§ 46. Статистические данные и их характеристики

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 8: Статистика. Комбинаторика. Страницы 110–115.

Чему научишься

• Находить среднее арифметическое нескольких чисел.
• Находить наибольшее и наименьшее значение ряда данных и его размах.
• Находить моду — самое «популярное» число ряда.
• Находить медиану — число, которое стоит ровно посередине.

Разминка

Это задания № 1166–1168 из прошлого урока. Они как раз про то, что пригодится сегодня: упорядочить числа и найти самое большое и самое маленькое.

• Расставь по возрастанию: 5; −1; 8; −0,5; −2. −2; −1; −0,5; 5; 8.
• Какое число самое большое: 0,8; −0,8; 0; 0,81? 0,81 — оно чуть больше 0,8.
• Какое число самое маленькое: −2,03; 3,8; 0; −2,3? −2,3. Из двух отрицательных меньше то, у которого модуль больше: 2,3 > 2,03.
• Сколько будет $(4 + 6 + 8) : 3$? $18 : 3 = 6$.

💡 Последний вопрос — это уже среднее арифметическое. Ты его только что нашёл!

Разбираемся

Какой рост у «среднего» человека в классе

В классе 7 девочек. Их рост: 1,2 м; 1,1 м; 1,1 м; 1,2 м; 1,28 м; 1,32 м; 1,2 м. Кто-то повыше, кто-то пониже. А если надо назвать одно число про всех сразу?

Сложим рост всех девочек и поделим на количество девочек:

$(1{,}2 + 1{,}1 + 1{,}1 + 1{,}2 + 1{,}28 + 1{,}32 + 1{,}2) : 7 = 8{,}4 : 7 = 1{,}2$ (м).

📌 Среднее арифметическое нескольких чисел — это их сумма, делённая на количество этих чисел.

Ещё пример. Ночью было 0°, утром +2°, днём +7°, вечером +5°. Средняя температура за сутки: $\frac{0 + 2 + 7 + 5}{4} = \frac{14}{4} = 3{,}5°$.

⚠️ Частая ошибка. Нуль тоже считается! Ночные 0° — это полноценное измерение. Делим на 4, а не на 3.

Ряд данных, наибольшее и наименьшее

Набор чисел вроде «0°; 2°; 7°; 5°» называют рядом данных. В любом ряду есть наибольшее и наименьшее значение. В ряду 4; 67; 32; 70; 13; 0 наибольшее — 70, наименьшее — 0.

Размах: насколько всё «разбросано»

Среднесуточная температура за 8 дней: 3°; 5°; 15°; 1°; 0°; 12°; 4°; 7°. Посмотри, как разбежались эти числа по прямой. Нажми на любое деление.

📌 Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда.

Здесь размах $15° - 0° = 15°$. Большой размах — погода скакала. Маленький — была ровной.

Мода: самое популярное число

В ряду роста девочек 1,2 м встречается 3 раза, а 1,1 м — 2 раза. Чаще всех — 1,2 м.

📌 Мода — число, которое встречается в ряду чаще всех.

Моды может не быть: в ряду 3; 11; 19; 100 все числа разные. А может быть две: в ряду 22; 30; 31; 22; 59; 61; 30 и 22, и 30 встречаются по 2 раза.

🌟 Слово «мода» тут неслучайно. Модный цвет кроссовок — тот, который чаще всего видишь на улице. Ровно так и в математике.

Медиана: тот, кто стоит посередине

Число верблюдов в Казахстане (тыс. голов) на начало 2013–2017 годов: 164,8; 160,9; 165,9; 170,5; 172,5. Какое из этих чисел «серединное»?

1. Расставь по возрастанию: 160,9; 164,8; 165,9; 170,5; 172,5.
2. Чисел 5 — нечётное количество. Посередине стоит 165,9. Это и есть медиана.

А если чисел чётное количество? Посевные площади под кормовые культуры (тыс. га) за 2011–2016 годы: 2484,3; 2517,4; 2866,8; 3109,9; 3671,3; 3485,2.

1. По возрастанию: 2484,3; 2517,4; 2866,8; 3109,9; 3485,2; 3671,3.
2. Чисел 6. Посередине не одно, а два числа.
3. Медиана — их среднее: $(2866{,}8 + 3109{,}9) : 2 = 5976{,}7 : 2 = 2988{,}35$.

