§ 45. Понятие вектора

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 7: Фигуры в пространстве. Страницы 107–109.

Чему научишься

• Отличать величины, у которых есть только число, от величин с направлением.
• Понимать, что такое вектор, его начало и конец.
• Обозначать векторы: $\overrightarrow{AB}$ или $\vec{a}$.
• Строить вектор на координатной плоскости по координатам его начала и конца.

Разминка

Это задания № 1157 и 1158 из прошлого урока.

• Какие координаты у точки на 3 правее и на 2 ниже начала координат? $(3; -2)$.
• В какой четверти точка $(-4; 1)$? Во II.
• Длина отрезка между точками $-4$ и 8 на координатной прямой? $8 - (-4) = 12$.
• А между 2,5 и 8? $8 - 2{,}5 = 5{,}5$.

💡 Отрезок от $-4$ до 8 и отрезок от 8 до $-4$ — один и тот же отрезок. А вот «пройти от $-4$ до 8» и «пройти от 8 до $-4$» — разные прогулки: направление противоположное. Вот тут и нужен вектор.

Разбираемся

Число и направление

Масса арбуза — 5 кг. Урок длится 40 минут. Тетрадь стоит 150 тенге. Тут хватает одного числа.

А теперь: «Ветер дует со скоростью 10 м/с». Откуда дует? С гор или со степи? Для скорости, силы, перемещения важно ещё и направление. Такие величины называют векторными, или векторами.

Отрезок со стрелкой

📌 Вектор $\overrightarrow{AB}$ — это направленный отрезок: точка $A$ — его начало, точка $B$ — конец. Направление показывают стрелкой у конца.

Обозначают векторы двумя большими буквами со стрелкой сверху: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{CD}$ (первой пишут начало!) или одной маленькой: $\vec{a}$, $\vec{b}$.

⚠️ Частая ошибка. $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BA}$ — разные векторы: у них одинаковая длина, но противоположные направления. Первая буква — всегда начало.

Вектор нулевой длины

Если начало и конец совпадают, получается нулевой вектор: $\overrightarrow{PP}$ или $\vec{0}$. На рисунке это просто точка. Любую точку плоскости можно считать нулевым вектором.

Как построить вектор на координатной плоскости

Нужно знать координаты начала и конца. Отмечаем обе точки, соединяем отрезком и ставим стрелку у конца.

🌟 Слово «вектор» — латинское: vector значит «несущий», «везущий». Вектор как будто переносит точку из начала в конец.

👨‍👩‍👧 Родителю. Сыграйте в «клад»: «От двери 4 шага к окну, потом 3 шага к шкафу». Каждая команда — вектор: число шагов плюс направление. Спросите, что будет, если перепутать направление.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Что называют вектором? Направленный отрезок: у него есть начало и конец, направление показывает стрелка.
• Как обозначают векторы? Двумя большими буквами со стрелкой ($\overrightarrow{AB}$, начало первым) или одной маленькой ($\vec{a}$).
• Какой вектор называют нулевым? Тот, у которого начало совпадает с концом, например $\overrightarrow{PP}$.
• Что нужно знать, чтобы построить вектор на координатной плоскости? Координаты его начала и конца.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 1159

Начерти три вектора и обозначь их.

Как думать. Подойдут любые направленные отрезки. Главное — стрелка у конца и правильная подпись.

Решение. Пример:

1. $\overrightarrow{AB}$ — горизонтальный, 4 клетки вправо.
2. $\overrightarrow{CD}$ — вертикальный, 3 клетки вниз.
3. $\vec{a}$ — наклонный, вверх-влево.

У каждого отрезка ставим стрелку на конце ($B$, $D$ и верхний конец $\vec{a}$).

Ответ: например, $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{CD}$, $\vec{a}$.

№ 1160

Изобрази на координатной плоскости векторы $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{MK}$, если $A(1; 4)$, $B(-1; 3)$, $C(-1; -1)$, $D(4; 0)$, $M(0; 5)$, $K(-2; 4)$.

Решение.

1. $\overrightarrow{AB}$: из $A(1; 4)$ в $B(-1; 3)$ — на 2 влево и на 1 вниз.
2. $\overrightarrow{CD}$: из $C(-1; -1)$ в $D(4; 0)$ — на 5 вправо и на 1 вверх.
3. $\overrightarrow{MK}$: из $M(0; 5)$ в $K(-2; 4)$ — на 2 влево и на 1 вниз.

💡 Заметил? $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{MK}$ сдвигаются одинаково: 2 влево и 1 вниз. Это равные векторы — одинаковые по длине и направлению, только в разных местах.

Ответ: векторы построены.

№ 1161

Начерти в каждой четверти по одному вектору и запиши координаты их начала и конца.

Как думать. Обе точки вектора должны лежать в одной четверти: смотри на знаки координат.

Решение. Пример:

• I четверть: $\overrightarrow{AB}$, $A(1; 1)$, $B(4; 3)$.
• II четверть: $\overrightarrow{CD}$, $C(-1; 2)$, $D(-4; 4)$.
• III четверть: $\overrightarrow{EF}$, $E(-2; -1)$, $F(-5; -3)$.
• IV четверть: $\overrightarrow{MN}$, $M(1; -4)$, $N(3; -1)$.

