§ 39. Решение линейных неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 5: Линейные неравенства с одной переменной и их системы. Страницы 76–81.

Чему научишься

• Заменять неравенство вида $|\ldots| \le a$ двойным неравенством или системой.
• Заменять неравенство вида $|\ldots| > a$ двумя неравенствами и объединять их решения.
• Решать неравенства, где под модулем стоит $7 - x$ или $3x - 4$.
• Решать системы, в которых одно из неравенств с модулем.
• Узнавать по картинке на координатной прямой, какое неравенство с модулем там «спрятано».

Разминка

Первые три вопроса — это задание № 1061 из прошлого урока: найди объединение и пересечение промежутков.

• $(2; 5)$ и $(-3; 4)$? Объединение $(-3; 5)$, пересечение $(2; 4)$.
• $[-2; 5]$ и $(3; 6]$? Объединение $[-2; 6]$, пересечение $(3; 5]$.
• $[-7; 10)$ и $[4; 9)$? Объединение $[-7; 10)$, пересечение $[4; 9)$ — второй промежуток целиком сидит внутри первого.
• Какие числа удовлетворяют $|x| \le 3$? Все от $-3$ до $3$ включительно: $-3 \le x \le 3$.
• А $|x| > 3$? Числа левее $-3$ и правее $3$: $x < -3$ или $x > 3$.

💡 Запомни пару: «модуль меньше» — числа между двумя границами (пересечение), «модуль больше» — два луча в разные стороны (объединение). Это весь секрет урока.

Разбираемся

Модуль — это расстояние

$|x|$ — расстояние от $x$ до нуля. А $|x - 4|$ — расстояние от $x$ до числа $4$. Значит, $|x - 4| \le 3$ читается так: «$x$ стоит от четвёрки не дальше чем на 3 шага». Это все числа от $1$ до $7$.

Модуль меньше числа: зажимаем с двух сторон

Решим $|7 - x| \le 8$. Выражение под модулем должно быть от $-8$ до $8$:

$-8 \le 7 - x \le 8$.

1. Вычтем $7$ из всех трёх частей: $-15 \le -x \le 1$.
2. Разделим всё на $-1$ и перевернём знаки: $15 \ge x \ge -1$.
3. Перепишем по порядку: $-1 \le x \le 15$.

Ответ: $[-1; 15]$. То же можно записать системой: $7 - x \le 8$ и $7 - x \ge -8$. Получится $x \ge -1$ и $x \le 15$, а общая часть этих лучей — тот же отрезок.

⚠️ Частая ошибка. Делим на $-1$ и забываем развернуть знаки. Проверь ответ числом: $x = 0$ даёт $|7| = 7 \le 8$ — верно, и ноль в промежутке $[-1; 15]$ есть. Сходится.

Модуль больше числа: разбегаемся в разные стороны

Решим $|3x - 4| > 9$. Выражение под модулем либо больше $9$, либо меньше $-9$:

Решения двух неравенств объединяем: $(-\infty; -1\frac{2}{3}) \cup (4\frac{1}{3}; +\infty)$.

📌 $|A| \le a$ — это $-a \le A \le a$ (одно двойное неравенство). $|A| \ge a$ — это $A \ge a$ или $A \le -a$ (два луча, знак $\cup$).

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка перед решением сказать вслух: «тут будет отрезок» или «тут будут два луча». Если угадал по знаку — дальше дело техники.

Особые случаи

Модуль никогда не бывает отрицательным. Поэтому $|x| < -1$ не имеет решений вообще, а $|x| > -5$ верно для любого числа.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какому двойному неравенству равносильно $|x| < 1$? А $|x| \le 2$? $-1 < x < 1$ и $-2 \le x \le 2$.
• Можно ли заменить двойным неравенством $|x| > 1$? Нет. Решения — два луча: $x < -1$ или $x > 1$. Двойное неравенство описывает только числа между двумя границами.
• Какое из неравенств $|x| > -5$ и $|x| > 5$ верно при любом числе? $|x| > -5$: модуль всегда не меньше нуля, значит, больше $-5$.
• Какое из неравенств $|x| < -1$ и $|x| < 1$ не имеет решений? $|x| < -1$: модуль не может быть отрицательным.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 1062

Найди все целые $z$, при которых верно: 1) $|z| \le 3$; 2) $|z| < 4$; 3) $|z| \le 1{,}9$; 4) $|z| < 2{,}7$; 5) $|z| \le 3\frac{1}{7}$; 6) $|z| < 3$.

