§ 43. Центральная и осевая симметрии

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 6: Координатная плоскость. Страницы 97–103.

Чему научишься

• Строить точку, симметричную данной относительно точки (центральная симметрия).
• Строить точку, симметричную данной относительно прямой (осевая симметрия).
• Быстро находить симметричные точки на координатной плоскости — просто меняя знаки координат.
• Узнавать фигуры, у которых есть центр или ось симметрии.

Разминка

Это задания № 1132 и 1133 из прошлого урока.

• Как отложить на прямой отрезок $BC$, равный $AB$? Циркулем: ставим ножку в $B$ и делаем засечку раствором $AB$ по другую сторону от $A$.
• Чем тогда оказывается точка $B$ для отрезка $AC$? Его серединой: $AB = BC$.
• Как построить прямую $b$, перпендикулярную прямой $a$? Угольником: один катет кладём на $a$, вдоль другого чертим $b$.
• Какие координаты у точки, противоположной числу 3 на координатной прямой? $-3$. Она на том же расстоянии от нуля, но с другой стороны.

💡 Середина отрезка и перпендикуляр — два главных инструмента этого урока. С ними построим любую симметрию.

Разбираемся

Симметрия «через точку»

Точка $O$ — середина отрезка $AB$, если $AO = OB$. А теперь переверни мысль: если $O$ — середина $AB$, то точки $A$ и $B$ называют симметричными относительно точки $O$. Сама точка $O$ — центр симметрии.

Как построить точку, симметричную точке $E$ относительно $O$?

1. Проведи луч из $E$ через $O$.
2. За точкой $O$ отложи на этом луче отрезок $OF = OE$.
3. Точка $F$ — готова.

📌 На координатной плоскости всё ещё проще: точка, симметричная $(x; y)$ относительно начала координат, — это $(-x; -y)$. Оба знака меняются.

Чтобы построить отрезок, симметричный отрезку $AB$, достаточно построить симметричные точки для его концов и соединить их. Получится отрезок той же длины, параллельный $AB$.

Центрально-симметричные фигуры — те, что совпадают сами с собой при симметрии относительно какой-то точки: квадрат (центр — точка пересечения диагоналей), окружность и круг (центр — их центр), прямоугольник.

Симметрия «через прямую»

Точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $l$, если отрезок $AB$ перпендикулярен $l$ и обе точки на одинаковом расстоянии от $l$. Прямая $l$ — ось симметрии. Коротко: $AB \perp l$ и $AO = OB$, где $O$ — точка пересечения $AB$ и $l$.

💡 Проверка «на просвет»: нарисуй фигуру на кальке и сложи лист по оси. Симметричные фигуры совпадут, как две половинки бабочки.

На координатной плоскости:

• симметрия относительно оси $x$: $(x; y) \to (x; -y)$ — меняется знак ординаты;
• симметрия относительно оси $y$: $(x; y) \to (-x; y)$ — меняется знак абсциссы.

⚠️ Частая ошибка. Путают, какой знак менять. Подсказка: при симметрии относительно оси $x$ точка «прыгает» через ось $x$ вверх-вниз, значит, меняется $y$. Ось, через которую прыгаем, свою координату не трогает.

Осевой симметрией обладают: равнобедренный треугольник (1 ось), равносторонний треугольник (3 оси), прямоугольник (2 оси), квадрат (4 оси), круг (бесконечно много осей — любая прямая через центр).

🌟 Казахский орнамент почти всегда симметричен: узор «қошқар мүйіз» («бараньи рога») повторяет завитки зеркально. Посмотри на ковёр-сырмак или на флаг Казахстана — орнамент там тоже строится по законам симметрии.

