§ 42. Координатная плоскость. Прямоугольная система координат

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 6: Координатная плоскость. Страницы 90–96.

Чему научишься

• Строить прямоугольную систему координат: ось $x$, ось $y$, начало $O$.
• Находить координаты точки по рисунку и ставить точку по её координатам.
• Помнить порядок: сначала абсцисса, потом ордината.
• Определять, в какой четверти или на какой оси лежит точка, только по знакам её координат.

Разминка

Это задание № 1106 из прошлого урока. Единичный отрезок — 2 см.

• Где на координатной прямой точки $A(1{,}75)$ и $B\left(-\frac{3}{4}\right)$? $A$ — правее нуля, почти у двойки. $B$ — левее нуля на $\frac{3}{4}$ единицы, то есть на 1,5 см.
• Какая координата у точки $C$ — середины $AB$? Складываем и делим пополам: $(1{,}75 + (-0{,}75)) : 2 = 1 : 2 = 0{,}5$. Значит, $C(0{,}5)$.
• Чему равна длина $AB$? $1{,}75 - (-0{,}75) = 2{,}5$ единицы. В сантиметрах: $2{,}5 \cdot 2 = 5$ см.

💡 Одно число задаёт точку на прямой. А как задать точку на листе тетради? Одного числа мало — нужно два. Об этом урок.

Разбираемся

Две прямые вместо одной

Возьми координатную прямую и положи её горизонтально. Через нуль проведи вторую координатную прямую — вертикально, под прямым углом к первой. Готово: у тебя прямоугольная система координат.

• Горизонтальная ось — ось абсцисс, её обозначают $x$.
• Вертикальная ось — ось ординат, её обозначают $y$.
• Точка пересечения осей — начало координат $O$.

📌 Плоскость, на которой нарисована система координат, называют координатной плоскостью.

Адрес точки — два числа

Пусть на плоскости есть точка $M$. Опусти из неё перпендикуляр на ось $x$ — попадёшь в число $-2$. Опусти перпендикуляр на ось $y$ — попадёшь в число 3. Эти числа и есть координаты точки: $-2$ — её абсцисса, 3 — ордината. Пишут так: $M(-2; 3)$.

🌟 Эту идею придумал французский учёный Рене Декарт ещё в XVII веке. Поэтому прямоугольную систему координат часто называют декартовой.

💡 Говорим правильно: «точка $M$ с координатами $-2$ и 3» или «точка $M$ имеет координаты $-2$ и 3».

Порядок важен!

Точки $(2; 5)$ и $(5; 2)$ — разные точки. Первое число всегда абсцисса (идём по $x$), второе — ордината (идём по $y$). Поэтому координаты точки называют упорядоченной парой чисел.

⚠️ Частая ошибка. Ставят точку $(3; 1)$ так: «три вверх, один вправо». Запомни присказку: «сначала по коридору, потом на лифте» — сначала вправо или влево по $x$, потом вверх или вниз по $y$.

Попробуй сам. Здесь показана только первая четверть, где обе координаты положительные.

Точки на осях

Если точка лежит на оси $x$, ей не нужно подниматься или опускаться: её ордината равна 0. Например, $A(-2; 0)$. Если точка лежит на оси $y$, ей не нужно идти вправо или влево: её абсцисса равна 0. Например, $B(0; 3)$.

Четыре четверти

Оси делят плоскость на четыре части — координатные четверти. Их нумеруют против часовой стрелки, начиная с правой верхней.

👨‍👩‍👧 Родителю. Сыграйте в «Морской бой» на листе с осями от $-5$ до 5: называйте выстрелы координатами, например «$(-3; 2)$». За одну партию ребёнок запоминает порядок координат и знаки четвертей.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как расположены ось абсцисс и ось ординат? Они перпендикулярны и пересекаются в начале координат $O$ — в нуле каждой оси.
• Что такое прямоугольная система координат, координатная плоскость, координатная четверть? Система координат — две перпендикулярные координатные прямые с общим началом $O$. Координатная плоскость — плоскость с такой системой. Четверть — одна из четырёх частей, на которые оси делят плоскость.
• В какой четверти точка, если обе координаты отрицательные? Обе положительные? Разных знаков? Обе отрицательные — III. Обе положительные — I. Разных знаков — II (если $x < 0$, $y > 0$) или IV (если $x > 0$, $y < 0$).
• Почему координаты образуют упорядоченную пару? Потому что важно, какое число первое: $(1; 4)$ и $(4; 1)$ — разные точки.
• Что общего у координат точек на осях? На оси $x$ ордината равна 0, на оси $y$ абсцисса равна 0.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 1107

По рисунку 121 назови абсциссы и ординаты точек $A$, $E$ и $K$. Одна клетка — единица.