Как думать. Ищем целые числа, которые стоят от нуля не дальше (или ближе) заданного. Берём целые от минус границы до плюс границы.

Решение.

1. $-3 \le z \le 3$: $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$.
2. $-4 < z < 4$: те же $-3, \ldots, 3$.
3. $-1{,}9 \le z \le 1{,}9$: $-1, 0, 1$.
4. $-2{,}7 < z < 2{,}7$: $-2, -1, 0, 1, 2$.
5. $-3\frac{1}{7} \le z \le 3\frac{1}{7}$: $-3, \ldots, 3$.
6. $-3 < z < 3$: $-2, -1, 0, 1, 2$.

Ответ: 1), 2), 5) $-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3$; 3) $-1; 0; 1$; 4), 6) $-2; -1; 0; 1; 2$.

№ 1063

Реши: 1) $|x + 2| \le 1$; 2) $|x - 3| < 2$; 3) $|x + 1| \ge 3$; 4) $|x - 0{,}3| < 4$; 5) $|1{,}7 + x| > 5$; 6) $|x + 4{,}8| \le 6$.

Как думать. «Меньше» — двойное неравенство, «больше» — два случая.

Решение.

1. $-1 \le x + 2 \le 1$, значит $-3 \le x \le -1$.
2. $-2 < x - 3 < 2$, значит $1 < x < 5$.
3. $x + 1 \ge 3$ даёт $x \ge 2$; $x + 1 \le -3$ даёт $x \le -4$.
4. $-4 < x - 0{,}3 < 4$, значит $-3{,}7 < x < 4{,}3$.
5. $1{,}7 + x > 5$ даёт $x > 3{,}3$; $1{,}7 + x < -5$ даёт $x < -6{,}7$.
6. $-6 \le x + 4{,}8 \le 6$, значит $-10{,}8 \le x \le 1{,}2$.

Ответ: 1) $[-3; -1]$; 2) $(1; 5)$; 3) $(-\infty; -4] \cup [2; +\infty)$; 4) $(-3{,}7; 4{,}3)$; 5) $(-\infty; -6{,}7) \cup (3{,}3; +\infty)$; 6) $[-10{,}8; 1{,}2]$.

№ 1064

Реши: 1) $\left|5\frac{1}{3} + x\right| \ge 7$; 2) $\left|x - 6\frac{2}{9}\right| < 8$; 3) $\left|x + 7\frac{3}{14}\right| > 9$; 4) $|3 - x| \le 2$; 5) $|10 - x| > 11$; 6) $|15 - x| < 17$.

Как думать. Где $x$ стоит с минусом ($3 - x$), не забудь развернуть знаки, когда делишь на $-1$.

Решение.

1. $5\frac{1}{3} + x \ge 7$ даёт $x \ge 1\frac{2}{3}$; $5\frac{1}{3} + x \le -7$ даёт $x \le -12\frac{1}{3}$.
2. $-8 < x - 6\frac{2}{9} < 8$, значит $-1\frac{7}{9} < x < 14\frac{2}{9}$.
3. $x + 7\frac{3}{14} > 9$ даёт $x > 1\frac{11}{14}$; $x + 7\frac{3}{14} < -9$ даёт $x < -16\frac{3}{14}$.
4. $-2 \le 3 - x \le 2$, затем $-5 \le -x \le -1$, значит $1 \le x \le 5$.
5. $10 - x > 11$ даёт $x < -1$; $10 - x < -11$ даёт $x > 21$.
6. $-17 < 15 - x < 17$, затем $-32 < -x < 2$, значит $-2 < x < 32$.

Ответ: 1) $(-\infty; -12\frac{1}{3}] \cup [1\frac{2}{3}; +\infty)$; 2) $(-1\frac{7}{9}; 14\frac{2}{9})$; 3) $(-\infty; -16\frac{3}{14}) \cup (1\frac{11}{14}; +\infty)$; 4) $[1; 5]$; 5) $(-\infty; -1) \cup (21; +\infty)$; 6) $(-2; 32)$.

№ 1065

Реши: 1) $|9{,}1 - x| \ge 9$; 2) $\left|20\frac{1}{6} - x\right| \le 22$; 3) $|40{,}5 - x| > 50$; 4) $\left|13\frac{1}{3} - x\right| \le 10$; 5) $|25 - x| \ge 7\frac{3}{4}$; 6) $|19 - x| < 3{,}5$.