👨‍👩‍👧 Родителю. Предложите ребёнку найти дома пять симметричных предметов и показать ось или центр: тарелка, окно, буква Ж, снежинка, домбра (почти). Так понятие перестаёт быть абстрактным.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какие точки называют центрально-симметричными? Точки $A$ и $B$ симметричны относительно точки $O$, если $O$ — середина отрезка $AB$.
• Как построить фигуру, симметричную данной относительно точки? Строим точки, симметричные её вершинам, и соединяем их в том же порядке.
• Какие точки симметричны относительно прямой? Те, у которых соединяющий отрезок перпендикулярен прямой и делится ею пополам.
• Какие фигуры имеют ось симметрии? Равнобедренный и равносторонний треугольники, прямоугольник, квадрат, круг и многие другие.
• Почему точка $F$ из примера симметрична $E$? Потому что $E$, $O$, $F$ лежат на одной прямой и $OF = OE$, то есть $O$ — середина $EF$.
• Какие виды симметрии ты знаешь? Центральную (относительно точки) и осевую (относительно прямой).
• Где в жизни встречается симметрия? Бабочка и листья (осевая), снежинка (обе), колесо и юрта сверху (центральная), здание Байтерека, буквы А, Н, Ш, орнаменты на коврах.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 1134

По рисунку 135 найди точки, симметричные относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат; 3) начала координат. Отмечены $A(3; 5)$, $B(-3; 5)$, $C(-4; 2)$, $D(4; 2)$, $E(-4; -2)$, $F(4; -2)$, $K(2; -5)$.

Как думать. Относительно оси $x$ — меняется только знак $y$; относительно оси $y$ — только знак $x$; относительно $O$ — оба знака.

Решение.

1. Ось абсцисс: $C(-4; 2)$ и $E(-4; -2)$; $D(4; 2)$ и $F(4; -2)$.
2. Ось ординат: $A(3; 5)$ и $B(-3; 5)$; $C(-4; 2)$ и $D(4; 2)$; $E(-4; -2)$ и $F(4; -2)$.
3. Начало координат: $C(-4; 2)$ и $F(4; -2)$; $D(4; 2)$ и $E(-4; -2)$.

Точке $K(2; -5)$ пары нет.

Ответ: 1) $C$ и $E$, $D$ и $F$; 2) $A$ и $B$, $C$ и $D$, $E$ и $F$; 3) $C$ и $F$, $D$ и $E$.

№ 1135

Построй точку, симметричную точке: а) $A(1; 4)$; б) $B(-3; 2)$; в) $C(-1; -5)$; г) $D(4; -3)$ относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат.

Решение.

Ответ: в таблице.

№ 1136

Построй точку, симметричную относительно начала координат: 1) $M(-4; 3)$; 2) $N(5; -2)$; 3) $Q(4; 4)$; 4) $P(-1; -1)$.

Решение. Меняем оба знака: 1) $(4; -3)$; 2) $(-5; 2)$; 3) $(-4; -4)$; 4) $(1; 1)$.

Ответ: $(4; -3)$; $(-5; 2)$; $(-4; -4)$; $(1; 1)$.

№ 1137

Построй $S(-6; 2)$, $F(3; 5)$, $T(1; -5)$ и точки: 1) $A$, $B$, $C$, симметричные им относительно оси абсцисс; 2) $M$, $N$, $K$, симметричные относительно оси ординат.

Решение.

1. Меняем знак $y$: $A(-6; -2)$, $B(3; -5)$, $C(1; 5)$.
2. Меняем знак $x$: $M(6; 2)$, $N(-3; 5)$, $K(-1; -5)$.

Ответ: $A(-6; -2)$, $B(3; -5)$, $C(1; 5)$; $M(6; 2)$, $N(-3; 5)$, $K(-1; -5)$.

№ 1138

Построй треугольник $ABC$: $A(-5; 3)$, $B(-2; -3)$, $C(-1; 6)$. Построй точки, симметричные его вершинам относительно оси ординат, запиши их координаты и соедини. Какая фигура получилась?

Решение. Меняем знак абсциссы: $A_1(5; 3)$, $B_1(2; -3)$, $C_1(1; 6)$. Соединяем — получается треугольник $A_1B_1C_1$, зеркальное отражение $ABC$. Если сложить лист по оси $y$, треугольники совпадут.

