§ 41. Параллельные прямые и отрезки

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 6: Координатная плоскость. Страницы 87–89.

Чему научишься

• Узнавать параллельные прямые и записывать это знаком $\parallel$.
• Находить параллельные отрезки на чертеже.
• Отличать параллельные отрезки от перпендикулярных.
• Чертить параллельные и перпендикулярные прямые через заданную точку.
• Считать точки пересечения нескольких прямых.

Разминка

Первый вопрос — это задание № 1095 из прошлого урока.

• $\angle B = 81°$, это 90% от $\angle C$; $\angle A$ — 10% от $\angle C$. Чему равны $\angle A$ и $\angle C$? 10% от $\angle C$ — это $81° : 9 = 9°$. Значит, $\angle A = 9°$, $\angle C = 90°$.
• Какие прямые называют перпендикулярными? Те, что пересекаются под прямым углом.
• Сколько общих точек у пересекающихся прямых? Одна.
• Как ещё могут лежать две прямые на плоскости? Не пересекаться или совпадать.

💡 О непересекающихся прямых мы пока ничего толком не знаем. Вот сегодня и узнаем.

Разбираемся

Прямые, которые никогда не встретятся

Возьми тетрадь в линейку. Строчки бегут рядом и сколько их ни продолжай — не встретятся. Две прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, называют параллельными.

Пишут $a \parallel b$ и читают: «прямая $a$ параллельна прямой $b$». Если $a \parallel b$, то и $b \parallel a$.

📌 Параллельные прямые — две прямые одной плоскости, у которых нет общих точек.

🌟 Слово «параллельный» пришло из греческого: parallēlos — «идущие рядом друг с другом». А знак $\parallel$ — это две рядом стоящие палочки.

Как проверить на клетчатой бумаге

На клетках удобно: если две прямые сдвигаются одинаково (например, «1 клетка вправо — 2 вверх»), они параллельны. Если одна идёт круче другой, где-то они обязательно пересекутся.

⚠️ Частая ошибка. На рисунке короткие прямые могут не встретиться только потому, что лист кончился. Проверь наклон: при разном наклоне прямые пересекутся, если их продолжить.

Параллельные отрезки

Отрезки, которые лежат на параллельных прямых, называют параллельными отрезками. Например, верхний и нижний края двери, противоположные стороны тетради.

👨‍👩‍👧 Родителю. Поиграйте в «найди параллельное» в комнате: рамы окна, ступени лестницы, полки шкафа. Потом — «найди перпендикулярное». Так ребёнок различит эти слова без зубрёжки.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Поверхность каких предметов — мяч, дверь, глобус, стакан, книга — имеет форму плоскости? Двери и книги (обложки): они ровные. Мяч и глобус — шары, а стенки стакана изогнуты.
• Почему параллельные отрезки не пересекаются? Они лежат на параллельных прямых. Раз прямые не имеют общих точек, то и их кусочки — отрезки — не имеют.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 1096

Прямая $m$ параллельна прямой $n$. На $m$ отмечены точки $A$ и $B$, на $n$ — точки $C$ и $D$. Укажи параллельные отрезки.

Как думать. Ищем отрезки, концы которых лежат на одной прямой, и сравниваем с отрезками другой прямой.

Решение. На прямой $m$ — отрезок $AB$, на прямой $n$ — отрезок $CD$. Они лежат на параллельных прямых.

Ответ: $AB \parallel CD$.

№ 1097

Прямые $a \parallel b \parallel c$. На $a$ отмечены точки $M$ и $N$, на $b$ — $E$ и $F$, на $c$ — $K$ и $L$. Найди параллельные отрезки.

Как думать. Три прямые попарно параллельны, на каждой — по одному отрезку. Составляем все пары.

Решение. $MN \parallel EF$, $MN \parallel KL$, $EF \parallel KL$.

Ответ: $MN \parallel EF$, $MN \parallel KL$, $EF \parallel KL$.

№ 1098

Найди все пары параллельных прямых на рисунке 113. (Шесть прямых: две идут круто вверх вправо, две — вниз вправо, две — почти горизонтально, чуть опускаясь вправо.)