Как думать. $|a - x| = |x - a|$ — это расстояние от $x$ до $a$. Удобно сразу взять центр $a$ и отойти от него на заданное число.

Решение.

1. Центр $9{,}1$, отходим на 9 или дальше: $x \le 0{,}1$ или $x \ge 18{,}1$.
2. Центр $20\frac{1}{6}$, не дальше 22: $-1\frac{5}{6} \le x \le 42\frac{1}{6}$.
3. Центр $40{,}5$, дальше 50: $x < -9{,}5$ или $x > 90{,}5$.
4. Центр $13\frac{1}{3}$, не дальше 10: $3\frac{1}{3} \le x \le 23\frac{1}{3}$.
5. Центр 25, не ближе $7\frac{3}{4}$: $x \le 17\frac{1}{4}$ или $x \ge 32\frac{3}{4}$.
6. Центр 19, ближе $3{,}5$: $15{,}5 < x < 22{,}5$.

Ответ: 1) $(-\infty; 0{,}1] \cup [18{,}1; +\infty)$; 2) $[-1\frac{5}{6}; 42\frac{1}{6}]$; 3) $(-\infty; -9{,}5) \cup (90{,}5; +\infty)$; 4) $[3\frac{1}{3}; 23\frac{1}{3}]$; 5) $(-\infty; 17\frac{1}{4}] \cup [32\frac{3}{4}; +\infty)$; 6) $(15{,}5; 22{,}5)$.

№ 1066

Реши: 1) $|17 + x| < 5$; 2) $|29 - x| \le 13$; 3) $|x - 2{,}5| \ge 3{,}5$; 4) $|2{,}6 - x| > 1{,}1$; 5) $|x + 8{,}8| < 2{,}2$; 6) $|7{,}1 - x| > 8{,}2$.

Как думать. Снова ищем центр и отходим от него.

Решение.

1. $|x + 17| < 5$, центр $-17$: $-22 < x < -12$.
2. Центр 29: $16 \le x \le 42$.
3. Центр $2{,}5$: $x \le -1$ или $x \ge 6$.
4. Центр $2{,}6$: $x < 1{,}5$ или $x > 3{,}7$.
5. Центр $-8{,}8$: $-11 < x < -6{,}6$.
6. Центр $7{,}1$: $x < -1{,}1$ или $x > 15{,}3$.

Ответ: 1) $(-22; -12)$; 2) $[16; 42]$; 3) $(-\infty; -1] \cup [6; +\infty)$; 4) $(-\infty; 1{,}5) \cup (3{,}7; +\infty)$; 5) $(-11; -6{,}6)$; 6) $(-\infty; -1{,}1) \cup (15{,}3; +\infty)$.

№ 1067

Изобрази на координатной прямой решения: 1) $|x + 3| < 7$; 2) $|5 - x| \le 9$; 3) $|11 + x| \ge 1$; 4) $|1{,}5 - x| > 8$; 5) $|x + 9{,}3| \le 10{,}3$; 6) $|12{,}1 - x| \ge 1{,}1$.

Как думать. Сначала решаем, потом рисуем. При $\le$ и $\ge$ концы закрашенные, при

Решение.

1. $-10 < x < 4$: отрезок между выколотыми точками $-10$ и $4$.
2. $-4 \le x \le 14$: отрезок с закрашенными концами.
3. $x \le -12$ или $x \ge -10$: два луча, концы закрашены. Между $-12$ и $-10$ — «дырка».
4. $x < -6{,}5$ или $x > 9{,}5$: два луча, концы выколоты.
5. $-19{,}6 \le x \le 1$: отрезок, концы закрашены.
6. $x \le 11$ или $x \ge 13{,}2$: два луча, концы закрашены.

Ответ: 1) $(-10; 4)$; 2) $[-4; 14]$; 3) $(-\infty; -12] \cup [-10; +\infty)$; 4) $(-\infty; -6{,}5) \cup (9{,}5; +\infty)$; 5) $[-19{,}6; 1]$; 6) $(-\infty; 11] \cup [13{,}2; +\infty)$.

№ 1068

Реши системы: 1) $|x| \le 6$ и $x > 5$; 2) $x > -4$ и $|x| \le 7$; 3) $x \le 2$ и $|x| > 1{,}5$; 4) $x \le -3$ и $|x| > 1$.