Ответ: $(5; 3)$, $(2; -3)$, $(1; 6)$; треугольник, равный треугольнику $ABC$.

№ 1139

Построй четырёхугольник $MNKF$: $M(2; -4)$, $N(5; -1)$, $K(6; 2)$, $F(3; 4)$. Построй точки, симметричные вершинам относительно начала координат, соедини по порядку. Какая фигура получилась?

Решение. Меняем оба знака: $M_1(-2; 4)$, $N_1(-5; 1)$, $K_1(-6; -2)$, $F_1(-3; -4)$. Соединяем по порядку — получается четырёхугольник $M_1N_1K_1F_1$, равный $MNKF$, только «перевёрнутый» на пол-оборота вокруг точки $O$.

Ответ: $(-2; 4)$, $(-5; 1)$, $(-6; -2)$, $(-3; -4)$; четырёхугольник, равный $MNKF$.

№ 1140

Точка $B$ лежит на прямой $l$, точка $A$ — слева от неё (рис. 136). Отметь точку $C$, симметричную $A$ относительно $l$. Какая точка симметрична $B$? Проведи $BC$, измерь и сравни $AB$ и $BC$.

Как думать. Чтобы отразить $A$, опусти из неё перпендикуляр на $l$ и продли его за прямую на такое же расстояние. А точка, которая лежит на самой оси, отражается сама в себя.

Решение.

1. Угольником проведи из $A$ перпендикуляр к $l$. Пусть он пересёк $l$ в точке $O$.
2. За прямой $l$ отложи $OC = AO$. Это точка $C$.
3. Точка $B$ лежит на оси, поэтому она симметрична сама себе.
4. Отрезок $BC$ симметричен отрезку $BA$, поэтому при измерении $AB = BC$.

Ответ: точка $B$ симметрична сама себе; $AB = BC$.

№ 1141

Начерти отрезок $AB = 2$ см и точку $O$ под ним (рис. 137). Построй $M$, симметричную $A$, и $K$, симметричную $B$, относительно $O$. Проведи $MK$ и сравни с $AB$.

Решение.

1. Проведи луч $AO$ и отложи за точкой $O$ отрезок $OM = AO$.
2. Проведи луч $BO$ и отложи $OK = BO$.
3. Соедини $M$ и $K$. Отрезок $MK$ окажется по другую сторону от $O$ и «вверх ногами»: $M$ справа, $K$ слева.
4. Измерь: $MK = 2$ см. Кроме того, $MK \parallel AB$.

Ответ: $MK = AB = 2$ см.

Уровень B

№ 1142

Нарисуй прямоугольный треугольник $ABC$: $\angle C = 90^\circ$, $CB = 2$ см, $AC = 3$ см (рис. 138). Построй точку $P$, симметричную $B$ относительно прямой $l$, которая содержит $AC$. Какие точки симметричны $A$ и $C$? Проведи $PA$, $PC$ и сравни $PC$ и $CB$.

Как думать. $BC \perp AC$, то есть отрезок $BC$ уже перпендикулярен оси $l$. Значит, $P$ лежит на продолжении $BC$ за точку $C$.

Решение.

1. Продолжи отрезок $BC$ за точку $C$ и отложи $CP = CB = 2$ см.
2. Точки $A$ и $C$ лежат на оси $l$ — каждая симметрична сама себе.
3. Треугольник $APC$ — зеркальное отражение $ABC$. Вместе они дают равнобедренный треугольник $ABP$ с $AB = AP$.

Ответ: $A$ и $C$ симметричны сами себе; $PC = CB = 2$ см.

№ 1143

Построй $\angle ABC = 45^\circ$. На луче $BA$ отметь точку $M$ и построй $K$, симметричную $M$ относительно прямой $BC$. Какая точка симметрична $B$? Проведи луч $BK$, измерь угол $CBK$ и сравни с $\angle ABC$.

Решение.