📌 Медиана. Упорядочи ряд. Нечётное количество чисел — медиана стоит посередине. Чётное — медиана равна среднему арифметическому двух средних чисел.

⚠️ Частая ошибка. Берут «серединное» число, не упорядочив ряд. В ряду 7; 1; 9 посередине стоит 1, но медиана — 7 (ряд 1; 7; 9).

👨‍👩‍👧 Родителю. Поиграйте: запишите время, за которое ребёнок добирался до школы 5 дней подряд. Пусть он найдёт среднее, размах, моду и медиану. На своих числах термины запоминаются лучше.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как найти среднее арифметическое нескольких чисел? Сложить все числа и разделить сумму на их количество.
• Как найти размах? Найти наибольшее и наименьшее значение ряда и вычесть из большего меньшее.
• Может ли у ряда быть три моды? Да. В ряду 1; 1; 2; 2; 3; 3; 5 числа 1, 2 и 3 встречаются по 2 раза — это три моды.
• Что показывает медиана? «Серединное» значение: половина чисел ряда не больше неё, половина — не меньше.
• Чем отличается поиск медианы для чётного и нечётного количества чисел? При нечётном количестве берём одно число из середины. При чётном в середине два числа — берём их среднее арифметическое.
• Может ли медиана равняться наибольшему или наименьшему числу ряда? Может, если это число повторяется. В ряду 1; 5; 5 медиана 5 — это наибольшее. В ряду 2; 2; 7 медиана 2 — это наименьшее.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 1169

Найди среднее арифметическое, размах и медиану: 1) 524; 346; 486; 2) 0,87; 1,03; 1,72; 1,98; 2; 3) 42,8; 54,3; 59,6; 60; 4) 1,08; 1,99; 1,76; 0,99; 1,32.

Как думать. Для медианы сначала упорядочиваем ряд. Для размаха ищем самое большое и самое маленькое.

Решение.

1. Сумма $524 + 346 + 486 = 1356$, среднее $1356 : 3 = 452$. Размах $524 - 346 = 178$. По порядку: 346; 486; 524 — медиана 486.
2. Сумма $0{,}87 + 1{,}03 + 1{,}72 + 1{,}98 + 2 = 7{,}6$, среднее $7{,}6 : 5 = 1{,}52$. Размах $2 - 0{,}87 = 1{,}13$. Ряд уже упорядочен, посередине 1,72.
3. Сумма $42{,}8 + 54{,}3 + 59{,}6 + 60 = 216{,}7$, среднее $216{,}7 : 4 = 54{,}175$. Размах $60 - 42{,}8 = 17{,}2$. Чисел 4, посередине 54,3 и 59,6: медиана $(54{,}3 + 59{,}6) : 2 = 56{,}95$.
4. Сумма $1{,}08 + 1{,}99 + 1{,}76 + 0{,}99 + 1{,}32 = 7{,}14$, среднее $7{,}14 : 5 = 1{,}428$. Размах $1{,}99 - 0{,}99 = 1$. По порядку: 0,99; 1,08; 1,32; 1,76; 1,99 — медиана 1,32.

Ответ: 1) 452; 178; 486. 2) 1,52; 1,13; 1,72. 3) 54,175; 17,2; 56,95. 4) 1,428; 1; 1,32.

№ 1170

То же для рядов: 1) 107; 122; 113; 2) 12,4; 14,8; 18,9; 20,1; 3) 11; 17,2; 20; 24,6; 4) 0,89; 1,23; 1,64; 1,79; 2.

Решение.

1. Сумма $107 + 122 + 113 = 342$, среднее $342 : 3 = 114$. Размах $122 - 107 = 15$. По порядку: 107; 113; 122 — медиана 113.
2. Сумма $66{,}2$, среднее $66{,}2 : 4 = 16{,}55$. Размах $20{,}1 - 12{,}4 = 7{,}7$. Медиана $(14{,}8 + 18{,}9) : 2 = 33{,}7 : 2 = 16{,}85$.
3. Сумма $11 + 17{,}2 + 20 + 24{,}6 = 72{,}8$, среднее $72{,}8 : 4 = 18{,}2$. Размах $24{,}6 - 11 = 13{,}6$. Медиана $(17{,}2 + 20) : 2 = 18{,}6$.
4. Сумма $7{,}55$, среднее $7{,}55 : 5 = 1{,}51$. Размах $2 - 0{,}89 = 1{,}11$. Медиана 1,64.

