§ 48. Способы задания зависимостей между величинами

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 9: Зависимости между величинами. Страницы 122–128.

Чему научишься

• Отличать зависимую переменную от независимой.
• Задавать зависимость формулой и находить по ней значения $y$ и $x$.
• Составлять таблицу значений по формуле или по графику.
• Читать график: по $x$ находить $y$ и наоборот.

Разминка

Это задание № 1191 из прошлого урока. Там величины уже «зависели» друг от друга — сегодня дадим этому имя.

• Прямоугольник 6 см на 3,5 см. Площадь? $6 \cdot 3{,}5 = 21$ см².
• Площадь 94 см², ширина 4,7 см. Длина? $94 : 4{,}7 = 20$ см = 2 дм.
• Урожайность 2,2 ц/га, площадь 15 га. Сколько собрали? $2{,}2 \cdot 15 = 33$ ц.
• Собрали 150 т при урожайности 1,5 ц/га. Какая площадь? 150 т = 1500 ц, $1500 : 1{,}5 = 1000$ га.

Разбираемся

Что от чего зависит

Покупаем 2 литра молока. Цена 340 тг/л — платим 680 тг. Цена 360 тг/л — уже 720 тг. Цена 300 тг/л — 600 тг. Меняется цена — меняется и стоимость.

Цену мы выбираем сами — это независимая переменная. Стоимость «подстраивается» под цену — это зависимая переменная. Так же масса урожая с одного поля зависит от урожайности.

📌 Независимую переменную обычно обозначают $x$, зависимую — $y$.

Попробуй. Купили 4 одинаковые вещи. Стоимость 60; 72; 80; 84; 100 тг — значит, цена $60 : 4 = 15$; 18; 20; 21; 25 тг/шт. А если поле 24 га, а урожай 432; 192; 240; 168; 264 ц, то урожайность 18; 8; 10; 7; 11 ц/га.

📌 Задать зависимость — значит показать, как по значению $x$ найти соответствующее значение $y$.

Есть три способа: формула, таблица, график.

Способ 1. Формула

Едем 3 часа. Скорость $x$ км/ч можно менять, а путь $y$ км от неё зависит: $y = 3x$.

Подставляем $x$ — получаем $y$: при $x = 60$ путь $y = 180$, при $x = 80$ — 240, при $x = 90$ — 270, при $x = 120$ — 360.

Можно и наоборот: знаем $y$ — находим $x$. Если $y = 216$, то $3x = 216$, $x = 72$. Если $y = 255$, то $x = 85$.

📌 Задать зависимость формулой — это аналитический способ.

Способ 2. Таблица

В верхней строке пишем значения $x$, в нижней — посчитанные по формуле $y$:

По таблице сразу видно: $x = 60$ соответствует $y = 180$, а $y = 255$ соответствует $x = 85$.

Способ 3. График

Каждую пару из таблицы превращаем в точку: $x$ — абсцисса, $y$ — ордината. Нажми на точки и проверь их координаты.

📌 График зависимости — все точки координатной плоскости, у которых абсцисса — значение $x$, а ордината — соответствующее значение $y$.

График может быть из нескольких точек, а может быть сплошной линией. Как читать линию: нужно $y$ при $x = 3$? Поднимись от отметки 3 на оси $Ox$ вертикально до линии. Получил точку $M$. Теперь иди от неё горизонтально к оси $Oy$ — там и будет ответ (в примере — 4).

⚠️ Частая ошибка. Путают, какое число писать первым. В точке $(5; 3)$ сначала $x = 5$ (вправо), потом $y = 3$ (вверх). Не наоборот!

Вот график из трёх точек. По нему: $x = 5$ соответствует $y = 3$, $x = -4$ — $y = -2$, $x = 2$ — $y = 1$.

И обратно, график → таблица. Если на графике точки $(-2; 1)$, $(0; 3)$, $(2; 0)$, $(3; 4)$, $(4; 5)$, таблица такая:

👨‍👩‍👧 Родителю. Найдите дома зависимость «от жизни»: счёт за воду от расхода, оплату такси от километров. Пусть ребёнок назовёт, что тут $x$, а что $y$, и придумает формулу.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Может ли одна и та же величина быть то зависимой, то независимой? Может. Путь зависит от скорости ($s = 3v$). А расход бензина зависит от пути — тут путь уже независимая переменная.
• Почему зависимость можно задать формулой? По формуле для любого $x$ можно вычислить $y$.
• Почему её можно задать таблицей? В таблице для каждого $x$ записан соответствующий $y$ — его можно просто прочитать.
• Почему её можно задать графиком? Каждая точка графика — пара $(x; y)$. По $x$ находим точку и читаем её ординату.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 1192

Найди $y = 3x + 1$ при $x$, равном 5; −2; 1,3; −0,8.

