§ 40. Плоскость. Перпендикулярные прямые и отрезки

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 6: Координатная плоскость. Страницы 82–86.

Чему научишься

• Понимать, что такое плоскость и чем прямая отличается от отрезка.
• Различать пересекающиеся и непересекающиеся прямые.
• Узнавать перпендикулярные прямые и отрезки и записывать это знаком $\perp$.
• Строить прямой угол и перпендикуляр угольником и транспортиром.
• Находить углы на чертеже, где есть перпендикулярные прямые.

Разминка

Первые два вопроса — это задание № 1083 из прошлого урока.

• Как начертить отрезок 3 см и отметить на нём две точки? Ставим точку, по линейке отмеряем 3 см, ставим вторую и соединяем. Две точки — любые между концами.
• Как разделить тупой угол на два так, чтобы один был прямым? Приложи угольник прямым углом к вершине, одной стороной вдоль стороны угла, и проведи луч. Например, $130° = 90° + 40°$.
• Сколько градусов в прямом угле? $90°$.
• Сколько градусов в развёрнутом угле? $180°$ — это два прямых.
• Если от прямого угла отрезать $35°$, сколько останется? $90° - 35° = 55°$.

Разбираемся

Плоскость без края

Поверхность парты, доски, листа бумаги — всё это кусочки плоскости. Только у парты есть край, а у плоскости его нет: она бесконечна во все стороны. Поэтому всю плоскость нарисовать нельзя — рисуем её часть на листе.

С прямой то же самое. Отрезок $AB$ имеет два конца. Продолжи его в обе стороны без остановки — получится прямая $AB$. Концов у неё нет.

📌 Прямую обозначают двумя большими латинскими буквами ($AB$, $FE$) или одной маленькой ($a$, $b$).

Как могут лежать две прямые

Нарисуй на листе две прямые. Вариантов всего три:

1. Они пересекаются — у них ровно одна общая точка.
2. Они не пересекаются, сколько их ни продолжай.
3. Они совпадают — это одна и та же прямая.

⚠️ Частая ошибка. На рисунке прямые могут не встретиться только потому, что их не дорисовали. Прямая бесконечна! Продолжи её мысленно — если наклоны разные, они где-то пересекутся.

Перпендикулярные — значит «под прямым углом»

Когда две прямые пересекаются, получается четыре угла. Если один из них прямой, то и все четыре прямые — по $90°$. Такие прямые называют перпендикулярными.

Записывают так: $AB \perp CD$. Читают: «прямая $AB$ перпендикулярна прямой $CD$». И наоборот: если $AB \perp CD$, то и $CD \perp AB$.

🌟 Знак $\perp$ сам похож на две перпендикулярные линии: столбик стоит на полу ровно, не заваливаясь.

Чем строить прямой угол

Есть два помощника:

• Угольник. Прикладываешь его прямым углом к точке и проводишь линию по краю.
• Транспортир. Центр — в точку на прямой, ноль — по прямой, ставишь отметку на $90°$ и соединяешь.

👨‍👩‍👧 Родителю. Проверьте углы дома угольником или углом обычного листа бумаги: угол стола, двери, книги. Ребёнок быстро научится «на глаз» отличать прямой угол от почти прямого.

Перпендикулярные отрезки

Отрезки, которые лежат на перпендикулярных прямых, тоже называют перпендикулярными. Хитрость: сами отрезки могут и не касаться друг друга! Достаточно, чтобы их прямые встретились под прямым углом.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какие углы получаются при пересечении перпендикулярных прямых? Четыре прямых угла, по $90°$.
• Какими инструментами можно построить прямой угол? Угольником и транспортиром.
• Всегда ли пересекаются перпендикулярные прямые? Да: по определению они пересекаются под прямым углом.
• А перпендикулярные отрезки? Нет, не всегда. Пересекаются их прямые, а сами отрезки могут и не встретиться.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 1084

Начерти прямую $a$ и точку $B$ не на ней. Угольником проведи через $B$ прямую $b$ так, чтобы $a \perp b$. Сколько таких прямых можно провести?

Как думать. Угольник кладём одной стороной прямого угла на прямую $a$ и двигаем, пока вторая сторона не упрётся в точку $B$.

Решение.

1. Проводим прямую $a$, ставим точку $B$ выше неё.
2. Одну сторону прямого угла угольника кладём вдоль $a$.
3. Двигаем угольник по прямой $a$, пока вторая сторона не пройдёт через $B$.
4. Проводим по этой стороне прямую $b$.

