§ 47. Решение задач на нахождение средней скорости движения. Решение комбинаторных задач методом перебора

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 8: Статистика. Комбинаторика. Страницы 116–121.

Чему научишься

• Находить среднюю скорость, когда путь состоит из нескольких участков.
• Не попадаться в ловушку «сложи скорости и раздели пополам».
• Узнавать комбинаторные задачи.
• Перебирать варианты с помощью дерева и не терять ни одного.

Разминка

Это задания № 1183 и 1184 из прошлого урока — первые шаги в подсчёте вариантов.

• Сколько всего двузначных чисел? От 10 до 99: $99 - 10 + 1 = 90$.
• Сколько двузначных чисел от 17 до 40? $40 - 17 + 1 = 24$.
• Сколько всего трёхзначных чисел? От 100 до 999: 900.
• Сколько трёхзначных чисел от 200 до 238? $238 - 200 + 1 = 39$.
• Автобус проехал 150 км за 3 ч. Какая скорость? $150 : 3 = 50$ км/ч.

Разбираемся

Что такое средняя скорость

Машина едет из Алматы в Капшагай. То разгоняется, то стоит на светофоре. Скорость всё время разная. Но можно спросить: с какой одинаковой скоростью надо было ехать, чтобы доехать за то же время?

📌 Средняя скорость — это весь пройденный путь, делённый на всё затраченное время: $v = \frac{s}{t}$.

Если участков два, то $v_{ср} = \frac{s_1 + s_2}{t_1 + t_2}$. Если три — в числителе три пути, в знаменателе три времени.

Пример. Поезд проехал 120 км за 2 ч и ещё 90 км за 1,5 ч. Весь путь $120 + 90 = 210$ км, всё время $2 + 1{,}5 = 3{,}5$ ч. Средняя скорость: $210 : 3{,}5 = 60$ км/ч.

Ловушка: скорости не усредняют

Есен ехал из одного города в другой (180 км) на машине со скоростью 90 км/ч, а обратно — на автобусе со скоростью 60 км/ч. Хочется сказать: «средняя — 75 км/ч». Проверим.

⚠️ Частая ошибка. Складывать скорости и делить на 2. Так можно, только если на каждой скорости ехали одинаковое время. В остальных случаях — только «весь путь : всё время».

Ещё пример. Мотоциклист проехал 79 км за 2 ч, 81 км за 2 ч и 60 км за 1,5 ч. Весь путь $79 + 81 + 60 = 220$ км, всё время $2 + 2 + 1{,}5 = 5{,}5$ ч. Средняя скорость: $220 : 5{,}5 = 40$ км/ч.

👨‍👩‍👧 Родителю. В следующей поездке спросите ребёнка: «Мы проехали 60 км за полтора часа, хотя на трассе ехали 90. Какая у нас средняя скорость и почему она меньше?» Так формула становится живой.

Комбинаторные задачи

Сколько разных пар «футболка + шорты» можно собрать? Сколько номеров составить из данных цифр? Такие задачи называют комбинаторными.

📌 Комбинаторная задача — задача, где из данных элементов по правилам составляют разные комбинации и считают, сколько их.

Самый надёжный способ — перебор: выписать все варианты по порядку. А чтобы ничего не пропустить, рисуют дерево вариантов.

Дерево вариантов

Сколько четырёхзначных чисел с разными цифрами, оканчивающихся на 5, можно составить из цифр 3, 5, 7, 9?

Последняя цифра — 5, она занята. На первые три места остаются 3, 7 и 9.

         ┌─ 7 ── 9 ── 5   → 3795
   3 ────┤
         └─ 9 ── 7 ── 5   → 3975
         ┌─ 3 ── 9 ── 5   → 7395
   7 ────┤
         └─ 9 ── 3 ── 5   → 7935
         ┌─ 3 ── 7 ── 5   → 9375
   9 ────┤
         └─ 7 ── 3 ── 5   → 9735

Первая цифра — 3 варианта. Для каждой вторая — 2 варианта. Третья — уже одна. Всего $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ чисел.

💡 Дерево растёт слева направо: каждая «ветка» делится на столько веточек, сколько вариантов на следующем шаге. Число «листиков» в конце — это ответ.

Дороги через город B

Из A в B ведут 3 дороги, из B в C — тоже 3. Сколько маршрутов из A в C через B?

Выбрали первую дорогу — к ней подходит любая из трёх дорог второго участка. Так для каждой из трёх первых дорог. Всего $3 \cdot 3 = 9$ маршрутов.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Можно ли найти среднюю скорость, если известно только время? Нет. Нужен ещё путь: средняя скорость — это путь, делённый на время.
• Приведи пример комбинаторной задачи. Сколькими способами три друга могут встать в очередь за самсой? (Ответ: 6.)
• Каким способом решают комбинаторные задачи? Методом перебора — выписывают все варианты по порядку.
• Что помогает не пропустить ни одного варианта при переборе? Дерево вариантов и строгий порядок: сначала все варианты с первым элементом, потом со вторым и так далее.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 1185

1) Поезд проехал 93 км за 1,5 ч и 147 км за 2,5 ч. Найди среднюю скорость на всём участке в 240 км. 2) Автобус проехал 110 км за 2 ч и 165 км за 3 ч. Найди среднюю скорость.

Решение.

1. Путь $93 + 147 = 240$ км, время $1{,}5 + 2{,}5 = 4$ ч. $v_{ср} = 240 : 4 = 60$ км/ч.
2. Путь $110 + 165 = 275$ км, время $2 + 3 = 5$ ч. $v_{ср} = 275 : 5 = 55$ км/ч.