Как думать. Система — значит, нужны числа, подходящие обоим условиям. Решаем каждое и ищем общую часть.

Решение.

1. $-6 \le x \le 6$ и $x > 5$: остаётся $5 < x \le 6$.
2. $-7 \le x \le 7$ и $x > -4$: остаётся $-4 < x \le 7$.
3. ($x < -1{,}5$ или $x > 1{,}5$) и $x \le 2$: остаётся $x < -1{,}5$ или $1{,}5 < x \le 2$.
4. ($x < -1$ или $x > 1$) и $x \le -3$: остаётся $x \le -3$.

Ответ: 1) $(5; 6]$; 2) $(-4; 7]$; 3) $(-\infty; -1{,}5) \cup (1{,}5; 2]$; 4) $(-\infty; -3]$.

№ 1069

Реши: 1) $|1 + 2x| < 9$; 2) $|3 + 2x| \le 5$; 3) $|1 - 2x| \ge 7$.

Как думать. Сначала убираем число без $x$, потом делим на коэффициент при $x$.

Решение.

1. $-9 < 1 + 2x < 9$, затем $-10 < 2x < 8$, значит $-5 < x < 4$.
2. $-5 \le 3 + 2x \le 5$, затем $-8 \le 2x \le 2$, значит $-4 \le x \le 1$.
3. $1 - 2x \ge 7$ даёт $-2x \ge 6$, то есть $x \le -3$; $1 - 2x \le -7$ даёт $-2x \le -8$, то есть $x \ge 4$.

Ответ: 1) $(-5; 4)$; 2) $[-4; 1]$; 3) $(-\infty; -3] \cup [4; +\infty)$.

№ 1070

Реши: 1) $|3x + 5| \ge 20$; 2) $|7 - 4x| \le 11$; 3) $|4 + 3x| \le 5$.

Как думать. Пункт 2 — по шагам выше. В пункте 1 модуль «больше», значит два случая.

Решение.

1. $3x + 5 \ge 20$ даёт $x \ge 5$; $3x + 5 \le -20$ даёт $3x \le -25$, то есть $x \le -8\frac{1}{3}$.
2. $-1 \le x \le 4{,}5$.
3. $-5 \le 4 + 3x \le 5$, затем $-9 \le 3x \le 1$, значит $-3 \le x \le \frac{1}{3}$.

Ответ: 1) $(-\infty; -8\frac{1}{3}] \cup [5; +\infty)$; 2) $[-1; 4{,}5]$; 3) $[-3; \frac{1}{3}]$.

№ 1071

Реши: 1) $|1 - 2x| < 4$; 2) $\left|0{,}8 - \frac{1}{3}x\right| > 0{,}2$; 3) $|2{,}5x + 1| < 1{,}5$.

Как думать. Всё как раньше, только числа дробные. Не торопись с делением на отрицательное.

Решение.

1. $-4 < 1 - 2x < 4$, затем $-5 < -2x < 3$, делим на $-2$: $2{,}5 > x > -1{,}5$.
2. $0{,}8 - \frac{1}{3}x > 0{,}2$ даёт $\frac{1}{3}x < 0{,}6$, то есть $x < 1{,}8$; $0{,}8 - \frac{1}{3}x < -0{,}2$ даёт $\frac{1}{3}x > 1$, то есть $x > 3$.
3. $-1{,}5 < 2{,}5x + 1 < 1{,}5$, затем $-2{,}5 < 2{,}5x < 0{,}5$, значит $-1 < x < 0{,}2$.

Ответ: 1) $(-1{,}5; 2{,}5)$; 2) $(-\infty; 1{,}8) \cup (3; +\infty)$; 3) $(-1; 0{,}2)$.

Уровень B

№ 1072

Запиши неравенством с модулем промежутки с рисунка: 1) отрезок от 1 до 7, концы закрашены; 2) от $-7$ до $-3$, концы выколоты; 3) от 2 до 8, концы выколоты; 4) отрезок от 6 до 14, концы закрашены; 5) лучи влево от $-9$ и вправо от 1, концы закрашены; 6) лучи влево от 3 и вправо от 9, концы выколоты.

Как думать. Найди середину между границами — это центр $c$. Половина расстояния между границами — радиус $r$. Один промежуток: $|x - c| \le r$ (или

Решение.