Попробуй провести ещё одну такую же — она совпадёт с первой.

Ответ: через точку $B$ можно провести только одну прямую, перпендикулярную $a$.

№ 1085

Начерти прямую $m$ и отметь точку $A$ не на этой прямой.

Как думать. Задание короткое — это заготовка. Продолжим её, как в № 1084: проведём через $A$ перпендикуляр к $m$.

Решение.

1. Проводим прямую $m$ и точку $A$ в стороне от неё.
2. Угольником проводим через $A$ прямую, перпендикулярную $m$.
3. Точку, где она встретит $m$, можно назвать $H$. Отрезок $AH$ — самый короткий путь от $A$ до прямой $m$.

Ответ: чертёж: прямая $m$, точка $A$ вне её; через $A$ проходит единственный перпендикуляр к $m$.

№ 1086

Начерти две пересекающиеся прямые $a$ и $b$ и отметь точку $M$ не на этих прямых.

Как думать. Тоже заготовка. Для тренировки проведи через $M$ перпендикуляры к каждой прямой.

Решение.

1. Проводим прямые $a$ и $b$, пересекающиеся в точке $O$.
2. Ставим точку $M$ так, чтобы она не лежала ни на $a$, ни на $b$.
3. Угольником проводим через $M$ прямую, перпендикулярную $a$, и прямую, перпендикулярную $b$.

Ответ: чертёж выполнен; через $M$ проходит по одному перпендикуляру к $a$ и к $b$.

№ 1087

Начерти прямую $a$. Проведи прямую $b$, пересекающую $a$, и прямую $c$, не пересекающую $a$.

Как думать. Прямая $c$ не должна встретить $a$ даже далеко за краем листа. Значит, она идёт с тем же наклоном, что и $a$.

Решение.

1. Проводим прямую $a$ по линии клеток.
2. Прямую $b$ проводим наискосок через $a$ — они встретятся в одной точке.
3. Прямую $c$ проводим по другой линии клеток, на несколько клеток выше $a$. Сколько её ни продолжай, она не встретит $a$.

Ответ: $b$ пересекает $a$; $c$ идёт рядом с $a$ на одном расстоянии и не пересекает её.

№ 1088

Начерти прямой угол, отметь на сторонах по точке. Через них проведи прямые, перпендикулярные сторонам. Отметь точку их пересечения. Какой получился четырёхугольник?

Как думать. Посчитай углы получившейся фигуры. Один — исходный прямой угол, ещё два — там, где мы проводили перпендикуляры.

Решение.

1. У четырёхугольника $OACB$ углы $O$, $A$ и $B$ прямые.
2. Сумма углов четырёхугольника $360°$, значит, угол $C = 360° - 3 \cdot 90° = 90°$.
3. Четырёхугольник со всеми прямыми углами — прямоугольник. Если $OA = OB$, он будет квадратом.

Ответ: прямоугольник (при равных расстояниях от вершины — квадрат).

№ 1089

Начерти два перпендикулярных отрезка $AB$ и $CD$ так, чтобы они: 1) не пересекались; 2) пересекались.

Как думать. Перпендикулярны прямые, на которых лежат отрезки. Значит, отрезки можно «сдвинуть» по своим прямым так, чтобы они не встретились.

Решение.

1. Проводим вертикальную и горизонтальную прямые через точку $O$. На вертикальной выше $O$ берём отрезок $AB$, на горизонтальной правее $O$ — отрезок $CD$. Они не касаются, но перпендикулярны.
2. Берём отрезки так, чтобы оба проходили через $O$, например в виде крестика «+».

Ответ: 1) отрезки на перпендикулярных прямых вдали от точки пересечения; 2) отрезки крестом через общую точку.

Уровень B

№ 1090

Какие отрезки на рисунке 107 перпендикулярны? (Шесть отрезков: 1 — вниз вправо, около $42°$ к горизонтали; 2 — вверх вправо, около $31°$; 3 — круто вниз вправо, около $57°$; 4 — почти горизонтальный; 5 и 6 — вверх вправо, около $52°$.)

Как думать. Два отрезка перпендикулярны, если один наклонён вверх, другой вниз, а их наклоны к горизонтали в сумме дают $90°$. На рисунке проверь угольником!

Решение.