Как думать. На рисунке $A$ — на 1 клетку правее оси $y$ и на 3 выше оси $x$. $E$ лежит на оси $x$ в 3 клетках слева. $K$ лежит на оси $y$ в 4 клетках вниз.

Решение. $A(1; 3)$: абсцисса 1, ордината 3. $E(-3; 0)$: абсцисса $-3$, ордината 0. $K(0; -4)$: абсцисса 0, ордината $-4$.

Ответ: $A(1; 3)$, $E(-3; 0)$, $K(0; -4)$.

№ 1108

Найди координаты вершин прямоугольника $ABCD$ на рисунке 122.

Как думать. Внимание: здесь единичный отрезок — 2 клетки. Каждая клетка — это 0,5.

Решение. Вершины отстоят от оси $y$ на 3 клетки (это 1,5), от оси $x$ — на 2 клетки (это 1).

• $A$ слева вверху: $(-1{,}5; 1)$.
• $B$ справа вверху: $(1{,}5; 1)$.
• $C$ справа внизу: $(1{,}5; -1)$.
• $D$ слева внизу: $(-1{,}5; -1)$.

Ответ: $A(-1{,}5; 1)$, $B(1{,}5; 1)$, $C(1{,}5; -1)$, $D(-1{,}5; -1)$.

⚠️ Частая ошибка. Считают клетки и пишут $A(-3; 2)$. Всегда сначала смотри, где на осях стоит отметка «1».

№ 1109

Найди координаты вершин треугольника $ABC$ на рисунке 123 (единичный отрезок — 2 клетки).

Решение.

• $C$ — на оси $x$, на 2 клетки правее $O$: $C(1; 0)$.
• $B$ — 3 клетки влево, 4 клетки вверх: $B(-1{,}5; 2)$.
• $A$ — 4 клетки влево, 3 клетки вниз: $A(-2; -1{,}5)$.

Ответ: $A(-2; -1{,}5)$, $B(-1{,}5; 2)$, $C(1; 0)$.

№ 1110

Отметь точку $A(-2; 3)$ и проведи через неё прямые, перпендикулярные: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат.

Как думать. Прямая, перпендикулярная оси $x$, — вертикальная. Перпендикулярная оси $y$ — горизонтальная.

Решение.

1. Вертикальная прямая через $A$ пересекает ось $x$ в точке $-2$. У всех её точек абсцисса $-2$.
2. Горизонтальная прямая через $A$ пересекает ось $y$ в точке 3. У всех её точек ордината 3.

Ответ: 1) вертикальная прямая через точку $-2$ оси $x$; 2) горизонтальная прямая через точку 3 оси $y$.

№ 1111

Отметь точки $P(2; 1)$, $N(-4; 0)$, $E(0; 3)$, $K(-3{,}5; 0{,}5)$, $M(5; 0)$, $H(0; -6)$.

Как думать. У точки $K$ дробные координаты. Удобно взять единичный отрезок в 2 клетки: тогда 3,5 — это 7 клеток, а 0,5 — 1 клетка.

Решение. Ставим каждую точку по правилу «сначала $x$, потом $y$»:

• $P$: 2 вправо, 1 вверх (I четверть).
• $N$ и $M$ лежат на оси $x$: в точках $-4$ и 5.
• $E$ и $H$ лежат на оси $y$: в точках 3 и $-6$.
• $K$: 3,5 влево и 0,5 вверх (II четверть).

Ответ: точки построены; $N$, $M$ — на оси абсцисс, $E$, $H$ — на оси ординат.

№ 1112

1) Отметь $A(-1; -2)$, $B(0; 2)$, $C(-3; 0)$, $D(-0{,}5; 1{,}7)$, $E(0; -5)$, $K(2; 0)$ и выясни, какой четверти или оси принадлежит каждая. 2) Отметь $B(1; 4)$, $C(-5; 2)$, $D(-2; -5)$, $E(4; -3)$, $F(0; -4)$, $G(5; 0)$.

Как думать. Смотри на знаки. Ноль на месте $x$ — точка на оси $y$; ноль на месте $y$ — на оси $x$.

Решение.