Ответ: 1) 114; 15; 113. 2) 16,55; 7,7; 16,85. 3) 18,2; 13,6; 18,6. 4) 1,51; 1,11; 1,64.

№ 1171

Мурат поймал трёх карасей массой 0,125 кг, 0,205 кг и 0,18 кг. Какая у них средняя масса?

Решение. $(0{,}125 + 0{,}205 + 0{,}18) : 3 = 0{,}51 : 3 = 0{,}17$ (кг).

Ответ: 0,17 кг (170 г).

№ 1172

В ящике 125 апельсинов общей массой 21 кг. Какова средняя масса одного апельсина?

Как думать. Сумму всех масс мы уже знаем — это 21 кг. Остаётся поделить на число апельсинов.

Решение. $21 : 125 = 0{,}168$ (кг) $= 168$ г.

Ответ: 0,168 кг.

№ 1173

Найди наибольшее и наименьшее значение: 1) 12 тг; 148 тг; 326 тг; 700 тг; 2) 78 т; 326 кг; 760 кг; 3) 160 мин; 1 ч 60 мин; 2 ч; 200 мин; 4) 17,3; 0,73; 173,1; 17,31.

Как думать. Величины сравниваем только в одинаковых единицах. Сначала переводим.

Решение.

1. Наибольшее 700 тг, наименьшее 12 тг.
2. 78 т = 78 000 кг. Наибольшее 78 т, наименьшее 326 кг.
3. 1 ч 60 мин = 120 мин, 2 ч = 120 мин. Наибольшее 200 мин. Наименьшее — 120 мин, и так записаны сразу два значения: 1 ч 60 мин и 2 ч.
4. Наибольшее 173,1, наименьшее 0,73.

Ответ: 1) 700 тг и 12 тг; 2) 78 т и 326 кг; 3) 200 мин и 1 ч 60 мин = 2 ч; 4) 173,1 и 0,73.

⚠️ Частая ошибка. В пункте 2 кажется, что 78 — маленькое число. Но это тонны! 78 т в сотню раз тяжелее 760 кг.

№ 1174

Найди моду и медиану: 1) 34,8; 63,1; 90,09; 90,9; 90; 2) 421; 214; 124; 412; 421; 142; 3) 3; 3; 7; 8; 8; 8; 9; 9; 10; 11; 11; 15; 15; 15.

Как думать. Мода — считаем повторы. Медиана — упорядочиваем и ищем середину.

Решение.

1. Все числа разные — моды нет. По возрастанию: 34,8; 63,1; 90; 90,09; 90,9. Медиана 90.
2. 421 встречается дважды — мода 421. По возрастанию: 124; 142; 214; 412; 421; 421. Чисел 6, медиана $(214 + 412) : 2 = 313$.
3. Считаем повторы: 3 — 2 раза, 8 — 3 раза, 9 — 2 раза, 11 — 2 раза, 15 — 3 раза. Чаще всех 8 и 15 — две моды. Чисел 14, ряд уже упорядочен. 7-е и 8-е числа — 9 и 9, медиана $(9 + 9) : 2 = 9$.

Ответ: 1) моды нет, медиана 90; 2) мода 421, медиана 313; 3) моды 8 и 15, медиана 9.

Уровень B

№ 1175

В магазин привезли 250 арбузов общей массой 1,5 т. Какова средняя масса арбуза?

Решение. 1,5 т = 1500 кг. $1500 : 250 = 6$ (кг).

Ответ: 6 кг.

№ 1176

В пакете 16 яблок, масса пакета с яблоками 3,4 кг. Найди среднюю массу яблока.

Как думать. Пакет весит очень мало, его массой пренебрегаем. Делим 3,4 кг на 16.

Решение. $3{,}4 : 16 = 0{,}2125$ (кг) $= 212{,}5$ г.