Как думать. Параллельные прямые имеют одинаковый наклон. Группируем прямые по направлению.

Решение.

1. Две крутые прямые «вверх вправо» — первая пара.
2. Две прямые «вниз вправо» — вторая пара.
3. Две почти горизонтальные — третья пара.

Прямые из разных групп пересекаются.

Ответ: три пары параллельных прямых — по одной в каждом направлении.

№ 1099

$a \parallel b$, $c \parallel d$. На рисунке 114: прямая $c$ пересекает $a$ в точке $F$, на $c$ выше $a$ есть точка $E$; прямая $d$ пересекает $b$ в точке $M$, ниже есть точка $N$; на $a$ правее $F$ — точки $A$ и $B$; на $b$ — точки $C$, $M$, $D$. Запиши параллельные отрезки.

Как думать. Отрезки на $a$ параллельны отрезкам на $b$. Отрезки на $c$ параллельны отрезкам на $d$.

Решение.

1. Отрезки на прямой $a$: $FA$, $FB$, $AB$. На прямой $b$: $CM$, $CD$, $MD$. Каждый из первых параллелен каждому из вторых — 9 пар, например $AB \parallel CD$, $FA \parallel MD$.
2. На прямой $c$ — отрезок $EF$, на прямой $d$ — отрезок $MN$: $EF \parallel MN$.

Ответ: $FA$, $FB$, $AB$ параллельны каждому из $CM$, $CD$, $MD$; кроме того, $EF \parallel MN$.

Уровень B

№ 1100

Начерти острый угол $ABC$. На стороне $AB$ отметь точку $M$ и проведи через неё две прямые: одну параллельную стороне $BC$, другую перпендикулярную ей.

Как думать. Параллельную удобно строить двумя угольниками (или угольником и линейкой): один скользит по другому, не поворачиваясь.

Решение.

1. Чертим острый угол, например $50°$, вершина $B$, сторона $BC$ — по линии клеток.
2. Отмечаем точку $M$ на стороне $BA$.
3. Параллельная. Если $BC$ идёт по линии клеток, проводим через $M$ прямую по другой линии клеток. Без клеток: прикладываем угольник стороной к $BC$, к другой его стороне — линейку и сдвигаем угольник вдоль линейки до точки $M$.
4. Перпендикулярная. Кладём угольник одной стороной прямого угла на $BC$ и двигаем, пока другая сторона не пройдёт через $M$. Проводим прямую.

Ответ: через $M$ проходят прямая, параллельная $BC$, и прямая, перпендикулярная $BC$; эти две прямые перпендикулярны друг другу.

№ 1101

На рисунке 115 четыре горизонтальные параллельные прямые $a$, $b$, $c$, $d$ и две вертикальные. Левая вертикаль пересекает $a$ в $A$, $c$ в $B$. Правая — $b$ в $E$, $d$ в $F$. На $a$ отмечены $C$, $D$; на $c$ — $M$ (левее правой вертикали) и $N$ (правее неё). Укажи параллельные и перпендикулярные отрезки.

Как думать. Горизонтальные отрезки параллельны друг другу, вертикальные — друг другу. Любой горизонтальный перпендикулярен любому вертикальному.

Решение.

1. Горизонтальные: на $a$ — $AC$, $AD$, $CD$; на $c$ — $BM$, $BN$, $MN$.
2. Вертикальные: $AB$ (левая) и $EF$ (правая).
3. Параллельные: $AB \parallel EF$; каждый из $AC$, $AD$, $CD$ параллелен каждому из $BM$, $BN$, $MN$.
4. Перпендикулярные: $AB$ и $EF$ перпендикулярны каждому горизонтальному отрезку, например $AB \perp CD$, $EF \perp MN$, $AB \perp BM$.

Ответ: параллельные — $AB \parallel EF$, $CD \parallel MN$ (и другие пары отрезков на $a$ и $c$); перпендикулярные — $AB$ и $EF$ с каждым из $AC$, $AD$, $CD$, $BM$, $BN$, $MN$.