1. Из $M$ опусти перпендикуляр на прямую $BC$ и продли его за прямую на такое же расстояние — получится $K$.
2. Точка $B$ лежит на прямой $BC$, поэтому симметрична сама себе.
3. Луч $BK$ — отражение луча $BA$. Угол при отражении не меняется: $\angle CBK = 45^\circ$.

Ответ: $B$ симметрична сама себе; $\angle CBK = \angle ABC = 45^\circ$.

Уровень C

№ 1144

Построй круговой сектор с $\angle AOB = 40^\circ$ (рис. 140). Отметь точки $P$ и $T$, симметричные $A$ и $B$ относительно центра $O$. Проведи $OP$, $OT$, закрась новый сектор и измерь его угол. Сравни $\angle AOB$ и $\angle POT$.

Как думать. $P$ — конец диаметра, идущего из $A$; $T$ — конец диаметра из $B$. Углы $AOB$ и $POT$ лежат «напротив» друг друга — это вертикальные углы.

Решение.

1. Продли радиус $OA$ за центр до окружности — получится $P$ (так как $OP = OA$).
2. Так же продли $OB$ — получится $T$.
3. Сектор $POT$ — отражение сектора $AOB$ относительно $O$. Транспортир покажет $\angle POT = 40^\circ$.

Ответ: $\angle POT = \angle AOB = 40^\circ$.

Повторение

№ 1145

50 груш разложили в два пакета и корзину. В корзине на 14 груш больше, чем в каждом пакете. Сколько груш в каждом пакете и в корзине?

Решение.

1. В каждом пакете $x$ груш, в корзине $x + 14$.
2. $x + x + x + 14 = 50$, $3x = 36$, $x = 12$.
3. В корзине $12 + 14 = 26$. Проверка: $12 + 12 + 26 = 50$ ✓.

Ответ: 12 груш, 12 груш, 26 груш.

№ 1146

Реши систему неравенств: $-10(x - 4) < 3(4 - 2x) - 3x$ и $1{,}6(0{,}1x - 3) > 3(-6 + 0{,}1x) + 0{,}3x$. Ответ покажет, на сколько процентов птицы снижают потери урожая, уничтожая вредных насекомых.

Как думать. Решаем каждое неравенство отдельно, потом ищем числа, подходящие обоим.

Решение. Первое неравенство даёт $x > 28$, второе — $x < 30$. Общая часть: $x \in (28; 30)$.

Ответ: $(28; 30)$; птицы снижают потери на 28–30%.

Готовимся к следующей теме

№ 1147

1) Назови предметы в форме прямоугольника, шара, круга, сферы, треугольника. Чем они похожи и чем отличаются? 2) Сколько у куба вершин, рёбер, граней? Какая фигура — грань куба?

Как думать. Прямоугольник, круг, треугольник — плоские: их можно нарисовать на листе целиком. Шар и сфера — объёмные. Шар — сплошное тело (как мяч-попрыгунчик), а сфера — только его поверхность (как оболочка воздушного шарика).

Решение.

1. Прямоугольник — дверь, экран телефона, тетрадь. Круг — монета 100 тенге, крышка кастрюли. Треугольник — дорожный знак, кусок пиццы. Шар — арбуз, бильярдный шар. Сфера — мыльный пузырь, ёлочная игрушка. Сходство: все они — геометрические фигуры. Различие: одни плоские, другие объёмные.
2. У куба 8 вершин, 12 рёбер и 6 граней. Каждая грань — квадрат.

Ответ: 2) 8 вершин, 12 рёбер, 6 граней; грань — квадрат.

Шпаргалка

• Центр симметрии — середина отрезка между симметричными точками.
• Ось симметрии перпендикулярна отрезку и делит его пополам.
• Симметричные фигуры равны: длины и углы сохраняются.
• На координатной плоскости: через ось $x$ меняем знак $y$, через ось $y$ — знак $x$, через $O$ — оба.
• Центрально-симметричны: квадрат, прямоугольник, круг. Ось есть у равнобедренного треугольника, прямоугольника, квадрата, круга.

Мини-тест