§ 5. Масштаб

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 1: Отношения и пропорции. Страницы 49–53.

Чему научишься

• Объяснять, что такое масштаб и как читать запись $1 : 100,000$.
• Находить настоящее расстояние по карте и, наоборот, длину отрезка на карте.
• Подбирать масштаб, если известны расстояние на карте и на местности.
• Чертить простой план (например, своей комнаты или класса) в нужном масштабе.

Разминка

Это задания № 216–219 из прошлого урока. Ответь в уме, потом открой ответ.

• Сколько сантиметров и дециметров в 3 м? 300 см, или 30 дм.
• А в 21 мм? В 0,2 м? В 400 мм? 21 мм = 2,1 см = 0,21 дм; 0,2 м = 20 см = 2 дм; 400 мм = 40 см = 4 дм.
• Сколько составляет одна десятая и одна сотая часть от 300? От 888? От 300: 30 и 3. От 888: 88,8 и 8,88.
• Участок 0,3 км на 500 м. Его периметр и площадь? 0,3 км = 300 м. Периметр $2 \cdot (300 + 500) = 1600$ м, площадь $300 \cdot 500 = 150,000$ м² (это 15 га).
• Допиши число, чтобы вышла пропорция: $5 : 20 = 12 : x$. Отношение $5 : 20$ равно $\frac{1}{4}$, значит, $x = 12 \cdot 4 = 48$.

💡 Перевод единиц — главный инструмент этого урока. На карте сантиметры, на местности километры, и их всё время придётся переводить друг в друга.

Разбираемся

Карта — это уменьшенная копия

Настоящий Алматы на лист не влезет. Поэтому всё на карте уменьшают в одно и то же число раз. Если в 100 000 раз, то 1 см на карте — это 100 000 см на земле, то есть 1000 м, то есть 1 км.

📌 Масштаб — это отношение длины на карте (плане, чертеже) к настоящей длине.

Пишут так: М $1 : 100,000$ или М $\frac{1}{100,000}$. Читают: «масштаб одна стотысячная».

Бывает и наоборот — увеличение

Детальки часов крошечные. На чертеже их рисуют крупнее: М $10 : 1$ («десять к одному»). Значит, рисунок в 10 раз больше настоящей детали. Колёсико диаметром 3 см 5 мм на чертеже в жизни всего 3,5 мм.

💡 Как не перепутать: если слева 1 — это уменьшение (карты, планы). Если справа 1 — увеличение (детали, микробы, насекомые).

Линейный масштаб: линейка прямо на карте

На карте Алматы и окрестностей стоит масштаб $1 : 225,000$. Это значит: в 1 см — 225 000 см, то есть 2250 м. Часто рядом рисуют полоску с делениями — линейный масштаб. Потыкай в деления.

Две главные задачи

С карты на землю. Масштаб $1 : 100,000$, на карте 3 см. На земле в 100 000 раз больше: $3 \cdot 100,000 = 300,000$ см = 3 км.

С земли на карту. Надо нарисовать 5 км на той же карте. Сначала в сантиметры: 5 км = 500 000 см. Потом уменьшаем: $500,000 : 100,000 = 5$ см.

⚠️ Частая ошибка. Делят километры на 100 000 без перевода: $5 : 100,000 = 0,00005$. Сначала переведи всё в одинаковые единицы (обычно в сантиметры), только потом умножай или дели.

Как самому подобрать масштаб

👨‍👩‍👧 Родителю. Откройте карту в телефоне и найдите полоску масштаба в углу. Попросите ребёнка оценить по ней расстояние от дома до школы, а потом сравните с маршрутом в приложении.

🌟 Карты Казахстана в школьном атласе обычно имеют масштаб около $1 : 10,000,000$: 1 см — это 100 км. Вся страна с запада на восток (около 3000 км) влезает в 30 см.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Что называют масштабом? Отношение расстояния на карте (плане, чертеже) к настоящему расстоянию.
• Что значит запись М $5 : 1$? Изображение в 5 раз больше настоящего предмета: 5 см на чертеже — это 1 см в жизни.
• Что значит запись М $1 : 5$? Изображение в 5 раз меньше: 1 см на чертеже — это 5 см в жизни.
• Как найти расстояние по карте с масштабом М $1 : 1000$? Измерить отрезок линейкой и умножить на 1000. Например, 4 см на карте — это 4000 см = 40 м на местности.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 220

Карта в масштабе $1 : 1,000,000$. Между станциями на ней 2,5 см. Сколько между ними на самом деле?

