§ 44. Расположение фигур в пространстве. Изображение пространственных фигур

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 7: Фигуры в пространстве. Страницы 104–106.

Чему научишься

• Отличать плоские фигуры от пространственных (объёмных).
• Рисовать куб, прямоугольный параллелепипед, пирамиду, шар и цилиндр на клетчатой бумаге.
• Показывать невидимые линии пунктиром, а видимые — сплошной линией.
• Считать видимые и невидимые рёбра и грани на рисунке.

Разминка

Это задание № 1147 из прошлого урока.

• Чем отличаются круг и шар? Круг плоский, его можно целиком нарисовать на листе. Шар объёмный: как мяч, его можно взять в руки.
• Чем шар отличается от сферы? Шар — сплошное тело (как арбуз), сфера — только его поверхность (как мыльный пузырь).
• Сколько у куба вершин, рёбер и граней? 8 вершин, 12 рёбер, 6 граней.
• Какая фигура — грань куба? Квадрат.

Разбираемся

Плоское и объёмное

Квадрат, круг, треугольник лежат в плоскости — целиком на листе. А куб, шар, пирамида, цилиндр занимают место в пространстве: у них есть длина, ширина и высота. Это пространственные фигуры.

Проблема: лист бумаги плоский. Как показать на нём объёмную вещь?

Главный приём — пунктир

Посмотри на кубик на столе. Три грани ты видишь, а три спрятаны сзади. Художники и инженеры договорились так:

📌 Видимые линии рисуют сплошными, а невидимые (закрытые) — пунктиром.

Пунктир будто говорит: «Это ребро есть, просто оно сзади».

Рисуем куб по шагам

1. Нарисуй квадрат — это передняя грань.
2. Нарисуй такой же квадрат, сдвинутый вправо-вверх, — это задняя грань. Часть её сторон закрыта передней гранью — их делай пунктиром.
3. Соедини соответствующие вершины двух квадратов отрезками. Ребро, идущее из закрытой вершины, тоже пунктирное.

⚠️ Частая ошибка. Рисуют все рёбра сплошными. Тогда непонятно, какая грань впереди, и кубик «прыгает» — то кажется, что смотришь сверху, то снизу. Пунктир снимает путаницу.

Шар, пирамида, цилиндр

• Шар: рисуем круг, отмечаем центр и проводим «экватор» — овал (эллипс). Передняя половина овала сплошная, задняя — пунктир.
• Пирамида: рисуем треугольник-основание, над ним точку-вершину и соединяем её с вершинами основания. Ребро основания, которое сзади, — пунктир.
• Цилиндр: рисуем овал (верхнее основание), опускаем две вертикальные линии и внизу рисуем второй овал. Задняя половина нижнего овала — пунктир.

💡 Шар на плоскости изображают кругом и овалом: круг — его контур, овал — «пояс» шара, который мы видим наискосок.

👨‍👩‍👧 Родителю. Поставьте на стол коробку и спросите: «Сколько граней ты видишь? А сколько их всего?» Потом пусть ребёнок нарисует коробку и проверит, что спрятанные рёбра у него пунктирные.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как изобразить пространственную фигуру на плоскости? Видимые линии рисуют сплошными, невидимые — пунктиром.
• Можно ли нарисовать куб или прямоугольный параллелепипед так, чтобы все рёбра и грани были видимыми? Нет. С любой стороны часть фигуры закрыта: видно не больше трёх граней, а хотя бы три ребра всегда спрятаны.
• Какие фигуры используют, чтобы нарисовать шар? Круг (контур шара) и овал-эллипс (его «экватор»).

Решаем упражнения

Уровень A

№ 1148

Сколько рёбер куба на рисунке видимые, а сколько невидимые?

Как думать. У куба 12 рёбер. Сзади спрятана одна вершина. Из неё выходят 3 ребра — они и невидимые.

Решение. Невидимых — 3, видимых — $12 - 3 = 9$.

Ответ: 9 видимых, 3 невидимых.

№ 1149

Сколько рёбер прямоугольного параллелепипеда на рисунке видимые, а сколько невидимые?

Как думать. Параллелепипед устроен как куб: 8 вершин, 12 рёбер. Рисуют его точно так же.

Решение. Одна вершина спрятана, из неё выходят 3 невидимых ребра. Видимых $12 - 3 = 9$.

Ответ: 9 видимых, 3 невидимых.

№ 1150

Сколько рёбер пирамиды на рисунке 143 видимые, а сколько невидимые?

Как думать. На рисунке 143 треугольная пирамида: в основании треугольник (3 ребра) и ещё 3 боковых ребра от вершины. Всего 6.