Ответ: 1) 60 км/ч; 2) 55 км/ч.

№ 1186

1) Составь все двузначные числа из цифр 7 и 9. 2) Составь все трёхзначные числа из цифр 3, 0 и 8. 3) Из цифр 5, 3, 1 составь трёхзначные числа с разными цифрами.

Как думать. В пунктах 1 и 2 не сказано, что цифры разные, — значит, их можно повторять. Нулём число начинаться не может.

Решение.

1. Первая цифра 7 или 9, вторая тоже 7 или 9: 77, 79, 97, 99 — 4 числа.

2. Первая цифра — 3 или 8 (не 0). Вторая и третья — любая из трёх. Получается $2 \cdot 3 \cdot 3 = 18$ чисел:

   • с тройкой: 300, 303, 308, 330, 333, 338, 380, 383, 388;
   • с восьмёркой: 800, 803, 808, 830, 833, 838, 880, 883, 888.

   Если же брать каждую цифру один раз, чисел 4: 308, 380, 803, 830.

3. Перебираем первую цифру: 135, 153, 315, 351, 513, 531 — 6 чисел.

Ответ: 1) 77, 79, 97, 99; 2) 18 чисел (с разными цифрами — 308, 380, 803, 830); 3) 135, 153, 315, 351, 513, 531.

Уровень B

№ 1187

1) Велосипедист 2 ч ехал со скоростью 12 км/ч и 1 ч — со скоростью 10 км/ч. Какая средняя скорость? 2) Мотоциклист проехал 84 км со скоростью 42 км/ч и 76 км со скоростью 38 км/ч. Найди среднюю скорость.

Как думать. В пункте 1 известны скорости и время — находим пути. В пункте 2 известны пути и скорости — находим время.

Решение.

1. Пути: $12 \cdot 2 = 24$ км и $10 \cdot 1 = 10$ км. Весь путь 34 км за 3 ч. $v_{ср} = 34 : 3 = 11\frac{1}{3}$ км/ч.
2. Время: $84 : 42 = 2$ ч и $76 : 38 = 2$ ч. Весь путь $84 + 76 = 160$ км за 4 ч. $v_{ср} = 160 : 4 = 40$ км/ч.

Ответ: 1) $11\frac{1}{3}$ км/ч; 2) 40 км/ч.

💡 Во втором пункте мотоциклист ехал на каждой скорости одинаковое время (по 2 ч). Поэтому средняя скорость совпала с полусуммой: $(42 + 38) : 2 = 40$. В первом — время разное, и полусумма 11 была бы ошибкой.

№ 1188

1) Сколько нечётных двузначных чисел можно составить из цифр 6, 1, 9, 0, если каждую брать один раз? 2) Сколько чётных двузначных чисел можно составить из цифр 3, 7, 1, 0 (каждую один раз)?

Как думать. Чётность решает последняя цифра. Начинаем перебор с неё. И помним: первая цифра — не 0.

Решение.

1. Нечётные оканчиваются на 1 или 9. На 1: первая цифра 6 или 9 — 61, 91. На 9: первая 6 или 1 — 69, 19. Всего 4 числа: 19, 61, 69, 91.
2. Чётная цифра тут одна — 0. Значит, число оканчивается на 0, а первая цифра 3, 7 или 1: 30, 70, 10. Всего 3 числа.

Ответ: 1) 4 способа; 2) 3 способа.

Уровень C

№ 1189

Поезд проехал первый перегон 100 км за $1\frac{2}{3}$ ч. Второй — за 1 ч, увеличив скорость на 5 км/ч. Третий, 140 км, — со скоростью 60 км/ч. Найди среднюю скорость на трёх участках.

Как думать. Для формулы нужны три пути и три времени. Каких-то данных не хватает — достаём их из того, что известно.

Решение. Путь 305 км, время 5 ч, $v_{ср} = 305 : 5 = 61$ км/ч.

Ответ: 61 км/ч.

№ 1190

Сколько четырёхзначных чисел с разными цифрами, у которых вторая цифра 7, можно составить из цифр числа 2647?

Как думать. Семёрка стоит на месте. Остальные три цифры (2, 6, 4) переставляем, как в дереве из разбора.

Решение. Первая цифра — 2, 4 или 6 (3 варианта), третья — одна из двух оставшихся, четвёртая — последняя. $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$: 2746, 2764, 4726, 4762, 6724, 6742.

Ответ: 6 чисел.

Готовимся к следующей теме

№ 1191

1) Заполни таблицу «длина — ширина — площадь прямоугольника»: 6 см и 3,5 см; 10 см и $a$ см; ? дм и 4,7 см при площади 94 см²; $b$ см и ? см при площади $5{,}6b$ см². 2) Заполни таблицу «урожайность — площадь — масса»: ? ц/га, 8,5 га, 8,5 ц; 1,5 ц/га, ? га, 150 т; 2,2 ц/га, 15 га, ? ц.

Как думать. Площадь = длина · ширина, масса урожая = урожайность · площадь. Неизвестный множитель находим делением. Следи за единицами!

Решение.

2. 150 т = 1500 ц.

Ответ: 1) 21 см²; $10a$ см²; 2 дм; 5,6 см. 2) 1 ц/га; 1000 га; 33 ц.

Шпаргалка

• $v_{ср} = \frac{s_1 + s_2 + s_3}{t_1 + t_2 + t_3}$.
• Не хватает пути — $s = v \cdot t$. Не хватает времени — $t = s : v$.
• Перебор начинай с самого «строгого» места (последняя цифра для чётности, запрет нуля впереди).
• Число вариантов = произведение числа выборов на каждом шаге: $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.

Мини-тест