1. $A(-1; -2)$ — III четверть; $B(0; 2)$ — ось $y$; $C(-3; 0)$ — ось $x$; $D(-0{,}5; 1{,}7)$ — II четверть; $E(0; -5)$ — ось $y$; $K(2; 0)$ — ось $x$.
2. $B$ — I четверть, $C$ — II, $D$ — III, $E$ — IV; $F$ — на оси $y$, $G$ — на оси $x$.

Ответ: 1) $A$ — III; $D$ — II; $B$, $E$ — ось ординат; $C$, $K$ — ось абсцисс. 2) $B$ — I, $C$ — II, $D$ — III, $E$ — IV, $F$ — ось ординат, $G$ — ось абсцисс.

№ 1113

Отметь $A(-2; -2)$, $B(-1; -1)$, $C(0; 0)$, $D(1; 1)$, $E(2; 2)$. Лежат ли они на одной прямой? Лежит ли на ней $M(-5; 5)$?

Как думать. У всех пяти точек абсцисса равна ординате. Такие точки выстраиваются в одну прямую — она идёт через начало координат по диагоналям клеток.

Решение. Приложи линейку: все пять точек на одной прямой. У её точек $y = x$. У $M$ абсцисса $-5$, а ордината 5 — они не равны. На прямой лежит точка $(-5; -5)$, а $M$ — нет, она во II четверти.

Ответ: да, лежат на одной прямой; точка $M$ на ней не лежит.

№ 1114

Построй треугольник $KMH$: $H(3; 3)$, $M(0; -2)$, $K(-3; 0)$.

Решение. $H$ — в I четверти (3 вправо, 3 вверх). $M$ — на оси $y$, на 2 ниже $O$. $K$ — на оси $x$, на 3 левее $O$. Соединяем отрезками.

Ответ: треугольник построен.

№ 1115

Построй четырёхугольник $ABCD$: $A(-1; 1)$, $B(-3; 4)$, $C(3; 2)$, $D(2; -3)$.

Решение. $A$ и $B$ — во II четверти, $C$ — в I, $D$ — в IV. Соединяем по порядку: $A \to B \to C \to D \to A$. Получится невыпуклый четырёхугольник: вершина $A$ «вдавлена» внутрь.

Ответ: четырёхугольник построен.

№ 1116

Начерти: 1) треугольник $KLM$: $K(4; -1)$, $L(-2; 0)$, $M(0; 3)$; 2) квадрат $ABCD$: $A(2; -1)$, $B(-3; -1)$, $C(-3; 4)$, $D(2; 4)$; 3) прямоугольник $KLMN$: $K(2; -3)$, $L(2; 4)$, $M(-2; 4)$, $N(-2; -3)$.

Решение.

1. $K$ — IV четверть, $L$ — на оси $x$, $M$ — на оси $y$. Соединяем.
2. $AB$ и $CD$ горизонтальны, длина $2 - (-3) = 5$. $BC$ и $AD$ вертикальны, длина $4 - (-1) = 5$. Все стороны по 5 — действительно квадрат.
3. $KL$ и $MN$ — по $4 - (-3) = 7$, $LM$ и $NK$ — по $2 - (-2) = 4$. Прямоугольник $4 \times 7$.

Ответ: фигуры построены; квадрат со стороной 5, прямоугольник со сторонами 4 и 7.

№ 1117

Проведи прямую через $C(-4; -2)$ и $D(4; 2)$. Отметь на ней точки с абсциссами $-3$; $-1$; 0; 2 и запиши их координаты.

Как думать. Посмотри на $C$ и $D$: ордината ровно в 2 раза меньше абсциссы. Значит, у каждой точки этой прямой $y = x : 2$. Прямая проходит через $O$.

Решение. $x = -3 \Rightarrow y = -1{,}5$; $x = -1 \Rightarrow y = -0{,}5$; $x = 0 \Rightarrow y = 0$; $x = 2 \Rightarrow y = 1$.

Ответ: $(-3; -1{,}5)$, $(-1; -0{,}5)$, $(0; 0)$, $(2; 1)$.

№ 1118

Проведи прямую через $A(2; 3)$ и $B(-2; -5)$. Отметь на ней точки с ординатами $-2$; 0; 1; 3 и запиши их координаты.

Как думать. От $B$ к $A$: вправо на 4, вверх на 8. Значит, на каждый шаг вправо прямая поднимается на 2. Отсюда легко найти любую точку.

