; +\infty)$.

Ответ: промежутки выше.

№ 1048

Запиши двойным неравенством: 1) $|x| < 72$; 2) $|x| \le 10{,}3$; 3) $|x| \le \frac{4}{13}$; 4) $|x| < 3$; 5) $|x| < 16\frac{1}{9}$; 6) $|x| < 12$; 7) $|x| < 0{,}8$; 8) $|x| \le \frac{2}{7}$.

Решение. 1) $-72 < x < 72$; 2) $-10{,}3 \le x \le 10{,}3$; 3) $-\frac{4}{13} \le x \le \frac{4}{13}$; 4) $-3 < x < 3$; 5) $-16\frac{1}{9} < x < 16\frac{1}{9}$; 6) $-12 < x < 12$; 7) $-0{,}8 < x < 0{,}8$; 8) $-\frac{2}{7} \le x \le \frac{2}{7}$.

Ответ: записи выше.

№ 1049

Запиши неравенством с модулем: 1) $-14 \le x \le 14$; 2) $-\frac{3}{17} < x < \frac{3}{17}$; 3) $-20{,}04 < x < 20{,}4$; 4) $-111 \le x \le 111$.

Как думать. Работает, только когда края — противоположные числа: $-b$ и $b$.

Решение.

1. $|x| \le 14$.
2. $|x| < \frac{3}{17}$.
3. Края $-20{,}04$ и 20,4 — не противоположные числа, так что в виде $|x| < b$ это не записать. Скорее всего, в условии опечатка и имелось в виду $-20{,}04 < x < 20{,}04$: тогда $|x| < 20{,}04$.
4. $|x| \le 111$.

Ответ: $|x| \le 14$; $|x| < \frac{3}{17}$; $|x| < 20{,}04$ (если опечатка); $|x| \le 111$.

№ 1050

Запиши с модулем пары неравенств: 1) $x > 15$ и $x < -15$; 2) $x < -2{,}2$ и $x > 2{,}2$; 3) $x \ge 18\frac{1}{3}$ и $x \le -18\frac{1}{3}$; 4) $x \le -\frac{5}{9}$ и $x \ge \frac{5}{9}$.

Как думать. Два луча наружу — это «модуль больше».

Решение. 1) $|x| > 15$; 2) $|x| > 2{,}2$; 3) $|x| \ge 18\frac{1}{3}$; 4) $|x| \ge \frac{5}{9}$.

Ответ: $|x| > 15$; $|x| > 2{,}2$; $|x| \ge 18\frac{1}{3}$; $|x| \ge \frac{5}{9}$.

№ 1051

Есть ли решения: 1) $|x| \ge 100$; 2) $|x| < -1$; 3) $|x| \le 0$; 4) $|x| > -30{,}7$; 5) $|x| \le -2$; 6) $|x| \ge -6$?

Решение.

1. Да: $(-\infty; -100] \cup [100; +\infty)$.
2. Нет: модуль не бывает отрицательным.
3. Да, одно: $x = 0$.
4. Да, любое число: модуль всегда больше $-30{,}7$.
5. Нет.
6. Да, любое число.

Ответ: 1) да; 2) нет; 3) да, только 0; 4) да, любое число; 5) нет; 6) да, любое число.

№ 1052

Запиши двойным неравенством: 1) $|x + 3| < 4$; 2) $|x - 1| \le 2$; 3) $|5 + x| < 8$; 4) $|6 - x| \le \frac{2}{3}$; 5) $|4 - 3x| < 4{,}7$; 6) $\left|8\frac{1}{7} + 5x\right| < 1$.

Как думать. Под модулем теперь целое выражение. Правило то же: $|A| < b$ — это $-b < A < b$.

Решение. 1) $-4 < x + 3 < 4$; 2) $-2 \le x - 1 \le 2$; 3) $-8 < 5 + x < 8$; 4) $-\frac{2}{3} \le 6 - x \le \frac{2}{3}$; 5) $-4{,}7 < 4 - 3x < 4{,}7$; 6) $-1 < 8\frac{1}{7} + 5x < 1$.

Ответ: записи выше.

💡 Хочешь найти сам $x$? Из $-4 < x + 3 < 4$ вычти 3 из всех частей: $-7 < x < 1$. Это тема следующего урока.

№ 1053

Запиши с модулем: 1) $-7 \le x + 1{,}3 \le 7$; 2) $-9 \le 3{,}5 - x \le 9$; 3) $-19\frac{2}{7} < 6 - 5x < 19\frac{2}{7}$; 4) $-24{,}7 < 10\frac{1}{5} - 2{,}1x < 24{,}7$.

Решение. 1) $|x + 1{,}3| \le 7$; 2) $|3{,}5 - x| \le 9$; 3) $|6 - 5x| < 19\frac{2}{7}$; 4) $\left|10\frac{1}{5} - 2{,}1x\right| < 24{,}7$.

Ответ: записи выше.

№ 1054

Запиши с модулем: 1) $x + 8 > 10$ и $x + 8 < -10$; 2) $20\frac{4}{7} - 3x < -1$ и $20\frac{4}{7} - 3x > 1$.

Решение. 1) $|x + 8| > 10$; 2) $\left|20\frac{4}{7} - 3x\right| > 1$.

Ответ: $|x + 8| > 10$; $\left|20\frac{4}{7} - 3x\right| > 1$.

Уровень B

№ 1055

Равносильны ли: 1) $-8 \le x \le 8$ и $-6 \le x + 2 \le 10$; 2) $-4{,}7 < x < 4{,}7$ и $-9{,}7 < x - 5 < -0{,}3$?