Ответ: например, как выше.

№ 1162

Запиши координаты начала и конца векторов на рисунке 150.

Как думать. Числа на осях не подписаны — считаем, что сторона клетки равна единице. Начало — первая буква в названии вектора.

Решение.

1. $\overrightarrow{MN}$: начало $M(-1; 5)$, конец $N(9; 5)$ — горизонтальный, вправо.
2. $\overrightarrow{KL}$: начало $K(8; 3)$, конец $L(1; 3)$ — горизонтальный, влево.
3. $\overrightarrow{FP}$: начало $F(-2; -2)$, конец $P(-2; 6)$ — вертикальный, вверх.

Ответ: $M(-1; 5)$, $N(9; 5)$; $K(8; 3)$, $L(1; 3)$; $F(-2; -2)$, $P(-2; 6)$.

Уровень B

№ 1163

Изобрази вектор $\overrightarrow{AB}$: $A(0; 2)$, $B(-3; 2)$. Построй $\overrightarrow{CD}$, если $C$ и $D$ симметричны $A$ и $B$ относительно начала координат.

Как думать. Симметрия относительно начала координат меняет знаки обеих координат.

Решение.

1. $\overrightarrow{AB}$ — горизонтальный, идёт от оси $y$ на 3 влево; длина 3.
2. $C(0; -2)$, $D(3; -2)$.
3. $\overrightarrow{CD}$ — тоже горизонтальный, длина 3, но идёт вправо. Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ одной длины, но противоположно направлены.

Ответ: $C(0; -2)$, $D(3; -2)$; $\overrightarrow{CD}$ равен по длине $\overrightarrow{AB}$, но направлен в противоположную сторону.

Уровень C

№ 1164

Подготовь сообщение: У. Гамильтон ввёл понятие вектора.

Как думать. Сообщение — 5–7 предложений: кто, когда, что сделал, зачем это нужно. Даты проверь по энциклопедии.

Решение. Пример сообщения:

Уильям Роуэн Гамильтон (1805–1865) — ирландский математик и физик. Ещё мальчиком он знал больше десяти языков, а в 22 года стал профессором. В 1843 году он придумал новые «числа» — кватернионы. Работая с ними, Гамильтон в середине 1840-х годов ввёл слово «вектор» (от латинского vector — «несущий»). Он называл так направленный отрезок, который «переносит» точку из одного места в другое. Сегодня векторы нужны в физике (скорость, сила), в навигации, в компьютерных играх и графике.

Ответ: пример сообщения выше (даты проверь по источнику).

№ 1165

Найди разность чисел: 1) 6,5 и $-4{,}05$; 2) 8 и 9,04; 3) $-78{,}96$ и 56,95. Сколько ответов получится в каждом пункте? Объясни.

Как думать. Сказано «разность чисел», но не сказано, какое из чисел уменьшаемое. Можно вычесть первое из второго или второе из первого. Как с векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BA}$: длина одна, знак разный.

Решение.

1. $6{,}5 - (-4{,}05) = 10{,}55$; $-4{,}05 - 6{,}5 = -10{,}55$.
2. $8 - 9{,}04 = -1{,}04$; $9{,}04 - 8 = 1{,}04$.
3. $-78{,}96 - 56{,}95 = -135{,}91$; $56{,}95 - (-78{,}96) = 135{,}91$.

Ответ: в каждом пункте два ответа — противоположные числа: $\pm 10{,}55$; $\pm 1{,}04$; $\pm 135{,}91$. От перестановки уменьшаемого и вычитаемого разность меняет знак.

Готовимся к следующей теме

№ 1166

Расположи числа 5; $-1$; 8; $-0{,}5$; $-2$ в порядке возрастания.

Как думать. Сначала отрицательные: из них меньше то, у которого модуль больше. Потом положительные.

Решение. $-2 < -1 < -0{,}5 < 5 < 8$.

Ответ: $-2$; $-1$; $-0{,}5$; 5; 8.

№ 1167

Найди наибольшее среди чисел 0,8; $-0{,}8$; 0; 0,81.

Решение. Положительные: 0,8 и 0,81. Сравниваем: $0{,}80 < 0{,}81$.

Ответ: 0,81.

№ 1168

Найди наименьшее среди чисел $-2{,}03$; 3,8; 0; $-2{,}3$.

Как думать. Наименьшее — среди отрицательных. У $-2{,}3$ модуль 2,30, у $-2{,}03$ — 2,03.

Решение. $2{,}30 > 2{,}03$, значит, $-2{,}3 < -2{,}03$.

Ответ: $-2{,}3$.

⚠️ Частая ошибка. Думают, что $-2{,}03$ меньше, потому что «там больше цифр». Допиши нуль: $-2{,}30$ и $-2{,}03$. Сразу видно, что $-2{,}30$ дальше от нуля влево.

Шпаргалка

• Масса, время, цена — только число. Скорость, сила — число и направление.
• Вектор — отрезок со стрелкой у конца.
• В записи $\overrightarrow{AB}$ первой идёт буква начала.
• Нулевой вектор — точка.
• На координатной плоскости вектор строят по двум точкам — началу и концу.

Мини-тест