Решение. Идём от точки $A(2; 3)$:

• спуск на 2 (до $y = 1$) — шаг влево на 1: $(1; 1)$;
• спуск на 3 (до $y = 0$) — шаг влево на 1,5: $(0{,}5; 0)$;
• спуск на 5 (до $y = -2$) — шаг влево на 2,5: $(-0{,}5; -2)$;
• ордината 3 — это сама точка $A(2; 3)$.

Ответ: $(-0{,}5; -2)$, $(0{,}5; 0)$, $(1; 1)$, $(2; 3)$.

№ 1119

Проведи прямую через $K(-2; -1)$ и $L(-2; 4)$ и прямую через $A(0; 0)$ и $B(1; -1)$. Найди точку их пересечения.

Как думать. У $K$ и $L$ одинаковая абсцисса $-2$ — прямая $KL$ вертикальная. Вторая прямая проходит через $O$ и $B(1; -1)$: у её точек $y = -x$.

Решение. Ищем точку, где $x = -2$ и $y = -x = 2$.

Ответ: $(-2; 2)$.

№ 1120

Построй $ABCD$: $A(-10; -2)$, $B(-2; -2)$, $C(-2; -6)$, $D(-10; -6)$. Прямоугольник или квадрат? Найди периметр и площадь (единица — 1 см). Найди точку $E$ пересечения $AC$ и $BD$.

Как думать. Вся фигура в III четверти. Стороны идут вдоль клеток, поэтому длины находим вычитанием координат.

Решение.

1. $AB = -2 - (-10) = 8$ см, $BC = -2 - (-6) = 4$ см. Углы прямые, стороны разные — это прямоугольник, но не квадрат.
2. $P = 2 \cdot (8 + 4) = 24$ см.
3. $S = 8 \cdot 4 = 32$ см².
4. Диагонали прямоугольника пересекаются в его центре — посередине по ширине и по высоте: $x = (-10 + (-2)) : 2 = -6$, $y = (-2 + (-6)) : 2 = -4$.

Ответ: прямоугольник (не квадрат); $P = 24$ см, $S = 32$ см²; $E(-6; -4)$.

№ 1121

Построй ломаные $ABCDE$: $A(-6; 2)$, $B(-4; 6)$, $C(1; 1)$, $D(2; -5)$, $E(8; -1)$ и $MNK$: $M(-5; -5)$, $N(-1; 7)$, $K(8; 4)$. Найди точки их пересечения.

Как думать. Аккуратно строим обе ломаные на клетках и ищем, где они перекрещиваются. Найденную точку проверяем подсчётом клеток.

Решение.

1. Звено $MN$ идёт от $(-5; -5)$ к $(-1; 7)$: на 1 клетку вправо — 3 клетки вверх.
2. Звено $BC$ идёт от $(-4; 6)$ к $(1; 1)$: на 1 клетку вправо — 1 клетка вниз.
3. Проверим точку $(-2; 4)$. На $MN$: от $M$ вправо на 3, вверх на 9 — да, $-5 + 9 = 4$. На $BC$: от $B$ вправо на 2, вниз на 2 — да, $6 - 2 = 4$.
4. Других пересечений нет: звено $NK$ проходит выше точки $C$, а звенья $CD$ и $DE$ лежат правее и ниже ломаной $MNK$.

Ответ: одна точка пересечения $(-2; 4)$.

№ 1122

Отметь $M(0; 5)$, $N(8; 1)$, $C(2; 2)$, $D(-6; -2)$. Найди точку пересечения прямых $MN$ и $CD$. На какой прямой лежит $K(0; 1)$?

Как думать. Прямая $MN$: от $M$ вправо на 8, вниз на 4, то есть 2 вправо — 1 вниз. Прямая $CD$: от $D$ вправо на 8, вверх на 4, то есть 2 вправо — 1 вверх.

Решение.

1. Точки $MN$: $(0; 5)$, $(2; 4)$, $(4; 3)$, $(6; 2)$…
2. Точки $CD$: $(-2; 0)$, $(0; 1)$, $(2; 2)$, $(4; 3)$…
3. Общая точка — $(4; 3)$.
4. Точка $(0; 1)$ есть в списке для $CD$. А у $MN$ при $x = 0$ ордината 5, не 1.

Ответ: $(4; 3)$; точка $K$ лежит на прямой $CD$.

№ 1123

Построй треугольник $ABK$: $A(-2; -2)$, $B(1; 5)$, $K(6; -2)$. Найди, где сторона $AK$ пересекает ось ординат.