Как думать. Подставляем $x$ в формулу. Не забываем про знаки!

Решение.

1. $x = 5$: $y = 3 \cdot 5 + 1 = 16$.
2. $x = -2$: $y = -6 + 1 = -5$.
3. $x = 1{,}3$: $y = 3{,}9 + 1 = 4{,}9$.
4. $x = -0{,}8$: $y = -2{,}4 + 1 = -1{,}4$.

Ответ: 16; −5; 4,9; −1,4.

№ 1193

При каком $x$ значение $y = -0{,}5x + 4$ равно 1,5? А −10,5?

Как думать. Теперь известен $y$. Подставляем его и решаем уравнение.

Решение.

1. $-0{,}5x + 4 = 1{,}5$; $-0{,}5x = -2{,}5$; $x = 5$.
2. $-0{,}5x + 4 = -10{,}5$; $-0{,}5x = -14{,}5$; $x = 29$.

Ответ: 5; 29.

№ 1194

Найди $x$ по значению $y$: 1) $y = -x + 10$, $y = 8{,}1$; 2) $y = 9{,}7 - 1{,}6x$, $y = -6{,}3$.

Решение.

1. $-x + 10 = 8{,}1$; $-x = -1{,}9$; $x = 1{,}9$.
2. $9{,}7 - 1{,}6x = -6{,}3$; $-1{,}6x = -16$; $x = 10$.

Ответ: 1) 1,9; 2) 10.

№ 1195

Сторона квадрата $a$ см. У второго квадрата сторона на 5 см короче. Запиши его периметр и площадь и вычисли их при 1) $a = 7$ см; 2) $a = 20{,}5$ см.

Как думать. Сторона второго квадрата $a - 5$. Периметр квадрата — 4 стороны, площадь — сторона на сторону.

Решение. $P = 4(a - 5)$, $S = (a - 5)^2$.

1. $a = 7$: сторона 2 см, $P = 8$ см, $S = 4$ см².
2. $a = 20{,}5$: сторона 15,5 см, $P = 62$ см, $S = 15{,}5 \cdot 15{,}5 = 240{,}25$ см².

Ответ: $P = 4(a - 5)$, $S = (a - 5)^2$; 1) 8 см и 4 см²; 2) 62 см и 240,25 см².

№ 1196

Ширина прямоугольника $c$ см, длина на 2,9 см больше. Запиши периметр и площадь и вычисли их при 1) $c = 5{,}2$ см; 2) $c = 2\frac{1}{3}$ см.

Как думать. Длина $c + 2{,}9$. Периметр — удвоенная сумма длины и ширины, площадь — их произведение.

Решение. $P = 2(c + c + 2{,}9) = 4c + 5{,}8$; $S = c(c + 2{,}9)$.

1. $c = 5{,}2$: длина 8,1 см, $P = 2 \cdot 13{,}3 = 26{,}6$ см, $S = 5{,}2 \cdot 8{,}1 = 42{,}12$ см².
2. $c = 2\frac{1}{3}$: длина $5\frac{7}{30}$ см, $P = 15\frac{2}{15}$ см, $S = 12\frac{19}{90}$ см².

Ответ: $P = 4c + 5{,}8$, $S = c(c + 2{,}9)$; 1) 26,6 см и 42,12 см²; 2) $15\frac{2}{15}$ см и $12\frac{19}{90}$ см².

Уровень B

№ 1197

По таблице построй точки: $x$: −5; −2; 1,5; 4; 9 и $y$: −3; 4; 0; 5; −4.

Как думать. Каждый столбец таблицы — точка $(x; y)$. Знаки подсказывают четверть: плюс-плюс — I, минус-плюс — II, минус-минус — III, плюс-минус — IV.

Решение.

1. $(-5; -3)$ — 5 клеток влево и 3 вниз, III четверть.
2. $(-2; 4)$ — 2 влево и 4 вверх, II четверть.
3. $(1{,}5; 0)$ — на оси $Ox$, полторы клетки вправо от начала.
4. $(4; 5)$ — 4 вправо и 5 вверх, I четверть.
5. $(9; -4)$ — 9 вправо и 4 вниз, IV четверть.