1. Центр $(1 + 7) : 2 = 4$, радиус 3: $|x - 4| \le 3$.
2. Центр $-5$, радиус 2: $|x + 5| < 2$.
3. Центр 5, радиус 3: $|x - 5| < 3$.
4. Центр 10, радиус 4: $|x - 10| \le 4$.
5. Центр $(-9 + 1) : 2 = -4$, радиус 5: $|x + 4| \ge 5$.
6. Центр 6, радиус 3: $|x - 6| > 3$.

Ответ: 1) $|x - 4| \le 3$; 2) $|x + 5| < 2$; 3) $|x - 5| < 3$; 4) $|x - 10| \le 4$; 5) $|x + 4| \ge 5$; 6) $|x - 6| > 3$.

№ 1073

Найди все натуральные $x$, при которых верно: 1) $|3x - 4| \le 1$; 2) $|4 - 2x| < 3$; 3) $|-0{,}8 + 5x| \le 13{,}2$.

Как думать. Решаем неравенство, потом выбираем из ответа натуральные числа 1, 2, 3…

Решение.

1. $-1 \le 3x - 4 \le 1$, затем $3 \le 3x \le 5$, значит $1 \le x \le 1\frac{2}{3}$. Натуральное: 1.
2. $-3 < 4 - 2x < 3$, затем $-7 < -2x < -1$, значит $0{,}5 < x < 3{,}5$. Натуральные: 1, 2, 3.
3. $-13{,}2 \le 5x - 0{,}8 \le 13{,}2$, затем $-12{,}4 \le 5x \le 14$, значит $-2{,}48 \le x \le 2{,}8$. Натуральные: 1, 2.

Ответ: 1) 1; 2) 1; 2; 3; 3) 1; 2.

№ 1074

Найди наибольшее и наименьшее целые решения: 1) $|6 + 7x| < 8$; 2) $|5 + 9x| \le 20$; 3) $|-2x + 11| < 19$.

Как думать. Получаем промежуток и смотрим на его края: какие целые числа стоят внутри ближе всего к краям.

Решение.

1. $-8 < 6 + 7x < 8$, затем $-14 < 7x < 2$, значит $-2 < x < \frac{2}{7}$. Целые: $-1$, $0$.
2. $-20 \le 5 + 9x \le 20$, затем $-25 \le 9x \le 15$, значит $-2\frac{7}{9} \le x \le 1\frac{2}{3}$. Целые: от $-2$ до $1$.
3. $-19 < 11 - 2x < 19$, затем $-30 < -2x < 8$, значит $-4 < x < 15$. Целые: от $-3$ до $14$.

Ответ: 1) наибольшее 0, наименьшее $-1$; 2) наибольшее 1, наименьшее $-2$; 3) наибольшее 14, наименьшее $-3$.

№ 1075

Укажи отрицательное $x$, при котором верно: 1) $|x - 15| \le 15 - x$; 2) $|7 + x| \le x + 19$; 3) $|8 - x| \ge x - 14$; 4) $|x + 10| < x + 10$.

Как думать. Задача с хитростью. Подумай, когда модуль равен самому выражению, а когда правая часть отрицательна.

Решение.

1. При $x \le 15$ число $x - 15$ не больше нуля, и его модуль равен $15 - x$. Выходит равенство — неравенство верно. Подходит любое отрицательное, например $x = -1$: $|-16| = 16 \le 16$ ✓.
2. Возьмём $x = -1$: $|6| = 6 \le 18$ ✓. Вообще подходит любое $x \ge -13$.
3. При отрицательном $x$ правая часть $x - 14$ отрицательна, а модуль не меньше нуля. Подходит любое отрицательное, например $x = -5$: $13 \ge -19$ ✓.
4. Модуль числа не бывает меньше самого числа: $|a| \ge a$ всегда. Решений нет.

Ответ: 1) например, $-1$ (любое отрицательное); 2) например, $-1$ (любое от $-13$ до $0$); 3) например, $-5$ (любое отрицательное); 4) таких $x$ нет.

№ 1076

Реши системы: 1) $3x - 15 > 0$, $|x| \le 9$; 2) $8 - x > 8$, $|x| > 3$; 3) $|x| < 0{,}5$, $27 - 5x < 70$; 4) $|x| \le 1{,}7$, $93{,}1 - 11x > 28{,}1$; 5) $|x| \ge \frac{1}{15}$, $\frac{1}{3} - \frac{2}{3}x < 9$; 6) $\frac{2}{7} + \frac{1}{7}x > -4$, $|x| > 6{,}1$.