Уровень C

№ 1102

Начерти четыре прямые так, чтобы точек пересечения было: 1) ни одной; 2) три; 3) пять.

Как думать. Параллельные прямые не дают точек пересечения. Значит, количеством параллельных можно «управлять» числом точек.

Решение.

1. Все четыре прямые параллельны — точек пересечения нет.
2. Три прямые параллельны, четвёртая пересекает их все — 3 точки.
3. Две прямые параллельны ($a \parallel b$). Прямые $c$ и $d$ не параллельны ни им, ни друг другу и пересекаются не на $a$ и не на $b$. Точки: $c$ с $a$ и $b$ — 2, $d$ с $a$ и $b$ — 2, $c$ с $d$ — 1. Всего $2 + 2 + 1 = 5$.

Ответ: 1) четыре параллельные прямые; 2) три параллельные и одна секущая; 3) две параллельные и две пересекающиеся прямые, как на схеме.

Повторение

№ 1103

В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $\angle A$ — 40%, а $\angle B$ — 60% от $\angle C$. Найди сумму углов треугольника.

Как думать. Находим каждый угол от $90°$ и складываем.

Решение.

1. $\angle A = 0{,}4 \cdot 90° = 36°$.
2. $\angle B = 0{,}6 \cdot 90° = 54°$.
3. $36° + 54° + 90° = 180°$.

Ответ: $180°$.

💡 Заметь: сумма углов любого треугольника равна $180°$. Здесь это получилось само.

№ 1104

1) Найди $716,102 - (28,128 + 843,744) + 156,259$ — столько видов птиц обитает в Казахстане. 2) Реши уравнение $-\frac{1}{4}(1{,}5 + x) = -26\frac{3}{8}$ — $x$ показывает число видов рыб в водоёмах страны.

Как думать. В уравнении сначала избавимся от множителя $-\frac{1}{4}$: умножим обе части на $-4$.

Решение.

1. $28,128 + 843,744 = 871,872$; $716,102 - 871,872 = -155,770$; $-155,770 + 156,259 = 489$.
2. $1{,}5 + x = 26\frac{3}{8} \cdot 4 = 105{,}5$, значит $x = 104$.

Ответ: 1) 489 видов птиц; 2) 104 вида рыб.

№ 1105

У трёх девочек 20 конфет. У одной из них в 2 раза меньше, чем у каждой из двух других. Сколько конфет у каждой?

Как думать. Обозначим меньшее количество через $x$, тогда у двух других по $2x$.

Решение.

1. $x + 2x + 2x = 20$, то есть $5x = 20$, $x = 4$.
2. У двух других по $2 \cdot 4 = 8$.
3. Проверка: $4 + 8 + 8 = 20$ ✓.

Ответ: 4, 8 и 8 конфет.

Готовимся к следующей теме

№ 1106

На координатной прямой с единичным отрезком 2 см отметь точки $A(1{,}75)$ и $B\left(-\frac{3}{4}\right)$. Отметь середину $C$ отрезка $AB$. Найди координату $C$ и длину $AB$.

Как думать. Середина — это среднее арифметическое координат концов. Длина — разность координат, умноженная на длину единичного отрезка.

Решение.

1. $C = (1{,}75 + (-0{,}75)) : 2 = 1 : 2 = 0{,}5$.
2. $AB = 1{,}75 - (-0{,}75) = 2{,}5$ единичного отрезка.
3. В сантиметрах: $2{,}5 \cdot 2 = 5$ см. Точку $A$ ставим в 3,5 см вправо от нуля, $B$ — в 1,5 см влево, $C$ — в 1 см вправо.

Ответ: $C(0{,}5)$; $AB = 2{,}5$ единичного отрезка, то есть 5 см.

Шпаргалка

• Две прямые на плоскости: пересекаются, параллельны или совпадают.
• Параллельные прямые не имеют общих точек.
• Параллельные отрезки никогда не пересекаются.
• Знаки: $\parallel$ — параллельны, $\perp$ — перпендикулярны.
• Через точку вне прямой проходит одна прямая, параллельная данной.

Мини-тест