Как думать. На земле расстояние в 1 000 000 раз больше. Умножаем, а потом переводим в километры.

Решение.

1. $2,5 \cdot 1,000,000 = 2,500,000$ см.
2. 2 500 000 см = 25 000 м = 25 км.

Ответ: 25 км.

№ 221

Между городами 1200 км. Какой длины будет отрезок между ними на карте $1 : 500,000$?

Решение.

1. 1200 км = 1 200 000 м = 120 000 000 см.
2. $120,000,000 : 500,000 = 240$ см.

Ответ: 240 см (это 2,4 м — карта очень большая, настенная).

№ 222

План участка в масштабе $1 : 100,000$. На плане между точками: 1) 0,5 см; 2) 1 см; 3) 2 см; 4) 3,6 см; 5) 8 см. Сколько это на участке?

Как думать. В этом масштабе 1 см = 100 000 см = 1 км. Значит, сантиметры на плане просто превращаются в километры.

Решение. 1) 0,5 км; 2) 1 км; 3) 2 км; 4) 3,6 км; 5) 8 км.

Ответ: 0,5 км; 1 км; 2 км; 3,6 км; 8 км.

№ 223

На карте $1 : 10,000,000$ между городами 32 см. Каково расстояние на самом деле?

Решение.

1. $32 \cdot 10,000,000 = 320,000,000$ см.
2. 320 000 000 см = 3 200 000 м = 3200 км.

Ответ: 3200 км.

№ 224

Железная дорога длиной 2750 км. Какой длины будет линия на карте $1 : 2,500,000$?

Решение.

1. 2750 км = 275 000 000 см.
2. $275,000,000 : 2,500,000 = 110$ см.

Ответ: 110 см.

№ 225

На плане $1 : 2,000,000$ между пунктами 2 см. А на местности?

Решение. $2 \cdot 2,000,000 = 4,000,000$ см = 40 000 м = 40 км.

Ответ: 40 км.

№ 226

Какой нужен масштаб, чтобы 1 см на плане был 1 км на местности?

Решение. 1 км = 1000 м = 100 000 см. Значит, 1 см : 100 000 см.

Ответ: $1 : 100,000$.

Уровень B

№ 227

Найди масштаб карты: 1) 3 см — 150 км; 2) 5 см — 700 км; 3) 4,5 см — 18 км; 4) 6 дм — 2460 км.

Как думать. Узнаём, сколько километров приходится на 1 см карты, а потом переводим эти километры в сантиметры.

Решение.

1. $150 : 3 = 50$ км в 1 см; 50 км = 5 000 000 см → $1 : 5,000,000$.
2. $700 : 5 = 140$ км в 1 см; 140 км = 14 000 000 см → $1 : 14,000,000$.
3. $18 : 4,5 = 4$ км в 1 см; 4 км = 400 000 см → $1 : 400,000$.
4. 6 дм = 60 см; $2460 : 60 = 41$ км в 1 см; 41 км = 4 100 000 см → $1 : 4,100,000$.

Ответ: 1) $1 : 5,000,000$; 2) $1 : 14,000,000$; 3) $1 : 400,000$; 4) $1 : 4,100,000$.

№ 228

На чертеже $1 : 5$ деталь длиной 8,4 мм. Какой она будет на чертеже 1) $1 : 4$; 2) $3 : 1$?

Как думать. Сначала найди настоящую длину детали, а потом рисуй её в новом масштабе.

Решение.

1. Настоящая длина: $8,4 \cdot 5 = 42$ мм.
2. Масштаб $1 : 4$: $42 : 4 = 10,5$ мм.
3. Масштаб $3 : 1$ (увеличение в 3 раза): $42 \cdot 3 = 126$ мм.

Ответ: 1) 10,5 мм; 2) 126 мм.