Как думать. Решаем каждое неравенство отдельно и оставляем только общую часть.

Решение.

1. $x > 5$ и $-9 \le x \le 9$: остаётся $5 < x \le 9$.
2. $-x > 0$, то есть $x < 0$; вместе с «$x < -3$ или $x > 3$» остаётся $x < -3$.
3. $-0{,}5 < x < 0{,}5$; $-5x < 43$, то есть $x > -8{,}6$. Остаётся $-0{,}5 < x < 0{,}5$.
4. $-1{,}7 \le x \le 1{,}7$; $-11x > -65$, то есть $x < 5\frac{10}{11}$. Остаётся $-1{,}7 \le x \le 1{,}7$.
5. Умножим второе на 3: $1 - 2x < 27$, то есть $x > -13$. С первым: $-13 < x \le -\frac{1}{15}$ или $x \ge \frac{1}{15}$.
6. Умножим первое на 7: $2 + x > -28$, то есть $x > -30$. Со вторым: $-30 < x < -6{,}1$ или $x > 6{,}1$.

Ответ: 1) $(5; 9]$; 2) $(-\infty; -3)$; 3) $(-0{,}5; 0{,}5)$; 4) $[-1{,}7; 1{,}7]$; 5) $(-13; -\frac{1}{15}] \cup [\frac{1}{15}; +\infty)$; 6) $(-30; -6{,}1) \cup (6{,}1; +\infty)$.

№ 1077

Найди натуральные $x$, при которых верны оба неравенства: 1) $|x| \le 4$ и $|x - 5| < 8$; 2) $|9 - x| \le 12$ и $|x| < 5$; 3) $|x + 7| > 11$ и $|x| \le 7$; 4) $|x| \ge 1$ и $|x - 3| < 3$.

Как думать. Решаем оба, берём общую часть и выписываем натуральные числа.

Решение.

1. $x \le 4$ и $-3 < x < 13$: 1, 2, 3, 4.
2. $-3 \le x \le 21$ и $x < 5$: 1, 2, 3, 4.
3. $x > 4$ или $x < -18$; вместе с $x \le 7$: 5, 6, 7.
4. Первое верно для любого натурального; второе даёт $0 < x < 6$: 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: 1) 1; 2; 3; 4; 2) 1; 2; 3; 4; 3) 5; 6; 7; 4) 1; 2; 3; 4; 5.

Уровень C

№ 1078

Реши системы: 1) $147 - 3x \ge 51$, $|x| \ge 11$, $11 + 0{,}5x > 0{,}5$; 2) $|x| < 1{,}5$, $60x + 8 < 9x + 9$, $|x| \le 9{,}7$.

Как думать. Три условия — три луча или промежутка. Рисуем их на одной прямой и ищем, где все три перекрываются.

Решение.

1. По шагам выше.
2. $-1{,}5 < x < 1{,}5$; $51x < 1$, то есть $x < \frac{1}{51}$; третье условие шире первого и ничего не меняет. Общая часть: $-1{,}5 < x < \frac{1}{51}$.

Ответ: 1) $(-21; -11] \cup [11; 32]$; 2) $(-1{,}5; \frac{1}{51})$.

№ 1079

Найди сумму всех целых решений системы: 1) $|x| < 4$, $|x| \ge 1$, $x > -3$; 2) $|x| \le 10$, $x > -7$, $x \le 2$; 3) $|x| > 3$, $x \le 4$, $|x| \le 5$.

Как думать. Выписываем все целые решения и складываем. Противоположные числа взаимно уничтожаются.

Решение.

1. $-3 < x < 4$, но без нуля: $-2, -1, 1, 2, 3$. Сумма $3$.
2. $-7 < x \le 2$: $-6, -5, \ldots, 2$. Сумма $-6 - 5 - 4 - 3 = -18$ (остальные сокращаются).
3. $-5 \le x < -3$ или $3 < x \le 4$: $-5, -4, 4$. Сумма $-5$.

Ответ: 1) 3; 2) $-18$; 3) $-5$.

№ 1080

1. Найди наименьшее целое решение: 1) $7x - 21 > 9x - 25$, $|x| \le 3$, $-5 < x - 2 < 3$; 2) $|x| < 10$, $|x| \ge 2$, $23 - x \le 2x + 53$. 2. Найди наибольшее целое решение: 1) $x - 16{,}5 \le 2x - 9{,}5$, $|x| < 8$, $-11 \le 3 - x \le 7$; 2) $|x| \ge 6$, $|x| < 9$, $33 + 2x \ge 3x + 40$.