Как думать. Прибавим или вычтем одно и то же число во всех частях первого неравенства — если получится второе, они равносильны.

Решение.

1. Прибавляем 2: $-8 + 2 \le x + 2 \le 8 + 2$, то есть $-6 \le x + 2 \le 10$. Совпало.
2. Вычитаем 5: $-4{,}7 - 5 < x - 5 < 4{,}7 - 5$, то есть $-9{,}7 < x - 5 < -0{,}3$. Совпало.

Ответ: да, обе пары равносильны.

№ 1056

Можно ли из первого получить второе: 1) $|x| \le 4$ и $0 \le x + 4 \le 8$; 2) $|x| < 10$ и $-15 < x - 5 < 5$; 3) $|x| \le 6$ и $-18 \le 3x \le 18$; 4) $|x| < 14$ и $-2 < \frac{1}{7}x < 2$?

Решение.

1. $-4 \le x \le 4$, прибавляем 4: $0 \le x + 4 \le 8$ — можно.
2. $-10 < x < 10$, вычитаем 5: $-15 < x - 5 < 5$ — можно.
3. $-6 \le x \le 6$, умножаем на 3: $-18 \le 3x \le 18$ — можно.
4. $-14 < x < 14$, умножаем на $\frac{1}{7}$: $-2 < \frac{1}{7}x < 2$ — можно.

Ответ: во всех четырёх случаях можно.

№ 1057

Верно ли: 1) если $|x| < 20$, то $-10 < x + 10 < 30$; 2) если $|x| \le 5$, то $-50 \le -10x \le 50$; 3) если $|x| < 1{,}2$, то $-4 < 5x - 1 < 7$; 4) если $|x| \le \frac{3}{11}$, то $\frac{5}{11} < \frac{8}{11} - x < 1$?

Решение.

1. $-20 < x < 20$, прибавляем 10: $-10 < x + 10 < 30$ — верно.
2. $-5 \le x \le 5$, умножаем на $-10$ и переворачиваем знаки: $50 \ge -10x \ge -50$, то есть $-50 \le -10x \le 50$ — верно.
3. Получается $-7 < 5x - 1 < 5$, а не $-4 < \ldots < 7$ — неверно (см. шаги).
4. $-\frac{3}{11} \le x \le \frac{3}{11}$. Умножаем на $-1$: $-\frac{3}{11} \le -x \le \frac{3}{11}$. Прибавляем $\frac{8}{11}$: $\frac{5}{11} \le \frac{8}{11} - x \le 1$. Края входят (при $x = \frac{3}{11}$ получаем ровно $\frac{5}{11}$), а в утверждении знаки строгие — неверно.

Ответ: 1) верно; 2) верно; 3) неверно; 4) неверно.

⚠️ Частая ошибка. В п. 4 знаки кажутся мелочью. Но $\frac{5}{11} < \frac{5}{11}$ — неправда, поэтому строгий и нестрогий знак — разные утверждения.

Уровень C

№ 1058

Запиши двойным неравенством промежутки с рисунка: 1) от $-3{,}9$ (закрашена) до 10 (пустая); 2) от $-4$ (пустая) до 7,2 (закрашена); 3) от $-5\frac{1}{3}$ до $-0{,}8$ (обе закрашены); 4) от $-2{,}3$ до $6\frac{2}{9}$ (обе пустые).

Решение. 1) $-3{,}9 \le x < 10$; 2) $-4 < x \le 7{,}2$; 3) $-5\frac{1}{3} \le x \le -0{,}8$; 4) $-2{,}3 < x < 6\frac{2}{9}$.

Ответ: записи выше.

№ 1059

Решение ли число $-8$ для систем: 1) $x + 1 > -13$, $x - 2^{3} \le -13$; 2) $3x + 3^{2} \ge 2x$, $3x + 2^{3} < 2x$?

Решение.

1. $-8 + 1 = -7 > -13$ — верно. $-8 - 8 = -16 \le -13$ — верно. Значит, да.
2. $-24 + 9 = -15 \ge -16$ — верно. $-24 + 8 = -16 < -16$ — неверно. Значит, нет.

Ответ: 1) да; 2) нет.

№ 1060

Ширина прямоугольника 5,5 см, длина на $3^{3}$ мм больше. У второго прямоугольника длина 10 см, а площадь такая же. Найди его ширину.

Как думать. Переведи миллиметры в сантиметры, иначе сложишь «яблоки с грушами».

Решение.

1. $3^3 = 27$ мм $= 2{,}7$ см. Длина первого: $5{,}5 + 2{,}7 = 8{,}2$ см.
2. Площадь: $5{,}5 \cdot 8{,}2 = 45{,}1$ см².
3. Ширина второго: $45{,}1 : 10 = 4{,}51$ см.

Ответ: 4,51 см.

Готовимся к следующей теме

№ 1061

Заполни таблицу: объединение и пересечение пар промежутков $(2; 5)$ и $(-3; 4)$; $[-2; 5]$ и $(3; 6]$; $[-7; 10)$ и $[4; 9)$.

Как думать. Объединение — всё, что покрыто хотя бы одним промежутком. Пересечение — только общая часть.

Решение.

Ответ: в таблице.

Шпаргалка

• Модуль — расстояние до нуля, он всегда $\ge 0$.
• «Модуль меньше» — штриховка между $-b$ и $b$.
• «Модуль больше» — два луча наружу, знак $\cup$.
• Строгий знак — пустые точки, нестрогий — закрашенные.
• Под модулем выражение — правило то же: $|A| < b$ ⇔ $-b < A < b$.

Мини-тест