1. Отрезок 2 ($31°$ вверх) и отрезок 3 ($57°$ вниз): $31° + 57° \approx 90°$ — перпендикулярны.
2. Отрезок 1 ($42°$ вниз) и отрезки 5, 6 ($52°$ вверх): $42° + 52° \approx 90°$ — перпендикулярны. Отрезки 5 и 6 смотрят в одну сторону, у них одинаковый наклон.
3. Отрезку 4 пары нет.

Ответ: 2 и 3; 1 и 5; 1 и 6.

№ 1091

Прямая $a$ перпендикулярна прямой $b$, $\angle AOB = 100°$, $\angle COD = 48°$, $\angle BOC = 34°$. Найди $\angle AOD$ и $\angle DOB$. (Прямая $a$ горизонтальна, луч $OC$ лежит на ней справа; лучи $OA$, $OD$, $OB$ идут вверх: $OA$ — влево, $OD$ — чуть правее прямой $b$, $OB$ — между $OD$ и $OC$.)

Как думать. Большие углы складываются из маленьких. Разбиваем и вычитаем.

Решение. $\angle DOB = \angle COD - \angle BOC = 48° - 34° = 14°$; $\angle AOD = \angle AOB - \angle DOB = 100° - 14° = 86°$.

Ответ: $\angle AOD = 86°$, $\angle DOB = 14°$.

Уровень C

№ 1092

Прямая $KM$ перпендикулярна прямой $NL$ (пересекаются в точке $O$), $\angle POM + \angle LOR = 35°$, $\angle KOP = 160°$. Найди $\angle POM$ и $\angle LOR$. (Луч $OP$ идёт вправо-вверх между $OM$ и $ON$, луч $OR$ — влево-вниз.)

Как думать. Лучи $OK$ и $OM$ лежат на одной прямой, значит, $\angle KOP + \angle POM = 180°$.

Решение.

1. $\angle POM = 180° - 160° = 20°$.
2. $\angle LOR = 35° - 20° = 15°$.

Ответ: $\angle POM = 20°$, $\angle LOR = 15°$.

Повторение

№ 1093

1) Найди $-0{,}4 + \frac{1}{20}(718{,}235 - (73{,}28 + 16{,}955))$ — на столько процентов уменьшилась площадь сельскохозяйственных земель. 2) Реши систему $2 - x \le -3$, $3x + 1\frac{1}{2} \le 19{,}5$ — $x$ показывает, во сколько раз уменьшилось использование химикатов.

Как думать. Считаем по действиям: внутренние скобки, внешние, умножение, сложение.

Решение.

1. $73{,}28 + 16{,}955 = 90{,}235$; $718{,}235 - 90{,}235 = 628$; $628 : 20 = 31{,}4$; $-0{,}4 + 31{,}4 = 31$.
2. $2 - x \le -3$, значит $-x \le -5$, то есть $x \ge 5$. $3x \le 18$, то есть $x \le 6$. Решение: $[5; 6]$.

Ответ: 1) на 31%; 2) $x \in [5; 6]$ — в 5–6 раз.

№ 1094

На складе сахара в 3 раза больше, чем в магазине. Если со склада вывезти 850 т, а в магазине продать 50 т, сахара останется поровну. Сколько тонн на складе и в магазине?

Как думать. Обозначим меньшее количество через $x$ и приравняем то, что останется.

Решение.

1. В магазине $x$ т, на складе $3x$ т.
2. $3x - 850 = x - 50$, значит $2x = 800$, $x = 400$.
3. На складе $3 \cdot 400 = 1200$ т. Проверка: $1200 - 850 = 350$ и $400 - 50 = 350$ ✓.

Ответ: на складе 1200 т, в магазине 400 т.

Готовимся к следующей теме

№ 1095

$\angle B = 81°$, это 90% от $\angle C$, а $\angle A$ составляет 10% от $\angle C$. Найди $\angle A$ и $\angle C$.

Как думать. Если 90% — это $81°$, то 10% в 9 раз меньше.

Решение.

1. 10% от $\angle C$: $81° : 9 = 9°$. Значит, $\angle A = 9°$.
2. $\angle C = 9° \cdot 10 = 90°$ — прямой!
3. Проверка: $9° + 81° + 90° = 180°$ — это углы треугольника.

Ответ: $\angle A = 9°$, $\angle C = 90°$.

Шпаргалка

• Две прямые на плоскости пересекаются, не пересекаются или совпадают.
• Перпендикулярные прямые дают четыре прямых угла.
• Если $AB \perp CD$, то и $CD \perp AB$.
• Прямой угол строят угольником или транспортиром.
• Через точку вне прямой проходит только один перпендикуляр к ней.

Мини-тест