Как думать. Сначала находим общую часть всех трёх условий, потом смотрим на её левый (или правый) край.

Решение.

Задание 1.

1. $-2x > -4$, то есть $x < 2$; $-3 \le x \le 3$; $-3 < x < 5$. Вместе: $-3 < x < 2$. Наименьшее целое: $-2$.
2. $-10 < x < 10$; $x \le -2$ или $x \ge 2$; $-30 \le 3x$, то есть $x \ge -10$. Вместе: $-10 < x \le -2$ или $2 \le x < 10$. Наименьшее целое: $-9$.

Задание 2.

1. $x \ge -7$; $-8 < x < 8$; $-14 \le -x \le 4$, то есть $-4 \le x \le 14$. Вместе: $-4 \le x < 8$. Наибольшее целое: $7$.
2. $6 \le |x| < 9$: $-9 < x \le -6$ или $6 \le x < 9$; третье: $33 - 40 \ge x$, то есть $x \le -7$. Вместе: $-9 < x \le -7$. Наибольшее целое: $-7$.

Ответ: 1. 1) $-2$; 2) $-9$. 2. 1) $7$; 2) $-7$.

Повторение

№ 1081

Катер шёл 3 ч против течения со скоростью 42 км/ч. За сколько часов он пройдёт 144 км по течению, если скорость течения 3 км/ч?

Как думать. 42 км/ч — скорость уже против течения. Время «3 ч» для ответа не нужно — это ловушка.

Решение.

1. Собственная скорость: $42 + 3 = 45$ км/ч.
2. По течению: $45 + 3 = 48$ км/ч.
3. Время: $144 : 48 = 3$ ч.

Ответ: 3 ч.

№ 1082

1) Реши уравнение $54 - 10x + 28{,}4 + 4{,}5x = -1{,}5x + 10{,}4$ — узнаешь, сколько видов птиц из Красной книги живёт в заповеднике «Барсакельмес». 2) Найди $((-23{,}8) \cdot 9{,}4 - 501{,}96 : (-56{,}4)) \cdot 200 - (-84,724)$ — это скорость (км/ч) космического корабля при взлёте с Земли.

Как думать. В уравнении сначала приводим подобные, в выражении — считаем по действиям, следя за знаками.

Решение.

1. Слева: $82{,}4 - 5{,}5x = -1{,}5x + 10{,}4$. Переносим: $82{,}4 - 10{,}4 = 5{,}5x - 1{,}5x$, то есть $72 = 4x$, $x = 18$.
2. $(-23{,}8) \cdot 9{,}4 = -223{,}72$; $501{,}96 : (-56{,}4) = -8{,}9$; $-223{,}72 - (-8{,}9) = -214{,}82$; $-214{,}82 \cdot 200 = -42,964$; $-42,964 + 84,724 = 41,760$.

Ответ: 1) 18 видов; 2) 41 760 км/ч.

🌟 «Барсакельмес» по-казахски значит «пойдёшь — не вернёшься». Так назывался остров в Аральском море, а теперь здесь заповедник, где живут куланы и джейраны.

Готовимся к следующей теме

№ 1083

1) Начерти отрезок 3 см и отметь на нём две точки. 2) Построй тупой угол и раздели его на два угла так, чтобы один был прямым.

Как думать. Во втором пункте пригодится угольник или транспортир: от одной стороны тупого угла откладываем $90°$ внутрь угла.

Решение.

1. Ставим точку, по линейке отмеряем 3 см, ставим вторую точку и соединяем. Две точки на отрезке — любые между концами.
2. Строим тупой угол, например $130°$. Прикладываем угольник прямым углом к вершине, одной стороной вдоль стороны угла, и проводим луч по второй стороне угольника. Получились углы $90°$ и $130° - 90° = 40°$.

Ответ: построения выполнены; например, $130° = 90° + 40°$.

Шпаргалка

• «Модуль меньше» → двойное неравенство → один промежуток.
• «Модуль больше» → два неравенства → объединение двух лучей.
• $|7 - x|$ и $|x - 7|$ — одно и то же: расстояние до 7.
• В системе ищем общую часть всех условий.
• Проверяй ответ любым числом из промежутка.

Мини-тест