Решение. Пунктиром показано одно ребро основания — заднее. Видимых $6 - 1 = 5$.

Ответ: 5 видимых, 1 невидимое.

№ 1151

Сколько граней куба на рисунке видимые, а сколько невидимые?

Решение. Видны передняя, верхняя и правая боковая — 3 грани. Задняя, нижняя и левая спрятаны — тоже 3. Всего $3 + 3 = 6$.

Ответ: 3 видимые, 3 невидимые.

№ 1152

Сколько граней прямоугольного параллелепипеда на рисунке видимые, а сколько невидимые?

Решение. Как у куба: видны 3 грани (передняя, верхняя, боковая), спрятаны 3 (задняя, нижняя, другая боковая).

Ответ: 3 видимые, 3 невидимые.

№ 1153

Сколько граней пирамиды на рисунке 143 видимые, а сколько невидимые?

Как думать. У треугольной пирамиды 4 грани: основание и 3 боковые грани. На рисунке мы смотрим чуть сверху, спереди.

Решение. Видны 2 передние боковые грани. Задняя боковая грань (в ней лежит пунктирное ребро) и основание снизу спрятаны.

Ответ: 2 видимые, 2 невидимые.

Уровень B

№ 1154

Нарисуй по клеткам куб с ребром 2 см.

Как думать. Клетка тетради — 0,5 см, значит, 2 см — это 4 клетки. Переднюю грань рисуем настоящим квадратом. Рёбра, уходящие вглубь, ведём по диагоналям клеток.

Решение.

1. Нарисуй квадрат 4 × 4 клетки — переднюю грань.
2. От каждой вершины проведи отрезок по диагонали 2 клеток вправо-вверх.
3. Соедини концы — получится задняя грань.
4. Три ребра, которые сходятся в левой нижней задней вершине, обведи пунктиром.

Ответ: куб нарисован; видимых рёбер 9, невидимых 3.

№ 1155

На рисунке 145 четыре изображения прямоугольного параллелепипеда. Какое правильное?

Как думать. Ищем рисунок, где сплошные — только видимые рёбра, а пунктиром — ровно три ребра из одной спрятанной вершины.

Решение. На 1-м всё сплошное — непонятно, что сзади. На 3-м всё пунктиром. На 4-м всё перепутано. Верно только на 2-м.

Ответ: рисунок 2.

Уровень C

№ 1156

Нарисуй по клеткам прямоугольный параллелепипед с измерениями 2 см, 4 см и 5 см. Сколько разных параллелепипедов можно построить?

Как думать. Задача повышенной трудности. Сам параллелепипед — один: это та же «коробка». Но на рисунке её можно поставить по-разному: высокой, плоской, длинной. Перебираем, какое измерение — длина, какое — ширина (уходит вглубь), какое — высота.

Решение.

1. Переводим в клетки: 2 см — 4 клетки, 4 см — 8 клеток, 5 см — 10 клеток.
2. Например, высота 5 см, длина 4 см: передняя грань — прямоугольник 8 × 10 клеток, ширину 2 см ведём вглубь.
3. Всего вариантов расположения: $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.

Ответ: все такие параллелепипеды равны, но изобразить можно 6 способами (по-разному выбирая длину, ширину и высоту).

Готовимся к следующей теме

№ 1157

Начерти координатную плоскость, отметь три точки и запиши их координаты.

Решение. Пример: $A(2; 3)$ — I четверть, $B(-4; 1)$ — II четверть, $C(0; -2)$ — на оси $y$. Помни: сначала абсцисса, потом ордината.

Ответ: например, $A(2; 3)$, $B(-4; 1)$, $C(0; -2)$.

№ 1158

Начерти координатную прямую, отметь точки с координатами 8, $-4$, 2,5 и найди длины получившихся отрезков.

Как думать. Длина отрезка на прямой — большая координата минус меньшая.

Решение.

1. От $-4$ до 2,5: $2{,}5 - (-4) = 6{,}5$.
2. От 2,5 до 8: $8 - 2{,}5 = 5{,}5$.
3. От $-4$ до 8: $8 - (-4) = 12$.

Ответ: 6,5; 5,5; 12.

Шпаргалка

• Плоские фигуры лежат на листе целиком, пространственные — нет.
• Видимые линии — сплошные, невидимые — пунктир.
• Куб: передний квадрат + сдвинутый задний + соединяющие рёбра.
• Шар — круг и овал; цилиндр — два овала и две вертикали.
• Больше трёх граней куба одновременно не увидишь.

Мини-тест