№ 229

На карте $1 : 5,000,000$ между городами 18 см. Сколько будет на карте $1 : 10,000,000$?

Как думать. Вторая карта мельче ровно в 2 раза ($10,000,000 : 5,000,000 = 2$). Значит, и отрезок будет в 2 раза короче.

Решение. $18 : 2 = 9$ см. Проверка через настоящее расстояние: $18 \cdot 5,000,000 = 90,000,000$ см; $90,000,000 : 10,000,000 = 9$ см.

Ответ: 9 см.

№ 230

На карте 2,5 см соответствуют 100 км. Сколько между городами, если на карте 8 см?

Решение.

1. В 1 см: $100 : 2,5 = 40$ км.
2. $8 \cdot 40 = 320$ км.

Ответ: 320 км.

№ 231

На карте $1 : 4500$ между точками 10 см. Сколько будет на карте $1 : 125,000$?

Решение.

1. Настоящее расстояние: $10 \cdot 4500 = 45,000$ см (это 450 м).
2. На второй карте: $45,000 : 125,000 = 0,36$ см.

Ответ: 0,36 см (3,6 мм).

№ 232

Комната 4,5 м × 6 м. На плане большая сторона — 4 см. Какой длины меньшая сторона на плане?

Как думать. Обе стороны уменьшаются в одно и то же число раз. 6 м превратились в 4 см — найдём, во сколько раз.

Решение.

1. 6 м = 600 см; $600 : 4 = 150$ — план в 150 раз меньше (масштаб $1 : 150$).
2. 4,5 м = 450 см; $450 : 150 = 3$ см.

Ответ: 3 см.

№ 233

Помещение 30 м × 24 м. На плане меньшая сторона — 6 см. Найди большую сторону на плане и масштаб.

Решение.

1. 24 м = 2400 см; $2400 : 6 = 400$ — масштаб $1 : 400$.
2. 30 м = 3000 см; $3000 : 400 = 7,5$ см.

Ответ: 7,5 см; масштаб $1 : 400$.

Уровень C

№ 234

План участка в масштабе $1 : 600$ (рис. 11). Измерь его и найди периметр и площадь участка.

Как думать. Сначала считаем всё в клетках. Потом измеряем линейкой одну клетку, переводим её в метры по масштабу и пересчитываем.

Решение.

1. Обходим границу: $15 + 6 + 6 + 3 + 4 + 4 + 5 + 7 = 50$ клеток — это периметр.
2. Площадь режем на куски: нижняя полоса $15 \cdot 3 = 45$, левый столбик выше неё $5 \cdot 4 = 20$, правый $6 \cdot 3 = 18$. Всего $45 + 20 + 18 = 83$ клетки.
3. Пусть клетка на рисунке 0,5 см (проверь линейкой!). В жизни это $0,5 \cdot 600 = 300$ см = 3 м.
4. Периметр: $50 \cdot 3 = 150$ м. Площадь одной клетки $3 \cdot 3 = 9$ м², участка $83 \cdot 9 = 747$ м².

Ответ: при клетке 0,5 см: периметр 150 м, площадь 747 м². Если клетка другого размера — пересчитай так же.

Математика в моей жизни

№ 235

Измерь длину и ширину своего класса и начерти план в масштабе $1 : 500$.

Как думать. В масштабе $1 : 500$ каждый метр превращается в $100 : 500 = 0,2$ см, то есть 2 мм.

Решение. Пример: класс 8 м × 6 м.

1. 8 м = 800 см; $800 : 500 = 1,6$ см.
2. 6 м = 600 см; $600 : 500 = 1,2$ см.
3. Чертим прямоугольник 1,6 см × 1,2 см, отмечаем дверь и окна, подписываем «М $1 : 500$».

Ответ: у каждого свой; для класса 8 м × 6 м — прямоугольник 1,6 см × 1,2 см.

Повторение

№ 236

Сравни значения выражений: 1) $48,96 : (56,491 - 54,451)$ и $9\frac{7}{9} : 6\frac{8}{15} \cdot 16\frac{31}{44}$; 2) $50,3 \cdot 8,5 + 72,52$ и $600 - 20\frac{1}{3} : 15\frac{1}{4} \cdot 29,7$.