Ответ: 0,2125 кг (около 212 г).

№ 1177

Измерь длину 10 своих шагов и найди среднюю длину шага.

Как думать. Одно измерение — неточное: шаги разные. Десять шагов подряд сглаживают разницу.

Решение. Отметь мелом старт, сделай 10 обычных шагов, рулеткой измерь расстояние. Пример: 10 шагов — 5 м 80 см = 580 см. Средний шаг: $580 : 10 = 58$ см.

Ответ: у каждого свой; например, 58 см.

💡 Удобно: зная свой шаг, можно мерить расстояние без рулетки. 200 шагов по 58 см — это 116 м.

№ 1178

С участка 4,5 га собрали 430,5 ц картофеля, с участка 3,5 га — 349,5 ц. Сколько в среднем собрали с 1 га?

Как думать. Нельзя просто взять среднее двух урожайностей: участки разного размера. Делим весь урожай на всю площадь.

Решение.

1. Весь урожай: $430{,}5 + 349{,}5 = 780$ (ц).
2. Вся площадь: $4{,}5 + 3{,}5 = 8$ (га).
3. С 1 га: $780 : 8 = 97{,}5$ (ц).

Ответ: 97,5 ц.

Уровень C

№ 1179

Население Астаны на начало 2005–2009 годов: 529 335, 550 438, 574 448, 602 684, 639 311. Найди среднее арифметическое.

Решение.

1. Сумма: $529,335 + 550,438 + 574,448 + 602,684 + 639,311 = 2,896,216$.
2. Среднее: $2,896,216 : 5 = 579,243{,}2$.

Ответ: 579 243,2 — примерно 579 243 человека.

🌟 За эти пять лет столица выросла больше чем на 100 тысяч жителей. Сейчас в Астане живёт уже больше 1,3 миллиона человек.

№ 1180

Население Астаны на начало 2003–2009 годов: 501 998, 510 533, 529 335, 550 438, 574 448, 602 684, 639 311. Найди размах.

Решение. Наибольшее 639 311, наименьшее 501 998. $639,311 - 501,998 = 137,313$.

Ответ: 137 313 человек.

№ 1181

Население Алматы на начало 2005–2009 годов: 1 209 485, 1 247 896, 1 287 246, 1 324 739, 1 365 105. Найди среднее арифметическое.

Как думать. Числа большие — складываем по два, чтобы не сбиться.

Решение. Сумма $6,434,471$, среднее $6,434,471 : 5 = 1,286,894{,}2$.

Ответ: 1 286 894,2 — примерно 1 286 894 человека.

Повторение

№ 1182

Найди длину окружности и площадь круга ($\pi \approx 3{,}14$) при радиусе 1) 2,5 см; 2) 5 см; 3) 10 см; 4) 20 см.

Как думать. Длина окружности $C = 2\pi r$, площадь круга $S = \pi r^2$.

Решение.

Ответ: 1) 15,7 см; 19,625 см². 2) 31,4 см; 78,5 см². 3) 62,8 см; 314 см². 4) 125,6 см; 1256 см².

💡 Радиус вырос вдвое — длина окружности тоже вдвое, а площадь в 4 раза.

Готовимся к следующей теме

№ 1183

Сколько всего двузначных чисел? Сколько двузначных чисел от 17 до 40?

Как думать. Чисел от $a$ до $b$ включительно: $b - a + 1$. Единицу прибавляем, потому что считаем и первое число.

Решение. Двузначные — от 10 до 99: $99 - 10 + 1 = 90$. От 17 до 40: $40 - 17 + 1 = 24$.

Ответ: 90; 24.

№ 1184

Сколько всего трёхзначных чисел? Сколько трёхзначных чисел от 200 до 238?

Решение. Трёхзначные — от 100 до 999: $999 - 100 + 1 = 900$. От 200 до 238: $238 - 200 + 1 = 39$.

Ответ: 900; 39.

Шпаргалка

• Среднее: $(a_1 + a_2 + \dots + a_n) : n$.
• Размах = наибольшее − наименьшее.
• Мода — самое частое значение.
• Медиана: сначала упорядочь ряд! Потом бери середину.
• Величины сравнивай в одних единицах.

Мини-тест