Сначала поставь сам самую «далёкую» точку:

А вот все пять точек таблицы. Нажми на сетку рядом с любой — увидишь координаты.

Ответ: точки $(-5; -3)$, $(-2; 4)$, $(1{,}5; 0)$, $(4; 5)$, $(9; -4)$ построены, как описано.

№ 1198

По графику из шести точек (рис. 156) составь таблицу значений $x$ и $y$.

Как думать. На рисунке отмечены точки: $(-3; 5)$, $(5; 3)$, $(2; 1)$, $(-4; -2)$ и ещё две точки не на узлах сетки — при $x = 4$ (чуть ниже −1) и при $x = -1$ (между −3 и −4). Их ординаты читаем приблизительно. Расставим точки по возрастанию $x$.

Решение.

Ответ: таблица выше.

№ 1199

По рис. 156 найди значения $y$ при $-2 \le x \le 2$.

Как думать. Ищем точки, у которых $x$ от −2 до 2 включительно.

Решение. Таких точек две: $x = -1$ ($y \approx -3{,}5$) и $x = 2$ ($y = 1$).

Ответ: $y \approx -3{,}5$ и $y = 1$.

№ 1200

По рис. 156 найди значения $x$ при $-3 \le y \le 0$.

Решение. Подходят точки с $y$ от −3 до 0: $(-4; -2)$ и $(4; \approx -1{,}3)$. Точка с $y \approx -3{,}5$ ниже −3 — не подходит.

Ответ: $x = -4$ и $x = 4$.

Уровень C

№ 1201

$x$ меняется от −2,5 до 4 ($-2{,}5 \le x \le 4$). Найди все целые значения $y = 5|x| - 1$.

Как думать. Модуль $|x|$ при таких $x$ меняется от 0 (при $x = 0$) до 4 (при $x = 4$). Значит, $y$ — от наименьшего до наибольшего, без пропусков.

Решение.

1. Наименьший $|x| = 0$: $y = 5 \cdot 0 - 1 = -1$.
2. Наибольший $|x| = 4$: $y = 5 \cdot 4 - 1 = 19$. (При $x = -2{,}5$ получается только $11{,}5$.)
3. Все значения от −1 до 19 достигаются. Целые среди них: −1; 0; 1; …; 19 — всего 21 число.

Ответ: ${-1; 0; 1; 2; \dots; 19}$.

💡 Если брать только целые $x$ (−2; −1; 0; 1; 2; 3; 4), получится меньше: $y$ = 9; 4; −1; 4; 9; 14; 19, то есть ${-1; 4; 9; 14; 19}$. В задаче целыми должны быть значения $y$, а не $x$.

Готовимся к следующей теме

№ 1202

1) Заполни таблицу «время — скорость — путь»: 3 с, 56,3 км/ч, ? км; ? ч, 81 км/ч, 162 км; 14 ч, ? км/ч, 910 км. 2) Заполни таблицу для прямоугольного параллелепипеда: 5 см, 8 см, 4,5 см, ? см³; ? см, 2 см, 20 мм, 100 см³; 3 дм, 15 см, ? см, 1350 см³; 15 м, ? м, 4000 мм, 120 м³.

Как думать. $s = v \cdot t$ и $V = a \cdot b \cdot c$. Перед вычислением переводим всё в одни единицы.

Решение.

1. В первом столбце, скорее всего, имеются в виду 3 часа: $56{,}3 \cdot 3 = 168{,}9$ км. Время во втором: $162 : 81 = 2$ ч. Скорость в третьем: $910 : 14 = 65$ км/ч.

💡 Если всё-таки 3 секунды, то 3 с $= \frac{3}{3600}$ ч, и путь всего $56{,}3 \cdot \frac{3}{3600} \approx 0{,}047$ км, то есть около 47 м.

Ответ: 1) 168,9 км; 2 ч; 65 км/ч. 2) 180 см³; 25 см; 3 см; 2 м.

Шпаргалка

• По $x$ найти $y$ — подставить $x$ в формулу.
• По $y$ найти $x$ — подставить $y$ и решить уравнение.
• Таблица по графику: выписать координаты всех точек.
• В паре $(x; y)$ первым всегда идёт $x$.

Мини-тест