Как думать. У $A$ и $K$ одинаковая ордината $-2$, значит, $AK$ — горизонтальный отрезок.

Решение. На оси ординат $x = 0$, а у всех точек $AK$ $y = -2$. Отрезок идёт от $x = -2$ до $x = 6$, так что $x = 0$ на нём есть.

Ответ: $(0; -2)$.

№ 1124

Даны три вершины прямоугольника $KLMN$: $K(-2; -3)$, $L(2; 4)$, $M(-2; 4)$. Найди $N$ и середины сторон. Если единица — 3 см, найди площадь и периметр.

Как думать. Отметь три точки. У $K$ и $M$ одинаковая абсцисса $-2$, у $M$ и $L$ — ордината 4. Значит, прямой угол в вершине $M$, а $N$ лежит напротив $M$: под $L$ и на уровне $K$.

Решение.

1. $N(2; -3)$. Обходить прямоугольник удобно так: $K \to M \to L \to N$. Стороны $KM$ и $LN$ вертикальные, $ML$ и $NK$ — горизонтальные.
2. Середины сторон: $KM$ — $(-2; 0{,}5)$; $ML$ — $(0; 4)$; $LN$ — $(2; 0{,}5)$; $NK$ — $(0; -3)$.
3. Длины: $4 - (-3) = 7$ единиц и $2 - (-2) = 4$ единицы. В сантиметрах: $7 \cdot 3 = 21$ см и $4 \cdot 3 = 12$ см.
4. $S = 21 \cdot 12 = 252$ см², $P = 2 \cdot (21 + 12) = 66$ см.

Ответ: $N(2; -3)$; середины $(-2; 0{,}5)$, $(0; 4)$, $(2; 0{,}5)$, $(0; -3)$; $S = 252$ см², $P = 66$ см.

№ 1125

Даны две вершины квадрата $ABCD$: $A(1; -1{,}5)$ и $B(1; 2)$. Начерти квадрат (два случая), найди $C$ и $D$, площадь и периметр.

Как думать. Сторона $AB$ известна. Квадрат можно пристроить к ней с двух сторон — справа или слева.

Решение. Сторона $3{,}5$. Справа: $C(4{,}5; 2)$, $D(4{,}5; -1{,}5)$. Слева: $C(-2{,}5; 2)$, $D(-2{,}5; -1{,}5)$. $P = 4 \cdot 3{,}5 = 14$ ед., $S = 3{,}5 \cdot 3{,}5 = 12{,}25$ кв. ед.

Ответ: $C(4{,}5; 2)$, $D(4{,}5; -1{,}5)$ или $C(-2{,}5; 2)$, $D(-2{,}5; -1{,}5)$; $P = 14$ ед., $S = 12{,}25$ кв. ед.

Уровень B

№ 1126

Как расположены точки, у которых: 1) абсцисса 3; 2) ордината $-2$; 3) ордината 5; 4) абсцисса $-4$?

Как думать. Одинаковая абсцисса — точки стоят «в столбик», на вертикальной прямой. Одинаковая ордината — «в строчку», на горизонтальной.

Решение.

1. Вертикальная прямая через точку 3 оси $x$.
2. Горизонтальная прямая через точку $-2$ оси $y$ (ниже оси $x$).
3. Горизонтальная прямая через точку 5 оси $y$.
4. Вертикальная прямая через точку $-4$ оси $x$.

Ответ: 1), 4) — прямые, параллельные оси ординат; 2), 3) — прямые, параллельные оси абсцисс.

№ 1127

Где находится точка $P(x; y)$, если: 1) $x > 0$, $y > 0$; 2) $x = 0$, $y > 0$; 3) $x < 0$, $y < 0$; 4) $x < 0$, $y > 0$; 5) $x > 0$, $y = 0$; 6) $x = 0$, $y < 0$?

Решение.

1. I четверть.
2. На оси $y$, выше начала координат.
3. III четверть.
4. II четверть.
5. На оси $x$, правее начала координат.
6. На оси $y$, ниже начала координат.

Ответ: 1) I; 2) положительная часть оси $y$; 3) III; 4) II; 5) положительная часть оси $x$; 6) отрицательная часть оси $y$.

№ 1128

Какие из точек $A(1; 3)$, $B(-1; 4)$, $C(7; -5)$, $D(0; 6)$ лежат: 1) выше оси абсцисс; 2) левее оси ординат?