Решение.

1. Слева: $56,491 - 54,451 = 2,04$; $48,96 : 2,04 = 24$. Справа: $\frac{88}{9} : \frac{98}{15} = \frac{88 \cdot 15}{9 \cdot 98} = \frac{220}{147}$; $\frac{220}{147} \cdot \frac{735}{44} = 5 \cdot 5 = 25$. $24 < 25$.
2. Слева: $50,3 \cdot 8,5 = 427,55$; $427,55 + 72,52 = 500,07$. Справа: $\frac{61}{3} : \frac{61}{4} = \frac{4}{3}$; $\frac{4}{3} \cdot 29,7 = 39,6$; $600 - 39,6 = 560,4$. $500,07 < 560,4$.

Ответ: 1) $24 < 25$; 2) $500,07 < 560,4$.

№ 237

С запада на восток Казахстан тянется на 3000 км, с юга на север — на 60% от этого. Сколько километров с юга на север?

Решение. $3000 \cdot 0,6 = 1800$ км.

Ответ: 1800 км.

№ 238

Горы Алтая и Западного Тянь-Шаня занимают 10% площади Казахстана (2 724 902 км²). Сколько это?

Решение. 10% — это десятая часть: $2,724,902 : 10 = 272,490,2$ км².

Ответ: 272 490,2 км².

№ 239

Леса занимают 4,2% от 2 724 902 км². Сколько это квадратных километров?

Решение. $2,724,902 \cdot 0,042 = 114,445,884$ км².

Ответ: примерно 114 446 км².

№ 240

По программе «Жасыл ел» к 2010 году леса заняли 4,5% от 2 724 902 км². Какая это площадь?

Решение. $2,724,902 \cdot 0,045 = 122,620,59$ км².

Ответ: примерно 122 621 км².

💡 Сравни № 239 и № 240: доля лесов выросла на 0,3%, а это больше 8000 км² новых лесов. Целый лесной массив!

Готовимся к следующей теме

№ 241

Найди диаметр круга, если радиус 0,8 дм; 6 см; $5\frac{5}{6}$ мм.

Как думать. Диаметр — два радиуса.

Решение. $0,8 \cdot 2 = 1,6$ дм; $6 \cdot 2 = 12$ см; $5\frac{5}{6} \cdot 2 = 10\frac{10}{6} = 11\frac{2}{3}$ мм.

Ответ: 1,6 дм; 12 см; $11\frac{2}{3}$ мм.

№ 242

Найди радиус, если диаметр 14 дм; 2,4 см; $7\frac{7}{12}$ мм.

Решение. $14 : 2 = 7$ дм; $2,4 : 2 = 1,2$ см; $7\frac{7}{12} : 2 = \frac{91}{12} : 2 = \frac{91}{24} = 3\frac{19}{24}$ мм.

Ответ: 7 дм; 1,2 см; $3\frac{19}{24}$ мм.

№ 243

Диаметр круга 0,4 дм. Найди радиус в миллиметрах.

Решение. 0,4 дм = 40 мм; радиус $40 : 2 = 20$ мм.

Ответ: 20 мм.

№ 244

Начерти круг, отметь точку внутри круга, вне его и на окружности. Измерь расстояния до центра и сравни с радиусом.

Как думать. Возьми радиус, например, 3 см. Измерь от центра до каждой точки.

Решение. Пример: точка внутри — 1,8 см (меньше 3), на окружности — ровно 3 см, снаружи — 4,2 см (больше 3).

Ответ: у точек круга расстояние до центра не больше радиуса; у точек окружности — ровно радиус; у точек вне круга — больше радиуса.

Шпаргалка

• Масштаб $1 : n$: всё на карте в $n$ раз меньше, чем в жизни.
• Настоящее расстояние = расстояние на карте $\cdot\ n$.
• Расстояние на карте = настоящее расстояние $: n$ (сначала в сантиметры!).
• Масштаб = (длина на карте) : (настоящая длина) в одних единицах.
• 1 км = 100 000 см — держи это в голове.

Мини-тест