Как думать. Выше оси $x$ — значит, ордината положительная. Левее оси $y$ — абсцисса отрицательная.

Решение. Положительная ордината у $A$, $B$, $D$. Отрицательная абсцисса только у $B$.

Ответ: 1) $A$, $B$, $D$; 2) $B$.

№ 1129

Выясни: 1) где все точки с абсциссой 0; 2) где все точки с ординатой 0; 3) какое свойство у абсцисс точек слева от оси ординат; 4) в каких четвертях точки с положительной абсциссой; 5) в каких четвертях точки с отрицательной ординатой; 6) какое свойство у ординат точек выше оси абсцисс.

Решение.

1. На оси ординат.
2. На оси абсцисс.
3. Все абсциссы отрицательные.
4. В I и IV четвертях (и ещё на положительной части оси $x$).
5. В III и IV четвертях (и на отрицательной части оси $y$).
6. Все ординаты положительные.

Ответ: 1) ось $y$; 2) ось $x$; 3) $x < 0$; 4) I и IV; 5) III и IV; 6) $y > 0$.

Уровень C

№ 1130

Где точки, для которых: 1) $x = 0$, $|y| > 10$; 2) $y \le 0$, $|x| > 10$; 3) $|x| < 1$, $y > 0$?

Как думать. Задача повышенной трудности. Вспомни: $|y| > 10$ означает «$y > 10$ или $y < -10$», а $|x| < 1$ — это «$-1 < x < 1$».

Решение.

1. Точки на оси $y$, у которых $y > 10$ или $y < -10$. Это два луча оси ординат: выше точки 10 и ниже точки $-10$ (сами эти точки не берём).
2. Точки ниже оси $x$ или на ней, у которых $x > 10$ или $x < -10$. Это две области в нижней половине плоскости: правее прямой $x = 10$ и левее прямой $x = -10$ (ось $x$ входит, сами вертикальные границы — нет).
3. Точки между вертикальными прямыми $x = -1$ и $x = 1$ и выше оси $x$. Это полоса шириной 2, уходящая вверх (границы не входят).

Ответ: 1) два луча оси ординат: $y > 10$ и $y < -10$; 2) две части нижней полуплоскости: $x > 10$ и $x < -10$; 3) вертикальная полоса $-1 < x < 1$ над осью абсцисс.

Повторение

№ 1131

Ерлан за три дня прочитал 18 страниц. В первый день — на 1 страницу меньше, во второй — на 4 больше, чем в третий. Сколько страниц он читал каждый день?

Как думать. Всё сравнивается с третьим днём — его и берём за $x$.

Решение.

1. Третий день — $x$, первый — $x - 1$, второй — $x + 4$.
2. $(x - 1) + (x + 4) + x = 18$, $3x + 3 = 18$, $3x = 15$, $x = 5$.
3. Первый день: $5 - 1 = 4$; второй: $5 + 4 = 9$. Проверка: $4 + 9 + 5 = 18$ ✓.

Ответ: 4 страницы, 9 страниц, 5 страниц.

Готовимся к следующей теме

№ 1132

Начерти прямую $a$ и на ней отрезок $AB$. Построй отрезок $BC$, равный $AB$.

Как думать. Проще всего построить $BC$ на той же прямой — продолжить отрезок за точку $B$.

Решение. Начерти прямую $a$, отметь на ней $A$ и $B$ (например, $AB = 3$ см). Раствором циркуля, равным $AB$, сделай засечку на прямой $a$ от точки $B$ в сторону, противоположную $A$. Получишь $C$. Тогда $BC = AB = 3$ см, а $B$ — середина отрезка $AC$.

Ответ: $BC = AB$; точка $B$ оказалась серединой $AC$ — это пригодится в теме о симметрии.

№ 1133

Проведи прямую $a$ и построй прямую $b$, перпендикулярную $a$.

Решение. Приложи угольник одним катетом к прямой $a$. Вдоль второго катета проведи прямую $b$. Угол между $a$ и $b$ — $90^\circ$. Записывают так: $b \perp a$.

Ответ: прямая $b \perp a$ построена.

Шпаргалка

• Две перпендикулярные координатные прямые с общим нулём — прямоугольная система координат.
• Координаты точки: сначала абсцисса $x$, потом ордината $y$.
• Точка на оси $x$: $(a; 0)$; на оси $y$: $(0; b)$.
• Четверти нумеруют против часовой стрелки от правой верхней.
• Проверь единичный отрезок: он не всегда равен одной клетке.

Мини-тест